Hamilton cycles in pseudorandom graphs: resilience and approximate decompositions
Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）；Department of Mathematical Sciences, KAIST（韩国科学技术院数学科学系）；Extremal Combinatorics and Probability Group (ECOPRO), Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院极值组合与概率研究组）
该研究针对不含过密子图的伪随机图证明两个核心定理，得到稀疏伪随机图中渐近最优的哈密顿韧性与分解结果，改进了相关领域此前的结论。
2026-11-02 math.CO
Hamiltonian Cycles in Signed and Multisigned Complete Graphs
本文刻画符号完全图中哈密顿圈符号与三角形符号的等价关系，并将其推广至多符号完全图，证明存在不同多符号哈密顿圈等价于存在不同多符号三角形。
2025-02-15 math.CO math.GR
On the Hamilton-Waterloo Problem with triangle factors and $C_{3x}$-factors
在$C_{m}$ -因子和$C_{n}$ -因子的情况下的哈密尔顿-滑铁卢问题（HWP）询问$K_v$（其中$v$是奇数）（或$K_v-F$（其中$F$是1-因子并且$v$是偶数）是否可以被分解成完全由$m$ -循环构成的2-因子的r个拷贝和完全由$n$ -循环构成的2-因子的$s$拷贝。本文给出了这类分解的一般构造，并将其应用于$m=3$和$n=3x$ .我们解决了奇数$v$的问题，除了有限数量的$x$值。当$v$是偶数时，我们在问题上取得了重大进展，尽管留下了未解决的案例。特别是，$v$甚至和$s=1$的困难情况在许多情况下都是开放的。
2015-10-15 math.CO
Robust hamiltonicity of random directed graphs
在他的开创性论文从1952年狄拉克表明，完全图上的$n\geq 3$顶点仍然是哈密尔顿，即使我们允许对手删除$\lfloor n/2\rfloor$边缘接触每个顶点。1960年，Ghouila-Houri得到了有向图的一个类似陈述，证明了在$n\geq 3$顶点上的每一个有向图，其最小入度和出度至少为$n/2$，都包含一个有向Hamilton圈。这两种说法都量化了完全图（有向图）关于包含Hamilton圈的属性的鲁棒性。一个自然的方法来推广这样的结果任意图（有向图）是使用的概念\emph{local resilience}。图（有向图）$G$关于属性$\mathcal{P}$的局部弹性是最大数目$r$，使得$G$具有属性$\mathcal{P}$，即使我们允许对手移除接触每个顶点的（进入和离开）边的$r$ -分数。Dirac和Ghouila-Houri的定理指出，完全图和有向图关于Hamilton性的局部弹性是$1/2$。最近，这种说法已被推广到随机设置。Lee和Sudakov（2012）证明了边概率为$p=ω(\log n /n)$的随机图相对于Hamilton性的局部弹性为$1/2\pm o(1)$。对于随机有向图，Hefetz，Steger和Sudakov（2014+）证明了一个类似的陈述，但仅针对边概率$p=ω(\log n/\sqrt{n})$。在本文中，我们显着改善他们…
2014-10-08 math.CO
On the resilience of Hamiltonicity and optimal packing of Hamilton cycles in random graphs
令$\bk=(k_1,...,k_n)$是$n$整数序列。对于一个单调递增图性质$\mP$，我们说一个基图$G=([n],E)$是关于$\mP$的\emph{$\bk$-resilient}，如果对于每个子图$H\subseteq G$，使得对于每个$1\leq i\leq n$，图$G-H$具有$\mP$，$d_H(i)\leq k_i$。这个概念自然地扩展了最近由Sudakov和Vu提出的图的\emph{local resilience}的思想。在本文中，我们研究了$\bk$ -弹性的一个典型的图从$\GNP$相对于汉密尔顿性质，我们让$p$范围内的所有值的基础图预计是汉密尔顿。特别是，我们证明了，对于每个$ε>0$和$p\geq\frac{\ln n+\ln\ln n +ω(1)}{n}$，如果一个图是从$\GNP$采样，然后以高概率删除从每个顶点的“小”度的所有事件的边缘，但两个和从任何其他顶点至多一个$(\frac{1}{3}-ε)$ -分数的事件的边缘将导致在一个哈密尔顿图。考虑到这种广义的方法的概念弹性允许建立几个推论，提高最知名的界限的哈密顿相关的问题。这意味着，对于每个正的$ε>0$和足够大的$K$值，如果$p>\frac{K\ln n}{n}$，则$\GNP$相对于哈密顿量的局部弹性很可能至少是$(1-ε)np/3$，改进了$p$的该范围的先前界。另一个含义是随…
2011-01-16 cs.DM math.CO math.PR
Double signs of Hamiltonian circles in doubly signed complete graphs
本文研究双符号完全图中哈密顿圈的双符号实现问题，证明了当三角形双符号集合至少含三个不同值时，哈密顿圈可实现全部四种双符号。
2025-09-20 math.CO
Local resilience and Hamiltonicity Maker-Breaker games in random-regular graphs
对于单调递增图性质$\mP$，图$G$关于$\mP$的\emph{local resilience}是最小$r$，对于该最小$r$，存在所有度至多为$r$的子图$H\subseteq G$，使得从$G$移除$H$的边创建不具有$\mP$的图。这个概念，这是隐式研究的一些特设性质，最近在一个更系统的方式处理的论文由Sudakov和Vu。关于这种距离概念进行的大多数研究集中在二项随机图模型$\GNP$和一些伪随机图族，这些伪随机图族具有几个图形属性，例如包含完美匹配和Hamilton。在本文中，我们继续探讨本地弹性的概念，但把我们的注意力转向随机和伪随机\emph{regular}图的常数度。本文研究了随机$d$ -正则图的局部弹性问题，该图具有边连通性和顶点连通性，包含一个完美匹配，并且是Hamilton图。特别是，我们证明了，对于每一个积极的$ε$和足够大的值的$d$具有高概率的随机$d$ -正则图，$\GND$的局部弹性，相对于是哈密尔顿至少是$(1-ε)d/6$。我们还证明了，对于二项随机图模型$\GNP$，对于每一个正的$ε>0$和足够大的$K$值，如果$p>\frac{K\ln n}{n}$，那么以高概率的局部弹性的$\GNP$相对于汉密尔顿至少是$(1-ε)np/6$。最后，我们应用类似的技术，位置游戏，并证明，如果$d$是足够大的，然后以高概率的一个典型的随机$d$ -…
2010-06-20 cs.DM math.CO math.PR
General Parity Result and Cycle-plus-Triangles Graphs
推广了Fleishner和Stiebitz的一个宇称结果，并结合Alon-Tarsi多项式方法证明了由一个哈密顿圈和若干个不相交的三角形构成的4-正则图总是3-可选的.此外，我们提出了一个修改的多项式方法，并显示它如何给稍微多的组合信息的着色比直接应用阿隆的组合零点。
2015-12-19 math.CO
Resilient degree sequences with respect to Hamilton cycles and matchings in random graphs
Pósa定理指出，任何图$G$，其度序列$d_1 \le \ldots \le d_n$对所有$i < n/2$满足$d_i \ge i+1$，都有一个Hamilton圈。这种程度的条件是最好的。我们证明了一个类似的结果适用于随机图的适当子图$G$，即我们证明了Pósa定理的“弹性版本”：如果$pn \ge C \log n$和$G \subseteq G_{n,p}$的第$i$个顶点度（递增排序）至少是$(i+o(n))p$，对所有$i<n/2$，那么$G$有一个Hamilton圈。这基本上是最好的可能性，并加强了李和苏达科夫获得的狄拉克定理的弹性版本。Chvátal定理推广了Pósa定理，并刻画了所有确保Hamilton圈存在的度序列。我们证明了对Chvátal定理的弹性版本的自然猜测是不正确的。我们制定了一个猜想，这将修复这个猜测，并表明，相应的程度条件，确保存在一个完美的匹配在任何子图的$G_{n,p}$满足这些条件。这提供了一个渐进的特点，弹性保证存在一个完美的匹配的所有度序列。
2019-12-02 math.CO
Properly colored cycles in edge-colored complete graphs containing no monochromatic triangles: a vertex-pancyclic analogous result
边有色图中的适当着色的圈（路径）是指具有被赋予不同颜色的连续边的圈（路径）。单色三角形是一个长度为$3$且边指定为相同颜色的循环。每个不含单色三角形的边着色完全图都含有一条正常着色的Hamilton路，本文研究了当禁止单色三角形时，边着色完全图中正常着色圈的存在性.我们得到一个顶点泛循环的类似结果结合所有的例外的特征。
2020-08-21 math.CO
Resilience of rainbow Hamilton cycles in pseudorandom graphs
该论文证明在伪随机图中，满足一定最小度条件的生成子图在全局有界着色下必含彩虹哈密顿圈，并给出计数、渗流及避免边对冲突的推广，回答了随机图上的相关问题。
2026-10-22 math.CO
Tight upper bounds on the hop domination number of triangle-free graphs
本文研究了无三角图的跳跃控制数问题，证明了对于顶点数 $n\ge 15$ 且最小度 $δ(G)\ge 2$ 的连通无三角图，其跳跃控制数 $γ_h(G)\le \frac{2n}{5}$，并给出了包含 Hamiltonian 路径或圈的无三角图的紧上界。
2025-03-06 math.CO
Powers of Hamilton cycles in pseudorandom graphs
我们研究了伪随机图中Hamilton圈的幂的出现，使用以下相对弱的伪随机性概念。一个图$G$是$(\varepsilon,p,k,\ell)$ -伪随机的，如果对于所有不相交的$X$和$Y\subset V(G)$，有$|X|\ge\varepsilon p^kn$和$|Y|\ge\varepsilon p^\ell n$，我们有$e(X,Y)=(1\pm\varepsilon)p|X||Y|$。证明了对所有的$β>0$，存在一个$\varepsilon>0$使得在$n$顶点上的最小度至少为$βpn$的$(\varepsilon,p,1,2)$ -伪随机图包含一个Hamilton圈的平方.特别地，这意味着具有$λ\ll d^{5/2 }n^{-3/2}$的$(n,d,λ)$ -图包含哈密尔顿圈的平方，因此如果$n$是$3$的倍数，则包含三角形因子。这改进了Krivelevich，Sudakov和Szabó [Triangle factors in sparse pseudo-random graphs，Combinatorica 24（2004），no.3，403- 426]的结果。我们还将所得结果推广到Hamilton圈的高次幂上，并建立了相应的计数形式.
2014-02-06 math.CO
Local resilience of an almost spanning $k$-cycle in random graphs
著名的Pósa-Seymour猜想在1998年被Komlós、Sárközy和Szemerédi证实，它指出对任何$k \geq 2$，每个在$n$顶点上具有最小度$kn/(k + 1)$的图都包含一个Hamilton圈的$k$次幂。我们将这一结果推广到稀疏随机设置。本文证明了对每个$k \geq 2$都存在$C > 0$，使得如果$p \geq C(\log n/n)^{1/k}$，那么w. h. p.随机图$G_{n, p}$的每个最小度至少为$(k/(k + 1) + o(1))np$的子图，至少在$(1 - o(1))n$顶点上包含$k$次圈幂，改进了Noever和Steger关于$k = 2$以及Allen等人关于$k \geq 3$的最新结果.我们的结果几乎是最好的可能在三个方面：对于$p \ll n^{-1/k}$的随机图$G_{n, p}$ w. h. p.不包含任何长循环的$k$次幂;存在$G_{n, p}$的子图具有最小度$(k/(k + 1) + o(1))np$和$Ω(p^{-2})$顶点不属于三角形;存在$G_{n, p}$的子图具有最小度$(k/(k + 1) - o(1))np$不包含$(1 - o(1))n$顶点上的循环的$k$次幂。
2018-08-30 math.CO
Hamilton cycles in vertex-transitive graphs of order $6p$
本文研究阶为 $6p$（$p$ 为素数）的连通顶点传递图，证明除 Petersen 图的三角形替换图外，此类图均包含哈密顿圈，从而加强了已有哈密顿路径结果。
2025-02-07 math.CO
On 3-regular 4-ordered graphs
一个单图$G$是\textit{k-ordered}（分别为\textit{k-ordered hamiltonian}），如果对于$G$的任何序列的$k$不同的顶点$v_1, ..., v_k$，存在一个循环（分别为哈密顿圈）在$G$包含这些$k$顶点在指定的顺序。1997年，Ng和Schultz引入了这些循环可序性的概念，并提出了除$K_4$和$K_{3, 3}$之外的3-正则4-序（Hamilton）图的存在性问题。Ng和Schultz观察到顶点数大于4的3-正则4-序图是无三角形的。证明了顶点数大于6的3-正则4-序图$G$是无平方图，并且证明了无三角形且无平方的最小图，即Petersen图，是4-序图.进一步证明了在$K_4$和$K_{3, 3}$之后的最小的3-正则4-序哈密尔顿图是Heawood图，并给出了顶点数大于10的3-正则4-序哈密顿图的禁止子图.最后，我们构造了一个3-正则4-序图的无限族。
2005-09-19 math.CO
Local resilience for squares of almost spanning cycles in sparse random graphs
1962年，Pósa证明了一个图$G=(V, E)$包含一个哈密尔顿圈的平方，如果$δ(G)\ge 2n/3$ .仅仅过了30多年，科姆洛什、萨尔科奇和塞梅雷迪用所谓的爆破引理证明了这个猜想。在这里，我们将他们的结果扩展到一个随机的图形设置。我们证明了对于每个$ε> 0$和$p=n^{-1/2+ε}$ a.a.s. $G_{n,p}$的每个最小度至少为$(2/3+ε)np$的子图在$(1-o(1))n$的顶点上包含圈的平方。这在三种方式中几乎是最好的可能：（1）对于$p\ll n^{-1/2}$，随机图将不包含长循环的任何平方（2）人们不能希望生成循环的平方的弹性版本（因为删除单个顶点的邻域中的所有边破坏了此属性）以及（3）对于$c<2/3$ a.a.s. $G_{n,p}$包含一个最小度至少为$cnp$的子图，该子图不包含$(1/3+c)n$顶点上的路的平方。
2016-06-09 math.CO
Distributions of sparse spanning subgraphs in random graphs
本文给出了随机图$\G(n,p)$中生成子图的分布的一般判定方法。特别是，我们确定的某些给定的度序列，这是一个广义的$d$ -因子，生成的三角形的子图，（有向）Hamilton圈和生成子图是同构的顶点不相交（有向）三角形的集合的生成子图的分布。
2015-01-15 math.CO
Hamilton cycles in graphs and hypergraphs: an extremal perspective
作为最基本和最著名的NP完全问题之一，Hamilton圈问题一直是人们研究的热点。最近在该领域的发展突出了膨胀和准随机性的概念所发挥的关键作用。这些概念和其他最新技术已导致解决该领域的几个长期存在的问题。新的方面也出现了，如弹性，鲁棒性和超图中的Hamilton圈的研究。我们调查这些发展，并突出开放的问题，强调极值和概率的方法。
2014-05-23 math.CO
On the local resilience of random geometric graphs with respect to connectivity and long cycles
本文研究随机几何图 $G_d(n,r)$ 对连通性与长圈的局部韧性，证明在阈值上方可达到接近 $1/2$ 的韧性，并给出 Hamilton 性的常数韧性。
2024-06-14 math.CO
Are highly connected 1-planar graphs Hamiltonian?
众所周知，每个平面4连通图都有一个Hamilton圈。本文研究了1-平面4-连通图是否存在Hamilton圈的问题。我们表明，这是假的一般情况下，即使是5-连通图，但真正的，如果图形有一个1-平面图，每个区域是一个三角形。
2019-11-06 cs.DM math.CO
Random directed graphs are robustly Hamiltonian
Ghouila-Houri在1960年提出了一个经典定理，证明了$n$顶点上的有向图中的最小出度和入度至少为$n/2$的有向图都含有一个有向Hamilton圈.本文将这一定理推广到随机有向图${\mathcal D}(n,p)$，即任意有序对$(u,v)$成为弧的概率为$p$且与其它所有有序对无关的有向图.受随机图弹性性质研究的启发，我们证明了：如果$p \gg \log n/\sqrt{n}$，则a.a.s. ${\mathcal D}(n,p)$的每一个最小出度和入度至少为$(1/2 + o(1)) n p$的子图都含有一个有向Hamilton圈.常数$1/2$是渐近最佳可能值。我们的结果也加强了关于随机有向图中有向Hamilton圈存在性的经典结果。
2014-04-18 math.CO
The Bandwidth Theorem in Sparse Graphs
带宽定理[Mathematische Annalen，343（1）：175- 205，2009]指出，任何具有最小度$\big(\tfrac{k-1}{k}+o(1)\big)n$的$n$ -顶点图$G$包含所有具有有界最大度和带宽$o(n)$的$n$ -顶点$k$ -列图$H$.我们在随机图和伪随机图中提供了这一陈述的稀疏类似物。更准确地说，我们证明了，对于$p\gg \big(\tfrac{\log n}{n}\big)^{1/Δ}$渐近几乎必然每个生成子图$G$的$G(n,p)$与最低程度$\big(\tfrac{k-1}{k}+o(1)\big)pn$包含所有$n$ -顶点$k$ -列图$H$与最大程度$Δ$，带宽$o(n)$，至少$C p^{-2}$顶点不包含在任何三角形。一个类似的结果充分bijumbled图，这是据我们所知，是第一个弹性的结果，在伪随机图的一个丰富的类的生成子图。最后，我们提供了改进的结果$H$与小退化，这特别意味着一个弹性的结果在$G(n,p)$相对于$p\gg \big(\tfrac{\log n}{n}\big)^{1/3}$的有界度树的包容性。
2020-05-11 math.CO
Every $3$-connected $\{K_{1,3},Γ_3\}$-free graph is Hamilton-connected
该研究证明3-连通{K_{1,3},Γ_3}-无关图是哈密顿连通的，解决了禁用子图对刻画哈密顿连通性的一个遗留未决问题，采用新闭包技术与结构分析，关键步骤由计算机辅助。
2024-11-01 math.CO
A closure for Hamilton-connectedness in $\{K_{1,3},Γ_3\}$-free graphs
本文引入一种闭包技术，将$\{K_{1,3},Γ_3\}$-free图转化为多重图的线图并保持其Hamilton-connectedness，为后续证明$3$-连通图满足该性质及解决禁用子图对刻画的开放情形奠定基础。
2024-07-25 math.CO
Dirac's theorem for random graphs
Dirac在1952年提出的一个经典定理证明了$n$顶点上的最小度至少为$\lceil n/2 \rceil$的图是Hamilton图。在本文中，我们将这个结果推广到随机图。受随机图弹性研究的启发，我们证明了如果$p \gg \log n /n$，则a.a.s.最小度至少为$(1/2+o(1))np$的$G(n,p)$的每个子图都是Hamilton图。我们的结果改进了以前已知的界限，并回答了一个公开的问题Sudakov和Vu。边缘概率$p$的范围和常数1/2的值都是渐近最佳可能的。
2012-01-12 math.CO
Hamiltonicity in random graphs is born resilient
设$\{G_M\}_{M\geq 0}$是随机图过程，其中$G_0$是$n$顶点上的空图，序列中的后续图是通过随机均匀添加新边得到的.对于每个$\varepsilon>0$，我们表明，几乎可以肯定的是，任何图$G_M$的最小度至少为2不仅是哈密尔顿（如所示的Bollobás），但仍然哈密尔顿，尽管删除任何一组的边缘，只要最多$(1/2-\varepsilon)$的边缘事件每个顶点被删除。我们说这样的图是$(1/2-\varepsilon)$ -弹性哈密顿量。此外，对于每个$ε>0$，我们表明，几乎可以肯定，每个图$G_M$不是$(1/2+\varepsilon)$ -弹性哈密顿。这些结果加强了Lee和Sudakov关于二项式随机图中Hamilton性的可能弹性的结果。对于每个$k$，我们用$G^{(k)}$表示图$G$的最小度至少为$k$的（可能为空的）极大子图。也就是说，$k$-$G$的核心。Krivelevich、Lubetzky和Sudakov证明了，对于每个$k\geq 15$，几乎在每个随机图过程$\{G_M\}_{M\geq 0}$中，每个非空的$k$ -核都是Hamilton的。我们证明了，对于每个$\varepsilon>0$和$k\geq k_0(\varepsilon)$，几乎在每个随机图过程$\{G_M\}_{M\geq 0}$中，每个非空的$k$ -核都是$…
2019-04-18 math.CO
A note on some embedding problems for oriented graphs
我们猜想，每个定向图$G$在$n$的顶点上都含有$δ^+ (G) , δ^- (G) \geq 5n/12$，它包含一个Hamilton圈的平方。我们还给出了在定向图中传递三角形的最小半度的一个几何界。拉姆齐数和传递竞赛图的完美包装之间的联系也被认为是。
2010-11-19 math.CO
Graphs with few Hamiltonian Cycles
我们描述了一个算法的非同构图的一个给定的数量$k \ge 0$的哈密顿圈，这是特别有效的小$k$的穷举生成。我们的主要发现，结合应用程序的算法和现有的算法与新的理论结果，围绕图包含恰好一个哈密尔顿圈（1H）或恰好三个哈密顿圈（3 H）。受Smith的一个经典结果和Royle的近期工作的启发，我们证明了存在阶为$n$的近立方1H图当且仅当$n \ge 18$是偶图.这给出了Entringer和Swart定理的最强形式，并揭示了Fleischner最初由Escherichone解决的一个问题。我们证明等价的公式的猜想的邦迪和杰克逊，每一个平面1H图包含两个顶点的度2，验证它的顺序16，并表明其环面模拟不成立。我们对待Hellassen的猜想，每一个最小度至少$3$的哈密尔顿图包含一个边缘，使其删除和收缩产量哈密顿图。我们还验证了Sheehan的猜想，即不存在4-正则1H图。扩展Schwenk的工作，我们描述了所有的阶为立方3 H三角形自由图存在。证明了$48$ Cantoni关于平面三次3 H图中含有三角形的猜想，并证明了存在无穷多个平面循环4-边连通三次图，它们恰好含有4个哈密顿圈，从而回答了Chia和Pastassen的一个问题.最后，作为Sheehan关于最大尺寸1H图的工作的补充，我们确定了含有恰好一条Hamilton路的图的最大尺寸，并对每一阶$n$给出了在$n$顶点上具有最…
2019-07-15 cs.DM math.CO
Solution to a problem on hamiltonicity of graphs under Ore- and Fan-type heavy subgraph conditions
一个图$G$称为\emph{claw-o-heavy}，如果$G$的每个诱导爪（$K_{1,3}$）都有两个端点，其度和至少为$G$中的$|V(G)|$.对于给定的图$R$，如果对$G$的每个导出子图$H$同构于$R$，且对$u,v\in V(H)$和$d_H(u,v)=2$的每对顶点，存在$\max\{d(u),d(v)\}\geq |V(G)|/2$，则称$G$为\emph{$R$-f-heavy}.本文证明了2-连通爪- \emph{o} -重图和$Z_3$ - \emph{f} -重图都是Hamilton图（有两个例外图），其中$Z_3$是由$P_4$（一条4顶点的路）的一个端点与三角形的一个顶点相同而得到的图.这一结果肯定地回答了[B]中提出的一个问题。Ning，S. Zhang，Ore-and Fan-type heavy subgraphs for Hamiltonicity of 2- connected graphs，Discrete Math.313（2013）1715- 1725]，并且还暗示了Faudree等人和Chen等人的两个先前定理，分别
2015-09-02 math.CO
Robustness for expander graphs
本文研究了 $(n,d,λ)$-扩张图在随机稀疏化下的鲁棒性质，证明了其包含完美匹配、Hamilton 圈和三角形因子的概率下界，并解决了 Frieze 和 Krivelevich 提出的相关问题。
2025-11-01 math.CO math.PR
Heavy subgraphs, stability and hamiltonicity
设$G$是一个图。分别采用Broersma等人和Čada的术语，我们说$G$是2-重的，如果$G$的每个诱导爪（$K_{1,3}$）包含两个端点，每个端点的度至少为$|V(G)|/2$ ; $G$是o-重的，如果$G$的每个诱导爪包含两个端点，度和至少为$G$中的$|V(G)|$。本文引入一个新的概念，称$G$是\emph{$S$-c-heavy}，如果对给定的图$S$，$G$的每个导出子图$G'$与$S$同构，$G'$的每个极大团$C$，$G'-C$的每个非平凡分支都包含一个度至少为$G$中$|V(G)|/2$的顶点.在这个概念下，我们的原始动机是Hu在1999年的一个定理可以表述为每个2-连通2-重和$N$ -c-重图都是Hamilton图，其中$N$是由三角形加上三条不相交的悬垂边得到的图.本文刻画了所有连通图$S$，使得每个2-连通o-重图和$S$ -c-重图都是Hamilton图.我们的工作结果在一个不同的证明一个更强的版本胡的定理。此外，我们的主要结果改进或推广了以前的几个结果。
2016-06-12 math.CO
Two sufficient conditions for the existence of Hamilton cycles in graphs
设$G$是一个以$n\geq 3$为顶点的图，它是二分图$K_{1,3}$的一个分支，而$Z_i$是一个由三角形的一个顶点加上一条长为$i$的路而得到的图。如果$G$的每个诱导爪至少有一个端顶点的度至少为$n/2$，则称$G$为1-重的;如果$G$的每个诱导爪都有一对端顶点的度和至少为$n$，则称$G$为爪- \emph{o} -重的。本文证明了两个结果：（1）2-连通爪- $o$ -重图$G$是Hamilton图，如果具有$d_{H}(u,v)=2$的$G$的导出子图$Z_2$所包含的子图$H\cong Z_1$中的每对顶点$u,v$满足下列条件之一：（$a$）$|N(u)\cap N(v)|\geq 2$ ;（$b$）$\max(d(u),d(v))\geq n/2$ . (2)每个3-连通1-重图$G$是Hamilton图，如果具有$d_{H}(u,v)=2$的$G$的导出子图$H\cong Z_2$中的每对顶点$u,v$满足下列条件之一：（$a$）$|N(u)\cap N(v)|\geq 2$ ;（$b$）$\max(d(u),d(v))\geq n/2$ .我们的结果改进或推广了Broersma等人的定理，Chen等人，Fan，Goodman & Hedetniemi，Gould & Jacobson和Shi关于图中Hamilton圈的存在性.
2013-01-04 math.CO
Blow-up lemma for cycles in sparse random graphs
在最近的一项工作中，艾伦，Böttcher，Hàn，Kohayakawa和Person提供了适用于稀疏（伪）随机图的爆破引理的第一个一般模拟，从而推广了Komlós，Sárközy和Szemerédi的经典工具。粗略地说，他们表明，在随机图$G_{n,p}$ for $p \geq C(\log n/n)^{1/Δ}$中，稀疏正则对在嵌入生成图$H$ with $Δ(H) \leq Δ$方面表现得与完全二部图相似。然而，这通常仅在$Δ\in \{2,3\}$和$H$包含三角形（$Δ= 2$）或$K_4$（$Δ= 3$）的多个副本时才是最佳的。我们第一次超越了这个障碍，并提出了一个稀疏爆破引理周期$C_{2k-1}, C_{2k}$，所有$k \geq 2$，和密度$p \geq Cn^{-(k-1)/k}$，这是在某种程度上最好的可能。作为我们的爆破引理的应用，我们完全解决了Nenadov和Škorić关于稀疏随机图中循环因子的弹性问题。
2021-11-17 math.CO
Generalized Grötzsch Graphs
本文推广Grötzsch图，构造两族非平面、无三角形且Hamilton的图G_m和H_m，证明其色数分别为4和3，并分析其极大无三角形性质及与Mycielski构造的关系。
2023-08-11 cs.DM math.CO
Dirac's theorem for random regular graphs
在随机正则图的背景下，我们证明了狄拉克定理的一个“弹性”版本。更准确地说，我们表明，只要$d$是足够大相比，$\varepsilon>0$，a.a.s.以下观点成立：设$G'$是随机$n$ -顶点$d$ -正则图$G_{n,d}$的任意子图，其最小度至少为$(1/2+\varepsilon)d$。则$G'$是哈密尔顿算子。这证明了Ben-Shimon，Krivelevich和Sudakov的一个猜想。我们的结果是最好的：一是不能忽略$d$大的条件，二是不能改进最小度界。
2020-06-23 math.CO
Edge correlations in random regular hypergraphs and applications to subgraph testing
与经典的二项随机（超图）模型相比，随机正则超图的研究由于不同边的出现之间的相关性而变得更具挑战性。我们开发了一种超图的边切换技术，使我们能够证明这些相关性是有限的，在很大范围内的密度。这推广了Kim，Sudakov和Vu关于图的一些结果.从我们的结果中，我们推出了随机$d$ -正则超图中子图计数的几个推论。我们还证明了Dudek，Frieze，Rucienski和Šileikis关于随机$r$-正则$d$-图中存在$\ell$ -重叠Hamilton圈的阈值的一个猜想.此外，我们应用我们的结果证明的界限上的查询复杂度测试子图的自由。一般图模型中的无子图测试问题首先由Alon，Kaufman，Krivelevich和Ron研究，他们得到了测试无三角图的查询复杂度的几个界。我们扩展了这些以前的结果超出了三角形设置和超图设置。
2019-07-25 math.CO
Bipancyclic subgraphs in random bipartite graphs
一个顶点数为2n的二部图是双泛圈的，如果它包含从4到2n的所有偶数长度的圈.本文证明了具有$p(n)\gg n^{-2/3}$的随机二部图$G(n,n,p)$渐近几乎必然具有以下弹性性质：$G(n,n,p)$的每个有多于$(1/2+o(1))n^2p$条边的Hamilton子图$G'$是双泛圈的.这个结果在两个方面是紧密的。首先，$p$的范围基本上是最好的。第二，边缘的比例1/2不能减少。我们的结果推广了Mitchem和Schmeichel的一个经典定理。
2012-12-14 math.CO
A survey on spectral conditions for some extremal graph problems
这篇综述分为两个方面. 首先, 我们总结了图论中的Turan型问题的谱极值结论的最新进展.更精确地说，我们将根据各种图的邻接谱半径和无符号拉普拉斯谱半径来总结谱图图函数。如完全图、色数至少为3的一般图、完全二部图、奇圈、偶圈、色临界图、相交三角形等。第二个目标是总结谱条件在一些图形性质上的一些最新结果。通过统一的方法，给出了图是Hamilton图、$k$ -Hamilton图、$k$ -边Hamilton图、可迹图、$k$ -路径可覆盖图、$k$ -连通图、$k$ -边连通图、Hamilton连通图、完全匹配图和$β$ -亏图的一些充分条件。
2022-05-12 math.CO math.SP
Dimension reduction in vertex-weighted exponential random graphs
研究了顶点加权指数随机图的行为。证明了边权由独立点权乘积导出的点权指数随机图是其点权向量是某个向量方程的近不动点的图的近似混合.对于图的哈密尔顿计数团，它表明，在适当的条件下，这个方程的每一个解决方案是接近一个块向量与少数社区。我们证明了，特别是对于哈密尔顿算子中的正权和小权的情况，向量方程有唯一解。最后，详细研究了顶点加权指数随机图计数三角形的行为，证明了对于足够大的网络，当权发散到负无穷大时，向量方程的解趋于零向量.
2019-08-22 math-ph math.CO math.MP
