Partitioning a triangle-free planar graph into a forest and a forest of bounded degree
图的$({\cal F},{\cal F}_d)$ -划分是指将图的顶点划分为两个集合$F$和$F_d$，使得由$F$导出的图是森林，由$F_d$导出的图是最大度至多为$d$的森林.证明了每个无三角形平面图都有一个$({\cal F},{\cal F}_5)$ -划分.此外，我们还证明了，如果对某个整数$d$，存在一个不允许$({\cal F},{\cal F}_d)$ -划分的无三角形平面图，那么判定一个无三角形平面图是否允许这样的划分是一个NP完全问题.
2016-01-07 cs.DM math.CO
Flexibility of triangle-free planar graphs
设G是一个具有列表赋值L的可平面图。假设为某些顶点给定了首选颜色。我们证明了，如果G是三角免费的，所有的列表的大小至少为4，那么存在一个L-染色尊重至少一个常数部分的喜好。
2019-02-08 cs.DM math.CO
Induced 2-degenerate Subgraphs of Triangle-free Planar Graphs
一个图是$k$ -退化的，如果每个子图的最小度至多为$k$ .给出了无三角形平面图中最大诱导2-退化子图的大小的下界。用$α_2(G)$表示图$G$的最大导出2-退化子图的大小.证明了如果$G$是一个连通的无三角形平面图，其顶点为$n$，边为$m$，则$α_2(G) \geq \frac{6n - m - 1}{5}$ .根据欧拉公式，这意味着$α_2(G) \geq \frac{4}{5}n$。我们还证明了，如果$G$是一个三角形自由平面图的$n$顶点，最多$n_3$顶点的度最多为3，那么$α_2(G) \geq \frac{7}{8}n - 18 n_3$。
2018-02-19 cs.DM math.CO
Large Independent Sets in Triangle-Free Planar Graphs
每个n阶无三角形平面图都有一个大小至少为（n+1）/3的独立集，并且这个下界是紧的.本文给出了一个算法，对n阶无三角形平面图G，k ≥ 0，判定G是否存在一个大小至少为（n+k）/3的独立集，时间为2^{O（sqrt{k}）}n.因此，当用k参数化时，问题是固定参数易处理的。作为证明算法正确性的结果的推论，我们证明了存在n ≥ 0使得每个围长至少为5的n阶平面图都有一个大小至少为n/（3-n）的独立集.
2014-09-22 cs.DM math.CO
Partitioning a Planar Graph into two Triangle-Forests
本文证明任意平面图的顶点可划分为两个集合，使每个集合诱导出无长环的三角形森林，并讨论了对局部平面图的扩展。
2024-10-18 cs.DM math.CO
Triangle-free planar graphs with small independence number
由于平面无三角形图是3-列图，这样一个有n个顶点的图有一个大小至少为n/3的独立集。证明了除非图中含有某种障碍物，否则对于某个固定的λ>0，它的独立数至少为n/（3-λ）.我们还为这个障碍提供了一个归约规则，它使我们能够将任何无平面三角形的图G变换为无平面三角形的图G'，使得alpha（G'）-|G'|/3= α（G）- |G| /3，|G'|<=（alpha（G）- |G| /3）/alpha。我们得到了一些算法的后果，以及结构描述的n-顶点平面三角形-自由图的独立数接近n/3。
2017-02-09 cs.DM math.CO
On homomorphism related parameters of oriented triangle-free planar graphs
Indian Statistical Institute（印度统计研究所）；Netaji Subhas Open University（内塔吉·苏巴斯开放大学）；Indian Institute of Technology Dharwad（达瓦德印度理工学院）
研究无向三角形平面图的同态相关参数，证明其定向相对团数为10，还证明特定条件下基础图最小度至少为10，借此得出一些参数的改进下界。
2026-07-07 cs.DM math.CO
Acyclic edge coloring conjecture is true on planar graphs without intersecting triangles
图$G$的无圈边染色是不产生双色圈的正常边染色。Fiam{\displaystyle Fiam}ik（1978）和Alon，Sudakov and Zaks（2001）提出的无圈边着色猜想指出：每个具有最大度$Δ$的简单图都是无圈边$(Δ+ 2)$ -可着色的。尽管有许多里程碑，猜想仍然开放，即使是平面图。本文肯定地证实了关于不含相交三角形的平面图的猜想。我们这样做的第一个显示，放电的方法，每一个平面图没有相交的三角形必须至少有一个指定的六个群体的局部结构，然后证明了猜想的concursoring某些边缘在每个这样的局部结构和归纳的边缘数的图形。
2020-05-13 cs.DM math.CO
Fractional coloring of triangle-free planar graphs
证明了$n$顶点上的平面无三角形图的分数色数至多为$3-\frac{1}{n+1/3}$。
2014-02-21 math.CO
Acyclic chromatic index of triangle-free 1-planar graphs
图$G$的非圈边染色是指图的每一圈至少被三种颜色着色的正常边染色。图$G$的无圈边着色指数$\chiup_{a}'(G)$是图$G$的无圈边着色中的最少颜色数。证明了对于任意具有最大度$Δ(G)$的单图$G$，有$\chiup'_{a}(G)\leq Δ(G) + 2$.一个图是{ \em $1$ -planar}，如果它可以画在平面上，使得每个边最多与另一个边相交。本文证明了每一个无三角形的$1$ -可平面图$G$都有一个带$Δ(G) + 16$色的无圈边染色.
2016-09-06 cs.DM math.CO
Planar graphs with $Δ\geq 7$ and no triangle adjacent to a $C_4$ are minimally edge and total choosable
对于平面图，我们考虑\emph{list edge coloring}和\emph{list total coloring}问题。边着色是边着色的问题，同时确保相邻的两个边接收不同的颜色。全着色是边和顶点着色的问题，同时确保两个相邻的边，两个相邻的顶点，或一个顶点和一个边是入射接收不同的颜色。在它们的列表扩展中，每个顶点或边都被分配了一组颜色，并且必须从它着色。一个图是极小边或全可选择的，如果它分别是列表边$Δ$ -可着色的或列表全$(Δ+1)$ -可着色的，其中$Δ$是图中的最大度。已知具有$Δ\geq 8$且没有与$C_4$相邻的三角形的平面图是极小边和全可选择的（Li Xu 2011），并且具有$Δ\geq 7$且没有与$C_4$共享顶点的三角形或没有与$C_k$（$\forall 3 \leq k \leq 6$）相邻的三角形的平面图是极小全可着色的（Wang Wu 2011）。我们在这里加强这些结果，并证明了平面图与$Δ\geq 7$和没有三角形相邻的一个$C_4$是最小边和总可选。
2014-05-14 cs.DM math.CO
Multiple list colouring triangle-free planar graphs
本文证明了对每一个正整数$m$，存在一个无三角形可平面图$G$，它不是$(3m+ \lceil \frac m{17} \rceil-1, m)$ -可选的.
2018-12-07 math.CO
Large independent sets in triangle-free cubic graphs: beyond planarity
每个最大度至多为$3$的$n$ -顶点平面无三角形图都有一个大小至少为$\frac{3}{8}n$的独立集。这是第一次由艾伯森，Bollobás和塔克，后来证明了赫克曼和托马斯。Fraughnaugh和Locke证明了平面性要求可以放宽到仅仅禁止一些特定的非平面子图：他们描述了一个由六个非平面图组成的$\mathcal{F}$族（每个图的阶至多为$22$），并证明了每个最大度至多为$n$的无顶点三角形图都有一个大小至少为$\frac{3}{8}n$的独立集。本文证明了这一猜想。作为推论，我们得到了除$\mathcal{F}$中的六个图外，所有最大度至多为$3$的$2$ -连通$n$ -顶点无三角形图都有一个大小至少为$\frac{3}{8}n$的独立集.这证实了Bajnok和Brinkmann以及Fraughnaugh和Locke独立提出的一个猜想。
2020-07-08 cs.DM math.CO
Fine structure of 4-critical triangle-free graphs I. Planar graphs with two triangles and 3-colorability of chains
Aksenov证明了在至多含有一个三角形的可平面图G中，每个4-圈的预染色都可以推广为G的3-染色。本文给出了具有两个三角形的可平面图的一个精确刻画，即4-圈的某些预染色不扩张。利用这个刻画，我们解决了无三角形可平面图中两个4-圈的预着色扩张问题，即预着色的4-圈被许多不相交的4-圈分隔开.后一个结果是在后续文件中使用的4-临界三角形自由图嵌入在一个固定的表面的结构的详细信息。
2017-02-15 math.CO
Triangle Decompositions of Planar Graphs
一个多重图G是三角可分解的，如果它的边集可以被划分成子集，每个子集导出G的一个三角形，并且如果它的三角形可以被分配有理权重，使得对于G的每个边e，包含e的三角形的权重之和等于1，则它是有理三角可分解的。给出了平面重图是三角可分解的一个充要条件。我们还证明了如果一个简单的可平面图是有理三角可分解的，那么它有这样一个分解，只使用权0，1和1/2。这一结果给出了有理三角可分解简单可平面图的一个刻划。最后，如果G是一个以4阶完全图为基础图的多重图，我们给出了G是三角形图和有理三角可分解图的边重数的充要条件.
2015-04-02 math.CO
Gallai's path decomposition conjecture for triangle-free planar graphs
图$G$的路径分解是覆盖$G$的边集的$G$的边不相交路径的集合。Gallai（1968）证明了$n$顶点上的连通图的路分解至多为$\lfloor (n+1)/2\rfloor$ . Gallai猜想已在许多图类中得到验证。特别地，Lovász（1968）证明了这个猜想对于至多有一个偶数度顶点的图，而Pyber（1996）证明了它对于每个圈包含一个奇数度顶点的图。最近，Bonamy和Perrett（2016）验证了Gallai猜想，用于最大度至多为$5$的图，Botler等人（2017）验证了树宽至多为$3$的图。本文证明了无三角形可平面图的Gallai猜想。
2018-03-19 cs.DM math.CO
Planar graphs without 4-cycles adjacent to triangles are DP-4-colorable
单图的DP-染色（也称为对应染色）是列表染色的推广。已知与三角形相邻的不含4-圈的可平面图是4-可选图，不含4-圈的可平面图是DP-4-可着色图.本文证明了与三角形相邻的不含4-圈的可平面图是DP-4-可着色的，这是上述两个结果的推广。
2017-12-25 math.CO
4-regular planar unit triangle graphs without additional triangles
本文证明了仅由单位三角形组成而不含附加三角形的4-正则平面单位距离图的存在性。结果表明，单位三角形的最小数目是$\leq$ 6422。
2019-11-03 math.CO math.MG
Short proofs of coloring theorems on planar graphs
Kostochka和Yancey最近给出了k-临界n-顶点图的边数的下界，给出了著名的Grötzsch定理的半页证明，即每个平面无三角形图都是3-可着色的.本文利用同样的界给出了可平面图3-染色的其它已知定理的简短证明，其中包括Grünbaum-Aksenov定理：每个至多有三个三角形的平面图都是3-染色的。证明了无三角形可平面图通过添加次数不超过4的顶点而得到的图是3-可着色的。
2012-11-16 cs.DM math.CO
Decomposition of triangle-free planar graphs
图$G$的分解是$G$的一族子图，其边集形成$E(G)$的一个划分。本文证明了每一个无三角形可平面图$G$都可以分解为一个$2$ -退化图和一个匹配。因此，每个无三角形可平面图$G$都有一个匹配的$M$，使得$G-M$是在线3-DP可着色的。这加强了[R.Škrekovski，{ \em A Grötzsch-Type Theorem for List Colorings with Impropriety One}，Combin.概率计算8（1999），493-507]证明了每个无三角形可平面图都是$1$ -亏$3$ -可选的。
2022-12-14 math.CO
The independence ratio of 4-cycle-free planar graphs
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
研究证明无三角形与4圈相邻的平面图的独立比上限为4-ε，ε=1/30，并推广到无4圈或无相邻三角形的平面图，后者进一步提高ε至2/9。
2026-03-17 cs.DM math.CO
Every toroidal graph without triangles adjacent to $5$-cycles is DP-$4$-colorable
DP-着色，也称为对应着色，是由Dvo{zhi}{á}k和Postle引入的。它是列表着色的一个推广。本文证明了，除非是具有欧拉示性数$ε(G) = 0$的2-连通$4$ -正则图，否则每个与$5$ -圈相邻的不含三角形的连通环面图的最小度至多为3.因此，任何不含与$5$ -圈相邻的三角形的环形图都是DP- $4$ -可着色的。最后证明了不含两个确定子图的可平面图是DP- $4$ -可着色的。作为直接结果，（i）每个没有$3$ -圈邻近$4$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的;（ii）每个没有$3$ -圈邻近$5$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的;（iii）每个没有$4$ -圈邻近$5$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的.
2019-08-14 cs.DM math.CO
3-coloring triangle-free planar graphs with a precolored 9-cycle
给定一个无三角形的可平面图G和G中的一个9-圈C，刻画了C的3-染色不扩展到G的真3-染色的情形.当C是一个长度不超过8的圈时，这推广了以前的结果。
2017-09-27 math.CO
Sub-exponentially many 3-colorings of triangle-free planar graphs
Rassen证明了任意n阶无三角形可平面图都有指数多个3-染色，并证明了它至少有2^[n^（1/12）/20000]个不同的3-染色.我们证明了它至少有2^sqrt（n/362）个不同的3-着色。
2011-03-30 math.CO
Decomposing a triangle-free planar graph into a forest and a subcubic forest
我们加强了Dross，Montassier and Pinlou（2017）的一个结果，即每个无三角形的可平面图的顶点集可以分解为一个诱导森林的集合和一个诱导森林的集合，最大度至多为$5$，证明了$5$可以用$3$代替。
2023-02-05 math.CO
Fine structure of 4-critical triangle-free graphs II. Planar triangle-free graphs with two precolored 4-cycles
研究了具有两个相距较远的预着色4-圈$C_1$和$C_2$的无三角形平面图$G$的3-着色性质.我们证明了，无论是每一个预着色的$C_1\cup C_2$扩展到3-着色的$G$，或$G$包含两个特殊的子结构，唯一地确定其中3-着色的$C_1\cup C_2$扩展。作为推论，我们证明了存在一个常数$D>0$，使得如果$H$是一个平面无三角形图，且$S\subseteq V(H)$由两两距离至少为$D$的顶点组成，则$S$的每一个预染色都扩展到$H$的一个3-染色.这对Dvoák，Král'和Thomas的一个猜想给出了肯定的回答，并暗示了有界最大度的无三角形平面图的3-着色数的指数下界。
2015-05-27 math.CO
Every planar graph without 4-cycles adjacent to two triangles is DP-4-colorable
Wang和Lih在2002年证明了任何不含相邻三角形的可平面图都是4-可选图。本文证明了每个与两个三角形相邻的不含任何4-圈的可平面图都是DP-4-可着色的，改进了Lam，Xu和Liu [Journal of Combin. Theory，Ser. B，76（1999）117- 126]，Cheng，Chen和Wang [Discrete Math.，339（2016）3052--3057]以及Kim和Yu [arXiv：1709.09809v1]。
2018-04-21 math.CO
Three-coloring triangle-free planar graphs in linear time
Grotzsch定理指出每个无三角形的可平面图是3-可着色的。这一事实的几个相对简单的证明是由Mrsassen和其他作者提供。很容易将这些证明转换为二次时间算法来找到3-着色，但不清楚如何在线性时间内找到这样的着色（Kowalik使用非平凡数据结构来构造O（n log n）算法）。我们设计了一个线性时间算法来求给定的无三角形可平面图的3-着色。该算法避免了使用复杂的数据结构，易于实现。作为副产品，我们给出了格罗奇定理的更简单的证明。
2013-02-20 cs.DM cs.DS math.CO
Do triangle-free planar graphs have exponentially many 3-colorings?
证明了无三角形的可平面图具有指数数量的$3$ -染色。我们证明了这个猜想等价于下面的陈述：存在正实数$α$使得当$G$是可平面图且$A$是其边的子集且其删除使得$G$是无三角形的时，存在$A$的子集$A'$，其大小至少为$α|A|$使得$G-(A\setminus A')$是$3$ -可着色的.这种等价性使我们能够研究限制性的情况，在那里我们可以证明这个陈述是真的。
2017-09-19 math.CO
Triangle-free planar graphs with at most $64^{n^{0.731}}$ 3-colorings
Rassen证明了无三角形的可平面图有指数多的3-着色。最近，他通过提供具有$n$顶点和至多$2^{15n/\log_2 n}$ 3-着色的图的例子来反驳他的猜想。我们改进了他的建设，给这样的图的例子，最多$64^{n^{log_{9/2} 3}}<64^{n^{0.731}}$ 3-着色。我们推测这个指数是最优的。
2021-08-28 math.CO
A better bound on the largest induced forests in triangle-free planar graphs
众所周知，存在$n$顶点度的无三角形可平面图，使得最大导出森林的大小至多为$\frac{5n}{8}$ . Salavatipour证明了在任意一个顶点为$n$的无三角形可平面图中，存在一个森林的大小至少为$\frac{5n}{9.41}$. Dross、Montassier和Pinlou将Salavatipour的束缚改进为$\frac{5n}{9.17}$。在这项工作中，我们进一步提高了绑定到$\frac{5n}{9}$。我们的技术受到Lukot'ka、Maz{á}k和Zhu最近想法的启发。
2017-01-26 math.CO
Partitioning triangle-free planar graphs into a forest and a linear forest
School of Mathematics and Statistics, Shandong University of Technology（山东理工大学数学与统计学院）；School of Mathematical Sciences, Zhejiang Normal University（浙江师范大学数学科学学院）
本文改进了无三角形平面图的划分结果，证明其可划分为森林和线性森林。
2025-11-24 math.CO
Linear-time algorithm for vertex 2-coloring without monochromatic triangles on planar graphs
在没有单色三角形的2-着色问题（或三角树2-着色）中，简单，连通，无向图的顶点被着色为“黑”或“白”，使得没有3个相互相邻的顶点具有相同的颜色。在本文中，我们肯定地回答了在我们以前的工作中提出的问题，即，是否存在一个算法解决平面图上的2-着色没有单色三角形线性时间复杂度。
2021-10-09 cs.DS math.CO
Planar Turán Number of intersecting triangles
给定图$H$的平面图兰数，记为$ex_{\mathcal{P}}(n,H)$，是在所有可平面图上不包含$H$的副本作为子图的$n$顶点上的边的最大数目。设$H_k$是一个友谊图，它是由$k$三角形通过共享一个公共顶点而得到的。本文得到了PDMATHAMR和$ex_{\mathcal{P}}(n,K_1+P_{k+1})$对$k\ge2$的精确界，改进了Lan和Shi在Electron.J.Combin. 26（2）（2019），\#P2.11。
2020-07-22 math.CO
Planar graphs without 4-cycles and close triangles are (2,0,0)-colorable
对于一组非负整数$c_1, \ldots, c_k$，图$G$的一个$(c_1, c_2,\ldots, c_k)$ -染色是将$V(G)$划分为$V_1, \ldots, V_k$，使得对于每个$i$，$1\le i\le k, G[V_i]$的最大度至多为$c_i$ .证明了所有不含4-圈且三角形间边不少于两条的可平面图都是$(2,0,0)$ -可着色的.
2018-06-20 math.CO
Planar graphs without 5-cycles and intersecting triangles are $(1,1,0)$-colorable
$G$的$(c_1,c_2,...,c_k)$ -着色是一个映射$φ:V(G)\mapsto\{1,2,...,k\}$，使得对于每个$i,1 \leq i \leq k$，$G[V_i]$的最大度至多为$c_i$，其中$G[V_i]$表示由着色$i$的顶点所诱导的子图. Borodin和Raspaud猜想：任何不含$5$ -圈和相交三角形的平面图都是$(0,0,0)$ -可着色的.本文证明了这类图是$(1,1,0)$ -可着色的.
2014-09-26 math.CO
Large induced forests in planar graphs with girth 4 or 5
本文给出了围长为$4$和$5$的平面图的最大诱导森林的阶的一些新的下界.特别地，我们证明了$n$阶的无三角形平面图存在至少$\frac{6n+7}{11}$阶的诱导森林，改进了Salavatipour [M. R. Salavatipour，Large induced forests in triangle-free planar graphs，Graphs and Combinatorics，22：113-126，2006]。我们还证明了一个阶为$n$且围长至少为$5$的平面图存在一个阶至少为$\frac{44n+50}{69}$的诱导森林。
2014-09-04 cs.DM math.CO
On minimal triangle-free planar graphs with prescribed 1-defective chromatic number
一个图是（m，k）-色图，如果它的顶点可以用m种颜色着色，使得在所有接受相同颜色的顶点的集合上导出的子图的最大度至多为k。k-亏色数$χ_k(G)$是使图G是（m，k）-列的最小正整数$m$.设f（m，k;tfp）是满足$χ_k(G)$ =m的无三角形可平面图的最小阶.本文证明了f（3，1;tfp）=11。
2015-01-19 math.CO
List colouring triangle free planar graphs
研究证明，无三角形平面图在独立集顶点给3种列表颜色、其余顶点给4种列表颜色时，总可进行列表着色。
2024-03-03 math.CO
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces V. Coloring planar graphs with distant anomalies
本文解决了Havel的一个问题，证明了存在一个绝对常数d，使得如果G是一个可平面图，其中每两个不同的三角形之间的距离至少为d，则G是3-可着色的.事实上，我们证明了一个更一般的定理。设G是一个可平面图，设H是G的一组连通子图，每个子图的大小都有界，使得H的每两个不同成员至少相距指定距离，并且G的所有三角形都包含在\bigcup{H}中。我们给出了G的3-着色φ存在的一个充分条件，使得对每个B \in H，φ对B的限制是以特定的方式约束的.
2020-04-15 math.CO
Holes or Empty Pseudo-Triangles in Planar Point Sets
令$E(k, \ell)$表示最小整数，使得平面中至少有$E(k, \ell)$点的任何集合（直线上没有三个点）包含具有$k$顶点的空凸多边形或具有$\ell$顶点的空伪三角形。正整数$k, \ell\geq 3$的$E(k, \ell)$的存在性是Valtr [Discrete and Computational Geometry，Vol.37，565- 576，2007]证明的结果的结果。本文根据三角凸包点集上空伪三角形存在性的一系列新结果，确定了$E(k, 5)$和$E(5, \ell)$的精确值，证明了$k, \ell\geq 3$的$E(k, 6)$和$E(6, \ell)$的界.通过放弃空条件，我们定义了另一个相关量$F(k, \ell)$，它是最小的整数，使得平面中至少有$F(k, \ell)$点的任何集合，在一条直线上没有三个，包含一个具有$k$顶点的凸多边形或一个具有$\ell$顶点的伪三角形。推广了Bisztriczky和Tóth [Discrete Geometry，Marcel Dekker，49- 58，2003]的结果，得到了$F(k, 5)$和$F(k, 6)$的精确值，并得到了$F(k, 7)$的非平凡界.
2012-10-17 cs.DM math.CO
DP-3-coloring of planar graphs without certain cycles
DP-着色是列表着色的一种推广，它是由Dvotelák和Postle [J. Combin.理论系列B 129（2018）38- 54]。张[通知。过程Lett. 113（9）（2013）354- 356]证明了每个既不含相邻三角形也不含5-、6-、9-圈的可平面图是3-可选的。Liu等人[Discrete Math.342（2019）178--189]证明了每个不含4-、5-、6-和9-圈的可平面图都是DP-3-可着色的。本文证明了任何既不含邻接三角形也不含5-圈、6-圈、9-圈的可平面图都是DP-3-可着色的，推广了这些结果。Yu等人给出了三个Bordeaux型结果，证明了：（i）三角形距离至少为3且不含4-、5-圈的可平面图是DP-3-可着色的，（ii）三角形距离至少为2且不含4-、5-、6-圈的可平面图是DP-3-可着色的;（iii）三角形距离至少为2且不含5-圈、6-圈、7-圈的可平面图是DP-3-可着色的.在最后一节中我们还给出了两个Bordeaux型结果：（i）任何既不含5-、6-、8-圈也不含距离小于2的三角形的平面图是DP-3-可着色的;（ii）任何既不含4-、5-、7-圈也不含距离小于2的三角形的平面图是DP-3-可着色的。
2021-03-22 math.CO
The Planar Rook Algebra and Pascal's Triangle
研究了“平面车代数”$P_n$的组合表示论.这个代数有一个由平面车图和乘法图级联组成的基础。对于每个整数$0 \le k \le n$，我们构造自然表示$V^n_k$，形成一个完整的非同构，不可约的$P_n$ -表示。我们显式地将$P_n$的正则表示分解为不可约模的直和。我们计算了代数塔$P_0 \subseteq P_1 \subseteq P_2 \subseteq ...$的Bratteli图，并证明了这个Bratteli图是Pascal三角形。事实上，我们表明，许多二项式的身份，无论是添加剂和乘法，有解释方面的表示论的平面车代数。
2008-06-24 math.CO math.RT
Planar graphs without cycles of lengths 4 and 5 and close triangles are DP-3-colorable
Montassier，Raspaud，and Wang（2006）要求找到最小的正整数$d_0$和$d_1$，使得没有$\{4,5\}$ -圈和$d^Δ\ge d_0$的可平面图是$3$ -可选的，没有$\{4,5,6\}$ -圈和$d^Δ\ge d_1$的可平面图是$3$ -可选的，其中$d^Δ$是三角形之间的最小距离。结果显示，$2\le d_0\le 4$和$d_1\le 3$ .本文证明了下列可平面图是DP-3-可着色的：（1）不含$\{4,5\}$ -圈和$d^Δ\ge 3$的可平面图是DP- $3$ -可着色的;（2）不含$\{4,5,6\}$ -圈和$d^Δ\ge 2$的可平面图是DP- $3$ -可着色的. DP-着色是列表着色的推广，因此作为推论，$d_0\le 3$和$d_1\le 2$。实际上，我们证明了更强的声明，每个预着色的一些圈可以扩展到整个图。
2018-09-04 math.CO
The strong fractional choice number of triangle-free planar graphs
Central China Normal University（华中师范大学）；Zhejiang Normal University（浙江师范大学）
研究证明无三角形的平面图的强分数选择数上限为15/4，解决了该类图的相关问题。
2026-08-25 math.CO
Are highly connected 1-planar graphs Hamiltonian?
众所周知，每个平面4连通图都有一个Hamilton圈。本文研究了1-平面4-连通图是否存在Hamilton圈的问题。我们表明，这是假的一般情况下，即使是5-连通图，但真正的，如果图形有一个1-平面图，每个区域是一个三角形。
2019-11-06 cs.DM math.CO
Planar polynomials and an extremal problem of Fischer and Matousek
设$G$是一个3部图，每一部分都有$k$顶点，且任意两部分之间不存在长度为4的圈. Fischer和Matouusek要求在这样的图中三角形的最大数量。一个涉及任意射影平面的简单构造表明，存在这样一个具有$(1 - o(1)) k^{3/2} $三角形的图，而一个双重计数论证表明，一个图不能有多于$(1+o(1)) k^{7/4} $的三角形。利用有限域上特定平面多项式定义的仿射平面，我们将下界改进为$(1 - o(1)) k^{5/3}$。
2017-02-05 math.CO
On Fan-Crossing Graphs
扇形是具有单个公共端点的一组边。一个图是扇形交叉的，如果它允许在平面中绘图，使得每条边都被一个扇形的边穿过。此外，如果公共端点位于交叉边的同一侧，则它是扇形平面的。一个图是邻接交叉的，如果它允许一个绘图，使得交叉的边是相邻的。然后，它排除了独立的交叉，这是交叉的边缘没有共同的端点。邻接交叉允许三角形交叉，其中边与三角形的边交叉，这在扇形交叉图中被排除。我们证明了每一个邻接交叉图都是扇交叉图。因此，可以避免三角交叉。另一方面，有扇交叉图不是扇平面图，而对于每个扇交叉图，都有一个扇平面图在同一组顶点上，并具有相同的边数。因此，扇形交叉图和扇形平面图是不同的，但它们的密度没有不同，对于大小为n的图，最多有5 n- 10条边。
2017-12-19 cs.DM math.CO
On coloring parameters of triangle-free planar $(n,m)$-graphs
本文证明了无三角形平面$(n,m)$-图的相对团数上界为$2(2n+m)^2+2$，并构造达到该界的图，从而解决了Sopena的猜想，同时给出$(n,m)$-色数的下界。
2023-10-15 cs.DM math.CO
Three coloring via triangle counting
在Steinberg的三着色猜想的第一个部分结果中，Abbott和Zhou使用计数论证证明了每个不具有长度为4到11的圈的可平面图是3-可着色的。在他们的证明中隐含了一个关于平面图的事实：在任何最小度为3的平面图中，如果没有两个三角形共享一条边，那么三角形构成的面严格小于小于2/3。我们证明了这个结果，结合Kostochka和Yancey的解决方案的矿石猜想k = 4，意味着每个可平面图没有周期的长度4至8是3-着色。
2022-09-10 math.CO
3-choosability of planar graphs with (<=4)-cycles far apart
一个图是k-可选的，如果它可以着色，只要每个顶点有一个至少k个可用颜色的列表。证明了如果可平面图G中长度不超过4的圈两两相距很远，则G是3-可选的.这类似于哈维尔关于三角形相距很远的可平面图的3-可着色性的问题。
2012-05-25 cs.DM math.CO
Almost Empty Monochromatic Triangles in Planar Point Sets
对于正整数$c, s \geq 1$，令$M_3(c, s)$是最小整数，使得平面中至少有$M_3(c, s)$点的任何集合，在一条直线上没有三个点，并且用$c$颜色着色，包含最多$s$内部点的单色三角形。$s=0$对应于空的单色三角形，在过去几年中得到了广泛的研究。特别地，已知$M_3(1, 0)=3$、$M_3(2, 0)=9$和$M_3(c, 0)=\infty$用于$c\geq 3$。本文推广了当$c \geq 2$和$s \geq 1$ .证明了使$M_3(c, λ_3(c))< \infty$满足的最小整数$λ_3(c)$：$$\left\lfloor\frac{c-1}{2}\right\rfloor \leqλ_3(c)\leq c-2,$$其中$c \geq 2$ .此外，对于小的$c$和$s$值，确定了$M_3(c, s)$的精确值。我们还猜想$λ_3(4)=1$，并验证它足够大的霍顿集。
2015-06-18 math.CO
Connected triangle-free planar graphs whose second largest eigenvalue is at most 1
本文利用谱理论和局部结构刻画，完全确定了所有不含 $C_3$ 且第二大特征值不超过1的连通 $\{K_5,K_{3,3}\}$-minor free 图，部分解决了Li和Sun提出的关于连通平面图特征值的开放问题。
2024-12-26 math.CO
Flexible DP-4-coloring of planar graphs without 4-cycles and intersecting triangles
Zhejiang Normal University（浙江师范大学）；William & Mary（威廉玛丽学院）
本文证明了无4-圈且无相交三角形的平面图是加权ε-柔性DP-4-可染色的，改进了已有结果中从3-圈距离至少2到无相交三角形的条件，并将列表柔性推广到加权DP柔性。
2026-05-22 math.CO
