Fractional triangle decompositions in graphs with large minimum degree
图的三角形分解是将图的边划分成三角形。图的分数三角形分解是将非负权重分配给其每个三角形，使得包含任何给定边的三角形的权重之和为1。证明了对所有的$ε> 0$，$n$顶点上的最小度至少为$(0.9 + ε)n$的所有足够大的图都有一个分数三角分解.这改进了Garaschuk的一个结果，即对于最小度至少为$0.956n$的图，同样的结果也成立。结合Barber，Kühn，Lo和Osthus最近的一个结果，这意味着对于所有的$ε> 0$，$n$顶点上的每一个足够大的三角形可分图，其最小度至少为$(0.9 + ε)n$，都允许一个三角形分解.
2015-07-21 math.CO
Fine structure of 4-critical triangle-free graphs I. Planar graphs with two triangles and 3-colorability of chains
Aksenov证明了在至多含有一个三角形的可平面图G中，每个4-圈的预染色都可以推广为G的3-染色。本文给出了具有两个三角形的可平面图的一个精确刻画，即4-圈的某些预染色不扩张。利用这个刻画，我们解决了无三角形可平面图中两个4-圈的预着色扩张问题，即预着色的4-圈被许多不相交的4-圈分隔开.后一个结果是在后续文件中使用的4-临界三角形自由图嵌入在一个固定的表面的结构的详细信息。
2017-02-15 math.CO
Induced cycles in triangle graphs
图$G$的三角图，记为${\cal T}(G)$，是其顶点表示$G$的三角形（$K_3$子图）的图，并且${\cal T}(G)$的两个顶点相邻当且仅当对应的三角形共享一条边。本文首先给出了三角图是圈的图的一个刻划，然后推广了这一结果，得到了无$C_n$三角图的一个刻划。因此，我们给出了图$G$的禁止子图的特征，其中${\cal T}(G)$是树，弦图，或完美图。对于三角形图是完美图的图类，我们证明了第三作者关于三角形的填充和覆盖的一个猜想。
2015-10-18 math.CO
General Parity Result and Cycle-plus-Triangles Graphs
推广了Fleishner和Stiebitz的一个宇称结果，并结合Alon-Tarsi多项式方法证明了由一个哈密顿圈和若干个不相交的三角形构成的4-正则图总是3-可选的.此外，我们提出了一个修改的多项式方法，并显示它如何给稍微多的组合信息的着色比直接应用阿隆的组合零点。
2015-12-19 math.CO
Fractional triangle decompositions of dense 3-partite graphs
我们计算一个最小度阈值足以3部图承认分数三角形分解。再加上最近的工作巴伯，库恩，洛，奥斯托斯和泰勒，这导致边界的确切分解，特别是完成问题的稀疏部分拉丁方。也考虑了一些扩展。
2016-09-09 math.CO
Fractional triangle decompositions in almost complete graphs
证明了对于$n \ge 7$，每个至少有$\binom{n}{2} - (n - 4)$边的$n$ -顶点图都有一个分数三角分解.这是一个关键因素，在我们的证明，在一个配套文件中，每一个$n$ -顶点$2$ -着色完全图包含$n^2/12 + o(n^2)$边不相交的单色三角形，这证实了一个猜想的Erdlas。
2020-08-14 math.CO
Every planar graph without 4-cycles adjacent to two triangles is DP-4-colorable
Wang和Lih在2002年证明了任何不含相邻三角形的可平面图都是4-可选图。本文证明了每个与两个三角形相邻的不含任何4-圈的可平面图都是DP-4-可着色的，改进了Lam，Xu和Liu [Journal of Combin. Theory，Ser. B，76（1999）117- 126]，Cheng，Chen和Wang [Discrete Math.，339（2016）3052--3057]以及Kim和Yu [arXiv：1709.09809v1]。
2018-04-21 math.CO
Cycles in triangle-free graphs of large chromatic number
二十多年前，Erdegans提出了~ \cite{E1}，证明了一个色数为$k \geq k_0(\varepsilon)$的无三角形图$G$包含至少$k^{2 - \varepsilon}$不同长度的圈，如$k \rightarrow \infty$ .本文证明了一个更强的事实：每一个具有色数$k \geq k_0(\varepsilon)$的无三角形图$G$都含有$(\frac{1}{64} - \varepsilon)k^2 \log k$连续长度的圈，并且有一个长度至少为$(\tfrac{1}{4} - \varepsilon)k^2 \log k$的圈.由于对于大的$k$，存在最多具有大致$4k^2 \log k$顶点的色数$k$的无三角形图，所以这些结果是紧到常数因子的.我们也给出了其他单调类中$k$ -色图的周长和不同圈长个数的新下界，特别是对于$K_r$ -free图和没有奇圈的图$C_{2s+1}$ .
2014-04-17 math.CO
Triangles in graphs without the expansion of $4$-cycle
East China Normal University（华东师范大学）
研究问题：确定不含4-圈扩张的图中三角形的最大数量；核心方法：通过分析剩余情况证明猜想；主要贡献：证明4-圈扩张是猜想的唯一反例。
2026-05-17 math.CO
Triangle Decompositions of Planar Graphs
一个多重图G是三角可分解的，如果它的边集可以被划分成子集，每个子集导出G的一个三角形，并且如果它的三角形可以被分配有理权重，使得对于G的每个边e，包含e的三角形的权重之和等于1，则它是有理三角可分解的。给出了平面重图是三角可分解的一个充要条件。我们还证明了如果一个简单的可平面图是有理三角可分解的，那么它有这样一个分解，只使用权0，1和1/2。这一结果给出了有理三角可分解简单可平面图的一个刻划。最后，如果G是一个以4阶完全图为基础图的多重图，我们给出了G是三角形图和有理三角可分解图的边重数的充要条件.
2015-04-02 math.CO
Fine structure of 4-critical triangle-free graphs II. Planar triangle-free graphs with two precolored 4-cycles
研究了具有两个相距较远的预着色4-圈$C_1$和$C_2$的无三角形平面图$G$的3-着色性质.我们证明了，无论是每一个预着色的$C_1\cup C_2$扩展到3-着色的$G$，或$G$包含两个特殊的子结构，唯一地确定其中3-着色的$C_1\cup C_2$扩展。作为推论，我们证明了存在一个常数$D>0$，使得如果$H$是一个平面无三角形图，且$S\subseteq V(H)$由两两距离至少为$D$的顶点组成，则$S$的每一个预染色都扩展到$H$的一个3-染色.这对Dvoák，Král'和Thomas的一个猜想给出了肯定的回答，并暗示了有界最大度的无三角形平面图的3-着色数的指数下界。
2015-05-27 math.CO
Planar graphs without 4-cycles and close triangles are (2,0,0)-colorable
对于一组非负整数$c_1, \ldots, c_k$，图$G$的一个$(c_1, c_2,\ldots, c_k)$ -染色是将$V(G)$划分为$V_1, \ldots, V_k$，使得对于每个$i$，$1\le i\le k, G[V_i]$的最大度至多为$c_i$ .证明了所有不含4-圈且三角形间边不少于两条的可平面图都是$(2,0,0)$ -可着色的.
2018-06-20 math.CO
Planar graphs without 5-cycles and intersecting triangles are $(1,1,0)$-colorable
$G$的$(c_1,c_2,...,c_k)$ -着色是一个映射$φ:V(G)\mapsto\{1,2,...,k\}$，使得对于每个$i,1 \leq i \leq k$，$G[V_i]$的最大度至多为$c_i$，其中$G[V_i]$表示由着色$i$的顶点所诱导的子图. Borodin和Raspaud猜想：任何不含$5$ -圈和相交三角形的平面图都是$(0,0,0)$ -可着色的.本文证明了这类图是$(1,1,0)$ -可着色的.
2014-09-26 math.CO
Decomposition of triangle-free planar graphs
图$G$的分解是$G$的一族子图，其边集形成$E(G)$的一个划分。本文证明了每一个无三角形可平面图$G$都可以分解为一个$2$ -退化图和一个匹配。因此，每个无三角形可平面图$G$都有一个匹配的$M$，使得$G-M$是在线3-DP可着色的。这加强了[R.Škrekovski，{ \em A Grötzsch-Type Theorem for List Colorings with Impropriety One}，Combin.概率计算8（1999），493-507]证明了每个无三角形可平面图都是$1$ -亏$3$ -可选的。
2022-12-14 math.CO
On the minimum degree required for a triangle decomposition
我们证明了，对于足够大的$n$，每一个图的顺序$n$的最小度至少$0.852n$有一个分数边分解成三角形。我们通过改进Dross用来建立$0.9n$的一个界限的方法来做到这一点。利用Barber，Kühn，Lo和Osthus的一个结果，我们的结果意味着：对于每个$ε>0$，每个最小度至少为$(0.852+ε)n$的足够大阶$n$图都有三角分解当且仅当它的度都是偶数，且边数是3的倍数.
2020-01-16 math.CO
A list analog of Vizing's Theorem for simple graphs with triangles but no other odd cycles
这篇论文已被作者撤回。Peterson和Woodall以前证明了列表边着色猜想对没有长度为5或更长的奇圈的图成立。D. Peterson和D. R. Woodall，Edge-Choosability in line-perfect multigraphs，Discrete Mathematics 202（1999），191-199. D. Peterson和D. R. Woodall，Erratum to“Edge-Choosability in line-perfect multigraphs”，Discrete Mathematics 260（2003），323-326.
2015-08-07 math.CO
On the Chudnovsky-Seymour-Sullivan Conjecture on Cycles in Triangle-free Digraphs
对于一个不含有向三角形或对角形的简单有向图$G$，令$β(G)$是使得$G\setminus X$不含有向圈的最小子集$X \subseteq E(G)$的大小，令$γ(G)$是$G$中不相邻顶点的无序对的数目。2008年，Chudnovsky、Seymour和Sullivan证明了$β(G) \le γ(G)$，并证明了$β(G) \le γ(G)/2$。最近，Dunkum、Hamburger和Pór证明了$β(G) \le 0.88 γ(G)$。本文证明了$β(G) \le 0.8616 γ(G)$ .
2009-09-14 math.CO
DP-3-coloring of planar graphs without certain cycles
DP-着色是列表着色的一种推广，它是由Dvotelák和Postle [J. Combin.理论系列B 129（2018）38- 54]。张[通知。过程Lett. 113（9）（2013）354- 356]证明了每个既不含相邻三角形也不含5-、6-、9-圈的可平面图是3-可选的。Liu等人[Discrete Math.342（2019）178--189]证明了每个不含4-、5-、6-和9-圈的可平面图都是DP-3-可着色的。本文证明了任何既不含邻接三角形也不含5-圈、6-圈、9-圈的可平面图都是DP-3-可着色的，推广了这些结果。Yu等人给出了三个Bordeaux型结果，证明了：（i）三角形距离至少为3且不含4-、5-圈的可平面图是DP-3-可着色的，（ii）三角形距离至少为2且不含4-、5-、6-圈的可平面图是DP-3-可着色的;（iii）三角形距离至少为2且不含5-圈、6-圈、7-圈的可平面图是DP-3-可着色的.在最后一节中我们还给出了两个Bordeaux型结果：（i）任何既不含5-、6-、8-圈也不含距离小于2的三角形的平面图是DP-3-可着色的;（ii）任何既不含4-、5-、7-圈也不含距离小于2的三角形的平面图是DP-3-可着色的。
2021-03-22 math.CO
On fractional triangle decompositions of random graphs
该研究证明了在特定概率条件下，随机图几乎必然存在分数三角分解，并通过算法方法实现了该分解的构造。
2025-11-19 math.CO
Higher-order Stirling cycle and subset triangles: Total positivity, continued fractions and real-rootedness
本文定义以 r≥1 参数化的高阶 Stirling 循环与子集三角，围绕四类全正性问题提出猜想，并证明 r=2 时的部分结果。
2025-07-25 math.CO
Cycle-maximal triangle-free graphs
我们猜想平衡完全二部图$K_{\lfloor n/2 \rfloor,\lceil n/2 \rceil}$比任何其它的$n$ -顶点无三角形图包含更多的圈，并且我们在证明这一点上取得了一些进展。我们给出了圈极大三角形自由图的等价条件;给出了圈数与顶点数、边数、围长以及与小固定图的同态之间的界限;并利用这些界限证明了在正则图中，猜想成立。我们还考虑了接近正则的图，其最小度和最大度最多相差一个正整数$k$。对于$k=1$，我们表明，任何这样的反例有$n\le 91$，并不同态$C_5$ ;和任何固定的$k$存在一个有限的上界的顶点数的反例。最后，我们描述了一个算法，有效地计算矩阵永久（一般是一个P-完全问题），在我们的界限使用的特殊情况下。
2014-10-29 math.CO
Hyperplanes in Configurations, decompositions, and Pascal Triangle of Configurations
\cite{gevay}中给出了一个优雅的过程，它将一类二项式构形分解为两个其他的构形，类似于帕斯卡三角形的定义。从本质上讲，这种构造已经在\cite{perspect}中提出。我们表明，这样一个过程是固定在配置中的一些类$\mathcal K$合适的超平面的结果：都在这个类中，删除这样的超平面的结果在这个类中的配置。通过一个例子，我们显示了两个以上（添加到\cite{gevay}）自然类的这种配置，讨论一些其他的，并提出了一些开放的问题，似乎也自然在这种情况下。
2019-07-22 math.CO
Triangle decompositions of $λK_v-λK_w-λK_u$
用$λK_v$表示具有重数$λ$的序$v$的完全图。设$λK_v-λK_w-λK_u$是由$λK_v$通过去掉两个顶点不相交的完全多子图的边而得到的图，其中重数$ λ$分别为$ w $和$ u $。当$λ$为奇数时，证明了存在$λK_v-λK_w-λK_u$的三角分解当且仅当$v\geq w+u+\max\{u,w\}$，$ λ\left({v\choose 2}-{u\choose 2}-{w\choose 2}\right) \equiv 0 \pmod 3$和$λ(v-w) \equiv λ(v-u) \equiv λ(v-1) \equiv 0 \pmod 2$ .当$λ$是偶数时，证明了对于足够大的$v$，$λK_v-λK_w-λK_u$存在三角分解的基本必要条件也是充分的.
2019-10-08 math.CO
Triangle decompositions of PG(n-1,2)
本文在射影空间 PG(n-1,2) 中构造平衡三角形设计，并证明 Singer 循环群不变设计与特殊 18 元子集划分等价，为 n=7,13,19 给出实例。
2025-07-08 math.CO
Planar graphs without cycles of lengths 4 and 5 and close triangles are DP-3-colorable
Montassier，Raspaud，and Wang（2006）要求找到最小的正整数$d_0$和$d_1$，使得没有$\{4,5\}$ -圈和$d^Δ\ge d_0$的可平面图是$3$ -可选的，没有$\{4,5,6\}$ -圈和$d^Δ\ge d_1$的可平面图是$3$ -可选的，其中$d^Δ$是三角形之间的最小距离。结果显示，$2\le d_0\le 4$和$d_1\le 3$ .本文证明了下列可平面图是DP-3-可着色的：（1）不含$\{4,5\}$ -圈和$d^Δ\ge 3$的可平面图是DP- $3$ -可着色的;（2）不含$\{4,5,6\}$ -圈和$d^Δ\ge 2$的可平面图是DP- $3$ -可着色的. DP-着色是列表着色的推广，因此作为推论，$d_0\le 3$和$d_1\le 2$。实际上，我们证明了更强的声明，每个预着色的一些圈可以扩展到整个图。
2018-09-04 math.CO
Ramsey number of a connected triangle matching
我们确定了与$c(nK_3)$匹配的{ \em连通}三角形的$2$ -色Ramsey数，其中$2$是任何含有$n$顶点不相交三角形的连通图.我们得到了$R(c(nK_3),c(nK_3))=7n-2$，比Burr，Erd \H os和Spencer关于三角形匹配的经典结果$R(nK_3,nK_3)=5n$稍大.其动机是确定循环$C_n^2$的平方的拉姆齐数$R(C_n^2,C_n^2)$。我们应用我们的拉姆齐结果连接三角形匹配表明，拉姆齐数的“几乎”平方的周期$C_n^{2,c}$（周期长度$n$，但最多一个常数$c$的短对角线）是渐近$7n/3$。
2015-09-18 math.CO
3-coloring triangle-free planar graphs with a precolored 8-cycle
设G是一个平面无三角形图，C是G中长度不超过8的圈。我们刻画了C的3-染色不扩展到整个图的正常3-染色的所有情况。
2013-05-11 cs.DM math.CO
Triangle-free graphs with large chromatic number and no induced wheel
轮是一个图，它由一个长度至少为4的诱导圈和一个在圈上至少有三个相邻顶点的附加顶点组成。我们证明了没有Burling图包含诱导轮。Burling图是无三角形的，并且具有任意大的色数，因此这回答了Trotignon的一个问题，并反驳了Scott和Seymour的一个猜想.
2022-02-17 math.CO
Fractional Triangle Decompositions at Partite Minimum Degree $4n/5$
University of California, Los Angeles（加州大学洛杉矶分校）
本文证明部分最小度为 $4n/5$ 的平衡三部图存在分数三角分解，并借此将部分拉丁方阵的可完成性阈值改进至 $\varepsilon<1/5$，优于此前 $2/25$ 的界。
2026-09-29 math.CO
On extremal numbers of the triangle plus the four-cycle
对于一个图族$\mathcal{F}$，设$ex(n,\mathcal{F})$表示不包含$\mathcal{F}$的任何成员作为子图的$n$ -顶点图中的最大边数.极值图论中一个长期存在的问题是确定函数$ex(n,\{C_3,C_4\})$。本文给出了围长至少为5且顶点数为任意的稠密图的一种新的构造方法，这是自1976年以来对$ex(n,\{C_3,C_4\})$下界的首次改进.作为推论，这对Chung-Graham [3]中的一个问题产生了否定的答案。
2022-12-05 math.CO
Pentagons in triangle-free graphs
对于所有的$n\ge 9$，我们证明了，只有三角形自由图的$n$顶点最大化的数量$5$ -圈是平衡的5-圈的爆破。这完全解决了Erdzes的一个猜想，并扩展了Grzesik和Hatami，Hladkloven，Král '，Norin和Razborov的结果，他们独立地证明了对于大$n$和对于所有$n$可被$5$整除的相同结果。
2017-12-24 math.CO
Triangle resilience of the square of a Hamilton cycle in random graphs
自Sudakov和Vu于2008年首次提出以来，随机图中弹性问题的研究在概率组合学中受到了广泛的关注。特别感兴趣的是弹性问题的跨越结构。众所周知，对于包含许多三角形的跨越结构，局部弹性不能防止对手通过移除可忽略不计的数量的入射到每个顶点的边来破坏结构的所有副本。在本文中，我们概括的概念，本地弹性$H$ -弹性，并证明其实用性上的包含问题的平方汉密尔顿循环。特别地，我们证明了存在一个常数$C > 0$，使得如果$p \geq C\log^3 n/\sqrt{n}$，那么在随机图$G_{n, p}$的每个子图$G$中存在Hamilton圈的平方，只要$G$的每个顶点至少保持在其三角形的一个$(4/9 + o(1))$ -分数上，从$G_{n, p}$ .常数$4/9$是最佳的，并且$p$的值稍微改进了这种结构的最佳外观阈值，并且最佳达到对数因子。
2021-11-17 math.CO
The Higher-order Stirling Triangles
Tianjin University（天津大学）；Nankai University（南开大学）
本文引入斯特林子集排列与连续下降统计量，解决了高阶斯特林子集三角的组合解释问题，并证明了相关行对数凹性猜想。
2026-10-08 math.CO
Rainbow cycles in triangle-free graphs
Arizona State University（亚利桑那州立大学）
研究边着色无三角形图中彩虹圈的存在性，通过改进色度最小度条件，证明当δ^c(G)≥(n+7)/5时存在长度为4的彩虹圈，并推广到任意4k长度。
2026-06-15 math.CO
Extremal triangle-free and odd-cycle-free colourings of uncountable graphs
最优的Erdens-Rado定理对证明了着色$Δ_κ: [2^κ]^2 \rightarrow κ$记录两个功能之间的最小点的分歧。这种颜色没有单色三角形，或者更一般地说，奇数周期。我们调查了一些问题，调查$Δ_κ$是一个\emph{extremal}这样的三角形或奇数周期的自由着色的程度。我们首先介绍的概念，$Δ$ -回归和几乎$Δ$ -回归着色和研究的结构，必须出现这样的着色单色子图。我们还考虑的问题，是否$Δ_κ$具有最小的基数的任何\emph{maximal}三角形或奇数周期免费着色成$κ$。对于无奇循环的着色，我们肯定地解决了这个问题。
2020-03-05 math.CO math.LO
Quartic graphs with every edge in a triangle
我们证明了四次（即4-正则）重图的每条边都在三角形内的性质。主要的结果是，这样的图要么是平方的周期，线重图的立方重图，或从这些由一些简单的子图替换操作。这一点的一个推论是，每条边都在三角形中的简单四次图要么是圈的平方，要么是三次图的线图，要么是通过用K_{1,1,3}的副本替换三角形而从三次多重图的线图获得的图。
2013-08-01 math.CO
Counting triangles in graphs without vertex disjoint odd cycles
本文确定了在禁止包含 $\ell+1$ 个顶点不相交奇圈的图中三角形副本的最大数量及其极图，推广了已有结论。
2023-10-29 math.CO
Every toroidal graph without triangles adjacent to $5$-cycles is DP-$4$-colorable
DP-着色，也称为对应着色，是由Dvo{zhi}{á}k和Postle引入的。它是列表着色的一个推广。本文证明了，除非是具有欧拉示性数$ε(G) = 0$的2-连通$4$ -正则图，否则每个与$5$ -圈相邻的不含三角形的连通环面图的最小度至多为3.因此，任何不含与$5$ -圈相邻的三角形的环形图都是DP- $4$ -可着色的。最后证明了不含两个确定子图的可平面图是DP- $4$ -可着色的。作为直接结果，（i）每个没有$3$ -圈邻近$4$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的;（ii）每个没有$3$ -圈邻近$5$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的;（iii）每个没有$4$ -圈邻近$5$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的.
2019-08-14 cs.DM math.CO
Flexible DP-4-coloring of planar graphs without 4-cycles and intersecting triangles
Zhejiang Normal University（浙江师范大学）；William & Mary（威廉玛丽学院）
本文证明了无4-圈且无相交三角形的平面图是加权ε-柔性DP-4-可染色的，改进了已有结果中从3-圈距离至少2到无相交三角形的条件，并将列表柔性推广到加权DP柔性。
2026-05-22 math.CO
Hamiltonian Cycles in Signed and Multisigned Complete Graphs
本文刻画符号完全图中哈密顿圈符号与三角形符号的等价关系，并将其推广至多符号完全图，证明存在不同多符号哈密顿圈等价于存在不同多符号三角形。
2025-02-15 math.CO math.GR
Three coloring via triangle counting
在Steinberg的三着色猜想的第一个部分结果中，Abbott和Zhou使用计数论证证明了每个不具有长度为4到11的圈的可平面图是3-可着色的。在他们的证明中隐含了一个关于平面图的事实：在任何最小度为3的平面图中，如果没有两个三角形共享一条边，那么三角形构成的面严格小于小于2/3。我们证明了这个结果，结合Kostochka和Yancey的解决方案的矿石猜想k = 4，意味着每个可平面图没有周期的长度4至8是3-着色。
2022-09-10 math.CO
Minimalist designs
迭代吸收法最近在（超）图分解领域取得了重大进展。在其他结果中，得到了组合设计存在性猜想的一个新的证明和一些推广。在这里，我们说明的方法，通过调查三角分解：我们给出了一个简单的证明，一个三角形可分图的最小程度大的三角形分解，并证明了类似的结果，拟随机主机图。
2020-02-28 math.CO
Proper vertex-pancyclicity of edge-colored complete graphs without joint monochromatic triangles
在边着色图$(G,c)$中，$d^c(v)$表示与$G$的顶点$v$关联的边上的颜色数，$δ^c(G)$表示$d^c(v)$在所有顶点$v\in V(G)$上的最小值.如果$(G,c)$的循环的任何两个相邻边具有不同的颜色，则该循环被称为真循环。一个$n\geq 3$的顶点被边着色，如果对于每个$\ell$，$(G,c)$的每个顶点都包含在一个长度为$\ell$的真圈中，并且$(G,c)$的每个顶点都有$3 \le \ell \le n$ . Fujita和Magnant证明了$n\geq 3$顶点上的边着色完全图都是点泛圈图，且其顶点数为$δ^c(G)\geq \frac{n+1}{2}$. Chen，Huang和Yuan通过增加一个额外的条件，即$(G,c)$不包含任何单色三角形，部分地解决了这个猜想。在本文中，我们证明了这个猜想是正确的，如果边着色完全图不包含联合单色三角形。
2020-07-28 math.CO
On the maximum number of triangles in tripartite graphs with no $4$-cycles between any two parts
School of Computer Science and Technology, Dongguan University of Technology（东莞理工学院计算机科学与技术学院）；School of Mathematical Sciences, Zhejiang Normal University（浙江师范大学数学科学学院）
本文研究三部图中任意两部分间无4-环时的最大三角形数，利用新的平面多项式构造，将下界从$(1-o(1))k^{5/3}$改进至$(1-o(1))k^{17/10}$。
2026-09-09 math.CO
Strong connectivity and directed triangles in oriented graphs. Partial results on a particular case of the Caccetta-Häggkvist conjecture
Caccetta-Häggkvist猜想的一个特例是，一个最小出度至少为$1/3n$的$n$阶有向图包含一个长度至多为3的有向圈。最近，Kral，Hladky和Norine证明了最小出度至少为$0.3465n$的$n$阶有向图包含长度不超过3的有向圈（这是目前最好的结果）.一个较弱的特殊情况是，最小半度至少为$1/3n$的$n$阶有向图包含有向三角形。在最近的一篇文章中，作者利用Kral等人的结果证明了：对于$β\geq 0.343545$，任何阶为$n$且最小半度至少为$βn$的有向图$D$都包含一个长度至多为3的有向圈（这是目前最好的结果）.这意味着，对于给定的整数$d\geq 1$，每一个具有最小半度$d$且阶为$md$且阶为$m\leq 2.91082$的有向图都包含一个长度至多为3的有向圈。特别地，每一个具有最小半度$d$且阶$md$具有$m\leq 2.91082$的有向图都包含有向三角形。本文利用Kral等人的结果证明了：每一个半度为最小$d$，序为$md$且序为$2.91082< m\leq 3$，强连通度至多为$0.679d$的有向图都包含有向三角形.这将通过更一般和更精确的结果来暗示，不仅对$2.91082< m\leq 3$有效，而且对更大的$m$值也有效。作为应用，改进了已有的两个结果.第一个结果（作者Broersma和Li）涉及一个$n$阶且最小半度至少为…
2011-12-15 math.CO
Every planar graph without $i$-cycles adjacent simultaneously to $j$-cycles and $k$-cycles is DP-$4$-colorable when $\{i,j,k\}=\{3,4,5\}$
DP-染色是简单图列表染色的推广。列表着色中的许多结果可以推广到DP-着色中。Kim和Ozeki证明了没有$k$-圈的平面图，其中$k=3,4,5,$或$6$是DP-$4$-可着色的.最近，Kim和Yu推广了关于$3$-圈和$4$-圈的结果，证明了没有三角形邻接$4$-圈的平面图是DP-$4$-可着色的。Xu和Wu证明了不存在同时与$3$-圈和$4$-圈相邻的$5$-圈的平面图是$4$-可选的.本文推广了关于$5$-圈和与$4$-圈相邻的三角形的结果，证明了当$\{i,j,k\}=\{3,4,5\}.$时，没有$i$-圈同时与$j$-圈和$k$-圈相邻的平面图是DP-$4$-可染的.这也推广了徐和吴的结果.
2018-01-31 math.CO
Constructing Triangle Decomposable Multigraphs with Minimum Multi-edges
研究了图的三角分解。我们考虑的建设类图的每一个边缘在于一个三角形和添加的最小数量的重边之间已经邻顶点的结果在一个强三角形整除图，也是三角形可分解的。我们探讨了几类可平面图以及一类环形图。
2021-08-19 math.CO
Decompositions of Triangle-Dense Graphs
高三角形密度--图形属性表明恒定比例的两跳路径属于一个三角形--是社交网络的常见特征。本文从结构的角度研究了三角稠密图。我们建设性地证明了一个三角稠密图的重要部分包含在一个不相交的稠密，半径为2的子图。这一结果量化了三角稠密图类似于集团工会的程度。我们还表明，我们的算法恢复种植聚类近似稳定的k-中位数的情况下。
2014-02-07 cs.DS cs.SI math.CO
Rainbow triangles and the Caccetta-Häggkvist conjecture
Caccetta和Häggkvist的一个著名猜想是，在$n$顶点且最小出度至少为$\frac{n}{r}$的有向图中，存在长度为$r$或更小的有向圈。我们考虑以下推广：在$n$顶点上无向图中，$n$不相交边集合的任何集合，每个边的大小至少为$\frac{n}{r}$，有一个长度为$r$或更小的彩虹圈.我们着重讨论了$r=3$的情形，并在比猜想中更强的条件下证明了彩虹三角形的存在性.对于任意固定的$k$和足够大的$n$，我们确定了一个$n$ -顶点边着色图的最大边数，其中所有的色类的大小最多为$k$，并且没有彩虹三角形.此外，我们还刻画了这个问题的极图。
2018-04-04 math.CO
Orientations making k-cycles cyclic
本文证明了n-顶点完全图的边的最小方向数是$\lceil\log_2(n-1)\rceil$，该n-顶点完全图的每个三角形至少在其中一个三角形中是循环的.更一般地，我们还确定了$K_n$的最小定向数，使得它们中的至少一个在顶点集的每个$k$元素子集上循环地定向某些特定的$k$ -圈。这些结果所回答的问题是由Vera T.关于三角形和$3$ -边着色的Sós。一些变种的问题也被认为是。
2015-02-24 math.CO
An invariant for minimum triangle-free graphs
我们研究了具有指定顶点数$n(G)$、独立数$α(G)$和长度为4的圈数$\operatorname{N}(C_4;G)$的无三角形图的边数$e(G)$。我们特别表明，$$3e(G) - 17n(G) + 35α(G) + \operatorname{N}(C_4;G) \geq 0$$的所有三角形的自由图$G$。我们还证明了满足这个不等式的图具有相等性。
2016-12-04 math.CO
On sufficient conditions for rainbow cycles in edge-colored graphs
设$G$是边着色图.我们使用$e(G)$和$c(G)$分别表示$G$的边数和$E(G)$上出现的颜色数。对于顶点$v\in V(G)$，$v$的\emph{color neighborhood}被定义为分配给与$v$关联的边的颜色集合。$G$的一个子图是\emph{rainbow}，如果它的所有边都被赋予不同的颜色。著名的曼特尔定理指出，如果$e(G)\geq\lfloor\frac{n^2}{4}\rfloor+1$，则在$n$顶点上的图$G$包含三角形。Rademacher（1941）证明了在相同条件下$G$至少包含$\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$三角形。Li，Ning，Xu and Zhang（2014）证明了Mantel定理的彩虹版本：边着色图$G$有彩虹三角形，如果$e(G)+c(G)\geq n(n+1)/2$。本文首先刻画了所有满足$e(G)+c(G)\geq n(n+1)/2-1$但不含彩虹三角形的图$G$。受Rademacher定理的启发，我们刻画了所有满足$e(G)+c(G)\geq n(n+1)/2$但只包含一个彩虹三角形的图$G$。进一步得到了彩虹短圈存在的色邻域条件的两个结果。我们的结果改进了Broersma、Li、Woeginger和Zhang（2005）提出的先前定理。此外，我们提供了一个充分条件的颜色邻域的顶点不相交的彩虹圈存在…
2019-03-18 math.CO
Triangles in $C_5$-free graphs and Hypergraphs of Girth Six
我们引入了一种新的方法，并证明了在$n$顶点上的$C_5$ -free图中三角形的最大数目至多为$$(1 + o(1)) \frac{1}{3 \sqrt 2} n^{3/2}.$$。我们还证明了与长度小于6的没有（Berge）圈的$r$ -均匀超图的连接，并估计了它们的最大可能大小。
2018-11-28 math.CO
Three-Bit Flows and Cycle Covers. Part I
研究无零三位流、带标签三角形与无桥多重图的圈双覆盖关系，利用西摩和塔特流定理，将顶点流值与三角形边差关联，通过多种方式证明二元系统可解，进而证明有限无桥多重图有圈双覆盖，解决圈双覆盖猜想。
2026-07-17 math.CO
