A Common Generalization of Dirac's two Theorems
设$G$是一个2-连通图，其阶为$n$，$c$是周长-$G$中最长圈的阶。在本文中，我们提出了一个尖锐的下界的基础上最小度$δ$和$p$的周长-$G$中的最长路的顺序。这是Dirac的两个连通图经典结果的一般推广：（i）$c\ge \min\{n,2δ\}$ ;和（ii）$c\ge\sqrt{2p}$。而且，结果比（ii）更强。
2014-07-18 math.CO
Recent advances on Dirac-type problems for hypergraphs
图论中的一个基本问题是建立保证图包含某些生成子图的条件。两个著名的例子是Tutte的定理完美匹配和狄拉克定理的汉密尔顿周期。Dirac定理的推广以及与之相关的超图的匹配和填充问题，近年来受到了广泛的关注。新的工具，如吸收方法和正则性方法，帮助产生了许多新的结果，但在该领域的一些基本问题仍然没有解决。我们调查最近的发展Dirac型问题以及所涉及的方法，并强调一些开放的问题。
2015-08-25 math.CO
Blowing up Dirac's theorem
该研究证明了当图的最小度数满足一定条件时，图可以被一个包含几乎均匀大小簇的环的吹胀图所覆盖，采用吹胀覆盖方法进行证明。
2025-12-15 math.CO
Dirac's theorem for random regular graphs
在随机正则图的背景下，我们证明了狄拉克定理的一个“弹性”版本。更准确地说，我们表明，只要$d$是足够大相比，$\varepsilon>0$，a.a.s.以下观点成立：设$G'$是随机$n$ -顶点$d$ -正则图$G_{n,d}$的任意子图，其最小度至少为$(1/2+\varepsilon)d$。则$G'$是哈密尔顿算子。这证明了Ben-Shimon，Krivelevich和Sudakov的一个猜想。我们的结果是最好的：一是不能忽略$d$大的条件，二是不能改进最小度界。
2020-06-23 math.CO
Dirac's theorem for graphs of bounded bandwidth
Institut für Informatik, Universität Heidelberg（海德堡大学）；Faculty of Computer Science and Mathematics, University of Passau（帕绍大学）；Department of Mathematics, London School of Economics（伦敦政治经济学院）；Zuse Institute Berlin（柏林祖斯研究所）；Department of Mathematics, University College London（伦敦大学学院）
本文提出一个关于带有限带宽图的最优条件，保证其包含完全二分图的子图，并给出了构造此类结构的贪心算法。
2024-07-08 math.CO
Dirac's theorem on chordal graphs and Alexander duality
利用单纯复形上的Alexander对偶，给出弦图上Dirac定理的一个新的代数证明.
2003-07-16 math.AC math.CO
Stability version of Dirac's theorem and its applications for generalized Turán problems
1952年，Dirac证明了每一个$2$ -连通的$n$ -顶点图都含有一个长度至少为$\min\{n, 2(k+1)\}$的圈.在这里，我们得到一个稳定的版本，这个结果的特点是最小度$k$和周长最多$2k+1$的图。通过得到广义Turán数，给出了上述结果的应用.特别是，对于所有的$\ell \geq 5$，我们确定需要多少个五圈和四圈的拷贝来保证图的周长大于$\ell$。此外，利用我们的稳定性结果给出了团罗定理的一个新的证明。
2022-08-03 math.CO
Powers of Hamiltonian cycles in randomly augmented Dirac graphs -- the complete collection
本文研究随机增强Dirac图中的哈密顿圈幂问题，精确估计了随机增强图包含哈密顿圈$m$次幂的阈值概率。
2023-04-06 math.CO
Dirac-type theorems in random hypergraphs
对于可被$k$整除的正整数$d<k$和$n$，设$m_{d}(k,n)$是$k$ -一致超图中保证完美匹配存在的最小$d$ -度.在图的情况下（其中$k=2$），狄拉克的经典定理说，$m_{1}(2,n)=\lceil n/2\rceil$。然而，总的来说，我们对$m_{d}(k,n)$值的了解仍然非常有限，确定或近似这些值是一个活跃的研究课题。本文证明了Dirac型结果相对于随机超图的一个转移定理。具体地说，对任意$d< k$，任意$\varepsilon>0$和任意“不太小”的$p$，证明了一个随机$k$ -均匀超图$G$具有$n$顶点和边概率$p$，它的最小度至少为$(1+\varepsilon)m_{d}(k,n)p$的生成子图都有完美匹配.一个有趣的方面，我们的证明是一个“非建设性”的吸收方法，这使我们能够证明一个约束方面的$m_{d}(k,n)$，而实际上不知道它的值。
2022-08-04 math.CO
The Tournament Theorem of Rédei revisited
Technische Hochschule Rosenheim（罗森海姆应用技术大学）；Technische Universität Ilmenau（伊尔梅瑙工业大学）；University of Southern Denmark（南丹麦大学）
本文重新审视雷迪的竞赛定理，揭示其与迪拉克和埃尔定理之间的联系，并探讨相关推论。
2026-02-18 math.CO
Dirac's theorem for linear hypergraphs
该研究将图论中的Dirac定理推广到k-均匀线性超图，证明了在最小度条件下存在几乎覆盖所有顶点的匹配，并进一步探讨了线性圈、超树和长细分的存在性。
2025-03-26 math.CO
Strengthening theorems of Dirac and Erdős on disjoint cycles
设$k \ge 3$为整数，$H_{k}(G)$为图$G$中度至少为$2k$的顶点集，$L_{k}(G)$为图$G$中度至多为$2k-2$的顶点集. 1963年，Dirac和Erdans证明了当$|H_{k}(G)| - |L_{k}(G)| \ge k^{2} + 2k - 4$时，$G$包含$k$（顶点-）不交圈.本文的主要结果是：对于$k \ge 2$，每个图$G$，若$|V(G)| \ge 3k$最多包含$t$不交三角形，若$|H_{k}(G)| - |L_{k}(G)| \ge 2k + t$最多包含$k$不交圈。这产生如果$k \ge 2$和$|H_{k}(G)| - |L_{k}(G)| \ge 3k$，则$G$包含$k$不相交的循环。这推广了Corrádi-Hajnal定理，该定理指出每个具有$H_{k}(G) = V(G)$和$|H_{k}(G)| \ge 3k$的图$G$包含$k$不相交的圈。
2016-02-08 math.CO
Dirac's theorem on simplicial matroids
我们引入k-超团复形的概念，即，最大的单纯复形上的集合[n]与一个固定的k-骨架。这些单纯复形是团复形（或旗复形）的高维类似物（情况k=2），它们是一类丰富的新的单纯复形。我们表明，狄拉克定理弦图有一个更高的维模拟图和团复合体得到取代，分别由单纯拟阵和k-超团复合体。我们还证明了一个高维模拟斯坦利的重新制定的狄拉克定理弦图。
2007-10-14 math.AC math.CO
An oriented discrepancy version of Dirac's theorem
本文完整证明了Gishboliner等人提出的Dirac定理有向差异版本猜想，证明了满足最小半度条件的有向图必然包含具有足够多指向前方边的Hamilton圈。
2024-06-27 math.CO
A hypergraph analog of Dirac's Theorem for long cycles in 2-connected graphs, II: Large uniformities
本文研究了超图中Berge圈的Dirac型定理，针对k ≤ r+1的情况，证明了n顶点r-均匀2-连通超图在最小度为k时包含长度至少为min{2k, n, |E(H)|}的Berge圈。
2023-10-19 math.CO
A Dirac-type theorem for Berge cycles in random hypergraphs
一个超图在$n$顶点上的Hamilton Berge圈是一个由不同顶点$v_1, \ldots, v_n$和不同超边$e_1, \ldots, e_n$组成的交替序列$(v_1, e_1, v_2, \ldots, v_n, e_n)$，使得对每个$i\in [n-1]$都有$\{v_1,v_n\}\subseteq e_n$和$\{v_i, v_{i+1}\} \subseteq e_i$.证明了关于二项式随机$r$ -一致超图$H^{(r)}(n,p)$中Berge圈的Dirac-type定理：对任意整数$r \geq 3$，任意实$γ>0$和$p \geq \frac{\ln^{17r} n}{n^{r-1}}$，任意顶点度最小的生成子图$H \subseteq H^{(r)}(n,p)$（$δ_1(H) \geq \left(\frac{1}{2^{r-1}} + γ\right) p \binom{n}{r-1}$）都包含Hamilton Berge圈.最小度条件是渐近紧的，$p$上的界是最优的，直到某个多对数因子。
2019-03-21 math.CO
Towards a high-dimensional Dirac's theorem
本文证明在最小余度至少 (3+√57)/12+o(1))n 的 3-一致超图中存在 Steiner 三元系，并猜想该阈值可改进至 3/4，从而给出 Dirac 定理的高维推广。
2025-03-26 math.CO
A Simple Extension of Dirac's Theorem on Hamiltonicity
经典的狄拉克定理断言，每个图$G$在$n$个顶点上具有最小度$δ(G) \ge \lceil n/2 \rceil$是Hamilton的。$\lceil n/2 \rceil$关于图的最小度的下界是紧的。在本文中，我们推广了经典的狄拉克定理的情况下，$δ(G) \ge \lfloor n/2 \rfloor $通过确定在这种情况下唯一的非Hamilton图族。我们首先给出一个简短的证明。然后，我们提供了一个替代的证明，是建设性的和自足的。因此，我们提供了一个多项式时间的算法，构造一个哈密尔顿圈，如果存在的话，图$G$与$δ(G) \ge \lfloor n/2 \rfloor$，或确定该图是非哈密尔顿。最后，我们提出了一个自包含的证明，我们的算法，提供了深入了解的结构时，$δ(G) \ge \lfloor n/2 \rfloor$的Hamilton圈，是有希望的，本文的结果扩展到更小的程度界限的情况下。
2016-06-12 cs.DM math.CO
Dirac-type Theorems for Inhomogenous Random Graphs
针对边概率不均的随机图，本文以边概率之和给出 Hamilton 路径与完美匹配的充分条件，并分别用 Pósa 旋转、单顶点排除及 bootstrap 技术证明高概率结论。
2024-04-02 math.CO math.PR
