Between proper and square colorings of planar graphs with maximum degree at most four
Xi’an Jiaotong-Liverpool University（西交利物浦大学）；Xidian University（西安电子科技大学）
本文研究平面图最大度数不超过四的着色问题，证明了该类图可被(1,2^10)和(1^2,2^7)着色，为Wegner猜想提供新进展。
2026-04-01 math.CO
On high-girth layered graphs of large Turán density in a hypercube
Institute of Algebra and Geometry, Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院代数与几何研究所）
本研究聚焦超立方体中图的Turán密度这一公开问题，针对分层图情形，证明对任意给定围长要求，均存在围长不小于该值且超立方体Turán密度为正的分层图，拓展了已知正Turán密度分层图的类型。
2026-10-16 math.CO
On the Long-Repetition-Free 2-Colorability of Trees
如果$\bar{u}$的长度至少为3，则字$\bar{w} = \bar{u}\bar{u}$是$long$ $square$;如果$\bar{w}$不包含长方形的子字，则字$\bar{w}$是$long$ - $square$ - $free$。我们可以使用词来生成图着色;如果图中每条路的着色所形成的词是无长平方的，则图着色称为$long$ - $repetition$ - $free$。我们的结果表明，半径小于或等于7的每一棵有根树都是长重复无二色的。证明了存在一类非长重复自由二色树。
2022-01-27 math.CO
Khajuraho's magic square is an hypercube
该研究指出印度克久拉霍寺庙的泛幻方，其对称性群与四维超立方体的对称性群同构，揭示了该古代幻方的隐藏数学特性。
2026-08-10 math.CO math.HO
Multidimensional quadrangle condition and cuboctahedra in latin hypercubes
Sobolev Institute of Mathematics（索博列夫数学研究所）
本文提出多维拉丁超立方体的四边条件，研究最关联的quasigroups的 Cayley 表特性，并估计立方八面体数量。
2026-04-01 math.CO
On the Turán Density of $C_{10}$ in the Hypercube
Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）
该研究针对超立方体图，通过估计不含 $C_{10}$ 的子图中 $C_6$ 的副本数并结合子立方体平均论证，得到 $\u03c0_{\square}(C_{10})$ 的上界不超过 0.36577。
2026-08-24 math.CO
C4-Free Subgraphs of the Hypercubes Q6, Q7, and Q8: Odd Squares, Fully Frustrated Models, and Computational Structure
本文通过构造和计算方法，为Q6、Q7和Q8超立方体中不含C4子图的最大边数提供了新的下界，并给出了相关构造和验证方法。
2026-08-31 math.CO
Latin Hypercubes and Cellular Automata
拉丁方和超立方体是在统计学、密码学和编码理论中有几个应用的组合设计。本文将一种基于双置换元胞自动机的拉丁方构造推广到维数为$k>2$的拉丁超立方体的情形。特别地，我们证明了产生$k>2$维拉丁超立方体的线性双置换CA（LBCA）是由系数部分重叠的可逆Toeplitz矩阵序列定义的，该Toeplitz矩阵序列可以由行列式函数的支集导出的一种特殊的正则de Bruijn图来描述.进一步，我们通过计算这个de Bruijn图上长度为$k-3$的路的个数，导出了由LBCA生成的$k$维拉丁超立方体的个数.
2020-04-15 cs.DM math.CO
Some remarks on the square graph of the hypercube
设$Γ=(V,E)$是一个图。图$Γ$的平方图$Γ^2$是具有顶点集$V(Γ^2)=V$的图，其中两个顶点相邻当且仅当它们在$Γ$中的距离至多为2。超立方体$Q_n$的平方图有一些有趣的性质。例如，它是高度对称和泛连通的。本文研究了图${Q^2_n}$的一些代数性质。特别地，我们证明了图${Q^2_n}$是距离传递的。证明了图${Q^2_n}$是非本原距离传递图当且仅当$n$是奇整数.此外，我们确定了图$Q_n^2$的谱。最后，证明了当$n >2$是偶数时，${Q^2_n}$是一个自守图，即$Q_n^2$是一个距离传递本原图，但它不是完全图或线图.
2022-06-30 math.CO math.GR
Metric dimensions of generalized Sierpiński graphs over squares
Rajalakshmi Engineering College（拉贾拉克什米工程学院）；University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理与力学研究所）；University of Maribor（马里博尔大学）
本文研究了以$C_4$为基图的广义塞皮尔尼克图形的度量维度及其变种，探讨了双顶点在度量维度理论中的作用。
2024-03-31 math.CO
Between proper and square coloring of planar graphs, hardness and extremal graphs
LIRMM, Univ Montpellier, CNRS（蒙彼利埃大学，法国国家科学研究中心）
研究了平面图中 $(1^a, 2^b)$-着色问题的计算复杂性和极值性质，证明了其在某些平面图类中的 NP 完全性，并给出了相关图类的着色上界。
2026-02-13 cs.CC math.CO
The DP-coloring of the square of subcubic graphs
该研究针对次立方图平方图的DP着色问题，基于最大平均度参数，通过放电法得出两个DP着色数结论并证明首个界的紧性，丰富了距离着色与DP着色相关研究。
2024-05-15 math.CO
Constructions of transitive latin hypercubes
在每个参数中可逆的函数$f:\{0,...,q-1\}^n\to\{0,...,q-1\}$称为拉丁超立方体。$\{0,...,q-1\}$的排列的集合$(π_0,π_1,...,π_n)$被称为拉丁超立方体$f$的自同构，如果$π_0f(x_1,...,x_n)=f(π_1x_1,...,π_n x_n)$对于所有$x_1$，.，$x_n$。我们称一个拉丁超立方体是合素传递的（拓扑线性的），如果它的自同构群在所有的$q^n$参数值集合上都是传递的（规则的）。我们证明了非等价的拓扑线性拉丁超立方体的数目关于$\sqrt{n}$指数增长，如果$q$是偶数和关于$n^2$指数增长，如果$q$是可分的平方。我们展示了一个连接的类的同位素传递拉丁方与类的G-循环，已知的非交换代数，并建立存在一个topolinear拉丁方，是不是一个组同位素。刻画了$q=4$和$q=5$阶的同位素传递拉丁超立方体类.关键词：传递码，准线性码，拉丁方，拉丁超立方体，自映射，g-环。
2019-08-28 cs.IT math.CO math.IT
Interval edge-colorings of Cartesian products of graphs II
本文研究了图笛卡尔积的区间边着色，给出了W(G□H)的精确下界及连通图的新上界，并改进了多维环面和Hamming图的已知界限，同时探讨了Fibonacci立方体的区间着色。
2024-09-26 math.CO
The existence and uniqueness of magic-faced hypercubes, and applications to Khajuraho most-perfect magic squares, cubes, and hypercubes
本文证明阶为2的魔面超立方体在任意维数下存在且唯一（在特定变换下），并应用于推广卡朱拉霍幻方、回答Coxeter问题，证明最完美对象在Weyl群作用下为单轨道。
2026-09-23 math.CO math.GR math.NT
Sum-of-squares certificates for symmetric polynomials on the hypercube: a counterexample to a conjecture of De Klerk and Laurent
Tilburg University（蒂尔堡大学）
研究超立方体上非负多项式的平方和表示，通过对称性和稀疏性约化，证明 De Klerk 和 Laurent 关于常数 C_n 的猜想在 n=8 时不成立。
2026-05-29 math.CO math.OC
Latin squares without proper subsquares
该研究证明了除特定参数外，任意维度和阶数的拉丁超立方体都可不含任何真子超立方体，二维情形解决了Hilton提出50年的无真子方拉丁方存在性猜想。
2023-10-03 math.CO
Symmetric Sums of Squares over $k$-Subset Hypercubes
我们考虑的问题，找到平方和（SOS）的表达式，以建立一个对称多项式的非负性的离散超立方体的坐标索引的$k$ -元素子集的$[n]$。为了简单起见，我们专注于$k=2$的情况下，但我们的结果自然扩展到所有值的$k \geq 2$。我们开发了一个变种的Gatermann-Parrilo的简化方法，适合我们的设置，允许几个简化和连接到标志代数。我们表明，每一个对称多项式，有一个固定的程度的SOS表达也有一个简洁的SOS表达，其大小只取决于程度，而不是变量的数量。我们的方法绕过了应用Gatermann-Parrilo方法所需的许多技术困难，并提供了灵活性，以获得简洁的SOS表达式是组合意义。作为我们的结果的副产品，我们到达一个自然的代表理论的理由介绍了拉兹博罗夫在他的标志代数演算的概念，标志。此外，这种连接暴露了一系列非负多项式，这些多项式不能用任何固定的标志集进行认证，这回答了Razborov在我们有限设置的上下文中提出的问题。
2016-08-06 math.CO math.OC
On the star arboricity of hypercubes
超立方体$Q_n$是一个图，其中的顶点都是长度为n的二进制向量，并且两个顶点相邻当且仅当它们的分量恰好在一个位置不同。一个星系或一个恒星森林是一个顶点不相交的恒星联盟。图$G$的星荫度，即${\rm sa}(G)$，是划分图$G$边集的最小星系数。在本文中的其他结果中，我们确定了$n \in \{2^k-3, 2^k+1, 2^k+2, 2^i+2^j-4\}$，$i \geq j \geq 2$的${\rm sa}(Q_n)$的精确值。我们还改进了${\rm sa}(Q_n)$的上界，并证明了${\rm sa}(G)$与平方染色的关系.
2014-06-29 math.CO
(Total) Domination in Prisms
利用超图横截证明了$γ_t(Q_{n+1}) = 2γ(Q_n)$，其中$γ_t(G)$和$γ(G)$分别表示$G$的全控制数和控制数，$Q_n$是$n$维超立方体.更一般地，它表明，如果$G$是一个二部图，那么$γ_t(G \square K_2) = 2γ(G)$。此外，我们证明了二分条件是必不可少的，通过构建，任何$k \ge 1$，（非二分）图$G$，使$γ_t (G \square K_2 ) = 2γ(G) - k$。同时也得到了超立方体的几个支配型恒等式。
2016-06-27 math.CO
On the 1-switch conjecture in the Hypercube and other graphs
Feder和Subi证明，对于$n$维立方体的边的任何$2$ -着色，我们可以找到由最多改变一次颜色的路径连接的顶点对。我们讨论的情况下，随机着色，我们证明了猜想的广泛的一类着色。我们的方法可以应用到一个更一般的问题，其中$Q_n$可以被任何图形$G$，由一个固定的自同构$ϕ\in Aut(G)$的反足性的概念取代。因此，对于$E(G)$的任何$2$ -着色，我们都在寻找一对顶点$u,v$，使得$u= ϕ(v)$和它们之间有一条尽可能少的颜色变化的路径。我们解决了这个问题的环形网格$G=C_{2a} \square c_{2b}$的自同构，使每个顶点到其唯一的最远对。我们的结果指向一个更一般的猜想，原来是支持以前的定理Feder和Subi。
2015-04-22 math.CO
Multimagic Squares
在本文中，我们给出了第一个方法，构造n-多重幻方（和超立方体），任何n。我们给出了一个明确的公式的情况下，平方和一个有效的存在性证明，在高维的情况下。最后，我们证明了n-多重幻方不存在某些订单。
2005-04-05 math.CO math.GM
List Coloring of the Square of 4-Irregular Graphs
Kalma Laboratory, Lebanese University（卡尔马实验室，黎巴嫩大学）；Univ. Bordeaux, CNRS, Bordeaux INP, LaBRI, UMR 5800（波尔多大学，法国国家科学研究中心，波尔多高等理工学院，LaBRI实验室）
研究4-不规则图平方的列表染色问题，通过证明得出对于此类图\(\chi_l(G^2) \leq 11\)，并给出例子说明此界是紧的，对克兰斯顿和金的相关研究进行了补充。
2026-07-28 math.CO
Interval edge-colorings of Cartesian products of graphs I
一个图$G$的边染色是一个区间$t$ -染色，如果所有的颜色都被使用，并且与$G$的每个顶点关联的边的颜色是不同的，并且形成一个整数区间。一个图$G$是区间可着色的，如果$G$对某个正整数$t$有区间$t$ -着色。设$\mathfrak{N}$是所有区间可着色图的集合。对于图$G\in \mathfrak{N}$，$G$具有区间$t$ -着色的$t$的最小值和最大值分别用$w(G)$和$W(G)$表示。本文首先证明了：如果$G$是$r$ -正则图且$G\in \mathfrak{N}$，则有$W(G\square P_{m})\geq W(G)+W(P_{m})+(m-1)r$（$m\in \mathbb{N}$）和$W(G\square C_{2n})\geq W(G)+W(C_{2n})+nr$（$n\geq 2$）.接下来，我们研究网格，圆柱和环面的区间边着色。特别地，我们证明了，如果$G\square H$是平面的，两个因素至少有3个顶点，那么$G\square H\in \mathfrak{N}$和$w(G\square H)\leq 6$。最后，我们证实了第一作者关于$n$维立方体$Q_{n}$的猜想，并证明了$Q_{n}$有区间$t$ -染色当且仅当$n\leq t\leq \frac{n(n+1)}{2}$ .
2012-01-31 cs.DM math.CO
Coloring squares of graphs with mad constraints
图$G=(V,E)$的适当顶点$k$ -着色是将颜色分配给图的顶点，使得没有两个相邻的顶点与相同的颜色相关联的$c:V\to \{1,2,\ldots,k\}$。图$G$的平方$G^2$是由$V(G)=V(G^2)$和$uv \in E(G^2)$定义的图当且仅当$u$和$v$之间的距离至多为2。我们用$χ(G^2)$表示$G^2$的色数，它是使$G^2$存在$k$ -染色的最小整数.根据定义，该目标至少需要$Δ(G)+1$颜色，其中$Δ(G)$表示图$G$的最大度。本文证明了具有$\text{mad}(G)<4$和$Δ(G) \geqslant 8$的图$G$的平方是$(3Δ(G)+1)$ -可选的，甚至是对应可着色的.进一步，我们证明了一类$2$ -退化图$G$，它具有$\text{mad}(G)<4$，任意大的最大度，以及$χ(G^2)\geqslant \frac{5Δ(G)}{2}$，改进了Kim和Park的结果.
2019-02-21 math.CO
Magic Knight's Tours in Higher Dimensions
棋盘上的骑士之旅是一系列的骑士移动，每一个方块只走一次。如果每一行和每一列的数字之和相同（魔术常数），则在正方形棋盘上的骑士之旅称为魔术骑士之旅。高维（n > 3）骑士之旅是古老的骑士之旅领域中的一个新课题。本文证明了奇阶n维超立方体中不可能存在幻骑士环和闭骑士环。3 \times 4 \times 2n-2是最小的立方体（n \geq 2），4 \times 4 \times 4 n-2是n维中可以进行骑士之旅的最小立方体（n \geq 3）。魔法骑士的游览可以在4 \times 4 \times 4 \times 4和4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4超立方体中进行。
2012-01-02 cs.DM math.CO
A coloring of the square of the 8-cube with 13 colors
令$χ_{\bar{k}}(n)$为对$n$维超立方体进行着色所需的颜色数，使得具有相同颜色的两个顶点之间的距离不超过$k$。换句话说，$χ_{\bar{k}}(n)$是划分$n$维汉明空间所需的具有至少$k+1$的最小距离的二进制码的最小数目。通过给出显式着色，证明了$χ_{\bar{2}}(8)=13$ .
2015-09-23 cs.IT math.CO math.IT
Equidistant dimension of Cartesian product graphs
Universitat Rovira i Virgili（罗维拉-维尔吉利大学）
本文研究了笛卡尔积图的等距维数，计算了包括二维汉明图、超立方体、循环棱柱和平方网格图在内的几种图的等距维数。
2025-12-08 math.CO
Root cubes and two-vertex deletions from daisy grids
School of Mathematics and Information Sciences, Yantai University（烟台大学数学与信息科学学院）
本文证明了有限偏立方体是雏菊立方体当且仅当每个Djoković-Winkler $\Theta$-类是外围的，并给出了最小禁止偏立方体-minors的精确刻画。
2026-08-19 math.CO
Bootstrap percolation on the high-dimensional Hamming graph
本文研究高维Hamming图上的2-邻域随机bootstrap渗流，将超立方体上的相关临界概率渐近结果推广至该图，确定了特定k值范围下临界概率相差至多乘积常数的渐近行为。
2024-06-19 math.CO math.PR
Majority C-coloring in Cartesian products
University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理与力学研究所）；University of Pannonia（佩奇大学）
本文研究笛卡尔积图的多数C-着色，给出其紧下界，确定二维汉明图等的精确值，提出笛卡尔网格的结果，文末附猜想与开放问题。
2026-09-21 math.CO
Weak $k$-metric dimension of Hamming graphs: rectangular products and near-maximum parameters
San José State University（圣何塞州立大学）
本研究确定了 Hamming 图（包括矩形积和超立方体）的弱 k-度量维数，证明了相关猜想，并给出了近最大参数下的精确公式与显式条件。
2026-09-29 math.CO
Comparing the number of infected vertices in two symmetric sets for Bernoulli percolation (and other random partitions)
该研究针对图上的伯努利渗流，在强对称条件下以随机支配形式证明离固定顶点更远的等大对称集合含簇顶点数更少，结果可推广至多种随机划分模型，并给出多类图的应用。
2025-03-24 math.CO math.PR
