Colour-biased Hamilton cycles in random graphs
Lior Gishboliner, Michael Krivelevich, Peleg Michaeli
我们证明了一个随机图$G(n,p)$，$p$以上的哈密尔顿性阈值，通常是这样的，任何$r$着色的边缘存在哈密尔顿循环至少$(2/(r+ 1)-o(1))n$边缘相同的颜色。这个估计是渐近最优的。
We prove that a random graph $G(n,p)$, with $p$ above the Hamiltonicity threshold, is typically such that for any $r$-colouring of its edges there exists a Hamilton cycle with at least $(2/(r+ 1)-o(1))n$ edges of the same colour. This estimate is asymptotically optimal.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A minimum-degree threshold for colour-biased Hamilton cycles in hypergraphs
该研究确定了使双色3-超图存在颜色偏置紧哈密顿环的渐近最优最小顶点度条件，证实了相关学者提出的猜想。
Colour-biased Hamilton cycles in randomly perturbed graphs
本文研究随机扰动图中颜色偏置哈密顿圈的存在性，证明添加 $O(n)$ 条随机边可在最小度条件下保证 $Ω(n)$ 颜色偏置，并刻画了临界端点处 $Ω(m)$ 颜色偏置的相变行为。
A note on colour-bias Hamilton cycles in dense graphs
Balogh、Csaba、Jing和Pluhár最近确定了确保$2$着色图$G$包含显著颜色偏差的Hamilton循环（即，在一种颜色中包含显著多于其一半的边的Hamilton循环）。在这篇短文中，我们推广了这个结果，确定了$r$ -着色的相应阈值。
Properly coloured Hamiltonian cycles in edge-coloured complete graphs
设$K_n^c$是$n$上的边着色完全图.令$Δ_{\rm mon}(K_n^c)$表示与$K_n^c$的顶点入射的相同颜色的边的最大数目。正确着色的循环是这样的循环，即没有两个相邻的边缘具有相同的颜色。在1976年，Bollobás和Erdés证明了每一个具有$Δ_{\rm mon}(K_n^c) < \lfloor n/2 \rfloor$的$K_n^c$都包含一个适当着色的哈密尔顿圈。本文证明了对任何$\varepsilon > 0 $，存在一个整数$n_0$，使得每个具有$Δ_{\rm mon}(K_n^c) < (1/2 - \varepsilon) n $和$n \ge n_0$的$K_n^c$都包含一个适当着色的Hamilton圈.这改进了Alon和Gutin的结果。因此，Bollobás和Erdás的猜想是渐近正确的。
Layer barriers for colour-biased tight Hamilton cycles
本文针对均匀超图构造有色偏紧致哈密顿环的层状障碍，通过 $k=17$、$a=8$ 的反例及渐近分析，揭示其内部成员与边界构造的行为差异。
A remark on Hamilton cycles with few colors
Akbari、Etesami、Mahini和Mahmoody证明了$K_n$的每一个具有$n$颜色的真边着色都包含一个具有$\leq O(\log n)$颜色的Hamilton圈。他们证明了总有一个带有$\leq 8\sqrt n$颜色的Hamilton圈。在本文中，我们将这个界限改进为$O(\log^3 n)$。
Almost all optimally coloured complete graphs contain a rainbow Hamilton path
一个边着色图的子图$H$称为彩虹图，如果$H$的所有边都有不同的颜色。在1989年，Andersen证明了$K_{n}$的每一个适当的边着色都允许一个长度为$n-2$的彩虹路径。我们发现，几乎所有的最佳边着色的$K_{n}$承认（i）彩虹汉密尔顿路径和（ii）彩虹周期使用所有的颜色。这一结果证明了Andersen猜想对$K_{n}$的几乎所有最优边着色都成立，并回答了Ferber，Jain和Sudakov最近提出的一个问题。我们的结果也适用于随机对称拉丁方中断面的存在性。
Hamiltonicity of Bell and Stirling Colour Graphs
本文研究了贝尔和斯特林着色图的哈密顿性，证明了除特殊情况外，这些图具有哈密顿回路。
The Speed and Threshold of the Biased Hamilton Cycle Game
我们证明了存在一个常数C，使得对于任何$b<\frac{n}{\ln{n}}-\frac{Cn}{(\ln{n})^{3/2}}$，Maker在$n+\frac{Cn}{\sqrt{\ln{n}}}$步中赢得Maker-Breaker Hamilton循环博弈.
Rainbow Hamilton cycles in randomly coloured randomly perturbed dense graphs
给定一个$n$ -顶点图$G$，对于某个固定的$d > 0$，其最小度至少为$d n$，则在$G$的超图上的分布$G \cup \mathbb{G}(n,p)$称为$G$的（随机）{ \sl扰动}.我们考虑边着色图的分布所产生的随机扰动$G \cup \mathbb{G}(n,p)$的每个边缘的颜色，独立和均匀地随机选择一组颜色的大小$r := r(n)$。我们证明了这样的边着色图分布a.a.s.当随机扰动的边密度满足$p := p(n) \geq C/n$时，对于某个固定的$C > 0$和$r = (1 + o(1))n$，都存在彩虹Hamilton圈。使用的颜色数量显然是渐近最佳可能的。特别是，这在这方面改进了Anavalet和Frieze（2019）的最新结果。作为中间结果，这可能是独立的利益，我们证明了随机边着色稀疏伪随机图a.a.s.一条几乎横跨彩虹的道路。
Near rainbow Hamilton cycles in dense graphs
针对Andersen提出的正常边着色图中近彩虹哈密顿圈问题，本文证明了满足全局n/8有界且最小度≥(1/2+ε)n的一般图存在含n-o(n)种颜色的哈密顿圈，并指出常数1/8最优。
Rainbow Hamiltonicity in uniformly coloured perturbed digraphs
本文证明了在边均匀着色的随机扰动有向图中，当底图最小半度满足条件时，以高概率存在彩虹有向哈密顿圈，改进了此前无向图设置下的相关结论。
Proper Hamiltonian Paths in Edge-Coloured Multigraphs
给定一个$c$ -边着色多重图，一条真Hamilton路是包含该多重图的所有顶点且使得相邻边不具有相同颜色的路。在这项工作中，我们建立了充分的条件，边着色的多重图，以保证存在一个适当的Hamilton路，涉及各种参数的边数，颜色的数量，彩虹度和连通性。
Enumerating Hamiltonian Paths and Cycles
本文证明了完全多部图中定向哈密顿路径与回路的计数公式，采用折叠技术关联普通路径图与合法着色路径图。
Rainbow perfect matchings and Hamilton cycles in the random geometric graph
给定一个在$n$顶点上的图和一个给边的颜色分配，彩虹汉密尔顿圈是一个长度为$n$的圈，它访问每个顶点一次，并且在边上有成对不同的颜色。类似地（对于偶数$n$），彩虹完美匹配是具有成对不同颜色的$n/2$独立边的集合。在这篇笔记中，我们证明，如果我们用足够多的颜色随机地给随机几何图的边着色，那么a.a.s.图包含彩虹完美匹配（彩虹哈密尔顿循环）当且仅当最小度至少为$1$（分别地，至少为$2$）。更准确地说，考虑对于任何固定的$d\ge2$，从单位$d$维立方体中独立且均匀地随机选择的$n$点（即顶点）。在这些$n$顶点上形成一个图序列，方法是在每个可能的顶点对之间逐个添加边。边以长度的递增顺序添加（对于任何固定的$1<p\le\infty$，相对于$\ell_p$范数测量）。每次添加新的边缘时，它接收从一组$\lceil Kn\rceil$颜色中随机且重复地均匀选择的随机颜色，其中$K=K(d)$是足够大的固定常数。那就尽快序列中最小度至少为$1$的第一个图必须包含彩虹完美匹配（对于偶数$n$），并且最小度至少为$2$的第一个图必须包含彩虹Hamilton圈。
Perfect matchings, Hamiltonian cycles and edge-colourings in a class of cubic graphs
一个图$G$具有完美匹配哈密尔顿性质（PMH性质），如果对于它的每一个完美匹配，都有另一个$G$的完美匹配，使得这两个完美匹配的并集产生一个$G$的哈密顿圈。对具有PMH-性质的图的研究，由Las Vergnas和Häggkvist在20世纪70年代开始，结合了图的三个充分研究的性质，即匹配，哈密尔顿性和边着色。在这项工作中，我们研究了这些概念的三次图，试图证明这些三次图的每一个完美匹配对应于一个适当的3-边着色的图的颜色之一。我们讨论这等价于说这样的图是偶2-因子可分解的（E2 F），即图的所有2-因子只包含偶圈。二部三次图的情况是平凡的，因为如果$G$是二部的，那么它是E2 F。因此，我们限制我们的注意力，非二部三次图。一个三次图是E2 F的一个充分但非必要条件是它具有PMH-性质。这项工作的目的是引入一个无限族的E2 F非二部三次图的两个参数，我们硬币papillon图，并确定相应的参数值，这些图具有PMH-属性或只是E2 F。我们还证明了没有两个不同参数的papillon图是同构的。
Colour-biased Hamilton cycles in dense graphs and random graphs
本文在稠密图和随机图中推广 Dirac 定理的偏差版本，渐近确定了最小度条件下 r-染色边集中单色出现次数的最大保证值 f_{r,α}(n)，并证明了相应的随机图结果。
Rainbow Hamilton cycles in random regular graphs
边着色图的彩虹子图的所有边都是不同的颜色。一个随机d-正则图，d为偶数，且其边随机着色为n种颜色中的每一种颜色的d/2，当n趋于无穷大时，若d至少为8，则该图有一个概率趋于1的彩虹Hamilton圈.
Discrepancies of Spanning Trees and Hamilton Cycles
研究了图的生成树和Hamilton圈的多色差异性。作为我们的主要结果，我们表明，在非常温和的条件下，图$G$的$r$ -颜色生成树的差异是相等的，直到一个常数，最小$s$，使$G$可以被分成$r$相等的部分，通过删除$s$顶点。这一结果可以说解决了问题，估计生成树的差异，基本上所有的图的兴趣。特别是，它使我们能够立即推导出的推论大多数结果出现在最近的一份文件的Balogh，Csaba，京和Pluhár，证明他们在更广泛的一般性和任何数量的颜色。我们还得到了一些新的结果，如确定超立方体的生成树差异。对于具有某些扩张性质的特殊情况，我们得到了精确的渐近界。本文还研究了最小度大的图中Hamilton圈的多色不一致性，证明了在最小度至少为$\frac{r+1}{2r}n + d$且顶点为$n$的图的边的任何$r$ -染色中，必存在至少有$\frac{n}{r} + 2d$边为某种颜色的Hamilton圈.这扩展了Balogh等人的结果，是他建立了$r = 2$这个案子此结果中的常数$\frac{r+1}{2r}$是最佳的;它不能被任何更小的常数所替代。
On edge-colouring-games by Erdős, and Bensmail and Mc Inerney
该研究针对Erdős、Bensmail和Mc Inerney提出的三类边着色游戏，在无偏情形下推进相关猜想、提出新猜想并拓展游戏适用图类，在有偏情形下解决两类游戏并证明特定参数下的团游戏结论。
Colour diversity in spanning structures under Dirac-type conditions
本文研究了在Dirac型最小度条件下，生成结构中颜色多样性的结果，证明了在特定条件下存在具有大量不同颜色的哈密顿回路和排列。
Odd-Ramsey numbers of Hamilton cycles
本文研究哈密顿圈的奇拉姆齐数，通过有限域构造和奇偶切换组合框架证明其渐近阶为$\Theta(\sqrt{n})$，并初步探讨Dirac图中该类奇拉姆齐数的性质。
On Generalized Total Colourings of Planar Graphs
本文研究图的广义全染色，证实了Borowiecki等人提出的平面图广义全染色仅需4种颜色的猜想，针对两类无限平面图族完成了验证。
Biased orientation games
我们研究有偏{ \em方向游戏}，其中董事会是完整的图$K_n$，和制造商和断路器轮流在指导以前无向边的$K_n$。在游戏结束时，获得的图是一个锦标赛。如果锦标赛有某些属性$\mathcal P$，庄家赢，否则庄家赢。我们提供了在三场不同的比赛中庄家获胜和断路器获胜所需的偏差界限。在第一场比赛中，如果获得的锦标赛有一个循环，则Maker获胜。第二个博弈是Hamilton性，如果所获得的锦标赛包含Hamilton循环，则Maker获胜。最后，我们考虑$H$创建游戏，如果获得的锦标赛有一个固定的图$H$的副本，则Maker获胜。
A rainbow Dirac theorem for loose Hamilton cycles in hypergraphs
该研究证明了在满足特定度数阈值的k-均匀超图中，任何全局有界的着色都包含一个彩虹松散哈密顿回路。
On the number of biased graphs
有偏图是一个图$G$，连同其圈的一个区别子集$\mathcal{B}$，使得$G$的θ-子图中没有恰好包含$\mathcal{B}$中的两个圈。通过选择$G$为完全图，$\mathcal{B}$为其Hamilton圈的任意子集，可以构造出大量的有偏图.我们表明，在对数尺度上，在$n$顶点上的简单有偏图的总数不会渐近超过可以用这种基本方式构造的数量。
Random subgraphs of properly edge-coloured complete graphs and long rainbow cycles
边色完全图的一个子图称为彩虹图，如果它的所有边都有不同的颜色。Hahn在1980年提出了一个猜想，即每一个适当边着色的完全图$K_n$都有一条彩虹Hamilton路，虽然这个猜想被证明是错误的，但人们普遍认为这样的着色总是包含一个长度几乎为$n$的彩虹圈。在本文中，改进了几个早期的结果，我们证实了这一点，证明每一个适当的边色$K_n$有一个彩虹周期的长度$n-O(n^{3/4})$。我们的证明的主要成分之一，这是独立的利益，表明一个随机子图的正确的边着色的$K_n$形成的边缘的随机集的颜色有一个类似的边缘分布作为一个真正的随机图具有相同的边缘密度。特别地，它具有非常好的膨胀性能。
A Hamilton Cycle in the $k$-Sided Pancake Network
我们在$k$边煎饼网络中提出了一个Hamilton圈，并给出了四种遍历该圈的组合算法。网络的顶点是彩色排列$π= p_1p_2\cdots p_n$，其中每个$p_i$在$\{0,1,\ldots, k{-}1\}$中具有相关联的颜色。如果$π_2$可以通过长度为$j$的“翻转”从$π_1$获得，则存在有向边$(π_1,π_2)$，该翻转将第一个$j$元素反转并以$k$为模递增它们的颜色。我们的特定循环是使用贪婪的最小翻转策略创建的，我们使用的边的平均翻转长度是由一个常数限制的。
A degree condition for cycles of maximum length in bipartite digraphs
本文证明了平衡二部有向图的Hamilton性的一个Ore型判别准则：色类为N的二部有向图D是Hamilton的，如果对D的任一对色类相反的顶点u和v，使得弧uv不在D中，u的出度与v的入度之和大于或等于N+2.
The critical bias for the Hamiltonicity game is (1+o(1))n/ln n
证明了在完全图K_n的边上进行的有偏1：b Hamilton Maker-Breaker对策中，对所有足够大的n，Maker有一个获胜策略使b（n）<=（1-o（1））n/ln n.
On graphs which have locally complete 2-edge-colourings and their relationship to proper circular-arc graphs
该研究聚焦具有局部完全2边着色的图，证明其可多项式时间识别，给出类似Gallai余可比图刻画的禁用子结构特征，并刻画了对应类别的正常区间图与正常圆弧图。
Simple numerical algorithm for generating Hamiltonian cycles and edge labels on planar cubic maps
本文提出了一种算法，利用该算法可以通过连续的边插入构造任意三次平面映射，同时为每种构型构造一组适当的边标号和哈密顿圈.我们提出了一个公开的Python实现该算法，并讨论了理论和数值支持其有效性，参考著名的四色定理。
How fast can Maker win in fair biased games?
研究了n阶完全图的边集上的（a：a）Maker-Breaker对策。在下面的四个博弈中-完美匹配博弈、汉密尔顿循环博弈、星因子博弈和路径因子博弈，我们的目标是确定Maker为了赢得这些博弈所需的最少移动次数。此外，对于除了明星因素博弈之外的所有博弈，我们展示了红色如何在这些博弈的强版本中获胜。
On Ramsey-type problems for paths and cycles with few colour changes
受1967年Gerencser和Gyárfás关于路径双色拉姆齐数结论启发，研究3边着色完全图中颜色变化少的路径和圈，引入新参数，给出路径和偶圈的相关拉姆齐型参数结果。
Thoughts on Barnette's Conjecture
本文证明了三次3连通可平面图是Hamilton图的一个新的充分条件。这个条件最容易描述为对偶图的一个性质。设$G$为平面三角剖分。则对偶$G^*$是三次3连通可平面图，且$G^*$是二部图当且仅当$G$是欧拉图.我们证明了如果$G$的顶点被（不适当地）着色为蓝色和红色，使得蓝色顶点覆盖$G$的面，不存在蓝色圈，并且每个红色圈包含一个次数至多为4的顶点，则$G^*$是Hamilton的.这个结果暗示了以下巴内特猜想的特殊情况：如果$G$是一个欧拉平面三角剖分，其顶点被适当地着色为蓝色、红色和绿色，使得每个红绿循环都包含一个4度顶点，则$G^*$是哈密尔顿的。我们的最终结果突出了使用适当的着色的$G$作为一个起点证明巴内特猜想的局限性。我们还解释了巴内特猜想的相关结果，得到了Kelmans和详细的自包含的证明尚未公布。
Optimal stability results on color-biased Hamilton cycles
本文研究边着色图中 Hamilton 圈的颜色偏向问题，证明在最小度约为 n/2 加 Θ(m) 时，若所有 Hamilton 圈均接近颜色平衡，则图必接近已知极值构造，并说明阈值与误差项均最优。
Fast strategies in biased Maker--Breaker games
研究有偏 Maker–Breaker 博弈中 Maker 在完美匹配和哈密顿圈博弈中获胜所需的最少步数，给出了依赖于 Breaker 偏差 $b$ 的界限。
Exact-palette rainbow embeddings in uniformly coloured pseudorandom graphs
研究均匀着色稀疏双混合图中彩虹结构的涌现，证明在亚线性调色板盈余下完美匹配等结构存在，并推广到精确调色板情形，利用耦合与传播测度方法。
Structure-biased Maker-Breaker Games
本研究提出结构偏置的Maker-Breaker博弈变体，要求Breaker每回合选取特定结构的边，并确立了三角形、连通性和哈密顿性博弈在团、匹配和星偏置下的阈值偏置数量级，表明结构对Breaker构成重大障碍。
Universality for transversal powers of Hamilton cycles
本文研究图族中 Hamilton 圈 $k$ 次幂的横截普适性，证明最小度达到 $(1-1/(2k)+o(1))n$ 即可容纳任意 $m$ 色边染色，推广了 Hamilton 圈的渐近最优阈值结果。
Graphs with multi-$4$-cycles and the Barnette's conjecture
设${\cal H}$表示所有具有多个$4$ -圈的图族，并假设$G \in {\cal H}$ .然后，$G$是一个二部图，其顶点二划分为$\{V_α, V_β\}$。证明了对每个顶点$v \in V_β$和每个$2$ -着色$V_α \rightarrow \{1, 2\}$，存在一个$2$ -着色$V_β \rightarrow \{1, 2\}$，使得$G$中的每个循环不是单色的，并且$b(v) = 1$（$b(v) = 2$）.现在让$G$是一个简单的偶数平面三角剖分与顶点$3$ -分区$\{V_{1}, V_{2}, V_{3}\}$。用$B_{i}$，$i = 1, 2, 3$表示$V_i$中度至少为$6$的所有顶点的集合。设$G[B_{1}\cup B_{3}]$（$G[B_{2}\cup B_{3}]$）是集合$B_{1}\cup B_{3}$（分别为$B_{2}\cup B_{3}$）诱导的$G$的子图.设$G^{*}$是$G$的对偶图，其具有如下的$3$ -面着色：$G^{*}$的面$f$被$i$着色当且仅当顶点$v = f^{*} \in V_{i}$。我们证明，如果$H = G[B_{1}\cup B_{3}] \cup G[B_{2}\cup B_{3}] \in {\cal H}$，那么，对于任何边选择的面着色$3$和大小至少$6$在$G^{*}$，有…
A Rainbow Dirac's Theorem
Dirac的一个著名定理指出，任何一个在$n$顶点上且最小度至少为$n/2$的图都有一个Hamilton圈。这样的图称为狄拉克图。加强这一结果，我们证明了存在的彩虹Hamilton圈的$μn$有界染色的Dirac图充分小的$μ>0$。
Tight Hamilton cycles with high discrepancy
本文研究了 $k$-一致超图支撑子图的差异性问题，证明了在渐近最优的最小度条件下，任意边 $r$-染色的超图必然包含高差异性的紧哈密顿圈，并综合运用图兰型问题与概率方法完成证明。
Rainbow structures in locally bounded colourings of graphs
证明了边着色拟随机图到彩虹生成结构的近似分解的几个结果。更确切地说，我们说，一个图的边着色是局部$\ell$ -有界的，如果没有顶点是事件的任何给定的颜色超过$\ell$边，它是（全球）$g$ -有界的，如果没有颜色出现超过$g$次着色。注意，$n$ -顶点图的每一个真着色都是局部$1$ -有界的，并且（全局）是$n/2$ -有界的.我们的结果表明：（i）边色$K_n$的彩虹几乎生成圈的近似分解的存在性，只要边色是$\frac{n}{2}$ -有界的和局部$o(n)$ -有界的. (ii)证明了边色$K_n$到彩虹Hamilton圈的近似分解的存在性，只要边色是$(1-o(1))\frac n2$ -有界的和局部$o\big(\frac{n}{\log^4 n}\big)$ -有界的. (iii)我们的结果的二分版本意味着每个$n\times n$阵列，其中每个符号出现$(1-o(1))n$次，并出现在每行或每列只有$o\big(\frac{n}{\log^2 n}\big)$次，有一个近似的分解成完整的横截。我们还证明了类似物（i）和（ii）的$F$ -因子，其中$F$是任何固定的图。除了（ii）中的对数因子外，所有这些界限基本上都是最佳可能的。(i)可以看作是最近的结果的推广Alon，Pokrovskiy和Sudakov，谁显示了存在一个几乎生成圈在适当的颜色完全图。（i）和（…
Compatible Hamilton cycles in graphs with large minimum degree
研究在最小度数较大的图中，兼容哈密顿环的存在性及所需兼容系统参数的界限，证明μ=1/8足够，但μ≤1/6是必要条件。
Decompositions into spanning rainbow structures
边着色图的一个子图称为彩虹，如果它的所有边都有不同的颜色。彩虹子图的研究可以追溯到200多年前欧拉关于拉丁方的工作，并一直是广泛研究的焦点。欧拉提出了一个问题，相当于找到正确的$n$ -边着色完全二部图$K_{n,n}$，可以分解成彩虹完美匹配。虽然有适当的边着色的$K_{n,n}$，甚至没有一个单一的彩虹完美匹配，本文的主题是表明，与一些非常弱的额外的限制，可以找到许多不相交的彩虹完美匹配。特别是，我们证明，如果一些分数的颜色类有最多$(1-o(1)) n$边缘，然后可以近分解的边缘$K_{n,n}$到边缘不相交完美的彩虹匹配。作为这一点的应用，我们建立了一个非常强的形式的猜想Akbari和Alipour和渐近证明了一个猜想Barat和Nagy。这两个图都涉及具有二次多色的$K_{n,n}$的边着色中的彩虹完美匹配。使用我们的技术，我们也证明了一些结果的近分解图成其他彩虹结构，如哈密顿圈和生成树。最值得注意的是，我们证明了任何适当着色的完全图都可以近似分解成生成彩虹树。这渐近地证明了Brualdi-Hollingsworth和Kaneko-Kano-Suzuki定理，它们预测在相同的假设下应该存在完美的分解。
Rainbow subgraphs of uniformly coloured randomly perturbed graphs
本文研究均匀着色随机扰动图中彩虹子图的存在性，提出基于 McDiarmird 耦合思想的通用工具，并证明在最优颜色数和边概率条件下，均匀着色的扰动图以高概率包含任意有界度树的彩虹副本。
An oriented discrepancy version of Dirac's theorem
本文完整证明了Gishboliner等人提出的Dirac定理有向差异版本猜想，证明了满足最小半度条件的有向图必然包含具有足够多指向前方边的Hamilton圈。
Resilience of rainbow Hamilton cycles in pseudorandom graphs
该论文证明在伪随机图中，满足一定最小度条件的生成子图在全局有界着色下必含彩虹哈密顿圈，并给出计数、渗流及避免边对冲突的推广，回答了随机图上的相关问题。
Incidence Choosability of Graphs
图G的一个关联图是一对（v，e），其中v是G的一个顶点，e是G的一条与v关联的边.当（i）v = w，或（ii）e = f，或（iii）vw = e或f时，G的两个关联图（v，e）和（w，f）是相邻的. G的关联p-着色是从G的关联集合到颜色集合{1，. ..，p}，使得每两个相邻的入射接收不同的颜色。1993年，Brualdi和Quinn Massey引入了关联着色，从那时起，几位作者进行了研究。本文介绍并研究了关联着色的列表形式。我们确定的确切值-或上界-的关联选择数的几类图，即正方形网格，Halin图，仙人掌和哈密尔顿三次图。
Star Colouring of Bounded Degree Graphs and Regular Graphs
本文研究了有界度图与正则图的星着色问题，给出了 $d$-正则图星色数的下界，构造了达到该下界的偶数度正则 Hamiltonian 图，并证明了 $k$-STAR COLOURABILITY 问题在特定二部图上的 NP 完全性与 ETH 难解性。
General Parity Result and Cycle-plus-Triangles Graphs
推广了Fleishner和Stiebitz的一个宇称结果，并结合Alon-Tarsi多项式方法证明了由一个哈密顿圈和若干个不相交的三角形构成的4-正则图总是3-可选的.此外，我们提出了一个修改的多项式方法，并显示它如何给稍微多的组合信息的着色比直接应用阿隆的组合零点。
Random Perfect Graphs
研究了从点集$\{1,\ldots,n\}$上的完美图中均匀抽样的随机完美图$P_n$的渐近结构。我们的方法是基于Prömel和Steger的结果，几乎所有的完美图是广义分裂图，以及一种方法来产生这样的图几乎一致。我们证明了稳定数$α(P_n)$和团数$ω(P_n)$的最大值的分布接近于一个集中分布$L(n)$，这在我们的生成方法中起着重要的作用。我们还证明了$P_n$包含任意给定图$H$作为导出子图的概率是渐近的$0$或$\frac12$或$1$ .进一步我们证明了几乎所有的完美图都是$2$ -连通-可列图，改进了Bacsó等人在2004年的一个结果;它们几乎都是Hamilton图;它们几乎都具有与它们的最小度相等的连通度$κ(P_n)$;它们几乎都属于第一类图（使用$Δ$颜色的边缘颜色，其中$Δ$是最大程度）;并且一系列独立均匀抽样的大小递增的完美图几乎必然收敛到图子$W_P(x, y) = \frac12(\mathbb{1}[x \le 1/2] + \mathbb{1}[y \le 1/2])$。
Hamiltonian cycles and 1-factors in 5-regular graphs
证明了对任意整数$g \ge 0$和$k \in \{ 0, \ldots, 10 \}$，存在无穷多个含1-因子分解的亏格为$g$的5-正则图，其中恰好有$k$对1-因子是完美的，即构成一个哈密顿圈.对于$g = 0$，这解决了1964年的Kotzig问题。受Kotzig和Labelle的“婚姻”操作的启发，我们讨论了两种胶合技术，旨在产生高循环边连通图。证明了存在无穷多个平面5-连通5-正则图，其中每个1-因子分解都有零个完美对。另一方面，利用四色定理和Brinkmann与第一作者的一个结果，证明了每个平面4-连通5-正则图在其哈密顿圈上满足一个条件时，都有线性数目的1-因子分解，每个分解至少包含一个完美对.我们还证明了满足更强条件的平面5-连通5-正则图包含最多9个完美对的1-因子分解，由此，每一个允许最多10个完美对的1-因子分解的平面5-连通5-正则图至少有两个边Kempe等价类.最后给出了平面5-正则图的边Kempe等价类的进一步结果。
Biased Games On Random Boards
在本文中，我们分析了有偏见的制造商-断路器游戏和避免者-执行者游戏，都发挥了随机板$G\sim \gnp$的边缘集。在制造者-破坏者游戏中，有两个玩家，分别被称为制造者和破坏者。在每一轮中，Maker声明$G$的一个先前未声明的边缘，而Breaker则通过声明$b$先前未声明的边缘来响应。我们考虑的Hamilton游戏，完美匹配游戏和$k$ -顶点连通性游戏，其中制造商的目标是建立一个图，拥有相关的属性。避免者-执行者博弈是制造者-破坏者博弈的反向模拟，略有修改，其中两个玩家每次移动时分别声明至少1条和至少$b$先前未声明的边，而避免者旨在避免构建具有相关属性的图。Maker-Breaker游戏被称为“偏置单调”，也就是说，如果Maker赢得了$(1,b)$游戏，他也赢得了$(1,b-1)$游戏。因此，将一个游戏的关键偏差$b^*$定义为游戏的“断点”是有意义的。也就是说，每当$b\leq b^*$出现时，Maker都会赢得$(1,b)$游戏，否则就会失败。关键偏差的类似定义存在于回避者-实施者游戏中：在这里，游戏$b^*$的关键偏差是这样的：对于每一个$b > b^*$，回避者都赢得$(1,b)$游戏，否则就输了。我们证明，对于每一个$p=ω(\frac{\ln n}{n})$，$G\sim\gnp$是典型的，所有上述庄家-断路器游戏的临界偏差是渐近$b^*=\frac{np}{…
Hamilton decompositions of equal-side directed tori
本文研究了定向托里哈密顿分解问题，证明当d≥2且m为奇数时，D_d(m)的弧集可分解为d个定向哈密顿回路，结合多个定理和原理完成证明。
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