The Hamilton-Waterloo Problem with $C_4$ and $C_m$ Factors
具有均匀圈大小的Hamilton-Waterloo问题要求完全图$K_v$（对于奇数{ \em v}）或$K_v$减去$1-$因子（对于偶数{ \em v}）的$2-$因子分解，其中因子的$r$由$n-$圈组成，因子的$s$由具有$r+s=\left \lfloor \frac{v-1}{2} \right \rfloor$的$m-$圈组成。本文研究了具有$4-$循环和$m-$循环因子的Hamilton-Waterloo问题，其中$m\geq 3$为奇数$m\geq 3$，并确定了除少数例外情况外的所有可能解.
2015-05-29 math.CO
On the Directed Hamilton-Waterloo Problem with Two Cycle Sizes
有向Hamilton-Waterloo问题要求完全对称有向图$K_v^*$的有向$2$ -因子分解，其中有两个非同构的$2$ -因子.在问题的统一版本中，因子由有向$m$ -圈或$n$ -圈组成。本文给出了该问题有解的必要条件，并用$(m, n)\in \{(4,6),(4,8),(4,12),(4,16),(6,12)$，$(8,16),(3,5),(3,15),(5,15)\}$求解了因子问题。
2022-09-29 math.CO
Infinitely many cyclic solutions to the Hamilton-Waterloo problem with odd length cycles
证明了对于大于2的奇数对$(\ell,m)$与$m \equiv 1\; \pmod{\ell}$，存在$K_{\ell m}$的循环二因子分解，其$(m-1)/2$因子恰好为$\ell^m$型，而其它因子均为$m^{\ell}$型.当$\ell \equiv 1\; \pmod{4}$和$m \geq \ell^2 -\ell + 1$ .
2016-03-31 math.CO
A Generalization of the Hamilton-Waterloo Problem on Complete Equipartite Graphs
Hamilton-Waterloo问题要求对于哪个$s$和$r$，完全图$K_n$可以被分解为给定2-因子$F_1$的$s$副本和给定2-因子$F_2$的$r$副本（以及如果$n$是偶数则1-因子的一个副本）。在本文中，我们推广的问题，完全等部图$K_{(n:m)}$和$K_{(xyzw:m)}$可以分解成$s$副本的2-因子组成的周期长度$xzm$ ;和$r$副本的2-因子组成的周期长度$yzm$，当$m$是奇数，$s,r\neq 1$，$\gcd(x,z)=\gcd(y,z)=1$和$xyz\neq 0 \pmod 4$。我们还给出了一些更一般的结构，其中给定的两个因子中的圈可以有不同的长度。我们使用这些结构来找到解决方案的完全图的汉密尔顿-滑铁卢问题。
2016-05-05 math.CO
The Directed Uniform Hamilton-Waterloo Problem Involving Even Cycle Sizes
本文研究完全对称有向图的均匀分解问题，推广无向Hamilton-Waterloo问题，证明除少数例外，可分解为两个非同构均匀因子，涉及有向偶圈。
2023-06-21 math.CO
Constructing uniform 2-factorizations via row-sum matrices: solutions to the Hamilton-Waterloo problem
本文正式引入了任意群$G$上的行和矩阵的概念。当$G$是循环的时，这些类型的矩阵已经被广泛用于构建小凯莱图（或爆破循环的凯莱子图）的均匀2-因子分解，其本身因子分解完全（等分）图。在这里，我们构造了一类非阿贝尔群（广义二面体群）上的行和矩阵，并使用它们来构造统一的$2$ -因子分解，解决了Hamilton-Waterloo问题的无限多个开放情况，从而填补了已知存在这种因子分解的阶数谱中的大部分空白。
2022-09-22 math.CO
On the Hamilton-Waterloo Problem with a single factor of 6-cycles
研究均匀 Hamilton-Waterloo 问题中 $\gcd(M,N)=\{2,3\}$ 且 $M=6$ 的未解案例，通过修改已知结构并开发新方法解决均匀 $2$-因子化构造挑战，扩展了已解决范围并深化了对问题复杂性的理解。
2024-02-15 math.CO
On the Hamilton-Waterloo problem: the case of two cycles sizes of different parity
Hamilton-Waterloo问题要求将完全图分解为2-因子$F_{1}$的$r$副本和2-因子$F_{2}$的$s$副本，使得$r+s=\left\lfloor\frac{v-1}{2}\right\rfloor$。如果$F_{1}$由$m$ -循环组成，而$F_{2}$由$n$循环组成，则我们称这样的分解为$(m,n)-$ HWP $(v;r,s)$。目标是为每个可能的对$(r,s)$找到分解。在本文中，我们表明，对于奇数$x$和$y$，有一个$(2^kx,y)-$ HWP $(vm;r,s)$，如果$\gcd(x,y)\geq 3$，$m\geq 3$，和$x$和$y$除了可能当$1\in\{r,s\}$ $v$。
2017-12-26 math.CO
On the Hamilton-Waterloo Problem with cycle lengths of distinct parities
设$K_v^*$表示完全图$K_v$（如果$v$是奇数）和$K_v-I$（如果$v$是偶数），表示去掉1-因子的边的完全图.给定非负整数$v, M, N, α, β$，Hamilton-Waterloo问题要求将$K^*_v$的$2$ -因子分解为$α$ $C_M$ -因子和$β$ $C_N$ -因子.显然，$M,N\geq 3$、$M\mid v$、$N\mid v$和$α+β= \lfloor\frac{v-1}{2}\rfloor$是必要条件。关于$M$和$N$具有不同奇偶性的情况知之甚少。在本文中，我们取得了一些进展，在这种情况下，除其他事项外，上述必要条件是充分的，只要$M|N$，$v>6N>36M$，和$β\geq 3$。
2018-01-23 math.CO
On the Hamilton-Waterloo Problem with triangle factors and $C_{3x}$-factors
在$C_{m}$ -因子和$C_{n}$ -因子的情况下的哈密尔顿-滑铁卢问题（HWP）询问$K_v$（其中$v$是奇数）（或$K_v-F$（其中$F$是1-因子并且$v$是偶数）是否可以被分解成完全由$m$ -循环构成的2-因子的r个拷贝和完全由$n$ -循环构成的2-因子的$s$拷贝。本文给出了这类分解的一般构造，并将其应用于$m=3$和$n=3x$ .我们解决了奇数$v$的问题，除了有限数量的$x$值。当$v$是偶数时，我们在问题上取得了重大进展，尽管留下了未解决的案例。特别是，$v$甚至和$s=1$的困难情况在许多情况下都是开放的。
2015-10-15 math.CO
The Hamilton-Waterloo Problem with even cycle lengths
Hamilton-Waterloo问题HWP $(v;m,n;α,β)$要求将完全图$K_v$或$K_v-I$（去掉1-因子的边的完全图）2-因子分解为$α$ $C_m$ -因子和$β$ $C_n$ -因子，其中$3 \leq m < n$ .在$m$和$n$都是偶数的情况下，除了可能当$1 \in \{α,β\}$或当$α$和$β$都是奇数时（在这种情况下必须是$v \equiv 2 \pmod{4}$）之外，问题已经解决。在本文中，我们开发了一个新的结构，在一定的条件下，从现有的因式分解创建更大的循环因式分解。这种构造使我们能够证明，只要明显的必要条件成立，除了可能是$β=1$ ; $β=3$和$\gcd(m,n)=1$ ; $α=1$ ;或$v=2mn/\gcd(m,n)$之外，对于奇数$α$和$β$，存在HWP $(v;2m,2n;α,β)$的解。这个结果几乎完全解决了偶数循环的存在性问题，除了上面提到的可能的例外。
2019-02-22 math.CO
On the Hamilton-Waterloo Problem with odd orders
给定非负整数$v, m, n, α, β$，Hamilton-Waterloo问题要求将完全图$K_v$分解为$α$ $C_m$ -因子和$β$ $C_n$ -因子.显然，$v$ odd、$n,m\geq 3$、$m\mid v$、$n\mid v$和$α+β= (v-1)/2$是必要条件。迄今为止，仅发现了$m$和$n$特定值的结果。在本文中，我们表明，对于任何$m$和$n$的必要条件是充分的，当$v$是$mn$和$v>mn$的倍数，除了可能当$β=1$或3，与五个额外的可能例外$(m,n,β)$。对于$v=mn$的情况，我们证明了当$β> (n+5)/2$时的充分性，除了可能当$(m,α) = (3,2)$，$(3,4)$时，在$(m,n,α,β)$中还有七个可能的例外。我们还表明，当$n\geq m\geq 3$是奇数，$C_m$与空图的$n$顺序的字典积有一个分解成$α$ $C_m$ -因素和$β$ $C_n$ -因素的每一个$0\leq α\leq n$，$β= n-α$，除了可能当$α= 2,4$，$β= 1, 3$，在$(m,n,α)$有三个额外的可能的例外。
2015-11-22 math.CO
Resolution of the Oberwolfach problem
Ringel在1967年提出的Oberwolfach问题要求将$K_{2n+1}$分解为给定$2$ -因子的边不相交的副本。我们表明，这可以实现所有大的$n$。我们实际上证明了一个更一般的结果，它允许分解成更一般类型的因素。特别地，这也解决了大$n$的Hamilton-Waterloo问题。
2021-02-11 math.CO
A survey on constructive methods for the Oberwolfach problem and its variants
本文综述了Oberwolfach问题及其变体的构造性方法，重点介绍放大构造、二部因子情形、循环图方法及具有良好自同构性质的解。
2023-08-08 math.CO
