AI 中文总结
该研究针对超立方体图，通过估计不含 $C_{10}$ 的子图中 $C_6$ 的副本数并结合子立方体平均论证，得到 $\u03c0_{\square}(C_{10})$ 的上界不超过 0.36577。
AI 中文摘要
n 维超立方体 $Q_n$ 是顶点集为 $\{0,1\}^n$ 的图，其中两个顶点当且仅当恰好一个坐标不同时相邻。对于图 $H$，令 $\text{ex}(Q_n,H)$ 为 $Q_n$ 的不含 $H$ 的子图的最大边数，$H$ 的超立方体 Turán 密度定义为 $\u03c0_{\square}(H) = \lim_{n \rightarrow \infty} \text{ex}(Q_n,H)/|E(Q_n)|$。在这篇短文中，我们证明 $\u03c0_{\square}(C_{10})\leq \u03c0_{\square}(C_6)$，结合 Baber 给出的 $\u03c0_{\square}(C_6)$ 的上界，可得 $\u03c0_{\square}(C_{10})\leq 0.36577$。我们的证明首先对 $Q_n$ 的不含 $C_{10}$ 的子图中 $C_6$ 的副本数进行上界估计，随后对 $Q_n$ 的子立方体应用平均论证。
英文摘要
The $n$-dimensional hypercube $Q_n$ is the graph with vertex set $\{0,1\}^n$ in which two vertices are adjacent if they differ in exactly one coordinate. For a graph $H$, let $\operatorname{ex}(Q_n,H)$ be the maximum number of edges in an $H$-free subgraph of $Q_n$. The hypercube Turán density of $H$ is defined by $π_{\square}(H)=\lim_{n\rightarrow\infty}\operatorname{ex}(Q_n,H)/|E(Q_n)|$. In this note, we prove \[ \frac{1}{8} \leq π_{\square}(C_{10}) \leq 0.36577. \] For the upper bound, we prove $π_{\square}(C_{10}) \leq π_{\square}(C_6)$, which, together with a result of Baber, gives the stated upper bound. For the lower bound, we prove that $\operatorname{ex}(Q_n,C_{10}) > |E(Q_n)|/8$ for every $n \geq 2$.
Comments9 pages; lower bound construction added, references added, small changes in formatting and wording
