Planar graphs without 4-cycles and close triangles are (2,0,0)-colorable
对于一组非负整数$c_1, \ldots, c_k$，图$G$的一个$(c_1, c_2,\ldots, c_k)$ -染色是将$V(G)$划分为$V_1, \ldots, V_k$，使得对于每个$i$，$1\le i\le k, G[V_i]$的最大度至多为$c_i$ .证明了所有不含4-圈且三角形间边不少于两条的可平面图都是$(2,0,0)$ -可着色的.
2018-06-20 math.CO
Every planar graph without $i$-cycles adjacent simultaneously to $j$-cycles and $k$-cycles is DP-$4$-colorable when $\{i,j,k\}=\{3,4,5\}$
DP-染色是简单图列表染色的推广。列表着色中的许多结果可以推广到DP-着色中。Kim和Ozeki证明了没有$k$-圈的平面图，其中$k=3,4,5,$或$6$是DP-$4$-可着色的.最近，Kim和Yu推广了关于$3$-圈和$4$-圈的结果，证明了没有三角形邻接$4$-圈的平面图是DP-$4$-可着色的。Xu和Wu证明了不存在同时与$3$-圈和$4$-圈相邻的$5$-圈的平面图是$4$-可选的.本文推广了关于$5$-圈和与$4$-圈相邻的三角形的结果，证明了当$\{i,j,k\}=\{3,4,5\}.$时，没有$i$-圈同时与$j$-圈和$k$-圈相邻的平面图是DP-$4$-可染的.这也推广了徐和吴的结果.
2018-01-31 math.CO
On uniquely 3-colorable plane graphs without prescribed adjacent faces
一个图$G$是\emph{uniquely k-colorable}，如果$G$的色数是$k$，并且$G$只有一个$k$ -染色直到颜色的置换.对于平面图$G$，如果$d(f_1)=i$，$d(f_2)=j$和$f_1$和$f_2$有公共边，则$G$的两个面$f_1$和$f_2$是\emph{adjacent $(i,j)$-faces}，其中$d(f)$是面$f$的次数。本文证明了每一个唯一3-可染平面图都有相邻的$(3,k)$ -面，其中$k\leq 5$。$k$的边界5是最好的。进一步证明了存在一类唯一3-可着色的平面图，其中$i,j\in \{3,4,5\}$和$i \neq j$既不具有相邻的$(3,i)$-面，也不具有相邻的$(3,j)$ -面.我们的一个构造意味着存在一个无限族的边临界的唯一3-可着色的平面图，其中$n(\geq 11)$是奇数且$n\equiv 2\pmod{3}$具有$n$顶点和$\frac{7}{3}n-\frac{14}{3}$边.
2015-09-10 math.CO
An improved upper bound for Tuza's conjecture via 2-colorable triangle families
本文针对Tuza猜想，通过研究二染色三角形族的关键性质，将其上界从66/22 ν(G)改进为63/22 ν(G)。
2026-08-25 math.CO
Every toroidal graphs without adjacent triangles is odd 8-colorable
奇染色是一种带有附加限制的真染色，即每个非孤立顶点都有某种颜色在其邻域中出现奇数次。可以确保图$G$的奇着色的最小颜色数$k$由$χ_o(G)$表示。如果$χ_o(G)\le k$是奇数，我们说$G$是奇数$k$ -可着色的。这个概念最近由Petruševski和Škrekovski引入，他们证明了如果$G$是平面的，那么$ χ_{o}(G) \leq 9 $。环形图是可以嵌入到环面上的图。请注意，$K_7$是一个环形图，$χ_{o}(G)\leq7$。Tian和Yin证明了每个环形图都是奇$9$ -可染的，每个不含$3$ -圈的环形图都是奇$9$ -可染的.本文证明了不含相邻$3$ -圈的环形图是奇$8$ -可染的.
2022-06-15 math.CO
DP-3-coloring of planar graphs without certain cycles
DP-着色是列表着色的一种推广，它是由Dvotelák和Postle [J. Combin.理论系列B 129（2018）38- 54]。张[通知。过程Lett. 113（9）（2013）354- 356]证明了每个既不含相邻三角形也不含5-、6-、9-圈的可平面图是3-可选的。Liu等人[Discrete Math.342（2019）178--189]证明了每个不含4-、5-、6-和9-圈的可平面图都是DP-3-可着色的。本文证明了任何既不含邻接三角形也不含5-圈、6-圈、9-圈的可平面图都是DP-3-可着色的，推广了这些结果。Yu等人给出了三个Bordeaux型结果，证明了：（i）三角形距离至少为3且不含4-、5-圈的可平面图是DP-3-可着色的，（ii）三角形距离至少为2且不含4-、5-、6-圈的可平面图是DP-3-可着色的;（iii）三角形距离至少为2且不含5-圈、6-圈、7-圈的可平面图是DP-3-可着色的.在最后一节中我们还给出了两个Bordeaux型结果：（i）任何既不含5-、6-、8-圈也不含距离小于2的三角形的平面图是DP-3-可着色的;（ii）任何既不含4-、5-、7-圈也不含距离小于2的三角形的平面图是DP-3-可着色的。
2021-03-22 math.CO
Planar graphs without cycles of lengths 4 and 5 and close triangles are DP-3-colorable
Montassier，Raspaud，and Wang（2006）要求找到最小的正整数$d_0$和$d_1$，使得没有$\{4,5\}$ -圈和$d^Δ\ge d_0$的可平面图是$3$ -可选的，没有$\{4,5,6\}$ -圈和$d^Δ\ge d_1$的可平面图是$3$ -可选的，其中$d^Δ$是三角形之间的最小距离。结果显示，$2\le d_0\le 4$和$d_1\le 3$ .本文证明了下列可平面图是DP-3-可着色的：（1）不含$\{4,5\}$ -圈和$d^Δ\ge 3$的可平面图是DP- $3$ -可着色的;（2）不含$\{4,5,6\}$ -圈和$d^Δ\ge 2$的可平面图是DP- $3$ -可着色的. DP-着色是列表着色的推广，因此作为推论，$d_0\le 3$和$d_1\le 2$。实际上，我们证明了更强的声明，每个预着色的一些圈可以扩展到整个图。
2018-09-04 math.CO
Every toroidal graph without triangles adjacent to $5$-cycles is DP-$4$-colorable
DP-着色，也称为对应着色，是由Dvo{zhi}{á}k和Postle引入的。它是列表着色的一个推广。本文证明了，除非是具有欧拉示性数$ε(G) = 0$的2-连通$4$ -正则图，否则每个与$5$ -圈相邻的不含三角形的连通环面图的最小度至多为3.因此，任何不含与$5$ -圈相邻的三角形的环形图都是DP- $4$ -可着色的。最后证明了不含两个确定子图的可平面图是DP- $4$ -可着色的。作为直接结果，（i）每个没有$3$ -圈邻近$4$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的;（ii）每个没有$3$ -圈邻近$5$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的;（iii）每个没有$4$ -圈邻近$5$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的.
2019-08-14 cs.DM math.CO
Characterization of 4-critical triangle-free toroidal graphs
我们给出了一个精确的表征的3-着色的三角形自由图画在环面中，在186个“模板”（图与某些面填充任意四边形）的形式，使这一类的图是不是3-着色的当且仅当它包含一个子图匹配的模板之一。因此，我们证明了每一个边宽度至少为6的环面上的无三角形图都是3-可着色的，这是一个用于无三角形环面图的有效3-可着色算法的关键属性。
2020-09-02 math.CO
Three coloring via triangle counting
在Steinberg的三着色猜想的第一个部分结果中，Abbott和Zhou使用计数论证证明了每个不具有长度为4到11的圈的可平面图是3-可着色的。在他们的证明中隐含了一个关于平面图的事实：在任何最小度为3的平面图中，如果没有两个三角形共享一条边，那么三角形构成的面严格小于小于2/3。我们证明了这个结果，结合Kostochka和Yancey的解决方案的矿石猜想k = 4，意味着每个可平面图没有周期的长度4至8是3-着色。
2022-09-10 math.CO
On triangles in K_r-minor free graphs
本文研究了与小度顶点（分别为7和9）相邻的每条边属于多个三角形（分别为4和5）的图，并证明了这些图包含一个完全图（分别为K_6和K_7）作为子图。第二个案例解决了Nevo问题（Nevo，2007）。如果图的每条边都属于6个三角形，则该图含有一个K_8-子图或含有K_{2,2,2,2,2}作为诱导子图.然后，我们展示了这些结构性质的应用程序，以应力自由度和着色的图形。特别地，在Hadwiger猜想的启发下，我们证明了每个K_7-子自由图是8-可着色的，每个K_8-子自由图是10-可着色的。
2013-04-19 math.CO
Planar graphs without cycles of length 4 or 5 are (11:3)-colorable
一个图G是（a：b）-可着色的，如果存在{1，.，a}映射到G的顶点，使得分配给邻顶点的集合是不相交的。我们证明了每个不含长度为4或5的圈的可平面图都是（11：3）-可着色的，这是对最近被否定的Steinberg猜想的一个削弱.特别地，每个具有n个顶点的这样的图具有大小至少为3 n/11的独立集。
2019-07-14 math.CO
Tree-colorable maximal planar graphs
极大可平面图的树染色是一个真点$4$ -染色，使得由此染色导出的每个双色子图都是树.一个极大可平面图$G$是树可着色的，如果$G$有树可着色.本文证明了树可着色极大可平面图$G$至少含有四个奇顶点，且其$δ(G)\geq 4$是可着色极大平面图.此外，对于一个最小度为4的树可着色的最大可平面图，如果它恰好包含四个奇顶点，我们证明了由它的四个奇顶点导出的子图不是爪，并且不包含三角形。
2014-03-20 math.CO
Planar graphs without 7-cycles and butterflies are DP-4-colorable
DP-着色（也称为对应着色）是列表着色的一种推广，由Dvopelák和Postle在2017年引入。众所周知，存在不可4选的可平面图。可平面图是DP- $4$ -可着色的充分条件是近年来研究的热点.特别地，对于每个$k \in \{3, 4, 5, 6\}$，每个没有$k$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的。本文证明了不含$7$ -圈和蝴蝶的可平面图是DP- $4$ -可着色的.我们的证明可以很容易地修改，以证明其他充分条件，禁止集群形成的许多三角形。
2019-11-04 math.CO
Improper coloring of graphs on surfaces
一个图$G$是$(d_1,\ldots,d_k)$ -可着色的，如果它的顶点集可以划分成$k$集$V_1,\ldots,V_k$，使得对于每个$i\in\{1, \ldots, k\}$，由$V_i$诱导的$G$的子图在至多$d_i$处具有最大度.四色定理指出每个平面图都是$(0,0,0,0)$ -可着色的，Cowen，Cowen，和Woodall的一个经典结果表明每个平面图都是$(2,2,2)$ -可着色的.在本文中，我们将这两个结果推广到曲面上的图。也就是说，我们证明了每一个可嵌入到欧拉亏格$g>0$的曲面上的图都是$(0,0,0,9g-4)$ -可着色的和$(2,2,9g-4)$ -可着色的。此外，这些图也是$(0,0,O(\sqrt{g}),O(\sqrt{g}))$ -可着色的和$(2,O(\sqrt{g}),O(\sqrt{g}))$ -可着色的。我们还证明了每一个可嵌入到Euler亏格$g$曲面上的无三角形图都是$(0, 0, O(g))$ -可着色的。这是Grötzsch定理的一个扩展，该定理指出无三角形平面图是$(0, 0, 0)$ -可着色的。最后证明了任意围长至少为7的可嵌入到Euler亏格$g$曲面上的图都是$(0,O(\sqrt{g}))$ -可着色的.所有这些结果在几个方面都是最好的，因为围长条件是尖锐的，恒定的最大程度不能得到改善，并且取决于$g$的最…
2018-10-29 math.CO
On triangle-free graphs that do not contain a subdivision of the complete graph on four vertices as an induced subgraph
本文证明了一类不包含四点完全图的一个剖分作为诱导子图的无三角形图的分解定理。我们证明了这类图中围长至少为~5的图都是3-可着色的。
2014-07-25 math.CO
A relaxation of the Bordeaux Conjecture
$G$的$(c_1,c_2,...,c_k)$ -着色是一个映射$φ:V(G)\mapsto\{1,2,...,k\}$，使得对于每个$i,1 \leq i \leq k$，$G[V_i]$的最大度至多为$c_i$，其中$G[V_i]$表示由着色$i$的顶点所诱导的子图. Borodin和Raspaud猜想：任何不含相交三角形和$5$ -圈的可平面图都是$3$ -可着色的.本文证明了任何不含相交三角形和$5$ -圈的可平面图都是（2，0，0）-可着色的.
2015-04-06 math.CO
Tiling tripartite graphs with 3-colorable graphs
设G是一个三部图，每个顶点类中有N个顶点，N可被6 h整除，且每个顶点至少与其它顶点类中的2N/3+h-1个顶点相邻.证明了如果N足够大，则G可以完全被K_{h,h,h}的拷贝拼接.这推广了文[19]中的工作，也给出了任意（固定）3-可着色图可平铺的一个充分条件.此外，我们表明，这种最小程度的条件是最好的可能性，并提供了非常严格的界限时，N是由h整除，但不是由6 h。
2016-05-21 math.CO
Short proofs of coloring theorems on planar graphs
Kostochka和Yancey最近给出了k-临界n-顶点图的边数的下界，给出了著名的Grötzsch定理的半页证明，即每个平面无三角形图都是3-可着色的.本文利用同样的界给出了可平面图3-染色的其它已知定理的简短证明，其中包括Grünbaum-Aksenov定理：每个至多有三个三角形的平面图都是3-染色的。证明了无三角形可平面图通过添加次数不超过4的顶点而得到的图是3-可着色的。
2012-11-16 cs.DM math.CO
Fractional coloring of planar graphs of girth five
一个图G是（a：b）-可着色的，如果存在{1，.，a}映射到G的顶点，使得分配给邻顶点的集合是不相交的。我们首先证明了对任意无三角形的可平面图G和G的顶点x，图G有一个集合被{1，.，6}使得|phi（v）|对于G的每个顶点v>=2，并且|phi（x）|=3。作为推论，每个n个顶点的无三角形的可平面图都是（6 n：2n+1）-可着色的。利用这个结果，我们进一步证明了：对于每个Delta，存在一个常数M_Delta使得每个围长至少为5且度最大的可平面图G是（6 M_Delta：2 M_Delta +1）-可着色的.因此，围长至少为5且最大度Delta有界的可平面图的分数色数至多为3-3/（2M_Delta+1）。
2018-09-14 math.CO
The square of the 9-hypercube is 14-colorable
由$Q_n$表示的$n$ -超立方体对于长度为$n$的每个比特串具有顶点，其中两个顶点在它们的汉明距离为1时相邻。用$χ_{\bar{k}}(n)$表示对$Q_n$着色以使得在至多$k$的距离处没有两个顶点接收相同颜色所需的最小颜色数目。等价地，$χ_{\bar{k}}(n)$表示划分$n$维汉明空间所需的具有至少$k+1$的最小距离的二进制码的最小数目。使用计算机搜索，我们改进后，已知的上界$n=9$显示，$13 \leq χ_{\bar{2}}(9) \leq 14$。
2016-05-24 math.CO
On a Sufficient Condition for Planar Graphs of Maximum Degree 6 to be Totally 7-Colorable
图的全$k$ -染色是将$k$颜色分配给图的顶点和边，使得没有两个相邻或关联的元素接收相同的颜色。全染色猜想（TCC）指出，每个简单图$G$都有全（$Δ(G)+2$）-染色，其中$Δ(G)$是$G$的最大度.这一猜想已被最大度至少为7或至多为5的可平面图所证实，即，TCC的唯一开放情况是最大度数6。已知$Δ(G) \geq 9$或$Δ(G) \in \{7, 8\}$的任意平面图$G$都有全$(Δ(G) + 1)$ -染色.特别地，在[Shen and Wang，“On the 7 total colorability of可平面图with maximum degree 6 and without 4-cycles”，Graphs and Combinatorics，25：401-407，2009]中，作者证明了每个最大度为6且不含4-cycles的平面图具有全7-染色。本文改进了这一结果，证明了最大度为6的无钻石无房子平面图是完全7-可染的，如果对某些$\{p,q,\ell\}\in \{\{3,4,4\},\{3,3,4\}\}$，每个6-顶点不与两个相邻的4-圈关联或不与3个$p,q,\ell$圈关联.
2018-12-01 math.CO
Decomposition of triangle-free planar graphs
图$G$的分解是$G$的一族子图，其边集形成$E(G)$的一个划分。本文证明了每一个无三角形可平面图$G$都可以分解为一个$2$ -退化图和一个匹配。因此，每个无三角形可平面图$G$都有一个匹配的$M$，使得$G-M$是在线3-DP可着色的。这加强了[R.Škrekovski，{ \em A Grötzsch-Type Theorem for List Colorings with Impropriety One}，Combin.概率计算8（1999），493-507]证明了每个无三角形可平面图都是$1$ -亏$3$ -可选的。
2022-12-14 math.CO
Some concepts in list coloring
本文研究了唯一列表可着色图.一个图G被称为是唯一k-列表可着色的，如果它允许一个k-列表分配，从该分配G有一个唯一的列表着色。G不是唯一k-列表可染的最小k称为G的M-数。本文证明了任何无三角形且色数为色数k+1的图都是唯一k-列表可染的。给出了图的M-数的一个界，并利用这个界证明了每个可平面图的M-数至多为4。在图中引入了列表临界性，刻画了所有3-列表临界图.证明了每个$χ_\ell$ -临界图都是$χ'$ -临界图，并证明了这个猜想与著名的列表着色猜想是等价的.
2008-01-02 math.CO
Maximal $k$-Edge-Colorable Subgraphs, Vizing's Theorem, and Tuza's Conjecture
证明了：如果$M$是重图$G$的极大$k$ -边可着色子图，且如果$F = \{v \in V(G) : d_M(v) \leq k-μ(v)\}$，则对所有$v \in F$，有$d_F(v) \leq d_M(v)$. (When $G$是一个单图，集合$F$只是$M$中度小于$k$的顶点的集合。）这意味着Vizing定理以及图扎猜想的一个特殊情况下包装和覆盖的三角形。我们的结果的一个更详细的版本也意味着Vizing的邻接引理的单图。
2017-03-06 math.CO
Note on 3-Choosability of Planar Graphs with Maximum Degree 4
判定一个可平面图（即使是最大度的图$4$）是否是$3$ -可着色的是NP-完全的。确定平面图的子类是$3$ -可着色的有很长的历史，但自从Grötzsch的结果，三角形自由可平面图是这样的，大部分的努力集中在解决哈维尔和斯坦伯格的图。本文证明了作为任意二部平面图的中间图的子图得到的最大度平面图$4$是$3$ -可选的.这些图允许有闭合的三角形（甚至是关联的），并且没有禁止的短圈，因此代表了与上述图推断的完全不同的一类图。
2019-06-16 math.CO
A $q$-enumeration of lozenge tilings of a hexagon with four adjacent triangles removed from the boundary
MacMahon证明了一个简单的产品公式的生成函数的平面分区适合在一个给定的盒子。该定理蕴涵了三角格上半正六边形菱形镶嵌的$q$ -计数。本文用$q$ -枚举一类新的六边形族的菱形镶嵌推广了MacMahon的经典定理，其中菱形镶嵌的四个相邻三角形从它们的边界移去.
2017-04-10 math.CO
Tiling tripartite graphs with 3-colorable graphs: The extreme case
存在一个足够大的$N\in h\mathbb{N}$，使得以下成立。如果$G$是一个三部图，每个顶点类中有$N$顶点，使得每个顶点至少与其他每个类中的$2N/3+2h-1$顶点相邻，则$G$可以完全由$K_{h,h,h}$的副本平铺。这扩展了两位作者的工作[Electron. J. Combin，16（1），2009]，并且还给出了任何固定3-可着色图进行平铺的充分条件。此外，我们证明了在我们的结果中$2N/3+2h-1$不能被$2N/3+ h-2$代替，并且如果$N$可被$6h$整除，那么我们可以用值$2N/3+h-1$代替它，这是紧的.
2018-08-10 math.CO
A sufficient condition for planar graphs with maximum degree eight to be totally 9-colorable
针对最大度为8的平面图的全着色问题，证明了不含4-扇子图的此类图全色数为9，给出了平面图全9-可着色的一个充分条件。
2025-09-04 math.CO
Do triangle-free planar graphs have exponentially many 3-colorings?
证明了无三角形的可平面图具有指数数量的$3$ -染色。我们证明了这个猜想等价于下面的陈述：存在正实数$α$使得当$G$是可平面图且$A$是其边的子集且其删除使得$G$是无三角形的时，存在$A$的子集$A'$，其大小至少为$α|A|$使得$G-(A\setminus A')$是$3$ -可着色的.这种等价性使我们能够研究限制性的情况，在那里我们可以证明这个陈述是真的。
2017-09-19 math.CO
Three-coloring graphs with no induced seven-vertex path I : the triangle-free case
本文给出了一个多项式时间算法，它判定一个给定的无三角形且无导出七点路的图是否是3-可着色的，如果存在，则给出一个显式染色。
2014-09-17 cs.DM math.CO
Multiple DP-coloring of planar graphs without 3-cycles and normally adjacent 4-cycles
图的DP-染色的概念是Dvoprák和Postle在2015年引入的列表染色的推广。图的多重DP染色是多重列表染色的推广，由Bernshteyn，Kostochka和Zhu在2019年首次研究。本文证明了不含3-圈且正常邻接4-圈的可平面图对每个整数$m$是$(7m, 2m)$ -DP-可着色的.因此，任何不含3-圈且通常相邻4-圈的可平面图的强分数选择数至多为$7/2$。
2022-01-28 math.CO
Haggkvist-Hell Graphs: A class of Kneser-colorable graphs
对于正整数n和r，我们定义Haggkvist-Hell图H_{n:r}为顶点为有序对（h，T）的图，其中T是[n]的r-子集，h是[n]中不在T中的元素。顶点（h_x，T_x）和（h_y，T_y）相邻当且仅当h_x \in T_y，h_y \in T_x，且T_x和T_y不相交.这些无三角形弧传递图是Kneser图思想的推广，并且从Haggkvist-Hell图H_{n:r}到相应的Kneser图K_{n:r}存在一个自然同态. Haggkvist和Hell介绍了这些图的r=3的情况，证明了一个三次图允许同态到H_{22:3}当且仅当它是无三角形的。Gallucio、Hell和Nesetril也考虑了r=3的情况，证明了H_{n:3}可以有任意大的色数。本文给出了所有Haggkvist-Hell图的直径、围长和奇围长的精确值，并给出了独立性、色数和分数色数的界.进一步，我们将Gallucio等人的结果推广到任意固定的r-\ge 2，并确定了H_{n:r}的全自同构群，它同构于n元上的对称群.
2011-10-07 math.CO
Planar graphs with $Δ\geq 7$ and no triangle adjacent to a $C_4$ are minimally edge and total choosable
对于平面图，我们考虑\emph{list edge coloring}和\emph{list total coloring}问题。边着色是边着色的问题，同时确保相邻的两个边接收不同的颜色。全着色是边和顶点着色的问题，同时确保两个相邻的边，两个相邻的顶点，或一个顶点和一个边是入射接收不同的颜色。在它们的列表扩展中，每个顶点或边都被分配了一组颜色，并且必须从它着色。一个图是极小边或全可选择的，如果它分别是列表边$Δ$ -可着色的或列表全$(Δ+1)$ -可着色的，其中$Δ$是图中的最大度。已知具有$Δ\geq 8$且没有与$C_4$相邻的三角形的平面图是极小边和全可选择的（Li Xu 2011），并且具有$Δ\geq 7$且没有与$C_4$共享顶点的三角形或没有与$C_k$（$\forall 3 \leq k \leq 6$）相邻的三角形的平面图是极小全可着色的（Wang Wu 2011）。我们在这里加强这些结果，并证明了平面图与$Δ\geq 7$和没有三角形相邻的一个$C_4$是最小边和总可选。
2014-05-14 cs.DM math.CO
$(2,4)$-Colorability of Planar Graphs Excluding $3$-, $4$-, and $6$-Cycles
针对不含3-、4-、6-环的平面图的缺陷2-着色问题，本文在已有研究证明其为$(0,6)$-可着色和$(3,3)$-可着色的基础上，进一步证明这类图也具有$(2,4)$-可着色性。
2025-01-13 math.CO
Planar 4-critical graphs with four triangles
根据Grunbaum-Aksenov定理（Grotzsch定理的推广），任何至多含有三个三角形的可平面图都是3-可着色的.然而，存在无穷多个恰好具有四个三角形的平面4-临界图。我们描述所有这样的图。这回答了鄂尔多斯1990年以来的一个问题。
2013-06-06 cs.DM math.CO
Planar Graphs with Ore-degree at Most seven is strongly $13$-edge-colorable
本文证明Ore度至多7的平面图强色指数不超过13，解决Chen等人的猜想，采用放电法与组合零点定理。
2025-09-08 math.CO
Edge Coloring of Triangle-Free 1-Planar Graphs
本文证明了具有最大度$Δ\geq7$的无三角1-可平面图都可以用放电法进行$Δ$ -染色.
2010-12-29 cs.DM math.CO
Algebraic Characterization of Uniquely Vertex Colorable Graphs
从代数的角度研究图的顶点可着色性为该领域引入了新的技术和算法。例如，已知图$G$的$k$ -可着色性等价于对于某个理想$I_{G,k} \subseteq \k[x_1, ..., x_n]$的条件$1 \in I_{G,k}$。在本文中，我们通过证明$I_{G,k}$的一般分解定理来扩展这个结果。这个定理使我们能够给出唯一$k$ -可着色图的代数刻画。我们的研究结果也给出了测试独特的可着色性的算法。作为应用，我们证明了徐文关于不含三角形的唯一3-可着色图的一个猜想的一个反例。
2007-09-24 math.AC math.CO
Every graph with no $\mathcal{K}_8^{-4}$ minor is $7$-colorable
Hadwiger猜想在1943年提出，任何没有$K_{t}$子图的图都是$(t-1)$ -可着色的;它对所有的$t\ge 7$都是开放的。对于正整数$t$和$s$，令$\mathcal{K}_t^{-s}$表示从完全图$K_t$去除$s$边得到的图族。我们说一个图$G$没有$\mathcal{K}_t^{-s}$子图，如果它对每个$H\in \mathcal{K}_t^{-s}$都没有$H$子图。Jakobsen在1971年证明了没有$\mathcal{K}_7^{-2}$子图的图是$6$ -可着色的。在本文中，我们考虑下一步，并证明了每一个没有$\mathcal{K}_8^{-4}$子图是$7$ -着色。我们的结果意味着Paul Seymour在2017年提出的$H$ -Hadwiger猜想对于每个八个顶点的图$H$都成立，使得$H$的补最大度至少为四、完美匹配、三角形和长度为四的循环。我们的证明利用本文中得到的$\mathcal{K}_8^{-4}$未成年人的极值函数，Rolek和第二作者的压缩临界图的广义Kempe链，以及Kawarabayashi和Toft从三个不同的$K_5$子图中找到$K_7$未成年人的方法;该方法首先由Robertson，Seymour和Thomas在1993年开发，以证明$t=6$的Hadwiger猜想。
2022-08-22 math.CO
L-factors and adjacent vertex-distinguishing edge-weighting
图G的边权问题是指给每条边e赋予一个整数权。基于边加权问题，提出了几类顶点着色问题。通过简单的观察说明边权问题与图的特殊因子有着密切的关系。本文得到了关于具有预定度因子存在性的几个结果，推广了文[2，3]中的结果。利用这些结果，我们研究了边加权问题。特别地，我们证明了每一个4-可着色图允许一个顶点着色4-边加权。
2010-07-08 math.CO
A relaxation of the strong Bordeaux Conjecture
令$c_1, c_2, \cdots, c_k$为$k$非负整数.一个图$G$是$(c_1, c_2, \cdots, c_k)$ -可着色的，如果它的顶点集可以划分成$k$集$V_1,V_2, \ldots, V_k$，使得由$V_i$导出的子图$G[V_i]$对于$i=1, 2, \ldots, k$具有最大度至多$c_i$.设$\mathcal{F}$表示既不含相邻3-圈也不含$5$ -圈的平面图族. Borodin和Raspaud（2003）证明了$\mathcal{F}$中的每个图都是$(0,0,0)$ -可着色的。本文证明了$\mathcal{F}$中的每个图都是$(1, 1, 0)$ -可着色的，改进了Xu（2009）和Liu-Li-Yu（2014+）的结果.
2015-08-31 math.CO
3-colorable planar graphs have an intersection segment representation using 3 slopes
LIRMM, Université de Montpellier, CNRS（蒙彼利埃大学，法国国家科学研究中心）
本文证明了3色可图的平面图可以使用3种斜率的线段表示，解决了Scheinerman关于平面图交集图的猜想。
2025-11-25 cs.DM math.CO
Graphs with maximum degree D at least 17 and maximum average degree less than 3 are list 2-distance (D+2)-colorable
对于最大平均度有界的图，我们考虑2-距离染色问题。这是一个对顶点进行着色的问题，同时确保相邻或有共同邻居的两个顶点接收不同的颜色。已知围长至少为6且最大度为D的平面图当D>=24时是列表2-距离（D+2）-可着色的（Borodin and Ivanova（2009）），当D>=18时是列表2-距离（D+2）-可着色的（Borodin and Ivanova（2009））。我们在这里证明D>=17在这两种情况下都是足够的。更一般地，我们证明了最大平均度小于3且D>=17的图是列表2-距离（D+2）-可着色的。这个证明可以转置到列表内射（D+1）-染色上。
2013-01-29 cs.DM math.CO
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces V. Coloring planar graphs with distant anomalies
本文解决了Havel的一个问题，证明了存在一个绝对常数d，使得如果G是一个可平面图，其中每两个不同的三角形之间的距离至少为d，则G是3-可着色的.事实上，我们证明了一个更一般的定理。设G是一个可平面图，设H是G的一组连通子图，每个子图的大小都有界，使得H的每两个不同成员至少相距指定距离，并且G的所有三角形都包含在\bigcup{H}中。我们给出了G的3-着色φ存在的一个充分条件，使得对每个B \in H，φ对B的限制是以特定的方式约束的.
2020-04-15 math.CO
(3a:a)-list-colorability of embedded graphs of girth at least five
一个图G是列表（b：a）-可着色的，如果对于G的每个顶点的大小为b的列表的每个分配，在每个顶点处存在列表的a-元素子集的选择，使得在邻顶点选择的子集是不相交的。我们证明了对于每一个正整数a，在Postle和Thomas发展的双曲性理论的意义下，对于列表（3a：a）-可染性围长至少为5的极小障碍族是强双曲的.这会产生许多后果，例如，如果一个围长至少为5且Euler亏格为g的图不是列表（3a：a）-可着色的，则G中有一个顶点数为O（g）的子图不是列表（3a：a）可着色的.
2019-10-11 math.CO
Three-coloring graphs with no induced seven-vertex path II : using a triangle
本文给出了一个多项式时间算法，该算法判定一个含有三角形且无导出七点路的图是否是3-可着色的，如果存在，则给出一个显式染色。在以前的工作中，我们给出了无诱导七点路的无三角形图的三着色的多项式时间算法，结合我们的工作，我们证明了无诱导七点路的图的三着色可以在多项式时间内完成.
2015-03-23 cs.DM math.CO
Equitable Coloring of Graphs with Intermediate Maximum Degree
如果图$G$的顶点都用$k$颜色着色，使得没有邻顶点接收相同的颜色，并且任何两个颜色类的大小相差至多一个，则称$G$是公平$k$可着色的。令$|G|$表示$G$的顶点数，$Δ=Δ(G)$表示$G$中顶点的最大度。证明了阶数至少为6的图$G$是公平$Δ$ -可着色的，如果$G$满足$(|G|+1)/3 \leq Δ< |G|/2$且它的任何分支都不是$K_{Δ+1}$ .
2014-08-26 math.CO
Constructing Triangle Decomposable Multigraphs with Minimum Multi-edges
研究了图的三角分解。我们考虑的建设类图的每一个边缘在于一个三角形和添加的最小数量的重边之间已经邻顶点的结果在一个强三角形整除图，也是三角形可分解的。我们探讨了几类可平面图以及一类环形图。
2021-08-19 math.CO
On $t$-relaxed 2-distant circular coloring of graphs
令$k$为正整数。对于$\{0,1,\dots,k-1\}$中的任意两个整数$i$和$j$，令$|i-j|_k=\min\{|i-j|,k-|i-j|\}$为$i$和$j$之间的圆距离。设$t$为非负整数。假设$f$是从$V(G)$到$\{0,1,\dots,k-1\}$的映射。如果相邻顶点接收不同的整数，并且对于$G$的每个顶点$u$，$u$与$|f(u)-f(v)|_k=1$的邻居$v$的数量至多为$t$，则$f$称为$t$ -松弛2-远距离圆形$k$ -染色，或简称为$G$的$(\frac{k}{2},t)^*$ -染色。如果$G$具有$(\frac{k}{2},t)^*$ -着色，则$G$称为$(\frac{k}{2},t)^*$ -可着色。本文证明了对任意两个固定整数$k$和$t$，若$k\geq2$和$t\geq1$为$k\geq2$和$t\geq1$，则除了多项式可解的情形$k=2$和$k=3$和$t\leq3$外，判定$G$是否$(\frac{k}{2},t)^*$ -可着色是NP-完全的.对任意外平面图$G$，e证明了所有外平面图都是$(\frac{5}{2},4)^*$ -可着色的，证明了不存在固定的正整数$t$使得所有外平面图都是$(\frac{4}{2},t)^*$ -可着色的.
2019-10-16 math.CO
Extension of Gyarfas-Sumner conjecture to digraphs
一个有向图$D$的二色数是使每个色类都导出一个无圈有向图的顶点着色所需的最少颜色数。由于它推广了图的色数的概念，因此成为最近的研究中心。在这项工作中，我们看看可能的扩展Gyárfás-Sumner猜想。更准确地说，我们提出了一个猜想，作为一个简单的表征有限集$\mathcal F$的有向图，使每一个定向图具有足够大的二色数必须包含一个成员的$\mathcal F$作为诱导子有向图。在值得注意的结果中，我们证明了没有长度为$3$的有向路的有向无三角图是$2$ -可着色的。如果“triangle-free”的条件被替换为“$K_4$ -free”，则我们有一个上界$414$。我们还证明了不含有向三角形的完全多部图的定向是2-可着色的。为了证明这些结果，我们引入了\emph{nice sets}的概念，这可能是独立的利益。
2020-09-28 cs.DM math.CO
On maximum $k$-edge-colorable subgraphs of bipartite graphs
如果是$k\geq 0$，则图$G$的$k$边着色是将颜色分配给来自$k$颜色集合的$G$的边，使得相邻的边接收不同的颜色。$G$的一个$k$ -边可着色子图是最大的，如果它是$G$的所有$k$ -边可着色子图中最大的.对于图$G$和$k\geq 0$，设$ν_{k}(G)$是$G$的最大$k$ -边可着色子图的边数。2010年，Mkrtchyan等人证明了如果$G$是三次图，则$ν_2(G)\leq \frac{|V|+2ν_3(G)}{4}$。这个结果意味着，如果三次图$G$包含完美匹配，特别是当它是无桥时，则$ν_2(G)\leq \frac{ν_1(G)+ν_3(G)}{2}$。人们可能想知道是否有其他有趣的图类，其中可以证明$ν_2(G)$和$\frac{ν_1(G)+ν_3(G)}{2}$之间的关系。与此相关，本文证明了对任何二部图$G$，$k\geq 0$和$i=0,1,...,k$，都有$ν_{k}(G) \geq \frac{ν_{k-i}(G) + ν_{k+i}(G)}{2}$.
2018-07-17 cs.DM math.CO
Constructions of local antimagic 3-colorable graphs of fixed odd size | matrix approach
本文研究了局部反魔幻图，通过提出三种构造满足特定性质的$(3m+2)\times (2k+1)$矩阵的方法，成功得到了许多大小为$(3m+2)(2k+1)$且局部反魔幻色数为3的不连通图。
2024-03-25 math.CO
Analogue of DP-coloring on variable degeneracy and its applications on list vertex-arboricity and DP-coloring
在\cite{listnoC3adjC4}）中，Borodin和Ivanova证明了每个不含与$3$ -圈相邻的$4$-圈的可平面图都是列表顶点- $2$ -可省略的。事实上，他们证明了一个更普遍的结果。受这些结果和DP染色的启发，我们引入了包含列表顶点荫度的变量退化的一个推广。我们用这个概念推广了Borodin和Ivanova的一个一般结果。这一定理不仅推广了Borodin和Ivanova关于可平面图不含$3$ -圈的结果，而且推广了许多其他结果，包括Kim和Yu \cite{KimY}关于平面图不含$4$-圈的结果，即平面图是DP- $4$ -可着色的.
2018-08-21 math.CO
