The Hamilton-Waterloo problem for Hamilton cycles and C4k-factors
Hongchuan Lei, Hung-lin Fu, Hao Shen
本文给出了Hamilton圈和C4 k-因子对所有正整数k的Hamilton-Waterloo问题的完全解。
In this paper we give a complete solution to the Hamilton-Waterloo problem for the case of Hamilton cycles and C4k-factors for all positive integers k.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Octahedral, dicyclic and special linear solutions of some unsolved Hamilton-Waterloo problems
我们给出了一个sharp顶点传递的解决方案的九个汉密尔顿-滑铁卢问题的Danziger，Quattrocchi和史蒂文斯。
The Hamilton-Waterloo problem on wreath product graph $C_m \wr K_{16}$
Hamilton-Waterloo问题是一个图分解问题。Hamilton-Waterloo问题HWP $(H;m,n;α,β)$要求$H$的$2$ -因子分解，其包含$α$ $C_m$ -因子和$β$ $C_n$ -因子。本文几乎完全解决了具有$C_{16}$ -因子和$C_m$ -因子的圈积图$C_m \wr K_{16}$上的Hamilton-Waterloo问题.
Further results on the Hamilton-Waterloo problem
本文几乎完全解决了一个具有奇圈长的几乎可解圈系统的存在性问题。我们还使用几乎可分解的循环系统以及其他组合结构给出了一些新的解决方案的Hamilton-Waterloo问题。
The Hamilton-Waterloo problem with C8-factors and Cm-factors
本文几乎完全解决了具有C8-因子和Cm-因子的Hamilton-Waterloo问题，其中顶点数是8 m的倍数。
The Hamilton-Waterloo Problem with $C_4$ and $C_m$ Factors
具有均匀圈大小的Hamilton-Waterloo问题要求完全图$K_v$（对于奇数{ \em v}）或$K_v$减去$1-$因子（对于偶数{ \em v}）的$2-$因子分解，其中因子的$r$由$n-$圈组成，因子的$s$由具有$r+s=\left \lfloor \frac{v-1}{2} \right \rfloor$的$m-$圈组成。本文研究了具有$4-$循环和$m-$循环因子的Hamilton-Waterloo问题，其中$m\geq 3$为奇数$m\geq 3$，并确定了除少数例外情况外的所有可能解.
On the Directed Hamilton-Waterloo Problem with Two Cycle Sizes
有向Hamilton-Waterloo问题要求完全对称有向图$K_v^*$的有向$2$ -因子分解，其中有两个非同构的$2$ -因子.在问题的统一版本中，因子由有向$m$ -圈或$n$ -圈组成。本文给出了该问题有解的必要条件，并用$(m, n)\in \{(4,6),(4,8),(4,12),(4,16),(6,12)$，$(8,16),(3,5),(3,15),(5,15)\}$求解了因子问题。
The Hamilton-Waterloo Problem for $C_3$-factors and $C_n$-factors
Hamilton-Waterloo问题要求将$K_v$（对于$v$奇数）或$K_v$减去$1$ -因子（对于$v$偶数）的2-因子分解为$C_m$ -因子和$C_n$ -因子。我们完全解决了$n=4,5,7$的$C_3$ -因子和$C_n$ -因子情况下的Hamilton-Waterloo问题。
The Directed Uniform Hamilton-Waterloo Problem Involving Even Cycle Sizes
本文研究完全对称有向图的均匀分解问题，推广无向Hamilton-Waterloo问题，证明除少数例外，可分解为两个非同构均匀因子，涉及有向偶圈。
Infinitely many cyclic solutions to the Hamilton-Waterloo problem with odd length cycles
证明了对于大于2的奇数对$(\ell,m)$与$m \equiv 1\; \pmod{\ell}$，存在$K_{\ell m}$的循环二因子分解，其$(m-1)/2$因子恰好为$\ell^m$型，而其它因子均为$m^{\ell}$型.当$\ell \equiv 1\; \pmod{4}$和$m \geq \ell^2 -\ell + 1$ .
On the Hamilton-Waterloo problem: the case of two cycles sizes of different parity
Hamilton-Waterloo问题要求将完全图分解为2-因子$F_{1}$的$r$副本和2-因子$F_{2}$的$s$副本，使得$r+s=\left\lfloor\frac{v-1}{2}\right\rfloor$。如果$F_{1}$由$m$ -循环组成，而$F_{2}$由$n$循环组成，则我们称这样的分解为$(m,n)-$ HWP $(v;r,s)$。目标是为每个可能的对$(r,s)$找到分解。在本文中，我们表明，对于奇数$x$和$y$，有一个$(2^kx,y)-$ HWP $(vm;r,s)$，如果$\gcd(x,y)\geq 3$，$m\geq 3$，和$x$和$y$除了可能当$1\in\{r,s\}$ $v$。
The Hamilton-Waterloo Problem for Triangle-Factors and Heptagon-Factors
给定$n$阶的2-因子$R$和$S$，设$r$和$s$是具有$r+s=\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor$的非负整数，如果$n$是奇数，则Hamilton-Waterloo问题要求$K_n$的2-因子分解，或者如果$n$是偶数，则要求$K_n-I$的2-因子分解，其中其2-因子的$r$同构于$R$，并且其他$s$ 2-因子同构于$S$。在本文中，我们解决了问题的情况下，三角形因子和七边形因子的奇数$n$与3个可能的例外时，$n=21$。
On the Hamilton-Waterloo Problem with cycle lengths of distinct parities
设$K_v^*$表示完全图$K_v$（如果$v$是奇数）和$K_v-I$（如果$v$是偶数），表示去掉1-因子的边的完全图.给定非负整数$v, M, N, α, β$，Hamilton-Waterloo问题要求将$K^*_v$的$2$ -因子分解为$α$ $C_M$ -因子和$β$ $C_N$ -因子.显然，$M,N\geq 3$、$M\mid v$、$N\mid v$和$α+β= \lfloor\frac{v-1}{2}\rfloor$是必要条件。关于$M$和$N$具有不同奇偶性的情况知之甚少。在本文中，我们取得了一些进展，在这种情况下，除其他事项外，上述必要条件是充分的，只要$M|N$，$v>6N>36M$，和$β\geq 3$。
A Generalization of the Hamilton-Waterloo Problem on Complete Equipartite Graphs
Hamilton-Waterloo问题要求对于哪个$s$和$r$，完全图$K_n$可以被分解为给定2-因子$F_1$的$s$副本和给定2-因子$F_2$的$r$副本（以及如果$n$是偶数则1-因子的一个副本）。在本文中，我们推广的问题，完全等部图$K_{(n:m)}$和$K_{(xyzw:m)}$可以分解成$s$副本的2-因子组成的周期长度$xzm$ ;和$r$副本的2-因子组成的周期长度$yzm$，当$m$是奇数，$s,r\neq 1$，$\gcd(x,z)=\gcd(y,z)=1$和$xyz\neq 0 \pmod 4$。我们还给出了一些更一般的结构，其中给定的两个因子中的圈可以有不同的长度。我们使用这些结构来找到解决方案的完全图的汉密尔顿-滑铁卢问题。
Constructing uniform 2-factorizations via row-sum matrices: solutions to the Hamilton-Waterloo problem
本文正式引入了任意群$G$上的行和矩阵的概念。当$G$是循环的时，这些类型的矩阵已经被广泛用于构建小凯莱图（或爆破循环的凯莱子图）的均匀2-因子分解，其本身因子分解完全（等分）图。在这里，我们构造了一类非阿贝尔群（广义二面体群）上的行和矩阵，并使用它们来构造统一的$2$ -因子分解，解决了Hamilton-Waterloo问题的无限多个开放情况，从而填补了已知存在这种因子分解的阶数谱中的大部分空白。
The Hamilton-Waterloo Problem with even cycle lengths
Hamilton-Waterloo问题HWP $(v;m,n;α,β)$要求将完全图$K_v$或$K_v-I$（去掉1-因子的边的完全图）2-因子分解为$α$ $C_m$ -因子和$β$ $C_n$ -因子，其中$3 \leq m < n$ .在$m$和$n$都是偶数的情况下，除了可能当$1 \in \{α,β\}$或当$α$和$β$都是奇数时（在这种情况下必须是$v \equiv 2 \pmod{4}$）之外，问题已经解决。在本文中，我们开发了一个新的结构，在一定的条件下，从现有的因式分解创建更大的循环因式分解。这种构造使我们能够证明，只要明显的必要条件成立，除了可能是$β=1$ ; $β=3$和$\gcd(m,n)=1$ ; $α=1$ ;或$v=2mn/\gcd(m,n)$之外，对于奇数$α$和$β$，存在HWP $(v;2m,2n;α,β)$的解。这个结果几乎完全解决了偶数循环的存在性问题，除了上面提到的可能的例外。
On the Hamilton-Waterloo Problem with a single factor of 6-cycles
研究均匀 Hamilton-Waterloo 问题中 $\gcd(M,N)=\{2,3\}$ 且 $M=6$ 的未解案例，通过修改已知结构并开发新方法解决均匀 $2$-因子化构造挑战，扩展了已解决范围并深化了对问题复杂性的理解。
On the Hamilton-Waterloo Problem with triangle factors and $C_{3x}$-factors
在$C_{m}$ -因子和$C_{n}$ -因子的情况下的哈密尔顿-滑铁卢问题（HWP）询问$K_v$（其中$v$是奇数）（或$K_v-F$（其中$F$是1-因子并且$v$是偶数）是否可以被分解成完全由$m$ -循环构成的2-因子的r个拷贝和完全由$n$ -循环构成的2-因子的$s$拷贝。本文给出了这类分解的一般构造，并将其应用于$m=3$和$n=3x$ .我们解决了奇数$v$的问题，除了有限数量的$x$值。当$v$是偶数时，我们在问题上取得了重大进展，尽管留下了未解决的案例。特别是，$v$甚至和$s=1$的困难情况在许多情况下都是开放的。
On the Hamilton-Waterloo Problem with odd orders
给定非负整数$v, m, n, α, β$，Hamilton-Waterloo问题要求将完全图$K_v$分解为$α$ $C_m$ -因子和$β$ $C_n$ -因子.显然，$v$ odd、$n,m\geq 3$、$m\mid v$、$n\mid v$和$α+β= (v-1)/2$是必要条件。迄今为止，仅发现了$m$和$n$特定值的结果。在本文中，我们表明，对于任何$m$和$n$的必要条件是充分的，当$v$是$mn$和$v>mn$的倍数，除了可能当$β=1$或3，与五个额外的可能例外$(m,n,β)$。对于$v=mn$的情况，我们证明了当$β> (n+5)/2$时的充分性，除了可能当$(m,α) = (3,2)$，$(3,4)$时，在$(m,n,α,β)$中还有七个可能的例外。我们还表明，当$n\geq m\geq 3$是奇数，$C_m$与空图的$n$顺序的字典积有一个分解成$α$ $C_m$ -因素和$β$ $C_n$ -因素的每一个$0\leq α\leq n$，$β= n-α$，除了可能当$α= 2,4$，$β= 1, 3$，在$(m,n,α)$有三个额外的可能的例外。
Resolvable Cycle Decompositions of Complete Multigraphs and Complete Equipartite Multigraphs via Layering and Detachment
我们构造了新的可分解的完全多重图和完全等部多重图到可变长度的循环（和完美匹配，如果顶点度是奇数）。我们开发了两种技术：{ \em layering}，它允许我们从完全图的2-因子分解得到完全重图的2-因子分解;{ \em detachment}，它允许我们从完全重图的可分解圈分解构造完全等部重图的可分解圈分解。这些技术被应用于获得新的2-因子分解的一个指定类型的完全多重图和完全等部多重图，重点是新的解决方案的Oberwolfach问题和汉密尔顿-滑铁卢问题。此外，我们还证明了某些$α$ -可分解循环分解的存在性.
Resolution of the Oberwolfach problem
Ringel在1967年提出的Oberwolfach问题要求将$K_{2n+1}$分解为给定$2$ -因子的边不相交的副本。我们表明，这可以实现所有大的$n$。我们实际上证明了一个更一般的结果，它允许分解成更一般类型的因素。特别地，这也解决了大$n$的Hamilton-Waterloo问题。
On Hamilton Cycle Decompositions of Tensor Products of Graphs
$G$的Hamilton分解是将其边集划分为不相交的Hamilton圈。Manikandan和Paulraja证明了：如果$G$和$H$是Hamilton圈可分解的循环图，且其中至少有一个是非二部的，则它们的张量积是Hamilton圈可分解的.本文证明了：如果$G$是具有某些性质的Hamilton圈可分解循环图，$H$是Hamilton圈可分解重图，则它们的张量积是Hamilton圈可分解的.特别地，某些稀疏Hamilton圈可分解循环图的张量积是Hamilton圈可分解的。
New Ore-type Conditions for Hamilton Cycles and Spanning Trees with few leaves
给出了Hamilton圈和少叶生成树的新Ore型条件。
Hamilton cycles in infinite cubic graphs
研究B的问题。Mohar等人的研究结果，证明了每一个端度为3的单端Hamilton三次图都含有第二个Hamilton圈.我们还构造了两个例子，表明这一结果并不延伸到给出第三个Hamilton圈，也不延伸到两端的情况。
A survey on constructive methods for the Oberwolfach problem and its variants
本文综述了Oberwolfach问题及其变体的构造性方法，重点介绍放大构造、二部因子情形、循环图方法及具有良好自同构性质的解。
Hamiltonian and Pseudo-Hamiltonian Cycles and Fillings In Simplicial Complexes
引入并研究了图中哈密顿圈的$d$ -维推广--$K_n^d$（$n$大小的顶点集上的完全单纯$d$ -复形）中的哈密尔顿$d$ -圈.这些是一个完整秩的简单$d$ -循环，或者等价地，大小为$1 + {{n-1} \choose d}$。讨论仅限于字段$F_2$和$Q$。对于$d=2$，我们刻画了存在Hamilton $2$ -圈的$n$。对于$d=3$，证明了对于无穷多个$n$，存在Hamilton $3$ -圈。在一般情况下，它表明，总是存在简单的$d$ -圈的大小${{n-1} \choose d} - O(n^{d-3})$。上述结果都是建设性的。我们的方法自然延伸到（事实上，涉及）$d$ -填充，概括的概念$T$ -连接图。给定一个$(d-1)$ -循环$Z^{d-1} \in K_n^d$，如果$\partial F = Z^{d-1}$，则~ $F$是它的$d$ -填充.我们称一个填充$d$的哈密顿算子为非循环的，并且具有完备秩，或者等价地，其大小为${{n-1} \choose d}$ .如果一个哈密顿$d$ -$F_2$上的循环$Z$包含一个$d$ -单纯形$σ$，则$Z\setminus σ$是一个$\partial σ$的哈密顿$d$ -填充（一个密切相关的事实对于$Q$上的循环也是成立的）。因此，这两个概念密切相关。上述关于Hamilton $d$ -圈的结…
A remark on Hamilton cycles with few colors
Akbari、Etesami、Mahini和Mahmoody证明了$K_n$的每一个具有$n$颜色的真边着色都包含一个具有$\leq O(\log n)$颜色的Hamilton圈。他们证明了总有一个带有$\leq 8\sqrt n$颜色的Hamilton圈。在本文中，我们将这个界限改进为$O(\log^3 n)$。
On the Crossing Number of Complete Graphs with an Uncrossed Hamiltonian Cycle
本文证明了一个完全图的交叉数的新的下界，假设它是以这样一种方式画的，它包含一个哈密顿圈没有交叉。
Pattern Colored Hamilton Cycles in Random Graphs
考虑了随机着色随机图中模式Hamilton圈的存在性。给定一个在一组颜色$\{1,2,\ldots,r\}$上的字符串$Π$，我们说一个Hamilton循环是$Π$着色的，如果当我们绕着这个循环时，图案以长度$|Π|$的间隔重复。我们证明了这样一个循环存在的一个首中时。我们还证明了一个首中时的结果$Π$ -连接的相关概念。
Hamilton Cycles in Double Generalized Petersen Graphs
Watkins（1969）通过对Petersen图的改进，首次引入了广义Petersen图（GPG）。Zhou和Feng（2012）对GPG进行了改进，引入了双广义Petersen图（DGPG）。Kutnar和Petecki（2016）证明了DGPG在特殊情况下是Hamilton的，并证明了所有的DGPG都是Hamilton的。本文构造了所有DGPG中的Hamilton圈。
Tight Hamilton Cycles in Random Uniform Hypergraphs
本文证明了对于所有的$k\ge 4$，$e/n$是随机$k$ -一致超图中存在紧Hamilton圈的最佳阈值.当$k=3$，我们表明，$1/n$是一个渐近阈值。我们还确定了其他类型的Hamilton圈的存在的阈值。
What Moser Could Have Asked: Counting Hamilton Cycles in Tournaments
莫泽要求在$n$顶点上构造至少具有$(\frac{n}{3e})^n$ Hamilton圈的显式竞赛图。我们表明，他本可以要求更多。
A Size Bound for Hamilton Cycles
每个边数为$q$且度为$δ$的图都是哈密尔顿图，如果$q\leδ^2+δ-1$ .结果是尖锐的。
On covering expander graphs by Hamilton cycles
随机图和伪随机图的填充Hamilton圈问题已经得到了广泛的研究。本文研究了图的边被Hamilton圈覆盖的对偶问题，证明了：如果一个最大度$Δ$图满足一些基本的扩张性质，并且包含一族$(1-o(1))Δ/2$边不相交的Hamilton圈，那么它的边也存在被$(1+o(1))Δ/2$ Hamilton圈覆盖的问题.这意味着对每个$α>0$和每个$p \geq n^{α-1}$，几乎必然存在一个由$(1+o(1))np/2$ Hamilton圈覆盖的$G(n,p)$的所有边，这是几乎最优的.
The threshold for the square of a Hamilton cycle
解决了Kühn和Osthus在2012年提出的一个猜想，证明了$p= 1/\sqrt{n}$是随机图$G_{n,p}$包含Hamilton圈的平方的阈值.
Adding random edges to create the square of a Hamilton cycle
我们考虑有多少随机边需要添加到一个图的顺序$n$与最小程度$αn$，以便它包含的平方的汉密尔顿圈w.h.p.。
Minimum vertex degree conditions for loose Hamilton cycles in $3$-uniform hypergraphs
研究了$3$ -一致超图的最小顶点度条件，该条件保证了松弛Hamilton圈的存在性。一个松散的哈密尔顿圈是一个生成圈，其中只有连续的边相交，这些交点恰好由一个顶点组成。证明了每一个顶点度最小的$3$ -一致$n$ -顶点（$n$偶）超图$\mathcal{H}$ $δ_1(\mathcal{H})\geq \left(\frac7{16}+o(1)\right)\binom{n}{2}$包含一个松弛Hamilton圈。这个界是渐近最佳可能界。
Powers of Hamilton cycles in random graphs and tight Hamilton cycles in random hypergraphs
我们证明了对每个$k \in \mathbb{N}$都存在$C > 0$，使得如果有$p^k \ge C \log^8 n / n$，则随机图$G_{n,p}$渐近几乎必然包含一个Hamilton圈的$k$ \textsuperscript{th}幂.这决定了汉密尔顿圈的平方出现的阈值达到对数因子，改进了库恩和奥斯托斯的结果。此外，我们的证明提供了一个随机化的准多项式算法找到这样的权力的周期。利用类似的思想，我们还给出了在随机$k$ -一致超图$G_{n,p}^{(k)}$中为$p \ge C \log^8 n/ n$寻找紧Hamilton圈的随机拟多项式算法。证明是基于吸收的方法，并遵循Kühn和Osthus，和Allen等人的策略。新的成分是一个一般的连接引理，它允许我们连接使用任意结构的顶点元组在一个接近最优值的$p$。连接引理及其基于Janson不等式和贪婪嵌入策略的证明可能是独立的。
An exact minimum degree condition for Hamilton cycles in oriented graphs
我们证明了每一个最小入度和出度至少为（3 n-4）/8的足够大的定向图包含一个Hamilton圈.这是最好的可能，解决了1979年的一个问题。
Loose Hamilton Cycles in Random Uniform Hypergraphs
在随机超图$H_{n,p;k}$中，每个可能的$k$ -元组以概率$p$独立出现。一个松散的哈密尔顿圈是一个圈，其中每对邻边相交于一个单一的顶点。我们证明，如果$p n^{k-1}/\log n$趋于无穷大的$n$，然后$$\lim_{\substack{n\to \infty 2(k-1) |n}}\Pr(H_{n,p;k}\ contains\ a\ loose\ Hamilton\ cycle)=1.$$这是渐近最好的可能。
Highly-connected planar cubic graphs with few or many Hamilton cycles
本文研究了具有高圈边连通度的平面三次图中Hamilton圈的个数，回答了Chia和Jassen提出的两个问题（“On the number of longest and almost longest cycles in cubic graphs”，Ars Combin. 104，307- 320，2012）关于这些族中的极值图。特别地，我们发现了一类循环$5$ -边连通平面三次图，它们比广义Petersen图$P(2n,2)$具有更多的Hamilton圈.图本身是富勒烯图，对应于某些被称为纳米管的碳分子-更准确地说，该家族由（固定）宽度$5$和增加长度的锯齿形纳米管组成。为了计算纳米管中的Hamilton圈，我们开发了受统计物理学的转移矩阵启发的方法。我们概述了这些方法如何可以适应计数更大（但仍然固定）的宽度的纳米管中的汉密尔顿周期，与警告，所得到的表达式涉及矩阵的权力。我们还考虑了具有少量Hamilton圈的循环$4$ -边连通的三次可平面图，并给出了一个这样的图的无限族，每个图都恰好具有$4$ Hamilton圈.最后我们考虑了这两类图的“另一个极端”，从而研究了具有多个Hamilton圈的循环$4$ -边连通三次平面图和具有少个Hamilton圈的循环$5$ -边连通三次可平面图.在每一种情况下，我们提出了部分结果，例子和插图关于图的几个或多个Hamilton圈。
The minimum number of Hamilton cycles in a hamiltonian threshold graph of a prescribed order
证明了$n$阶Hamilton阈值图的最小Hamilton圈数为$2^{\lfloor (n-3)/2\rfloor}$，且该最小Hamilton圈数是由度序列为$n-2$的图$n-1,n-1,n-2,\ldots,\lceil n/2\rceil,\lceil n/2\rceil,\ldots,3,2$唯一得到的.该图也是所有$n.$阶Hamilton阈值图中唯一的最小图
Optimal covers with Hamilton cycles in random graphs
图G的Hamilton圈填充是指图G中边不相交的Hamilton圈的集合。最近的结果表明，G_n，p a.a.s.大小为\lfloor delta（G_n，p）/2 \rfloor。Glebov、Krivelevich和Szabó最近开始研究“对偶”问题，其中要求一组覆盖G的所有边的Hamilton圈。我们的主要结果表明，对于log^{117}n / n < p < 1-n^{-1/8}，a.a.s. G_n，p的边可由\lceil Delta（G_n，p）/2 \rceil Hamilton圈覆盖.这显然是最优的，并且改进了Glebov、Krivelevich和Szabó的近似结果，该结果对p > n^{-1+ \eps }成立。我们的证明是基于Knox，Kühn和Osthus关于伪随机图中填充Hamilton圈的一个结果.
Hamilton Cycles in Random Graphs: a bibliography
本文通过提供一份带注释的文献目录，梳理了随机图与超图中哈密顿环的研究工作，为相关领域学者提供便利的文献参考。
Colour-biased Hamilton cycles in random graphs
我们证明了一个随机图$G(n,p)$，$p$以上的哈密尔顿性阈值，通常是这样的，任何$r$着色的边缘存在哈密尔顿循环至少$(2/(r+ 1)-o(1))n$边缘相同的颜色。这个估计是渐近最优的。
A Note on Hamilton Cycles
如果$G$是$n$上的一个以上的坚韧图，且对于给定的$a>0$，$n$具有$δ\ge \frac{n}{2}-a$，且$n$足够大，则$G$是Hamilton图.
Hamilton cycles in line graphs of 3-hypergraphs
证明了秩为3的超图的每个52-连通线图都是Hamilton的。这是第一个结果，这种类型的有界秩超图比普通图。
Optimal packings of Hamilton cycles in sparse random graphs
证明了存在一个正常数ε，使得若\log/\le ^{-1+ε}，则随机图G ~ G（n，p）渐近几乎必然包含\lfloor δ（G）/2 \rfloor边不交Hamilton圈的集合.
M-alternating Hamilton paths and M-alternating Hamilton cycles
本文研究了具有完美匹配$M$的简单连通图$G$中关于$ν$顶点的$M$ -交错Hamilton路和$M$ -交错Hamilton圈.设$G$是一个二部图，证明了：如果对$G$的不同部分中的任意两个顶点$x$和$y$，$d(x)+d(y)\geq ν/2+2$，则$G$有一个$M$ -交错Hamilton圈.对于一般图，给出了$M$中存在以边为起点和终点的$M$ -交替Hamilton路的一个条件.然后证明了：如果$κ(G)\geqν/2$，其中$κ(G)$表示$G$的连通度，则$G$有一个$M$ -交错Hamilton圈或属于一类例外图. Lou和Yu \cite{LY}证明了：每个具有$k\geqν/4$的$k$ -可扩图$H$是二部图或满足$κ(H)\geq 2k$ .结合这个结果，我们证明了$H$中存在$M$ -交错Hamilton圈.
A survey on Hamilton cycles in directed graphs
本文综述了关于有向图、定向图和竞赛图中Hamilton圈的一些最新结果。我们还结合其中的一些证明了下面的近似结果对凯利的猜想汉密尔顿分解的定期比赛：每一个定期比赛的边缘可以覆盖的一组汉密尔顿圈是'几乎'边不相交。我们还强调的作用，“强大的扩展”的概念在几个证据中发挥作用。讨论了新的和旧的开放问题。
Enumeration of Labelled and Unlabelled Hamiltonian Cycles in Complete $k$-partite Graphs
我们在完全$n$ -部图$K_{d,d,\ldots,d}$中列举了标号和非标号哈密顿圈，这些图的每一部分都有精确的$d$顶点（换句话说，图兰图$T(nd, n))$）.我们得到的递归关系，使我们能够找到精确的值$b_{n}^{(d)}$，这样的周期为任意$n$和$d$
Directed Hamilton cycles in digraphs and matching alternating Hamilton cycles in bipartite graphs
1972年，Woodall提出了有向图中有向Hamilton圈的Ore型条件：设$D$是有向图。如果对于每个顶点对$u$和$v$，其中没有从$u$到$v$的弧，我们有$d^+u)+d^-(v)\geq |D|$，则$D$有一个有向Hamilton圈。利用二部图与有向图之间的对应关系，上述结果等价于Las Vergnas的结果：设$G = (B,W)$是平衡二部图.如果对于任何$b \in B$和$w \in W$，其中$b$和$w$不相邻，我们有$d(w)+d(b) \geq |G|/2 + 1$，则$G$的每个完美匹配都包含在一个Hamilton圈中。两个结果的下界都很紧。在本文中，我们减少这两个界限$1$，并证明结论仍然成立，只有少数例外的情况下，可以清楚地描述。
Arbitrary Orientations Of Hamilton Cycles In Oriented Graphs
本文利用随机嵌入方法证明了：对于α>0，任何具有最小入度和最小出度δ^+（G），δ^-（G）\geq（3/8+α）|G|的足够大的定向图G包含Hamilton圈的所有可能的定向.这证实了Häggkvist和Ekasason的一个猜想。
Loose Hamilton Cycles in Random 3-Uniform Hypergraphs
在随机超图H=H（n，p;3）中，每一个可能的三元组都以概率p独立出现。一个松散的Hamilton圈可以描述为边序列{x_i，y_i，x_{i+1} \}，其中i= 1，2，.，n/2。证明了存在一个绝对常数K>0，使得当p> \log n/n^2时，有lim_{n->oo 4 |n} }Pr（H（n，p;3）包含一个松弛Hamilton圈）=1.
The Speed and Threshold of the Biased Hamilton Cycle Game
我们证明了存在一个常数C，使得对于任何$b<\frac{n}{\ln{n}}-\frac{Cn}{(\ln{n})^{3/2}}$，Maker在$n+\frac{Cn}{\sqrt{\ln{n}}}$步中赢得Maker-Breaker Hamilton循环博弈.
A note on colour-bias Hamilton cycles in dense graphs
Balogh、Csaba、Jing和Pluhár最近确定了确保$2$着色图$G$包含显著颜色偏差的Hamilton循环（即，在一种颜色中包含显著多于其一半的边的Hamilton循环）。在这篇短文中，我们推广了这个结果，确定了$r$ -着色的相应阈值。
Alternating Hamilton Paths and Cycles in Poset Products
本研究针对有限偏序集的可比图，探讨交替哈密顿路径与循环，证明含至少两元素的有限偏序集若存在交替哈密顿路径，则其与布尔格乘积对任意因子均存在交替哈密顿循环，还刻画了存在此类路径与循环的因子格，解决了Katona的猜想。
Hamilton cycles in 5-connected line graphs
Carsten Schlassen的一个猜想指出，每个4-连通线图都是哈密尔顿的。已知该猜想对于7连通线图成立。我们通过证明任何最小度至少为6的5-连通线图是哈密尔顿的来改进这一点。结果扩展到无爪图和Hamilton连通性。
Forbidding Hamilton cycles in uniform hypergraphs
对于$1\le d\le \ell< k$，给出了$k$ -一致超图中保证Hamilton $\ell$ -圈的最小$d$ -度阈值的一个新的下界.当$k\ge 4$和$d< \ell=k-1$时，这个界大于完美匹配的最小$d$度阈值，从而反驳了Rödl和Rucibrski的一个著名猜想。我们的（简单的）建设推广的建设Katona和Kierstead和空间障碍的Hamilton圈。
Hamilton cycles in vertex-transitive graphs of order a product of two primes
向前迈进了一步，在一个长期存在的Lovász的问题，关于点传递图的Hamilton性，通过显示，每个连通的点传递图的顺序的产品的两个素数，比彼得森图，包含一个Hamilton圈。在证明中使用的基本工具范围从经典的结果存在的汉密尔顿周期，如Chvátal的定理和杰克逊的定理，某些结果的多项式表示的二次剩余在原根在有限域。
Properly colored Hamilton cycles in Dirac-type hypergraphs
考虑了$k$ -一致超图中Dirac型问题的一个鲁棒变形。例如，我们证明了如果$H$是一个$k$ -均匀超图，其最小余度至少为$(1/2 + γ)n$，$γ>0$，并且$n$是足够大的，那么满足适当局部约束的任何边着色$ϕ$在$H$中产生一个适当着色的紧Hamilton圈.也显示了松散循环的类似结果。
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