Triangle decompositions of PG(n-1,2)
本文在射影空间 PG(n-1,2) 中构造平衡三角形设计，并证明 Singer 循环群不变设计与特殊 18 元子集划分等价，为 n=7,13,19 给出实例。
2025-07-08 math.CO
Triangle-tilings in graphs without large independent sets
本文研究了具有次线性独立数的$n$ -顶点图$G$中保证完美和几乎完美三角形拼接存在所需的最小度。在这种情况下，我们表明，如果$δ(G) \ge n/3 + o(n)$，那么$G$有一个三角形平铺覆盖所有，但最多四个顶点。此外，对于每一个$r \ge 5$，我们渐近地确定一个完美的三角形平铺的最小度阈值的额外的假设下，$G$是$K_r$自由和$n$是由$3$整除。
2016-07-26 math.CO
The minimal density of triangles in tripartite graphs
在给定边密度的三部图中，确定了三角形的最小密度。这扩展了以前的结果邦迪，沈，Gillassé和Gillassen特征的边密度保证存在的三角形在一个三分图。为了更准确地说，我们表明，适当的加权副本的图形形成删除某个9-圈从$K_{3,3,3}$具有最小的三角形密度之间的所有加权三部图与规定的边缘密度。
2009-10-07 math.CO
Properly colored cycles in edge-colored complete graphs containing no monochromatic triangles: a vertex-pancyclic analogous result
边有色图中的适当着色的圈（路径）是指具有被赋予不同颜色的连续边的圈（路径）。单色三角形是一个长度为$3$且边指定为相同颜色的循环。每个不含单色三角形的边着色完全图都含有一条正常着色的Hamilton路，本文研究了当禁止单色三角形时，边着色完全图中正常着色圈的存在性.我们得到一个顶点泛循环的类似结果结合所有的例外的特征。
2020-08-21 math.CO
Variance of random greedy independent sets in triangle-free graphs
该论文研究无三角形图中随机贪心独立集顶点数的方差，证明其上界为 e((n-2)/n)^2，并指出星图在树中唯一达到最大值，通过改进的估计和恒等式获得尖锐结果。
2026-09-15 math.CO math.PR
A universal sequence of integers generating balanced Steinhaus figures modulo an odd number
在本文中，我们部分地解决了一个公开的问题，由于J. C. Molluzzo在1976年提出了一个正整数$n$模的平衡Steinhaus三角形的存在性，即包含$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$的所有元素的Steinhaus三角形具有相同的重数。对于每一个奇数$n$，通过线性元胞自动机生成杨辉三角形模$n$，在$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$中建立一个轨道，其中包含无穷多个平衡Steinhaus三角形.在$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$中，这个轨道是从一个称为通用序列的整数序列中得到的。证明了在$n$是奇素数幂的情况下，对于至少$2/3$的容许大小，存在平衡的Steinhaus三角形.其他平衡的斯坦豪斯图形，如斯坦豪斯三角形、广义杨辉三角形、帕斯卡三角形或菱形，也出现在通用序列模$n$奇数的轨道上。我们证明了平衡广义杨辉三角形的存在性至少$2/3$的容许大小，在$n$是一个奇素数的权力的情况下，和平衡菱形的存在性的所有容许的大小，在$n$是一个平方免费的奇数。
2016-03-30 math.CO math.NT
A Coloring Algorithm for Triangle-Free Graphs
本文给出了一个随机算法，该算法使用O（Δ（G）/ log Δ（G））的颜色对n个顶点的无三角形图G的顶点进行适当着色，其中Δ（G）是G的最大度.该算法的时间复杂度为O（n \Delta 2（G）logΔ（G）），且成功的概率很高，只要Δ（G）大于log^{1+ε}n（ε为正常数）.对于无三角形的图，颜色的数量最好是一个常数。结果给出了无三角形图的色数的一个尖锐上界的算法证明，该上界的存在性是由Kim和Johansson分别建立的。
2011-01-29 math.CO
Towards a conjecture on long induced rainbow paths in triangle-free graphs
该研究针对无三角形图中长诱导彩虹路径的存在性问题，改进了现有结果并证明了路径能覆盖半数颜色。
2026-01-02 cs.DM math.CO
Non-Crossing Perfect Matchings and Triangle-Free Geometric Graphs
我们研究的极值型问题所产生的问题：什么是边不相交的非交叉完美匹配的最大数量的一组S的2n个点在平面上，使他们的工会是一个三角形的几何图？我们通过考虑S的四种不同情况来处理这个问题。特别地，在一般位置上，我们得到了（i）在一般位置上存在n个边不交的非交叉完美匹配且其并为极大无三角形几何图的充分条件，以及（ii）边不交的非交叉完美匹配且其并为无三角形几何图的个数的下界.
2017-09-13 math.CO
Perfect tilings of 3-graphs with the generalised triangle
本文确定了3-一致超图被广义三角形完美铺砌的最佳最小共度条件，并给出了彩虹版本的渐近最优条件。
2025-05-08 math.CO
Critical graphs without triangles: an optimum density construction
对所有的$k\geq 4$，我们构造了色数$k$的稠密、无三角形、色临界图.对于$k\geq 6$，我们的构造有$> (\frac{1}{4} -\varepsilon)n^2$边，这是图兰定理的渐近最佳可能。我们还证明了（非建设性的）存在的密集$k$ -临界图，避免所有奇数周期的长度$\leq \ell$的任何$\ell$和任何$k\geq 4$，再次与$k\geq 6$的$>(\frac{1}{4} -\varepsilon)n^2$边缘的最佳可能的密度。没有三角形或给定奇围长的图族因此是罕见的例子，我们知道正确的最大密度的$k$ -关键成员（$k\geq 6$）。
2014-01-28 math.CO
Coloring graphs with no even hole $\geq 6$: the triangle-free case
本文证明了不含三角形且不含偶数长度至少为6的诱导圈的图类有界色数。众所周知，偶无洞图是$χ$ -有界的，但我们在这里允许存在$C_4$。证明依赖于宇称变化路径的概念，这是最近由Bonamy，Charbit和Bassé引入的Trinity变化路径的一种适应，以证明没有长度可被3整除的诱导圈的图具有有界色数。
2017-04-14 cs.DM math.CO
On path-cycle decompositions of triangle-free graphs
本文研究无三角形图中长度受限的路径-圈分解条件，刻画了奇距离至少为3且允许长度至少为4的分解的图类，并推广了Gallai猜想至稀疏图类。
2017-10-23 math.CO
Triangle-free graphs with diameter 2
University of Western Australia（西澳大学）；University of Zagreb（萨格勒布大学）；Australian National University（澳大利亚国立大学）；Dublin City University（都柏林城市大学）；University of Canterbury（坎特伯雷大学）；Monash University（蒙纳士大学）
本文研究了放宽围长条件后直径为2的无三角形图的存在性问题，探讨了无$K_{s,t}$子图的无孪生图是否有无限个，并给出了部分计算结果及Cayley图和概率构造。
2024-06-01 math.CO
Rainbow triangles in edge-colored graphs
设$G$是边有色图. $G$的顶点$v$的颜色度被定义为与$v$关联的边的颜色的数量。$G$的颜色数定义为$G$中边的颜色数。彩虹三角形是每对边都有不同颜色的三角形。本文从色度、色数和边数三个方面给出了边有色图中彩虹三角形存在的充分条件。作为推论，李和王提出的一个猜想（边有色图中的着色度和异色圈，European J. Combin. 33（2012）1958- 1964）得到证实。
2013-09-25 math.CO
Use of MAX-CUT for Ramsey Arrowing of Triangles
1967年，Erdans和Hajnal提出了一个问题：是否存在一个$K_4$ -free图，它不是两个无三角形图的并？找到这样一个图涉及解决一个特殊情况下的经典拉姆齐箭头操作。Folkman在1970年证明了这些图的存在性，它们现在被称为Folkman图。Erdibs提供了100美元，用于确定是否存在一个小于$10^{10}$顶点。这个问题一直悬而未决，直到1988年，斯宾塞在一篇开创性的论文中使用概率技术证明了一个$3\times 10^9$阶的Folkman图的存在性（在一个勘误表之后），而没有明确地构造它。2008年，Dudek和Rödl开发了一个策略，通过近似相关图的最大割来构造新的Folkman图，并使用它将上界提高到941。我们改进这个界限首先使用他们的近似技术，然后进一步到786与MAX-CUT半定规划松弛中使用的Goemans-Williamson算法。
2013-03-20 cs.DM math.CO
Rainbow triangles and the Caccetta-Häggkvist conjecture
Caccetta和Häggkvist的一个著名猜想是，在$n$顶点且最小出度至少为$\frac{n}{r}$的有向图中，存在长度为$r$或更小的有向圈。我们考虑以下推广：在$n$顶点上无向图中，$n$不相交边集合的任何集合，每个边的大小至少为$\frac{n}{r}$，有一个长度为$r$或更小的彩虹圈.我们着重讨论了$r=3$的情形，并在比猜想中更强的条件下证明了彩虹三角形的存在性.对于任意固定的$k$和足够大的$n$，我们确定了一个$n$ -顶点边着色图的最大边数，其中所有的色类的大小最多为$k$，并且没有彩虹三角形.此外，我们还刻画了这个问题的极图。
2018-04-04 math.CO
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces V. Coloring planar graphs with distant anomalies
本文解决了Havel的一个问题，证明了存在一个绝对常数d，使得如果G是一个可平面图，其中每两个不同的三角形之间的距离至少为d，则G是3-可着色的.事实上，我们证明了一个更一般的定理。设G是一个可平面图，设H是G的一组连通子图，每个子图的大小都有界，使得H的每两个不同成员至少相距指定距离，并且G的所有三角形都包含在\bigcup{H}中。我们给出了G的3-着色φ存在的一个充分条件，使得对每个B \in H，φ对B的限制是以特定的方式约束的.
2020-04-15 math.CO
Directed graphs without rainbow triangles
本文将 Mantel 定理的彩虹三角形问题推广到有向图，对任意颜色数确定了保证出现有向或传递彩虹三角形时每种颜色所需的最少边数，并进一步在有向图（oriented graphs）情形下解决了相应问题。
2023-08-05 math.CO
Minimalist designs
迭代吸收法最近在（超）图分解领域取得了重大进展。在其他结果中，得到了组合设计存在性猜想的一个新的证明和一些推广。在这里，我们说明的方法，通过调查三角分解：我们给出了一个简单的证明，一个三角形可分图的最小程度大的三角形分解，并证明了类似的结果，拟随机主机图。
2020-02-28 math.CO
Triangle decompositions of $λK_v-λK_w-λK_u$
用$λK_v$表示具有重数$λ$的序$v$的完全图。设$λK_v-λK_w-λK_u$是由$λK_v$通过去掉两个顶点不相交的完全多子图的边而得到的图，其中重数$ λ$分别为$ w $和$ u $。当$λ$为奇数时，证明了存在$λK_v-λK_w-λK_u$的三角分解当且仅当$v\geq w+u+\max\{u,w\}$，$ λ\left({v\choose 2}-{u\choose 2}-{w\choose 2}\right) \equiv 0 \pmod 3$和$λ(v-w) \equiv λ(v-u) \equiv λ(v-1) \equiv 0 \pmod 2$ .当$λ$是偶数时，证明了对于足够大的$v$，$λK_v-λK_w-λK_u$存在三角分解的基本必要条件也是充分的.
2019-10-08 math.CO
On Induced Colourful Paths in Triangle-free Graphs
给定一个图$G=(V,E)$，其顶点已被适当着色，我们说$G$中的一条路是“彩色的”，如果没有两个顶点在路径具有相同的颜色。它是Gallai-Roy-Vitaver定理的一个推论，即每一个适当着色的图在$χ(G)$顶点上都含有一条着色路。本文提出了一个猜想，即每一个适当着色的无三角形图$G$在其$χ(G)$顶点上都含有一条诱导色路，并证明了当$G$的围长至少为$χ(G)$时，这个猜想是正确的. Gyárfás和Sárközy以及Scott和Seymour最近对这个猜想的研究表明存在一个函数$f$，使得如果$χ(G)\geq f(k)$，则在$k$顶点上的诱导彩色路保证存在于任何正确着色的无三角形图$G$中。
2019-01-18 math.CO
Decomposing graphs into edges and triangles
我们证明了Gyamari和Tuza的一个30年前的猜想：每个$n$ -顶点图$G$的边可以分解为二阶和三阶完全图$C_1,\ldots,C_\ell$，使得$|C_1|+\cdots+|C_\ell|\le (1/2+o(1))n^2$。这个结果暗示了Erdés，Goodman和Pósa的旧结果的渐近版本，该结果断言存在这样的分解与$\ell\le n^2/4$。
2018-06-06 math.CO
On Existentially Complete Triangle-free Graphs
对于一个正整数$k$，我们说一个图是$k$ -存在完全的，如果对于每个$0 \leq a \leq k$，和每个不同顶点的元组$x_1,\ldots,x_a$，$y_1,\ldots,y_{k-a}$，存在一个顶点$z$，它连接到所有的顶点$x_1,\ldots,x_a$，而不连接到任何顶点$y_1,\ldots,y_{k-a}$。虽然很容易证明二项随机图$G_{n,1/2}$满足$k \sim c\log n$具有高概率的这个性质，但对这个问题的“无三角形”版本知之甚少;是否存在具有类似“扩展性质”的有限无三角形图$G$。这一问题是Cherlin于1993年首次提出的，即使在$k=4$案中也没有解决。我们证明了不存在具有$k >\frac{8\log n}{\log\log n}$的$k$ -存在完全无三角形图，从而给出了关于Cherlin的这个“老栗子”的第一个非平凡的、不存在的结果。我们认为，这一结果突破了我们对这一问题的理解的一个天然障碍。
2017-08-29 math.CO
Note on vertex disjoint rainbow triangles in edge-colored graphs
本文通过构造反例否定了关于边着色图中 proper $mK_3$ 存在条件的猜想，并给出一般图中顶点不交彩虹 $K_k$ 子图及完全图中 proper $mK_3$ 的存在性结果。
2024-02-28 math.CO
Notes on higher-dimensional partitions
我们展示了一系列的转换，捕获几个结构，基于高维分区的存在。这些变换导致一系列的三角形，其条目被赋予组合解释为特定类型的斜费勒斯图的数量。我们分析的最终结果是存在一个三角形，我们用F表示，这意味着计算给定正整数的分区数所需的数据减少了一半。在三角形F中的一个条目族中，跨越有根森林的数量显得很有趣。使用由于Bratley-McKay的算法的修改，我们能够直接枚举一些三角形中的条目。因此，我们已经能够计算在任何维度上正整数<= 25的分区的数量。
2012-03-20 cond-mat.stat-mech hep-th math.CO
Flexibility and rigidity of frameworks consisting of triangles and parallelograms
本文研究了4-环构成平行四边形的框架的柔性，证明了柔性、无穷小柔性、基于3-环和4-环的等价关系分类及作为图笛卡尔积非平凡子图等条件等价，并探讨了算法层面及旋转对称版本。
2023-09-21 math.CO
Triangles in randomly perturbed graphs
研究了随机扰动图模型中两两点不交三角形的求法问题，该模型是任意满足给定最小度条件的$n$ -顶点图$G$与二项随机图$G(n,p)$的并集.我们证明了渐近几乎必然$G \cup G(n,p)$包含至少$\min\{δ(G), \lfloor n/3 \rfloor\}$成对顶点不相交的三角形，提供$p \ge C \log n/n$，其中$C$是一个足够大的常数。这是狄拉克的一个旧结果的扰动版本。我们的结果是渐近最优的，并以强形式回答了Han，Morris和Treglown [RSA，2021，no.3，480- 516]的一个问题。我们还证明了我们结果的一个稳定性版本，在成对顶点不相交三角形的情况下，它扩展了Han，Morris和Treglown的结果[RSA，2021，no. 3，480- 516]。连同Balogh，Treglown和Wagner的结果[CPC，2019，第2号，159- 176]，这完全解决了随机扰动图中三角因子的存在性。我们相信，本文介绍的方法是有用的各种相关问题：我们讨论可能的概括集团因素，周期因素，和$2$的普遍性。
2022-06-01 math.CO
Regular $K_3$-regular graphs
National University of Kyiv-Mohyla Academy（基辅莫希拉学院）；Kyiv School of Economics（基辅经济学院）；National Technical University of Ukraine “Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute”（乌克兰国立技术大学“伊戈尔·西科斯基基辅理工学院”）；Kyiv Academic University（基辅学术大学）
本文研究同时满足顶点度和三角形度正则的图，探讨特定参数下此类图的存在性，并分析顶点与边三角形度的关系，特别关注图论中的Turán图。
2026-03-17 cs.DM math.CO
Popular differences for right isosceles triangles
对于大小为$αN^2$的$\{1,2,\ldots,N\}^2$的子集$A$，我们证明了$(m,n)\neq(0,0)$的存在性，使得集合$A$包含至少$(α^3 - o(1))N^2$三元组的点的形式为$(a,b)$，$(a+m,b+n)$，$(a-n,b+m)$。这回答了Ackelsberg、Bergelson和Best在arXiv上提出的一个问题：2101.02811。同样的方法也建立了紧交换群的相应结果。此外，对于有限域$\mathbb{F}_q$，我们评论指数小的子集$(\mathbb{F}_q^n)^2$，避免了上述配置。证明是对现有的三项算术级数证明的微小修改。
2021-10-27 math.CO
Triangle-Free Graphs of Toughness Approaching Two Without a 2-Factor
Auburn University（奥本大学）
本文证实了Bauer等人1996年的猜想，构造出坚韧度趋近于2且不含2-因子的无三角形图，说明存在2-因子的阈值2在无三角形图类中仍为最优界限。
2026-08-17 math.CO
Symmetric binary Steinhaus triangles and parity-regular Steinhaus graphs
二进制斯坦豪斯三角形是一个由0和1组成的三角形，它指向下，并且具有与帕斯卡三角形模2相同的局部规则。一个二元斯坦豪斯三角形被称为旋转对称，水平对称或二面角对称，如果它是不变的120度旋转，水平反射或两者兼而有之。本文的第一部分主要研究旋转对称、水平对称和二面角对称二元Steinhaus三角形的线性子空间。我们得到简单的明确基地，他们每个人通过使用二项式系数的基本性质。Steinhaus图是一个简单的图，其邻接矩阵的上三角部分是二元Steinhaus三角形。一个Steinhaus图称为偶图或奇图，如果它的所有顶点度分别是偶的或奇的。本文的主要结果之一是偶Steinhaus图的线性子空间与二面对称二元Steinhaus三角形的某个线性子空间之间存在同构。这使我们能够在本文的第二部分中给出偶Steinhaus图和奇偶正则Steinhaus图的向量空间的一个显式基;即，Steinhaus图的线性子空间是偶数或奇数。最后，在本文的最后一部分，我们考虑了广义Pascal三角形，这是0和1的三角形，现在指向上，并且总是具有与Pascal三角形模2相同的局部规则。利用第一部分的结果，导出了对称广义Pascal三角形的每个线性子空间的新的单基。
2021-11-04 cs.DM math.CO math.NT
Structure and colour in triangle-free graphs
受第一作者最近的一个猜想的启发，我们证明了色数为$χ$的每一个正常着色的无三角形图都包含一个大小为$\lceil\frac12χ\rceil$的彩虹独立集。这是急剧上升到一个因素$2$。这一结果及其简短的证明对色差的相关概念具有启示意义。从结构图理论和极图理论中得到启发，我们猜想每一个色数为$χ$的无三角形图都包含一个长度为$Ω(χ\logχ)$的诱导圈，其长度为$χ\to\infty$ .即使只需要长度为$Ω(χ\logχ)$的诱导路径，结论也会尖锐到常数倍。我们证明了正则围长$5$图和围长$21$图。作为该猜想的导出路形式和Johansson定理（1996）的共同加强，我们证明了存在一些$c >0$，使得对于$D$顶点上的每一个森林$H$，每一个无三角形和导出$H$ -free图的色数至多为$c D/\log D$ .我们证明了这一论断与'三角形自由'取代'定期周长$5$ '。
2020-03-15 cs.DM math.CO
On sufficient conditions for rainbow cycles in edge-colored graphs
设$G$是边着色图.我们使用$e(G)$和$c(G)$分别表示$G$的边数和$E(G)$上出现的颜色数。对于顶点$v\in V(G)$，$v$的\emph{color neighborhood}被定义为分配给与$v$关联的边的颜色集合。$G$的一个子图是\emph{rainbow}，如果它的所有边都被赋予不同的颜色。著名的曼特尔定理指出，如果$e(G)\geq\lfloor\frac{n^2}{4}\rfloor+1$，则在$n$顶点上的图$G$包含三角形。Rademacher（1941）证明了在相同条件下$G$至少包含$\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$三角形。Li，Ning，Xu and Zhang（2014）证明了Mantel定理的彩虹版本：边着色图$G$有彩虹三角形，如果$e(G)+c(G)\geq n(n+1)/2$。本文首先刻画了所有满足$e(G)+c(G)\geq n(n+1)/2-1$但不含彩虹三角形的图$G$。受Rademacher定理的启发，我们刻画了所有满足$e(G)+c(G)\geq n(n+1)/2$但只包含一个彩虹三角形的图$G$。进一步得到了彩虹短圈存在的色邻域条件的两个结果。我们的结果改进了Broersma、Li、Woeginger和Zhang（2005）提出的先前定理。此外，我们提供了一个充分条件的颜色邻域的顶点不相交的彩虹圈存在…
2019-03-18 math.CO
A Polynomial Time Graph Isomorphism Algorithm For Graphs That Are Not Locally Triangle-Free
在本文中，我们证明了存在一个多项式时间图同构算法的所有图，不包括图是局部trianglefree。这类特殊的图允许将图划分为邻域子图，其中每个导出子图（邻域）至少有2个顶点。我们构造所有可能的置换为每个诱导子图使用搜索树。基于这些置换，我们构造了子图的自同构。最后，通过自同构判定同构。作者期望，解决方案，本文中提出的，可能会导致一个更快的算法的一般情况下，图同构（使用“重心细分”）。这篇论文可能会影响组同构，因为我们可以构造图（对应于一个特定的组）的方式，所以我们可以避免它是一个三角形自由图。因为，对于给定的群G，每个生成集的选择将给出不同的凯莱图。
2016-06-01 cs.DM cs.DS math.CO
Rainbow matchings of size $m$ in graphs with total color degree at least $2mn$
给定最小色度、正常着色或无三角形主图的彩虹匹配的存在性问题已被广泛研究。本文将这些问题推广到具有给定全着色度的边有色图。特别地，我们发现，如果一个图$G$有全色度$2mn$，并满足一些其他性质，则$G$包含一个匹配的大小$m$ ;这些其他性质包括$G$是三角形自由，$C_4$ -自由，适当着色，或足够大。
2019-07-07 math.CO
Higher dimensional electrical circuits and the matroid dual of a nonplanar graph
在本文中，我们描述了一个物理问题，电磁场的基础上，其拓扑约束是高维版本的基尔霍夫定律，涉及$2-$单纯复形嵌入在$\mathbb{R} ^3$，而不是图形。然而，我们表明，这个复杂的骨架，只涉及三角形和边缘，我们可以建立一个拟阵对偶，这是一个图。在这个图上，我们建立了一个“普通”电路，解决了这个问题，我们就得到了原来问题的解决方案。该图的构造是通过“滑动”算法，该算法模拟在三角形的表面上滑动，从一个三角形移动到另一个三角形，该另一个三角形与该三角形共享一个边，但是该另一个三角形也相对于在$\mathbb{R} ^3.$中的复合体的嵌入是相邻的。为此目的，唯一需要的信息是我们遇到在边处入射的三角形的顺序，当我们相对于边缘的方向顺时针旋转时。对偶图的构造是关于$2-$复合体的大小的线性时间。
2017-11-16 math.CO
A sufficient condition for the existence of plane spanning trees on geometric graphs
设P是平面上一般位置上n > 2个点的集合，G是顶点集为P的几何图，若G的由{u，v，w}导出的子图不连通的空三角形uvw的个数至多为n-3，则G包含非自相交的生成树.
2012-02-15 cs.CG cs.DM math.CO
