The Hamilton-Waterloo problem with C8-factors and Cm-factors
L. Wang, H. Cao
本文几乎完全解决了具有C8-因子和Cm-因子的Hamilton-Waterloo问题，其中顶点数是8 m的倍数。
In this paper, we almost completely solve the Hamilton-Waterloo problem with C8- factors and Cm-factors where the number of vertices is a multiple of 8m.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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The Hamilton-Waterloo problem for Hamilton cycles and C4k-factors
本文给出了Hamilton圈和C4 k-因子对所有正整数k的Hamilton-Waterloo问题的完全解。
Octahedral, dicyclic and special linear solutions of some unsolved Hamilton-Waterloo problems
我们给出了一个sharp顶点传递的解决方案的九个汉密尔顿-滑铁卢问题的Danziger，Quattrocchi和史蒂文斯。
The Hamilton-Waterloo problem on wreath product graph $C_m \wr K_{16}$
Hamilton-Waterloo问题是一个图分解问题。Hamilton-Waterloo问题HWP $(H;m,n;α,β)$要求$H$的$2$ -因子分解，其包含$α$ $C_m$ -因子和$β$ $C_n$ -因子。本文几乎完全解决了具有$C_{16}$ -因子和$C_m$ -因子的圈积图$C_m \wr K_{16}$上的Hamilton-Waterloo问题.
Further results on the Hamilton-Waterloo problem
本文几乎完全解决了一个具有奇圈长的几乎可解圈系统的存在性问题。我们还使用几乎可分解的循环系统以及其他组合结构给出了一些新的解决方案的Hamilton-Waterloo问题。
The Hamilton-Waterloo Problem for $C_3$-factors and $C_n$-factors
Hamilton-Waterloo问题要求将$K_v$（对于$v$奇数）或$K_v$减去$1$ -因子（对于$v$偶数）的2-因子分解为$C_m$ -因子和$C_n$ -因子。我们完全解决了$n=4,5,7$的$C_3$ -因子和$C_n$ -因子情况下的Hamilton-Waterloo问题。
The Hamilton-Waterloo Problem with $C_4$ and $C_m$ Factors
具有均匀圈大小的Hamilton-Waterloo问题要求完全图$K_v$（对于奇数{ \em v}）或$K_v$减去$1-$因子（对于偶数{ \em v}）的$2-$因子分解，其中因子的$r$由$n-$圈组成，因子的$s$由具有$r+s=\left \lfloor \frac{v-1}{2} \right \rfloor$的$m-$圈组成。本文研究了具有$4-$循环和$m-$循环因子的Hamilton-Waterloo问题，其中$m\geq 3$为奇数$m\geq 3$，并确定了除少数例外情况外的所有可能解.
On the Directed Hamilton-Waterloo Problem with Two Cycle Sizes
有向Hamilton-Waterloo问题要求完全对称有向图$K_v^*$的有向$2$ -因子分解，其中有两个非同构的$2$ -因子.在问题的统一版本中，因子由有向$m$ -圈或$n$ -圈组成。本文给出了该问题有解的必要条件，并用$(m, n)\in \{(4,6),(4,8),(4,12),(4,16),(6,12)$，$(8,16),(3,5),(3,15),(5,15)\}$求解了因子问题。
The Hamilton-Waterloo Problem for Triangle-Factors and Heptagon-Factors
给定$n$阶的2-因子$R$和$S$，设$r$和$s$是具有$r+s=\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor$的非负整数，如果$n$是奇数，则Hamilton-Waterloo问题要求$K_n$的2-因子分解，或者如果$n$是偶数，则要求$K_n-I$的2-因子分解，其中其2-因子的$r$同构于$R$，并且其他$s$ 2-因子同构于$S$。在本文中，我们解决了问题的情况下，三角形因子和七边形因子的奇数$n$与3个可能的例外时，$n=21$。
Infinitely many cyclic solutions to the Hamilton-Waterloo problem with odd length cycles
证明了对于大于2的奇数对$(\ell,m)$与$m \equiv 1\; \pmod{\ell}$，存在$K_{\ell m}$的循环二因子分解，其$(m-1)/2$因子恰好为$\ell^m$型，而其它因子均为$m^{\ell}$型.当$\ell \equiv 1\; \pmod{4}$和$m \geq \ell^2 -\ell + 1$ .
A Generalization of the Hamilton-Waterloo Problem on Complete Equipartite Graphs
Hamilton-Waterloo问题要求对于哪个$s$和$r$，完全图$K_n$可以被分解为给定2-因子$F_1$的$s$副本和给定2-因子$F_2$的$r$副本（以及如果$n$是偶数则1-因子的一个副本）。在本文中，我们推广的问题，完全等部图$K_{(n:m)}$和$K_{(xyzw:m)}$可以分解成$s$副本的2-因子组成的周期长度$xzm$ ;和$r$副本的2-因子组成的周期长度$yzm$，当$m$是奇数，$s,r\neq 1$，$\gcd(x,z)=\gcd(y,z)=1$和$xyz\neq 0 \pmod 4$。我们还给出了一些更一般的结构，其中给定的两个因子中的圈可以有不同的长度。我们使用这些结构来找到解决方案的完全图的汉密尔顿-滑铁卢问题。
The Directed Uniform Hamilton-Waterloo Problem Involving Even Cycle Sizes
本文研究完全对称有向图的均匀分解问题，推广无向Hamilton-Waterloo问题，证明除少数例外，可分解为两个非同构均匀因子，涉及有向偶圈。
Constructing uniform 2-factorizations via row-sum matrices: solutions to the Hamilton-Waterloo problem
本文正式引入了任意群$G$上的行和矩阵的概念。当$G$是循环的时，这些类型的矩阵已经被广泛用于构建小凯莱图（或爆破循环的凯莱子图）的均匀2-因子分解，其本身因子分解完全（等分）图。在这里，我们构造了一类非阿贝尔群（广义二面体群）上的行和矩阵，并使用它们来构造统一的$2$ -因子分解，解决了Hamilton-Waterloo问题的无限多个开放情况，从而填补了已知存在这种因子分解的阶数谱中的大部分空白。
On the Hamilton-Waterloo Problem with a single factor of 6-cycles
研究均匀 Hamilton-Waterloo 问题中 $\gcd(M,N)=\{2,3\}$ 且 $M=6$ 的未解案例，通过修改已知结构并开发新方法解决均匀 $2$-因子化构造挑战，扩展了已解决范围并深化了对问题复杂性的理解。
On the Hamilton-Waterloo problem: the case of two cycles sizes of different parity
Hamilton-Waterloo问题要求将完全图分解为2-因子$F_{1}$的$r$副本和2-因子$F_{2}$的$s$副本，使得$r+s=\left\lfloor\frac{v-1}{2}\right\rfloor$。如果$F_{1}$由$m$ -循环组成，而$F_{2}$由$n$循环组成，则我们称这样的分解为$(m,n)-$ HWP $(v;r,s)$。目标是为每个可能的对$(r,s)$找到分解。在本文中，我们表明，对于奇数$x$和$y$，有一个$(2^kx,y)-$ HWP $(vm;r,s)$，如果$\gcd(x,y)\geq 3$，$m\geq 3$，和$x$和$y$除了可能当$1\in\{r,s\}$ $v$。
On the Hamilton-Waterloo Problem with cycle lengths of distinct parities
设$K_v^*$表示完全图$K_v$（如果$v$是奇数）和$K_v-I$（如果$v$是偶数），表示去掉1-因子的边的完全图.给定非负整数$v, M, N, α, β$，Hamilton-Waterloo问题要求将$K^*_v$的$2$ -因子分解为$α$ $C_M$ -因子和$β$ $C_N$ -因子.显然，$M,N\geq 3$、$M\mid v$、$N\mid v$和$α+β= \lfloor\frac{v-1}{2}\rfloor$是必要条件。关于$M$和$N$具有不同奇偶性的情况知之甚少。在本文中，我们取得了一些进展，在这种情况下，除其他事项外，上述必要条件是充分的，只要$M|N$，$v>6N>36M$，和$β\geq 3$。
On the Hamilton-Waterloo Problem with triangle factors and $C_{3x}$-factors
在$C_{m}$ -因子和$C_{n}$ -因子的情况下的哈密尔顿-滑铁卢问题（HWP）询问$K_v$（其中$v$是奇数）（或$K_v-F$（其中$F$是1-因子并且$v$是偶数）是否可以被分解成完全由$m$ -循环构成的2-因子的r个拷贝和完全由$n$ -循环构成的2-因子的$s$拷贝。本文给出了这类分解的一般构造，并将其应用于$m=3$和$n=3x$ .我们解决了奇数$v$的问题，除了有限数量的$x$值。当$v$是偶数时，我们在问题上取得了重大进展，尽管留下了未解决的案例。特别是，$v$甚至和$s=1$的困难情况在许多情况下都是开放的。
The Hamilton-Waterloo Problem with even cycle lengths
Hamilton-Waterloo问题HWP $(v;m,n;α,β)$要求将完全图$K_v$或$K_v-I$（去掉1-因子的边的完全图）2-因子分解为$α$ $C_m$ -因子和$β$ $C_n$ -因子，其中$3 \leq m < n$ .在$m$和$n$都是偶数的情况下，除了可能当$1 \in \{α,β\}$或当$α$和$β$都是奇数时（在这种情况下必须是$v \equiv 2 \pmod{4}$）之外，问题已经解决。在本文中，我们开发了一个新的结构，在一定的条件下，从现有的因式分解创建更大的循环因式分解。这种构造使我们能够证明，只要明显的必要条件成立，除了可能是$β=1$ ; $β=3$和$\gcd(m,n)=1$ ; $α=1$ ;或$v=2mn/\gcd(m,n)$之外，对于奇数$α$和$β$，存在HWP $(v;2m,2n;α,β)$的解。这个结果几乎完全解决了偶数循环的存在性问题，除了上面提到的可能的例外。
On the Hamilton-Waterloo Problem with odd orders
给定非负整数$v, m, n, α, β$，Hamilton-Waterloo问题要求将完全图$K_v$分解为$α$ $C_m$ -因子和$β$ $C_n$ -因子.显然，$v$ odd、$n,m\geq 3$、$m\mid v$、$n\mid v$和$α+β= (v-1)/2$是必要条件。迄今为止，仅发现了$m$和$n$特定值的结果。在本文中，我们表明，对于任何$m$和$n$的必要条件是充分的，当$v$是$mn$和$v>mn$的倍数，除了可能当$β=1$或3，与五个额外的可能例外$(m,n,β)$。对于$v=mn$的情况，我们证明了当$β> (n+5)/2$时的充分性，除了可能当$(m,α) = (3,2)$，$(3,4)$时，在$(m,n,α,β)$中还有七个可能的例外。我们还表明，当$n\geq m\geq 3$是奇数，$C_m$与空图的$n$顺序的字典积有一个分解成$α$ $C_m$ -因素和$β$ $C_n$ -因素的每一个$0\leq α\leq n$，$β= n-α$，除了可能当$α= 2,4$，$β= 1, 3$，在$(m,n,α)$有三个额外的可能的例外。
Resolution of the Oberwolfach problem
Ringel在1967年提出的Oberwolfach问题要求将$K_{2n+1}$分解为给定$2$ -因子的边不相交的副本。我们表明，这可以实现所有大的$n$。我们实际上证明了一个更一般的结果，它允许分解成更一般类型的因素。特别地，这也解决了大$n$的Hamilton-Waterloo问题。
A survey on constructive methods for the Oberwolfach problem and its variants
本文综述了Oberwolfach问题及其变体的构造性方法，重点介绍放大构造、二部因子情形、循环图方法及具有良好自同构性质的解。
Hamilton cycles in regular graphs perturbed by a random 2-factor
本文证明同一顶点集上d-正则图与均匀随机2-因子的并以大概率为哈密顿图，解决了Draganić和Keevash关于所有d值的猜想。
Graph factors and powers of Hamilton cycles in the budget-constrained random graph process
研究Builder在预算约束随机图过程中，以最小预算b获取F-因子或哈密顿圈幂的条件，给出紧的下界和最优策略。
Factors and loose Hamilton cycles in sparse pseudo-random hypergraphs
我们研究稀疏伪随机$k$ -一致超图中生成结构的出现，使用以下相对较弱的伪随机性概念。一个关于$n$顶点的$k$ -一致超图$H$称为$(p,α,ε)$ -伪随机图，如果对所有（不一定不相交）顶点子集$A_1,\dots, A_k{\subseteq} V(H)$与$|A_1|\cdots |A_k|{\geq}αn^{k}$我们有$$e(A_1,\dots, A_k)=(1\pmε)p |A_1|\cdots |A_k|.$$对于任何线性$k$ -均匀$F$，我们根据$p=p(n)$和$F$在$α=α(n)$上提供一个界限，使得（在对$n$的自然整除假设下）任何$k$ -均匀$\big(p,α, o(1)\big)$ -伪随机$n$ -一个顶点超图$H$具有一个$F$ -因子，其最小顶点度条件较弱。该方法还使我们能够建立充分伪随机超图中存在松散的Hamilton圈，并且所有结果都意味着超图伪随机性的更强概念（如混乱或大谱隙）的相应界限。因此，如上所述的$\big(p,α, o(1)\big)$ -伪随机$k$ -图包含：如果$α=o(p^{k})$，则$(i)$是完美匹配，如果$α=o(p^{k-1})$，则$(ii)$是松散的汉密尔顿圈。这扩展了工程的伦茨-Mubayi，和伦茨-Mubayi-麦考夫谁研究了类似的问题，在密集的设置。
Families of locally separated Hamilton paths
我们将K的下界提高了一个指数因子Orner和Muzi关于n个顶点的完全图中任意两条路的并的度为4的最大Hamilton路族的基数的结果。改进是通过一个显式的结构，而以前的界限是由一个贪婪算法。我们解决了一个类似的问题，排列到一个指数因子。
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