部分最小度为 $4n/5$ 的分数三角分解
Fractional Triangle Decompositions at Partite Minimum Degree $4n/5$
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中文总结 AI 辅助
本文证明部分最小度为 $4n/5$ 的平衡三部图存在分数三角分解，并借此将部分拉丁方阵的可完成性阈值改进至 $\varepsilon<1/5$，优于此前 $2/25$ 的界。
中文摘要 AI 辅助
我们证明了每个三角形可分割的平衡三部图，其顶点类大小为 $n$，且部分最小度至少为 $4n/5$，都允许分数三角分解。结合 Barber、Kühn、Lo、Osthus 和 Taylor 的多部图分解定理，这意味着对于每个固定的 $\varepsilon<1/5$ 和所有足够大的 $n$，每个 $\varepsilon$-稠密的部分拉丁方阵（阶为 $n$）都是可完成的，改进了先前 $2/25$ 的渐近界。该分数分解定理是有限且精确的。其证明使用最小权重完美匹配来规范化任意的 Farkas 对偶加权，随后采用显式的直接-两步路由方案，该方案在每条非匹配边上的总拥塞至多为 1。
英文摘要
We prove that every triangle-divisible balanced tripartite graph whose vertex classes have size $n$ and whose partite minimum degree is at least $4n/5$ admits a fractional triangle decomposition. Combined with the multipartite decomposition theorem of Barber, Kühn, Lo, Osthus, and Taylor, this implies that, for every fixed $\varepsilon<1/5$ and all sufficiently large $n$, every $\varepsilon$-dense partial Latin square of order $n$ is completable, improving the previous asymptotic bound of $2/25$. The fractional decomposition theorem is finite and exact. Its proof uses a minimum-weight perfect matching to normalize an arbitrary Farkas dual weighting, followed by an explicit direct-and-two-step routing scheme whose aggregate congestion on every off-matching edge is at most one.
发表机构
- University of California, Los Angeles（加州大学洛杉矶分校）
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