On the rectilinear crossing number of complete balanced multipartite graphs and layered graphs
本文研究完全平衡 r 部图 K_n^r 与相邻层全连接的分层图 L_n^r，通过构造直线画法给出二者直线交叉数的上界。
2025-01-09 cs.CG math.CO
On the 2-colored crossing number
设$D$是一个图的直线图。$D$的直线2-色交叉数是在$D$的边的所有可能的2-着色中，相同颜色的边之间的最小交叉数。首先，我们给出了完全图$K_n$的直线2-色交叉数的上下界。为了得到这个结果，我们证明了渐近界可以从最佳和近最佳的情况下，很少的顶点。我们获得这样的实例使用的组合的数学和整数规划。其次，对于$K_n$的任意固定图，我们改进了其直线2-色交叉数与直线交叉数之比的界。
2019-09-11 cs.CG math.CO
Approximating the rectilinear crossing number
图的直线图$G$是一种映射，它为平面中的每个顶点指定一个点，并为每个边指定一条连接相应两点的直线段。图$G$的直线交叉数，$\overline{cr}(G)$，是在$G$的任何直线图中交叉边的最小数目。确定或估计$\overline{cr}(G)$似乎是一个困难的问题，并决定$\overline{cr}(G)\leq k$是否已知是NP难的。事实上，$\overline{cr}(K_n)$的渐近行为仍然是未知的。在本文中，我们提出了一个确定性的$n^{2+o(1)}$ -时间算法，找到一个直线绘制的任何$n$ -顶点图$G$与$\overline{cr}(G) + o(n^4)$交叉边。结合Ajtai等人和Leighton的交叉引理，这个结果意味着对于任何稠密$n$ -顶点图$G$，可以有效地找到具有$(1 + o(1))\overline{cr}(G)$交叉边的$G$的直线图。
2016-09-07 cs.CG math.CO
A Note on the 2-Colored Rectilinear Crossing Number of Random Point Sets in the Unit Square
本文研究单位正方形中随机四点集的边着色交叉问题，证明同色交叉边概率为1/4，并给出随机绘制下使单色交叉数期望降至交叉总数1/2-7/50的着色方案。
2023-12-04 cs.CG math.CO
Tight Upper Bounds on the Crossing Number in a Minor-Closed Class
图的交叉数是指在平面上画出的图的最小交叉数。我们的主要结果是：每个不包含固定图作为子图的图$G$都有交叉数$O(Δn)$，其中$G$有$n$顶点和最大度$Δ$ .这种对$n$和$Δ$的依赖性是最可能的。这个结果回答了Wood和Telle [New York J. Mathematics，2007]的一个公开问题，他们证明了$O(Δ^2 n)$的最佳前界。研究了凸交叉数和直交叉数，证明了有界路宽图的凸交叉数的$O(Δn)$界和无$K_{3,3}$ -minor图的直交叉数的$\sum_v°(v)^2$界.
2018-07-31 cs.CG math.CO
Crossing Number for Graphs With Bounded Pathwidth
交叉数是将一个图画到平面上时两两交叉边的最小数目。只有很少的图类的确切交叉数是已知的，或至少存在常数近似比。此外，到目前为止，一般的交叉数计算从来没有成功地解决使用有界宽度的图分解，如树宽或路径宽度。本文首次证明了路宽为3的极大图的交叉数是易处理的（即使在线性时间内）。该技术还表明，交叉数和直线（a.k.a.直线）交叉数对于这个图形类是相同，我们只需要一个$O(n)\times O(n)$ -网格来实现这样的绘图。我们的技术可以进一步扩展到设计一个2-近似的一般图的路径宽度为3，和一个$4w^3$ -近似的最大图的路径宽度$w$。这是有界路宽图的常数近似。
2017-10-12 cs.CG
Crossing Minimization in Time Interval Storylines
故事情节可视化是一种随时间推移可视化角色及其交互的流行方式：角色被绘制为x单调曲线，交互通过垂直条带中的对应角色曲线的紧密接近来可视化。生成故事情节的现有方法假设交互的总顺序，尽管现实世界的数据通常不包含这样的总顺序。相反，多个相互作用通常被分组为更粗略的时间间隔，如年。我们利用这种分组属性，通过引入一个新的模型称为故事情节的时间间隔，并提出了两种方法，以尽量减少交叉点和水平空间的使用。然后，我们评估这些算法在一个小的基准集，以显示其有效性。
2023-02-28 cs.CG
Fixed parameter tractability of crossing minimization of almost-trees
我们调查确切的交叉最小化的图，不同于树的一个小数目的额外的边缘，交叉最小化问题的几个变种。特别是，我们提供了固定的参数易于处理的算法，1页的书交叉数，2页的书交叉数，和最小数量的交叉边缘在1页和2页的书图纸。
2013-08-27 cs.CG cs.DS
A Walk on the Wild Side: a Shape-First Methodology for Orthogonal Drawings
本文提出一种形状优先的正交绘图方法，通过SAT求解和边细分最小化弯折，实现DOMUS并在多数指标上优于OGDF的TSM方法。
2025-08-26 cs.CG
Crossing Minimization in Perturbed Drawings
由于数据压缩或低分辨率，图形绘制的附近顶点和边可以被捆绑到公共节点或弧。我们用一个分段线性映射$φ:G\rightarrow \mathbb{R}^2$来模拟这样一个“妥协”的绘图。我们希望通过一个任意小的$\varepsilon>0$来扰动$φ$，使其成为一个适当的绘图（其中顶点是不同的点，任何两条边相交于许多点，并且没有三条边有一个公共的内部点），使交叉的数量最小化。对于每个$\varepsilon>0$，$\varepsilon$ -扰动由具有$\|φ-ψ_\varepsilon\|<\varepsilon$的分段线性映射$ψ_\varepsilon:G\rightarrow \mathbb{R}^2$给出，其中$\|.\|$是一致范数（即，$\sup$标准）。当$G$是一个循环并且映射$φ$没有\emphh{spurs}（即，没有两个相邻的边被映射到重叠的弧）。我们还表明，该问题成为NP-完全（i）当$G$是一个任意的图和$φ$没有spurs，（ii）当$φ$可能有spurs和$G$是一个循环或不相交的路径的联合。
2018-08-23 cs.CG
Geometric Crossing-Minimization -- A Scalable Randomized Approach
我们考虑图$G=(V, E)$的几何绘图中边交叉的最小化，即，在每个边缘被描绘为线段的附图中。相应的决策问题是NP难的[Bienstock，'91]。与理论和拓扑设置相比，几何设置在实践中没有得到很多关注。先前的工作[Radermacher等人，ALENEX'18]仅限于具有少于$200$边的几何图中的交叉最小化。所描述的算法基于将单个顶点$v$移动到其交叉最小位置的原语操作，即，在$\mathbb{R}^2$中使$v$的边缘交叉数最小的位置。在本文中，我们介绍了一种技术，以加快计算的一个因素的$20$。这是必要的，但不足以应付几千边的图。为了处理更大的图，我们放弃了每个顶点$v$必须移动到其交叉最小位置的条件，并计算一个仅对边缘的一个小的随机子集最优的位置。在我们的理论贡献中，我们考虑包含每个边缘$uv \in E$和每个位置$p \in \mathbb{R}^2$的$v$ $o(|E|)$交叉的图纸。在这种情况下，我们证明，对于大小为$Θ(k \log k)$的边的随机子集，度$k$顶点$v$的共交叉数，即，不交叉的边缘对$uv \in E, e \in E$的数量可以用任意但固定的因子$δ$以高概率来近似。在我们的实验评估中，我们表明，随机化的方法减少了交叉的数量在图中与$13\,000$边缘相当。评估表明，根据度分布不同的策略，结果在最少的交叉点。
2019-07-02 cs.CG cs.DS
Bundled Crossings Revisited
减少具有（许多）交叉点的图形绘制中的混乱的有效方法是将平行行进的边分组到\emph{bundles}中。每个边可以参与许多这样的束。该捆绑图中的任何交叉发生在两个捆绑之间，即，作为\emph{bundled crossing}。我们考虑捆绑交叉最小化问题：给定一个图，目标是找到一个最多有$k$捆绑交叉的捆绑图。我们表明，当我们需要一个简单的绘图时，这个问题是NP-难的。我们的主要结果是FPT算法（在$k$），当我们需要一个简单的圆形布局。这些结果利用了捆绑交叉和图的亏格之间的联系。
2019-09-11 cs.CG
On the Maximum Crossing Number
关于交叉的研究通常是关于最小化的。在本文中，我们考虑\emph{maximizing}的所有可能的方式，以绘制一个给定的图在平面上的交叉数。Alpert等人[Electron.J.Combin.，2009]说明任何图形都具有\emph{convex}直线图，例如，顶点在凸位置的一种绘图，它使边缘交叉的数目最大化。我们反驳这一猜想，通过构建一个平面图上的12个顶点，允许非凸绘图与更多的交叉比任何凸的。Bald等人[Proc. COCOON，2016]表明，计算几何图的最大交叉数是NP-困难的，并且加权几何情况是NP-困难的。我们加强了这些结果，显示硬度的逼近，甚至为非加权几何的情况下，证明了非加权拓扑的情况下是NP-困难的。
2017-05-15 cs.CG
Revisiting ILP Models for Exact Crossing Minimization in Storyline Drawings
本文通过引入问题特定见解和新启发式方法增强整数线性规划模型，在更大更复杂的故事线绘制基准集上实现了比现有方法快2.6-3.2倍的精确交叉最小化求解。
2024-09-04 cs.CG cs.DS
Tight Parameterized (In)tractability of Layered Crossing Minimization: Subexponential Algorithms and Kernelization
本文解决2层交叉最小化的次指数参数化开放问题，给出首个次指数FPT算法，并扩展到3层，同时证明5层以上无次指数算法，且为3层设计多项式核，排除4层以上多项式核。
2025-10-15 cs.CG cs.DS
Extending Simple Drawings
简单的图形是指每对边最多共享一个点，或者是公共端点，或者是适当的交叉点。本文研究了图$G$的一个简单图$D(G)$的扩充问题，通过从$G$的补图中插入一组边到图$D(G)$中，使得其结果是一个简单图.在直线图的上下文中，这个问题是微不足道的。对于伪线性图，这样的扩张的存在性遵循列维放大引理。相反，我们证明了决定一组给定的边缘是否可以插入到一个简单的绘图是NP完全的。此外，我们表明，最大化版本的问题是APX硬。我们还提出了一个多项式时间算法，用于决定是否一个边缘$uv$可以插入到$D(G)$时，$\{u,v\}$是一个支配集的图$G$。
2019-08-24 cs.CG
The 2-page crossing number of $K_n$
大约在1958年，Hill描述了如何画出具有[Z（n）：=1/4 \lfloor \frac{n}{2} \rfloor \lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor \lfloor \frac{n-2}{2} % \rfloor \lfloor \frac{n-3}{2} \rfloor ]交叉的完全图$K_n$，并证明了$K_n$的交叉数$\crg (K_{n})$正好是Z（n）。这也被称为盖伊猜想，因为他后来推广了它。到本世纪末，发现了具有Z（n）交叉的$K_{n}$的基本不同的绘图。这些绘图是\emph{2-page book drawings}，即所有顶点都在$\ell$（脊柱）上的绘图，并且每个边缘都完全包含在$\ell$定义的两个半平面（页面）之一中。$K_{n} $的\emph{2-page crossing number}，用$ν_{2}(K_{n})$表示，是由$K_{n}% $的2页书籍绘图确定的最小交叉数。由于$\crg(K_{n}) \leν_{2}(K_{n})$和$ν_{2}(K_{n}) \le Z(n)$，希尔猜想的一个自然步骤是%（形式上）较弱的猜想$ν_{2}(K_{n}) = Z(n)$，由Vrt 'o推广。据我们所知，这个自然猜想是由Imrich Vrt 'o在2007年首次提出的。在本文之前，已知的$ν_2(K_n)$的结果…
2012-06-25 cs.CG math.CO
Minimizing Crossings in Constrained Two-Sided Circular Graph Layouts
圆形布局是一种流行的图形绘制样式，其中顶点放置在圆上，边绘制为直弦。圆形布局中的交叉最小化是\NP -困难的。在实践中，允许更少交叉的一种方法是双面布局，在圆的外部绘制一些边缘作为曲线。事实上，单面和双面圆形布局相当于单页和双页的书籍图纸，即，所有顶点都放在一条线（脊）上，边画在由脊限定的一个或两个不同的半平面（页面）上的图形布局。在本文中，我们研究的问题，最小化的交叉为一个固定的循环顶点的顺序，通过计算一个最佳的$k$ -平面集的外部绘制的边缘$k \ge 1$，以前研究的情况$k=0$。我们发现，这涉及到找到有界度最大重量诱导子图的圆图，这是一个图论问题的独立利益。我们证明了\NP -硬度为任意$k$，提出了一个有效的算法$k=1$，并推广到一个显式的\XP -时间算法为任何固定的$k$。对于实际上有趣的情况下$k=1$，我们实现了我们的算法，并提出实验结果，证实了我们的算法的适用性。
2018-03-15 cs.CG
Hypercube drawings with no long plane paths
Department of Applied Mathematics, Faculty of Mathematics and Physics, Charles University（应用数学系，数学物理学院，查理大学）；Computer Science Institute, Faculty of Mathematics and Physics, Charles University（计算机科学研究所，数学物理学院，查理大学）
本文研究了超立方体图的平面子结构，证明了其绘制中不存在长平面路径，并给出了相关结果的简短证明。
2026-03-04 cs.CG math.CO
Drawing Reeb Graphs
本文研究Reeb图的绘制复杂度，证明其交叉数最小化是NP难问题，同时给出路径型、毛虫型Reeb图的无交叉绘制方案及环型Reeb图的最小交叉最优绘制算法，为Reeb图可视化研究奠定基础。
2025-05-19 cs.CG
On $(\le k)$-edges, crossings, and halving lines of geometric drawings of $K_n$
设$P$是平面上一般位置的点的集合。用直线段连接$P$中的所有点对。在这样的图中，由$\crg(P)$表示的段交叉的数目是$P$的\emph{rectilinear crossing number}。$P$的\emph{halving line}是通过$P$的两个点的线，该线将$P$的其余点分成（几乎）两半。$P$的二等分线的数量由$h(P)$表示。类似地，$k$ \emph{-edge}，$0\leq k\leq n/2-1$，是一条穿过$P$的两个点并且在一侧恰好留下$P$的$k$点的线。$P$的$(\le k)$ -边的数目由$E_{\leq k}(P) $表示。令$\rcr(n)$、$h(n)$和$E_{\leq k}(n) $分别表示平面中一般位置上$n$点的所有集合$P$上的$\crg(P)$的最小值、$h(P)$的最大值和$E_{\leq k}(P) $的最小值。我们发现，以前最好的已知下界$E_{\leq k}(n)$是紧$k<\lceil (4n-2) /9\rceil $和改善它的所有$k\geq \lceil (4n-2) /9 \rceil $。这又将$\rcr(n)$的下限从$0.37968\binom{n} {4}+Θ(n^{3})$提高到{277/729} \binom{n}{4} +Θ（n^{3}）\geq 0.37997 \binom{n}{4} …
2011-03-16 cs.CG cs.DM math.CO
Using Reinforcement Learning to Optimize the Global and Local Crossing Number
Technical University of Munich, Heilbronn, Germany（慕尼黑技术大学（海因斯贝格））；John Cabot University, Rome, Italy（约翰·卡博特大学）；Technical University of Munich, Garching, Germany（慕尼黑技术大学（戈林根））
将图绘制视为单玩家优化游戏，利用强化学习通过移动顶点减少边交叉，提出一种优化全局或局部交叉数的策略，在局部交叉数最小化上具有竞争力。
2026-08-10 cs.CG cs.LG
Sublevels in arrangements and the spherical arc crossing number of complete graphs
本文引入推广g-向量的g-矩阵，证明R^3中向量配置的g-矩阵非负，从而解决d=n-4情形的Eckhoff–Linhart–Welzl猜想，并由此证明完全图球面弧绘制的交叉数下界达到其猜想值。
2025-04-10 cs.CG math.CO
Crossing-Optimal Extension of Simple Drawings
在部分图绘图的扩展问题中，给出了输入图$G$的不完整绘图，并要求在保持某些属性的情况下完成绘图。出现这种问题的一个突出领域是交叉最小化。对于平面图和各种放宽这些，有一些易处理性以及下限的结果，探索交叉敏感的绘图扩展问题的计算复杂性。相比之下，相对较少的结果是已知的基本和广泛的一类简单的图纸，即图纸中的每对边缘相交在最多一个点的扩展问题。事实上，直到最近，它已被证明，简单的图纸延伸问题是NP-难的，即使任务是插入一个单一的边缘。在本文中，我们提出了简单的图纸交叉敏感的延伸问题的易处理的结果。特别是，我们表明，插入到一个简单的绘图的边缘的问题是固定参数的参数化时，易于处理的边缘插入和上界新创建的交叉点的数量。使用相同的证明技术，我们也能够回答这个问题的几个密切相关的变种，其中包括$k$ -平面图纸的扩展问题。此外，使用不同的方法，我们提供了一个单指数固定参数算法的情况下，我们只是试图插入一个单一的边缘到绘图。
2020-12-14 cs.CG cs.DS
Edge Routing with Ordered Bundles
边捆绑通过将边合并成束来减少图形绘制中的视觉混乱。我们提出了一种边捆绑的方法，分别绘制一个束的每一个边缘的地铁地图，并呼吁我们的方法有序束。为了产生美观的边缘路由，它最小化边缘上的成本函数。成本函数取决于绘制边缘所需的墨水、边缘长度、宽度和分离。通过使用受约束的德洛内三角剖分，该成本还惩罚通过窄通道的太多边。该方法避免了不必要的边-节点和边-边交叉。为了绘制具有最小数量的交叉点的边缘，并分别在同一束中，我们开发了一种有效的算法，解决了地铁线路交叉点最小化问题的一个变体。一般来说，该方法创建清晰和平滑的边缘路线，给出全局图结构的概述，同时仍然单独绘制每个边缘，从而实现局部分析。
2012-09-19 cs.CG cs.DS
Recognizing 2-Layer and Outer $k$-Planar Graphs
Hokkaido University（北海道大学）；Nagoya University（名古屋大学）；Universität Würzburg（维尔茨堡大学）
本文研究2层k-平面图和外部k-平面图的识别问题，提出XP算法并证明其XNLP难性，同时在单层顶点顺序给定情形下给出FPT算法。
2026-10-19 cs.CC cs.CG cs.DS
Study of Neural Network Algorithm for Straight-Line Drawings of Planar Graphs
图形绘制解决了找到满足给定美学和可理解性目标的图形布局的问题。图形绘制中最重要的目标是使图形中的交叉点的数量最小化，因为图形绘制的美观性和可读性取决于边缘交叉点的数量。具有较少交叉的VLSI布局更容易实现，因此更便宜。一个n阶平面图G的直线图是G的一个图，使得每一条边都被画成一条没有边交叉的直线段。然而，能够为大范围的图产生令人满意的结果的当前图布局方法的问题在于，它们经常对计算资源提出极高的要求。本文介绍了一种新的布局方法，该方法可以很好地绘制平面图的内凸图形，而且不需要任何繁重的预处理，只消耗很少的计算资源。在这里，我们使用两种方法：第一种方法是无监督神经网络的自组织映射（SOM），第二种方法是逆自组织映射（ISOM）。
2014-01-21 cs.CG cs.NE
Re-embedding a 1-Plane Graph into a Straight-line Drawing in Linear Time
图的1-平面嵌入是图的1-平面嵌入的一个重要特征，它是图的1-平面嵌入，当且仅当图的1-平面嵌入不包含图的1-平面嵌入[C.图的直线图，J.图论，10（3），335-341，1988]。本文将某些1-平面嵌入刻画为禁止配置，使得一个图的1-平面嵌入可以重嵌入到同一图的一个直线可画1-平面嵌入中当且仅当它不包含该配置. 1-平面嵌入的重新嵌入保留相同的交叉边对集合。我们给出了一个线性时间算法来寻找一个直线可画的1-平面重嵌入或禁用配置。
2016-09-02 cs.CG cs.DS
Visualizing Co-Phylogenetic Reconciliations
我们引入了一个混合隐喻的可视化协调的共同系统发育树，这是两棵树的节点之间的映射。典型的应用是生物学中宿主和寄生虫的共同进化的可视化。我们的策略结合了空间填充和节点链接的方法。与传统方法不同的是，只要调和是时间一致的（即，有意义）。我们解决的问题，最小化的代表性的交叉点的数量，通过给平面实例的表征，并通过建立问题的复杂性。最后，我们提出了计算表示与几个交叉点。
2017-08-31 cs.CG cs.DM cs.DS
Visualizing Treewidth
University of California, Irvine（加州大学尔湾分校）；TU Wien（维也纳工业大学）
该研究提出多种见证绘图范式，实现可视化原型并探索绘制风格，经专家评估可清晰展示图的有界树宽或路宽。
2026-09-01 cs.CG cs.DS
Experimental Evaluation of Book Drawing Algorithms
图$G=(V,E)$的$k$ -页书绘图由其顶点沿脊的线性排序和每个边到$k$页之一的分配组成，所述页是由脊限定的半平面。在书本绘图中，当且仅当两条边指定给同一页且它们的顶点沿书脊交替时，它们才相交。在$k$页面的书籍绘图中，交叉最小化是NP难的，但是书籍绘图在可视化和其他方面有多种应用。因此，存在几种启发式书籍绘制算法，但没有更广泛的比较研究，他们的相对性能。在本文中，我们提出了一个全面的基准集具有挑战性的图形类的书籍绘制算法，并提供了一个广泛的实验研究现有的书籍绘制算法的性能。
2017-08-30 cs.CG cs.DM cs.DS
Drawn Tree Decomposition: New Approach for Graph Drawing Problems
针对图绘制领域标准参数常导致难解、缺乏通用参数化算法设计方法的问题，本研究提出新型绘制树分解及对应参数，可推导XP时间算法，应用于多个核心图绘制问题，还可得到次指数算法并明确了与其他宽度度量的关系。
2023-10-09 cs.CG cs.DS
