发表机构
San José State University（圣何塞州立大学）
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本研究确定了 Hamming 图（包括矩形积和超立方体）的弱 k-度量维数，证明了相关猜想，并给出了近最大参数下的精确公式与显式条件。
AI 中文摘要
我们确定了若干 Hamming 图族的弱 $k$-度量维数。对于 $n\ge3$、$m>n$ 且 $3\le k\le2n$，一个循环构造证明了 Fernández、Klavžar、Kuziak、Muñoz-Márquez 和 Yero (2026) 关于 $K_n\square K_m$ 的猜想 6.1。对于这些矩形积，我们还证明了当 $m\ge2n-2$ 时，$\"operatorname{wdim}_2(K_n\square K_m)=m$ 恰好成立。对于 $d\ge2$ 的超立方体 $Q_d$，我们展示了连续参数 $2s-1$ 和 $2s$ 具有相同的弱分辨集。在最大参数附近，通过归约到受限距离二进制码，我们确定了对于每个可行亏量 $0\le t\le15$ 的 $\operatorname{wdim}_{2^d-t}(Q_d)$。对于 $L\ge1$ 和 $t\in\{2L,2L+1\}$，我们证明了稳定化公式 $\operatorname{wdim}_{2^d-t}(Q_d)=2^d-L$ 在 $d\ge2^L+1$ 时成立，并表明该阈值是精确的。对于每个固定的 $q\ge3$ 和亏量 $t$，我们还确定了在所有足够大的维度中 $\operatorname{wdim}_{2q^{d-1}-t}(K_q^{\square d})$ 的值，并给出了一个显式的充分条件。
英文摘要
We determine weak $k$-metric dimensions for several families of Hamming graphs. For $n\ge3$, $m>n$, and $3\le k\le2n$, a cyclic construction proves Conjecture 6.1 of Fernández, Klavžar, Kuziak, Muñoz-Márquez and Yero (2026) on $K_n\square K_m$. For these rectangular products, we also prove that $\operatorname{wdim}_2(K_n\square K_m)=m$ exactly when $m\ge2n-2$. For hypercubes $Q_d$ with $d\ge2$, we show that consecutive parameters $2s-1$ and $2s$ have identical weak resolving sets. Near the maximum parameter, a reduction to restricted-distance binary codes determines $\operatorname{wdim}_{2^d-t}(Q_d)$ for every feasible deficit $0\le t\le15$. For $L\ge1$ and $t\in\{2L,2L+1\}$, we prove the stabilization formula $\operatorname{wdim}_{2^d-t}(Q_d)=2^d-L$ for $d\ge2^L+1$, and show that this threshold is sharp. For each fixed $q\ge3$ and deficit $t$, we also determine $\operatorname{wdim}_{2q^{d-1}-t}(K_q^{\square d})$ in all sufficiently large dimensions, with an explicit sufficient condition.
Comments21 pages; ancillary files for two finite capacity verifications
