A Note on (3,1)-Choosable Toroidal Graphs
$(L,d)^*$着色是一种映射$ϕ$，它将颜色$ϕ(v)\in L(v)$分配给每个顶点$v\in V(G)$，使得$v$的至多$d$邻居接收颜色$ϕ(v)$ .一个图称为$(m,d)^*$ -可选择的，如果$G$允许对每个列表分配$L$都有$(L,d)^*$ -着色，且对所有$v\in V(G)$都有$|L(v)|\geq m$.本文证明了对于某些$l \in \{5,7\}$，不含邻接三角形且不含6-圈和$l$ -圈的环面图是$(3,1)^*$ -可选的.
2006-09-27 math.CO
Criticality of counterexamples to toroidal edge-hamiltonicity
Grünbaum和Nash-Williams的一个著名猜想提出4-连通环形图是哈密尔顿图。4-连通平面图和射影-可平面图的相应结果分别由Tutte和Thomas和Yu证明，他们使用归纳论证证明了一个更强的结果，即每条边都在Hamilton圈上。然而，这个更强的性质并不适用于4-连通环形图：Dahassen构造了反例。因此，标准的归纳方法将不适用于环面。一种可能的方法来修改它是通过表征的情况下，一些边缘是不是一个汉密尔顿循环。我们提供了一个贡献，在这个方向上，通过显示，明显的概括，在一定意义上是至关重要的Mrassen的反例。
2013-12-04 math.CO
A Remark on Triangle-Critical Graphs
一个有$k \geq 3$的连通$k$ -色图$G$称为三角临界图，如果$G$的每条边都包含在$G$的导出三角形中，并且从$G$中去掉任何三角形都会使$G$的色数减少3. B.托夫特提出了证明两个以上顶点的完全图是唯一的三角形-临界图的问题。应用M. Stiebitz [Discrete Math.64（1987），91- 93]，我们用$k \leq 6$对三角临界$k$ -色图肯定地回答了这个问题.
2008-02-24 math.CO
Edge number critical triangle free graphs with low independence numbers
确定了所有无三角形图G =（V，E）的结构，其中|E| - 6 |V| + 13α（G）= 0，从而肯定地回答了StanismartawRadziszowski和DonaldKreher的一个问题.
2013-09-30 math.CO
Fine structure of 4-critical triangle-free graphs I. Planar graphs with two triangles and 3-colorability of chains
Aksenov证明了在至多含有一个三角形的可平面图G中，每个4-圈的预染色都可以推广为G的3-染色。本文给出了具有两个三角形的可平面图的一个精确刻画，即4-圈的某些预染色不扩张。利用这个刻画，我们解决了无三角形可平面图中两个4-圈的预着色扩张问题，即预着色的4-圈被许多不相交的4-圈分隔开.后一个结果是在后续文件中使用的4-临界三角形自由图嵌入在一个固定的表面的结构的详细信息。
2017-02-15 math.CO
A density bound for triangle-free $4$-critical graphs
证明了所有无三角形的$4$ -临界图$G$都满足$e(G) \geq \frac{5v(G)+2}{3}$ .这一结果给出了无三角形可平面图是$3$ -列图，围长至少为5的嵌入射影平面、环面或Klein Bottle中的图是$3$ -列图的统一证明，这些结果是Grötzsch，Schlassen，Thomas和Walls的结果.我们的结果几乎是最好的，因为Davies已经构造了无三角形的$4$ -临界图$G$，使得$e(G) = \frac{5v(G) + 4}{3}$。为了证明这一结果，我们证明了一个更一般的结果特征稀疏$4$ -临界图与几个顶点不相交的三角形。
2022-06-30 math.CO
The critical number of dense triangle-free binary matroids
证明了对每个实数$ε> 0$，都存在一个整数$c$，使得如果$M$是一个简单的无三角形二元拟阵，且有$|M| \ge (\tfrac{1}{4} + ε) 2^{r(M)}$，则$M$至多有$c$的临界数.我们还给出了一个结构，表明没有这样的结果成立的任何实数小于$\tfrac{1}{4}$。这表明三角形的“临界阈值”是$\tfrac 1 4$。本文将临界阈值的概念推广到所有简单二元拟阵$N$，并猜想：如果$N$有临界数$c\ge 3$，则对于某些$i\in \{2,3,4\}$，$N$有临界阈值$1-i\cdot 2^{-c}$.我们通过建立下界来支持这个猜想。
2016-04-15 math.CO
The critical number of $I_{1,t}$-free triangle-free binary matroids
一个简单的二元拟阵，被看作是有限二元射影几何$PG(n-1,2)$的一个限制，如果对于$PG(n-1,2)$的任何秩- $t$平坦，它与拟阵的交不是一个单元素集，则它是$I_{1,t}$ -free的.本文证明了无$I_{1,t}$和无三角形的简单二元拟阵对任何$t \geq 1$都有界临界数。
2020-11-12 math.CO
Critical graphs without triangles: an optimum density construction
对所有的$k\geq 4$，我们构造了色数$k$的稠密、无三角形、色临界图.对于$k\geq 6$，我们的构造有$> (\frac{1}{4} -\varepsilon)n^2$边，这是图兰定理的渐近最佳可能。我们还证明了（非建设性的）存在的密集$k$ -临界图，避免所有奇数周期的长度$\leq \ell$的任何$\ell$和任何$k\geq 4$，再次与$k\geq 6$的$>(\frac{1}{4} -\varepsilon)n^2$边缘的最佳可能的密度。没有三角形或给定奇围长的图族因此是罕见的例子，我们知道正确的最大密度的$k$ -关键成员（$k\geq 6$）。
2014-01-28 math.CO
Fine structure of 4-critical triangle-free graphs III. General surfaces
Dvoák，Král'和Thomas给出了曲面上无三角形图的结构关于3-着色的描述。然而，它们的描述包含两个子结构（都与嵌入平面中的具有两个预着色圈的图有关），其着色性质并不完全确定。在本文中，我们填补了这些空白。
2017-02-16 math.CO
Fine structure of 4-critical triangle-free graphs II. Planar triangle-free graphs with two precolored 4-cycles
研究了具有两个相距较远的预着色4-圈$C_1$和$C_2$的无三角形平面图$G$的3-着色性质.我们证明了，无论是每一个预着色的$C_1\cup C_2$扩展到3-着色的$G$，或$G$包含两个特殊的子结构，唯一地确定其中3-着色的$C_1\cup C_2$扩展。作为推论，我们证明了存在一个常数$D>0$，使得如果$H$是一个平面无三角形图，且$S\subseteq V(H)$由两两距离至少为$D$的顶点组成，则$S$的每一个预染色都扩展到$H$的一个3-染色.这对Dvoák，Král'和Thomas的一个猜想给出了肯定的回答，并暗示了有界最大度的无三角形平面图的3-着色数的指数下界。
2015-05-27 math.CO
On the Minimum Number of Edges in Triangle-Free 5-Critical Graphs
Kostochka和Yancey证明了每个5-临界图G满足：|E（G）|>=（9/4）|V（G）|- 5/4矿石的建设给出了一个无限的家庭满足这个界限的图形。证明了存在e，d > 0使得如果G是5-临界图，则|E（G）|>=（9/4 + e）|V（G）|- 5/4 - dT（G），其中T（G）是大小为3或4的顶点不相交的集团的最大数目，其中大小为4的集团具有大小为3的集团的两倍的权重。作为推论，无三角形的5-临界图G满足：|E（G）|>=（9/4 + e）|V（G）|- 5/4
2017-08-07 math.CO
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces IV. Bounding face sizes of 4-critical graphs
设G是一个含t个三角形的4-临界图，嵌入亏格g的曲面中.设c是G中不限制2-胞腔面的4-圈数。证明了G的（>=5）-面的长度之和至多在g+t+c-1中是线性的.
2020-08-04 math.CO
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces III. Graphs of girth five
我们证明了围长至少为5的4-临界图的大小是由它的亏格的一个线性函数有界的。这加强了以前的约束的大小，这样的图给出的Dracassen。它也作为基本情况下的结构描述的4-临界三角形自由图嵌入在一个固定的表面，提出了在未来的文件，这一系列。
2019-04-16 math.CO
Planar 4-critical graphs with four triangles
根据Grunbaum-Aksenov定理（Grotzsch定理的推广），任何至多含有三个三角形的可平面图都是3-可着色的.然而，存在无穷多个恰好具有四个三角形的平面4-临界图。我们描述所有这样的图。这回答了鄂尔多斯1990年以来的一个问题。
2013-06-06 cs.DM math.CO
On the structure of dense triangle-free binary matroids
通过严格的结构描述，证明了每个具有$|M| > \tfrac{33}{128}2^{r(M)}$的简单无三角形二元拟阵$M$最多存在临界数$2$ .
2015-09-08 math.CO
The structure of $I_4$-free and triangle-free binary matroids
如果一个简单的二元拟阵的4阶单位都不是独立集，则该拟阵被称为$I_4$ -free。这些对象可以等价地定义为$PG(n-1,2)$中的点的集合$E$，对于这些点，对于任何四维平面$F$，$|E \cap F|$不是$F$的基础。我们证明了一个分解定理，它精确地确定了所有$I_4$自由和三角自由拟阵的结构。特别地，我们的定理暗示了无$I_4$和无三角形拟阵的临界数至多为$2$。
2020-04-30 math.CO
On triangle-free graphs of order 10 with prescribed 1-defective chromatic number
一个图是（m，k）-色图，如果它的顶点可以用m种颜色着色，使得在接受相同颜色的顶点上导出的任何子图的最大度至多为k。图的k-亏色数是使图是（m，k）-亏色的最小正整数m。所有顶点数不超过8的无三角形图都是（2，1）-列图。恰好有四个9阶无三角形图的1-亏损色数为3。我们发现，这四个图出现在几乎所有的10阶无三角形图的1-亏损色数等于3的子图。实际上存在唯一的10个顶点上的无三角形的（3，1）-临界图，并给出了这个图.
2015-01-19 math.CO
A tamed family of triangle-free graphs with unbounded chromatic number
构造了一个具有无界色数的无三角形图遗传类，其中每个非平凡图含不相邻孪生顶点或大小至多2的无边顶点割集，反面回答了Chudnovsky等人的问题，并证明twincut图是边临界的。
2023-04-09 math.CO
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces II. 4-critical graphs in a disk
设G是围长至少为5的平面图。证明了如果G的圈C存在一个3-染色φ，且该φ不扩展到G的3-染色，则G有一个在O（|C|）个顶点上的子图H也不具有3-染色扩展φ.这是渐近最好的可能，并改善了以前的边界的Bassen。在本系列的下一篇论文中，我们将使用这个结果和相应的理论来证明一个推广到具有几个预着色圈的曲面上的图。
2017-07-05 cs.DM math.CO
The cyclic diagnosability of Cayley graphs generated by transposition triangle-free unicyclic graphs under the PMC and MM* models
School of Mathematics and Computational Science, Xiangtan University（湘潭大学数学与计算科学学院）；Key Laboratory for Computation and Simulation in Science and Engineering（科学与工程计算模拟重点实验室）；National Center for Applied Mathematics in Hunan（湖南省应用数学中心）
研究置换无三角形单圈图生成的Cayley图在PMC和MM*模型下的循环可诊断性，证明对于n≥11其循环可诊断性为5n - 10，为评估互连网络诊断能力提供依据。
2026-07-28 math.CO
A note on vertex-critical induced subgraphs of shift graphs
University of West Bohemia（西波希米亚大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；IRIF（IRIF实验室）；Faculty of Mathematics and Physics, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学数学物理学院）；Faculty of Information Studies in Novo Mesto（诺沃梅斯托信息研究学院）；Rudolfovo – Science and Technology Centre（鲁多维福科学与技术中心）；University of Southern Denmark（南丹麦大学）
本文研究了移位图中顶点临界诱导子图的性质，发现每个k色移位图包含唯一的k-顶点临界子图，并给出了其显式描述。
2026-09-23 math.CO
Counting substructures and eigenvalues I: triangles
受Mubayi [Adv. Math.，2010]，我们从谱的角度研究Mubayi定理背后的现象，并从三角形的基本情况开始这个问题。本文证明了具有给定顶点数、边数和谱半径的图中三角形的副本数的紧界。设$n$和$m$是图的阶和大小。我们的结果推广了Nosal的证明，即当谱半径大于$\sqrt{m}$时，存在一个三角形; Rademacher的证明，即当边数大于2-部Turán图的边数时，至少存在$\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$三角形.这些结果以及Bollobás和Nikiforov的两个谱不等式可以被视为寻找Mubayi定理谱版本问题的三角形情况的解决方案。此外，我们给出了Bollobás和Nikiforov [J. Combin. Theory Ser. B，2007]：$t(G)\geq \frac{λ(G)(λ^2(G)-m)}{3}$并刻画极值图。最后提出了一些需要解决的问题。
2021-12-24 math.CO
Three-coloring triangle-free graphs without long forbidden paths
College of Computer Science, Nankai University（南开大学计算机学院）；Department of Computer Science, KU Leuven Campus Kulak-Kortrijk（荷鲁文大学库勒-科特赖克校区计算机科学系）；Department of Mathematics, Computer Science and Statistics, Ghent University（根特大学数学、计算机科学和统计系）；School of Mathematical Sciences and LPMC, Nankai University（南开大学数学科学学院）
研究了不含长禁止路径的无三角形图的三色图，证明了特定条件下的临界图数量，并构造了无限族的临界图。
2025-12-23 math.CO
On a generalized Erdős-Rademacher problem
图的三角形覆盖数是指所有三角形中的顶点的最小数目。给定正整数$s,t$和一个具有$\lfloor n^2/4 \rfloor +t$边和三角形覆盖数$s$的$n$ -顶点图$G$，我们（对于大的$n$）确定了$G$中三角形最小数目的精确界，并描述了极值结构.对于更大尺寸的团和色临界图也证明了类似的结果。这扩展了Rademacher、Erd \H os和Lovász-Simonovits的经典工作，他们的结果只适用于$s \le t$。我们的结果也解决了两个萧和Katona。我们证明了其中之一，并给出了一个反例，证明了另一个猜想的修改版本。
2020-05-14 math.CO
Reconstruction and Edge Reconstruction of Triangle-free Graphs
由Kelly和Ulam提出的重构猜想指出，每个顶点数至少为3的图都由它的多子图集$\{G-v: v\in V(G)\}$唯一确定。令$diam(G)$和$κ(G)$分别表示图$G$的直径和连通度，令$\mathcal{G}_2:=\{G: \textrm{diam}(G)=2\}$和$\mathcal{G}_3:=\{G:\textrm{diam}(G)=\textrm{diam}(\overline{G})=3\}$。已知重构猜想为真当且仅当它对$\mathcal{G}_2\cup \mathcal{G}_3$中的每个2-连通图为真。Balakumar和Monikandan证明了重构猜想对每个无三角形图$G$在有$κ(G)=2$的$\mathcal{G}_2\cup \mathcal{G}_3$中成立。此外，他们还询问，如果使用$κ(G)\ge 3$，结果是否仍然有效。(If是的，对于解决重构猜想至关重要的图类被限制为$\mathcal{G}_2\cup\mathcal{G}_3$中包含三角形的2-连通图。）本文通过证明重构猜想对$\mathcal{G}_3$中的每个无三角形图$G$和用$κ(G)=3$对$\mathcal{G}_2$中的每个无三角形图$G$都成立，从而部分地解决了这个问题.我们还证明了类似的结果的边缘重建猜想。
2022-10-04 math.CO
A zero-one law for the existence of triangles in random key graphs
随机密钥图是在完全可见性假设下，由Schenauer和Gligor的随机密钥预分配方案导出的随机图。对于这类随机图，我们证明了三角形出现的零一律的存在性，并确定了相应的临界标度。这是通过将一阶矩和二阶矩的方法应用于图中三角形的数量来完成的。
2009-10-02 math.CO math.PR
Sampling and counting triangle-free graphs near the critical density
针对临界密度附近无三角图的采样与计数难题，提出两种分别适用于不同密度区间的高效采样及概率近似算法，为超图硬核模型相关问题提供新解法。
2024-10-30 cs.DS math.CO
Sparse chromatic graphs and the complete-graph triangle bound
Department of Mathematics, University of Manchester（曼彻斯特大学数学系）
本文证明稀疏色图（边数至多 $cr^3\log^2 r$）必含 $\binom r3$ 个三角形，通过稀疏核、阶均匀稳定性和稠密公共调色板列表方法给出完整证明。
2026-09-23 math.CO
Lower tails for triangles inside the critical window
针对随机图$G(n,p)$不含三角形的概率问题，首次证明$p = c n^{-1/2}$（$c$足够小）时该概率对数的渐近公式，研究三角形下尾大偏差并揭示相变规律，方法结合簇展开等技术。
2024-11-27 math.CO math.PR
Critical ($P_5$,bull)-free graphs
给定两个图$H_1$和$H_2$，一个图是$(H_1,H_2)$ -free的，如果它不包含同构于$H_1$或$H_2$的诱导子图.设$P_t$和$C_t$分别为$t$顶点上的路径和循环。牛图是由一个三角形的两条不相交的垂边得到的图。本文证明了存在许多5-顶点临界（$P_5$，bull）-free图.
2022-11-08 math.CO
3d positive lattice walks and spherical triangles
在本文中，我们探讨的渐近计数的三维游览限于正八分圆。如[29]所示，指数增长性和临界指数都有普适公式，分别是关于阶跃集和某个球面三角形的主Dirichlet特征值的清单，该球面三角形本身由模型的阶跃来表征。我们的研究重点是临界指数，主要目的是研究步集的组合性质（所谓的行走群的结构，Hadamard分解的存在性，生成函数满足的微分方程的存在性）与相关球面三角形的几何或分析性质的关系（显着的角度，平铺性质，存在一个特殊的封闭形式的公式的主要特征值）。一般的特征值的狄利克雷问题的球面三角形是不知道在封闭的形式，我们还开发了一个有限元方法来计算近似值，通常与十位数的精度。
2019-12-24 cs.NA math.CO math.NA
Upper tail behavior of the number of triangles in random graphs with constant average degree
设$N$是一个Erdens-Rényi图$\mathcal{G}(n,p)$在$n$顶点上的三角形个数，其边密度为$p=d/n,$，其中$d>0$是一个固定常数.众所周知，$N$弱收敛于泊松分布，其平均${d^3}/{6}$为$n\rightarrow \infty$。我们解决的上尾问题$N,$，即，我们调查如何快速$k$必须增长，使$\{N\ge k\}$的概率是不是很好地近似了相应的泊松变量的尾部。证明尾部表现出尖锐的相变，我们基本上表明，上尾是由泊松行为只有当$k^{1/3} \log k< (\frac{3}{\sqrt{2}})^{2/3} \log n$（亚临界制度），以及钉下的尾部行为时，$k^{1/3} \log k> (\frac{3}{\sqrt{2}})^{2/3} \log n$（超临界制度）。我们进一步证明了一个结构定理，表明亚临界上尾的行为是由几乎$k$顶点不相交的三角形的外观，而在超临界状态下，多余的三角形产生的大小约$(6k)^{1/3}$的集团状结构。这解决了长期存在的上尾问题，在这种情况下，回答了一个问题的奥尔德斯，补充了一个长序列的作品，跨越几十年，最终在（哈雷尔，穆萨，萨莫蒂杰，'19）分析的问题，只有在政权$p\gg \frac{1}{n}.$的证明依赖于几个新的图论结果，可以有其他应用。
2022-02-14 cs.DM math.CO math.PR
Short proofs of coloring theorems on planar graphs
Kostochka和Yancey最近给出了k-临界n-顶点图的边数的下界，给出了著名的Grötzsch定理的半页证明，即每个平面无三角形图都是3-可着色的.本文利用同样的界给出了可平面图3-染色的其它已知定理的简短证明，其中包括Grünbaum-Aksenov定理：每个至多有三个三角形的平面图都是3-染色的。证明了无三角形可平面图通过添加次数不超过4的顶点而得到的图是3-可着色的。
2012-11-16 cs.DM math.CO
