Maximal distance spectral radius of 4-chromatic planar graphs
Aysel Erey
证明了风筝图$K_4^{(n)}$唯一地最大化了所有连通的$4$ -色可平面图在$n$顶点上的距离谱半径.
We show that the kite graph $K_4^{(n)}$ uniquely maximizes the distance spectral radius among all connected $4$-chromatic planar graphs on $n$ vertices.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Planar triangulations with real chromatic roots arbitrarily close to four
我们展示了无限家庭的可平面图的实色根任意接近4，从而解决了一个长期存在的猜想肯定。
The chromatic number of the square of subcubic planar graphs
Wegner在1977年证明了最大度至多为$3$的可平面图的平方是$7$ -可着色的。我们证明了这个猜想使用放电方法和计算技术来验证可约配置。
Strong chromatic index of subcubic planar multigraphs
一个重图的强色指数是使其边集可以是$k$ -着色的最小$k$，要求每个色类诱导一个匹配.证明了Faudree，Gyárfás，Schelp和Tuza的一个猜想，证明了最大度不超过3的平面重图的强色指数不超过9，这是一个尖锐的猜想.
On a conjecture about the strong odd chromatic number of planar graphs
本文研究了平面图的强奇数染色数，通过构造反例验证了一个关于其上界猜想的假设。
A new upper bound on the acyclic chromatic indices of planar graphs
图$G$的无圈边染色是不产生双色圈的正常边染色。$G$的非循环色指数$a'(G)$是使得$G$具有使用$k$颜色的非循环边着色的最小整数$k$。证明了对任意简单图$G$，有最大度$Δ$的图，有$a'(G)\le Δ+2$.本文证明了：如果$G$是平面图，则$a'(G)\leqΔ+7$ .这改进了Basavaraju等人[{ \em可平面图的无环边着色}，SIAM J. Discrete Math.，25（2011），pp. 463-478]，它说每个平面图$G$都满足$a'(G)\leqΔ+12$。
On minimal triangle-free planar graphs with prescribed 1-defective chromatic number
一个图是（m，k）-色图，如果它的顶点可以用m种颜色着色，使得在所有接受相同颜色的顶点的集合上导出的子图的最大度至多为k。k-亏色数$χ_k(G)$是使图G是（m，k）-列的最小正整数$m$.设f（m，k;tfp）是满足$χ_k(G)$ =m的无三角形可平面图的最小阶.本文证明了f（3，1;tfp）=11。
Another Proof of the Four Colour Theorem -- Part 2 -- Discharging a minimal 5-Chromatic Planar Graph
在RSST中，他们“用另一个巨大的手工检查证明来取代A&H要求的巨大的手工检查证明”（第18页）。在这里，可验证性的证明是在一个冗长的结构化手动检查证明中完成的，其全部内容在本文档中给出。
The odd chromatic number of a planar graph is at most 8
Petruševski和Škrekovski \cite{odd9}最近引入了图的奇着色的概念：如果对于每个非孤立顶点$x \in V(G)$，存在一个颜色$c$在$N(x)$中出现奇数次，则称图$G$的真顶点着色为\emph{odd}。Petruševski和Škrekovski证明，任何可平面图$G$有一个奇怪的着色使用最$9$颜色，并与卡罗\cite{oddremarks}，表明$8$颜色是足够的一个重要的家庭的平面图。我们表明，$8$颜色足够的所有平面图。
Planar graphs and Stanley's Chromatic Functions
本文研究了图的色对称函数关于各种对称函数基的正性现象。给出了Gasharov关于$(3 + 1)$ -free偏序集的色对称函数的Schur-正性定理的一个新证明。我们提出了一个组合的舒尔系数的平面网络的解释。与Gasharov的证明相比，它给出了一个更清晰的取消过程的直观说明，并且在精神上与通过Lindstrom-Gessel-Viennot引理证明Schur函数的单项正性非常相似。我们应用类似的设备的$e$ -正性问题的色函数。继斯坦利，我们分析了某些类似的对称函数连接到图，而不是直接与图的色对称函数。引入了一个新的组合对象：单位区间阶的正确序列，并利用它重新证明了幂和对称函数的$G$ -模拟的单项正性.
The edge chromatic number of outer-1-planar graphs
一个图是外1-平面的，如果它可以在平面上画，使得所有的顶点都在外面，并且每条边最多交叉一次。本文完全确定了外1-可平面图的边色数。
Anagram-Free Chromatic Number is not Pathwidth-Bounded
Anagram-free色数是一个新的图形参数，由Kamčev，Zuczak，and Sudakov（2017）和Wilson and Wood（2017）独立引入。本文证明了路宽为3的可平面图具有任意大的Anagram-free色数。更具体地说，我们描述了$2n$ -顶点可平面图的路径宽度为3与anagram自由色数$Ω(\log n)$。我们还描述了在$Ω(k\log n)$中具有任意色数的$kn$顶点图，其路宽为$2k-1$。
Fractional balanced chromatic number and arboricity of planar (signed) graphs
本文构造平面符号图，证明其分数平衡色数可大于2，反驳了平面图分数树状度上界为2的猜想，并给出色数上确界至少为83/41、树状度极限为2+2/25的序列。
Remarks on planar edge-chromatic critical graphs
Vizing猜想的唯一公开的情形是$Δ= 6$，即每个具有$Δ\geq 6$的平面图都是1类图。我们给出了以下命题的一个简短证明：不存在6-临界平面图$G$，使得$G$的每个顶点至多与三个3-面关联. \cite{Wang_Xu_2013}中给出了一个更强有力的声明，不限于临界图。然而，那里给出的证明只对临界图有效。进一步证明了每个5-临界平面图都有一个3-面与一个$k$ -面$(k\in \{3,4\})$相邻.对于$Δ= 5$，我们的结果揭示了平面$5$ -临界图的结构，对于$Δ=6$，我们的结果支持了Vizing平面图猜想的正确性.
On the precise value of the strong chromatic-index of a planar graph with a large girth
图$G$的强$k$ -边染色是从$E(G)$到$\{1,2,\ldots,k\}$的映射，使得距离至多为2的每对不同的边接收不同的颜色。图$G$的强色指数$χ'_s(G)$是使$G$具有强$k$ -边染色的最小$k$.表示为$σ(G)=\max_{xy\in E(G)}\{\operatorname{deg}(x)+\operatorname{deg}(y)-1\}$。很容易看出，对于任何图$G$，都有$σ(G) \le χ'_s(G)$，并且当$G$是树时等式成立。对于最大度为$Δ$的可平面图$G$，利用四色定理证明了$χ'_s(G) \le 4 Δ+4$.然后在不同的$Δ$和周长条件下，将上限简化为$4Δ$，$3Δ+5$，$3Δ+1$，$3Δ$，$2Δ-1$。本文证明了：如果可平面图$G$的围长足够大，且是$σ(G)\geq Δ(G)+2$，则$G$的强色指数恰是$σ(G)$ .这个结果反映了一种直觉，即一个局部围长较大的可平面图看起来像一棵树。
Queue layouts and nonrepetitive colouring of planar graphs and powers of trees
Dujmović，Joret，Micek，Morin，Ueckerdt和Wood最近在[可平面图]中提出了有界图数，Journal of the ACM，第67卷，第4期，文章编号：22，August 2020]给出了可平面图的一些有吸引力的图积结构定理。他们利用乘积结构证明了可平面图具有有界非重复色数$48$ ;在[可平面图具有有界非重复色数，Advances in Combinatorics，5，11 pp，2020]中，作者证明了可平面图具有有界非重复色数$768$。本文还利用乘积结构定理，将可平面图的色数上界改进为$27$，将不重色数上界改进为$320$ .我们还研究了树木的力量。本文给出了树$T$的$k$次$T^k$的图积结构定理，并利用它给出了树$T^k$的非重复色数的一个上界.我们还给出了$T^k$的最小数的渐近紧上界.
Some results on the maximal chromatic polynomials of $2$-connected $k$-chromatic graphs
本文证明了Brown和Erey关于$2$-连通$k$-色图最大色多项式猜想成立的两个充分条件：图的团数为$k$或独立数为$2$。
The p-spectral radius of k-partite and k-chromatic uniform hypergraphs
刻画了n阶k部r-图中具有最大p-谱半径的r-图和n阶k色3-图中具有最大p-谱半径的3-图.
Regular behaviour of the maximal hypergraph chromatic number
设$m(n,r)$表示$n$ -一致超图中不可$r$ -着色的最小边数.我们证明了对于任何固定的$n$序列$a_r := m(n,r)/r^n$都有一个极限，这是Alon证明的。我们还证明了这个声明的列表着色类似。
An improved bound on acyclic chromatic index of planar graphs
如果图$G$中不存在双色圈，则称图$G$的正常边染色是无圈的.用$χ'_a(G)$表示的$G$的非循环色指数是使得$G$具有非循环边$k$ -着色的最少颜色数$k$。Basavaraju等人[可平面图的无环边着色，SIAM J. Discrete Math.25（2）（2011），463- 478]表明，对于具有最大度$Δ(G)$的可平面图$G$，$χ'_a(G)\le Δ(G)+12$。本文将此界改进为$Δ(G)+10$。
List Colouring Squares of Planar Graphs
1977年，Wegner证明了可平面图$G$的最大度$Δ\ge8$的平方的色数至多为$\bigl\lfloor\frac32Δ\bigr\rfloor+1$ .我们表明，它是最多$\frac32 Δ(1+o(1))$（其中$o(1)$是$Δ\to+\infty$），事实上，这是真实的列表色数和更一般的类图。
Face-degree bounds for planar critical graphs
唯一剩下的情况下，一个著名的猜想Vizing国家，没有可平面图的最大程度6和边色数7。我们引入了可平面图的参数，基于面的度，并研究了平面边色临界图的这些参数是否存在上界的问题。我们的研究结果提供了这些参数的最小反例Vizing的猜想的上界，从而提供了这样的图的部分特征，如果它们存在。对于$k \leq 5$，这些结果给出了平面边色临界图的结构。
Degeneracy and Colorings of Squares of Planar Graphs without 4-Cycles
本文证明了关于无4-圈可平面图的染色平方的几个结果。首先，我们证明了如果$G$是这样的图，那么$G^2$是$(Δ(G)+72)$ -退化的。这意味着一个上界的$Δ(G)+73$的色数$G^2$以及对几个变种的色数，如列表色数，油漆数，阿隆-Tarsi数，和对应色数。我们还表明，如果$Δ(G)$是足够大的，那么这些参数的$G^2$的上限都可以降低到$Δ(G)+2$（这是最好的可能）。为了补充这些结果，我们证明了4-循环在具有此属性方面是独一无二的。具体地说，让$S$是一个有限的正整数列表，其中有$4\notin S$。对于每个常数$C$，我们构造了一个平面图$G_{S,C}$，它不含长在$S$中的圈，但对于其中的$χ(G_{S,C}^2) > Δ(G_{S,C})+C$ .
The strong chromatic index of 1-planar graphs
本文证明了最大平均度为$\bar{d}$的图的强色指数上界为$(2\bar{d}-1)\chi'$，并由此得出1-平面图强色指数至多$14\Delta$，改进了Bensmail等人的$24\Delta$界。
Grid Representations and the Chromatic Number
图形的网格绘制将顶点映射到网格点，将边映射到线段，避免网格点表示其他顶点。我们表明，有一些网格点，一些线段的任意网格图必须相交。这个数与色数密切相关。其次，我们研究了在网格中绘制一个图需要多少列，引入了一些新的$\NP$ -完全问题。最后，我们证明了任何可平面图都有一个平面网格图，其中每个线段恰好包含两个网格点。这一结果证明了David Flores-Peñaloza和Francisco Javier Zaragoza Martinez提出的问题。
On the Strong Chromatic Index of Sparse Graphs
图$G$的强色指数，记为$χ_s'(G)$，是对$G$进行边着色所需的最少颜色数，使得距离至多为2的边接收不同的颜色。表示为$χ_{s,\ell}'(G)$的强列表色度索引是最小整数$k$，使得如果将大小为$k$的任意列表分配给每个边缘，则$G$可以从距离至多为2的边缘接收不同颜色的那些列表中进行边缘着色。本文利用放电方法、组合零点定理和计算证明了：如果$G$是一个次三次平面图，且有$\operatorname{girth}(G) \geq 41$，则有$χ_{s,\ell}'(G) \leq 5$，从而回答了Borodin和Ivanova [Precise upper bounding for the strong edge chromatic number of sparse planar graphs，Discuss.图论，33（4），（2014）759- 770]。我们进一步证明了如果$G$是一个次立方平面图，并且$\operatorname{girth}(G) \geq 30$，那么$χ_s'(G) \leq 5$，改进了同一篇文章中的一个界。最后，如果$G$是一个最大度不超过4的平面图，且$\operatorname{girth}(G) \geq 28$，则有$χ_s'(G) \leq 7$，改进了Wang和Zhao在[Odd graphs and its applic…
Maximal cocliques and the chromatic number of the Kneser graph on chambers of PG$(3,q)$
本文研究有限射影三维空间 chambers 的 Kneser 图，刻画其极大独立集大小与结构，并证明色数为 $q^2+q$。
Chromatic properties of generic planar configurations of points
我们研究了平面上点的一般构型（也称为序型）的Orchard关系。我们引入无穷小闭点，并分析了这个概念与果园关系的关系。第二部分的文件涉及单色配置（果园关系）。我们给出了所有单色配置的完整列表，最多7点，并提出了一些单色配置的建设和家庭。
Note on robust coloring of planar graphs
本文研究平面图的稳健色数，通过构造一个满足 $χ_1(G) = 3$ 的无限平面图族，解决了 Bacsó 等人近期提出的关于稳健染色的一个问题。
Further result on acyclic chromatic index of planar graphs
图$G$的非圈边染色是指图的每一圈至少被三种颜色着色的正常边染色。图$G$的无圈边着色指数$\chiup_{a}'(G)$是图$G$的无圈边着色中的最少颜色数。证明了对于任意具有最大度$Δ(G)$的单图$G$，有$\chiup'_{a}(G)\leq Δ(G) + 2$.本文证明了可平面图$G$的边染色是$Δ(G) + 6$色的.
Planar graphs have bounded nonrepetitive chromatic number
一个图的着色是“非重复”的，如果对于偶数阶的每条路径，路径的前半部分的颜色序列不同于后半部分的颜色序列。我们证明了可平面图具有非重复染色，且颜色数有界，从而证明了Alon，Grytczuk，Haluszczak和Riordan（2002）的一个猜想.我们还概括了这一结果的图有界欧拉属，图不包括一个固定的未成年人，图不包括一个固定的拓扑未成年人。
The average degree of edge chromatic critical graphs with maximum degree seven
本文通过对$4$或$5$顶点上的路的几个新的邻接引理的研究，证明了7-临界图的平均度至少为6。它包含Vizing的可平面图猜想，可平面图具有最大程度$7$和它的推广，图嵌入在一个表面的非负欧拉示性数由于Sanders和Zhao（J. Combin. Theory Ser.B83（2001）201-212和J. Combin. Theory Ser.B87（2003）254-263）和Zhang（Graphs and Combinatorics 16（2000）467-495）。
Acyclic chromatic index of triangle-free 1-planar graphs
图$G$的非圈边染色是指图的每一圈至少被三种颜色着色的正常边染色。图$G$的无圈边着色指数$\chiup_{a}'(G)$是图$G$的无圈边着色中的最少颜色数。证明了对于任意具有最大度$Δ(G)$的单图$G$，有$\chiup'_{a}(G)\leq Δ(G) + 2$.一个图是{ \em $1$ -planar}，如果它可以画在平面上，使得每个边最多与另一个边相交。本文证明了每一个无三角形的$1$ -可平面图$G$都有一个带$Δ(G) + 16$色的无圈边染色.
Fractional coloring of triangle-free planar graphs
证明了$n$顶点上的平面无三角形图的分数色数至多为$3-\frac{1}{n+1/3}$。
Nonrepetitive colourings of graphs excluding a fixed immersion or topological minor
证明了不含固定浸入的图具有有界的非重复色数。更一般地说，我们证明，如果$H$是一个固定的可平面图，有一个平面嵌入的所有顶点的度至少为4的一个单一的面，然后图排除$H$作为一个拓扑子有界非重复色数。这是已知的具有有界非重复色数的图的最大类。
Planar graphs are 9/2-colorable
我们证明了每个可平面图$G$都有2重9-染色.特别地，这意味着$G$具有至多$\frac92$的分数色数。这是第一个证明（独立于四色定理）存在一个常数$k<5$使得每个平面$G$至多有$k$的分数色数.
On chromatic symmetric homology and planarity of graphs
本文证明非平面图的色对称同调在双次数(1,0)中必含 Z_2 挠率，证实了相关猜想，并以 Kuratowski 定理进行递归论证。
Chromatic Polynomials of Planar Triangulations, the Tutte Upper Bound, and Chromatic Zeros
Tutte证明了如果$G_{pt}$是一个平面三角剖分，$P(G_{pt},q)$是它的色多项式，则有$|P(G_{pt},τ+1)| \le (τ-1)^{n-5}$，其中$τ=(1+\sqrt{5} \,)/2$和$n$是$G_{pt}$中的顶点数.在这里，我们研究的比率$r(G_{pt})=|P(G_{pt},τ+1)|/(τ-1)^{n-5}$的各种平面三角剖分。我们构建无限递归家庭的平面三角形$G_{pt,m}$依赖于一个参数$m$线性相关的$n$，并表明，如果$P(G_{pt,m},q)$只涉及一个单一的权力的多项式，然后$r(G_{pt,m})$接近零指数快速$n \to \infty$。我们还构建了无限递归家庭，其中$P(G_{pt,m},q)$是某些功能的权力和显示，对于这些，$r(G_{pt,m})$可能会接近一个有限的非零常数为$n \to \infty$。研究了Tutte上界与观测到的$τ+1$附近的色零点之间的联系.我们报告了第一个已知的图，其中最接近$τ+1$的零（S）不是真实的，而是一个复共轭对。最后，我们讨论了与非零基态熵的Potts反铁磁体在这些家庭的图。
Chromatic Polynomial Evaluation Spectra
该研究证明了平面图色多项式在不同图结构下呈现指数级增长，验证了Agol关于q=3时的猜想。
$k$-intersection edge-coloring subcubic planar multigraphs
给定一个简单图的边染色，给每个顶点$v$分配一个集合$S_v$，该集合由与$v$关联的边上使用的颜色组成。图的$k$交色指数是使边集能被适当$t$着色的最小$t$，另外还要求对每两个邻顶点$u$和$v$，有$|S_u \cap S_v| \le k$ .对于所有的$k \neq 2$，该值对于次三次可平面图是已知的，而且，这些值是最佳可能的。我们很自然地将这个定义推广到边重数有界的多重图，并且证明了边重数至多为2的次立方平面多重图的2-交色数至多为5，这是一个尖锐的结果。
An Improved Upper Bound for the Strong Odd Chromatic Number of Planar Graphs
本文将平面图强奇数色数的上界从388改进至368，还构造了强奇数色数为20的平面图，回应了相关研究问题。
On a certain representation of the chromatic polynomial
该表示法基本上与J. P. Nagle在J. Comb. Theory（B），1971，10：1，42- 59中给出的表示法相同。区别在于通过流的数量定义加权函数。这个新的定义允许人们推导出一些推论，特别是下面的推论。A）连通可平面图G的色多项式可以由它的组合对偶图G^* 唯一确定（尽管图G本身一般不是由G^* 唯一确定的）。B）如果一个可平面图G不同于全图K_3，并且G的顶点恰好有一个（直到颜色的重命名）三色真染色，则与图G对偶的图G^* 也是三色真染色的.
Odd colourings, conflict-free colourings and strong colouring numbers
奇色数和无冲突色数分别是Petruševski和Škrekovski [2021]和Fabrici，Lužar，Rindošová和Soták [2022]引入的新的图参数。本文证明了具有有界$2$ -强染色数的图具有有界奇色数和有界无冲突色数.这意味着具有有界扩张的图类具有有界奇色数和有界无冲突色数。此外，由已知结果得到了$k$ -可平面图的奇色数和无冲突色数是$O(k)$，改进了Dujmović，Morin和Odak [2022]的一个结果.
Exact square coloring of subcubic planar graphs
研究了次立方平面图的正合平方色数。图G的正方形染色是指任意两个距离为2的顶点都有不同颜色的顶点染色。在G的这种着色中使用的最小颜色数是它的正方形色数，记为$χ^{\sharp 2}(G)$。这个概念与其他类型的基于距离的着色有关，也与内射着色有关。事实上，对于无三角形图，精确平方染色和内射染色是一致的。证明了平面图的特殊子类：次三次二部平面图和次三次无K4-minor图的正方形色数不超过4的紧界。然后，我们把注意力转向富勒烯图类，这是三次平面图的面大小为5和6。我们刻画了正方形色数为3的富勒烯图。此外，支持Chen，Hahn，Raspaud和Wang的一个猜想（所有的次立方平面图是5-可注入着色的），我们证明了富勒烯图的任何诱导子图的正方形色数至多为5。这是通过首先证明一个最小反例必须在最多80个顶点上，然后计算验证所有这些图的声明来完成的。
On the Three Colorability of Planar Graphs
一个可平面图的色数不大于4，这是著名的四色定理所知道的，当可平面图是二部图时，色数等于2。当可平面图是偶三角剖分图或所有圈都大于3时，由Heawood定理和Grotszch定理可知，平面图的色数为3。当可平面图具有特定的圈长或三边圈（三角形）具有特定的距离分布时，关于这类图的三个可着色性已有许多的讨论和部分结果。本文给出了可平面图的一个新的三可染性准则，它是Heawood定理和Grotszch定理关于三角剖分和长度大于大于3的圈的推广.我们证明了具有不相交洞的三角化可平面图是3-可着色的当且仅当每个洞满足奇偶对称性质，其中洞是长度大于3的圈（面边界）。
On graphs whose domination number is equal to chromatic and dominator chromatic numbers
对于图$G = (V(G), E(G))$，控制集$D$是$V(G)$的顶点子集，其中$V(G) \setminus D$的每个顶点都与$D$中的一个顶点相邻。$G$的控制数是$G$的控制集的最小基数，用$γ(G)$表示。$G$的着色是划分$C = (V_{1}, ... ,V_{k})$，使得每个$V_{i}$在独立的集合中。色数是$G$的所有着色$C = (V_{1}, ... ,V_{k})$中最小的$k$，记为$χ(G)$。一个着色$C = (V_{1}, ... ,V_{k})$被称为支配者，如果对于所有的$V_{i}$，每个顶点$v \in V_{i}$在$V_{i}$中是单例的或与$V_{j}$的每个顶点相邻。$G$的支配色数是$G$的所有支配色中的最小$k$，记为$χ_{d}(G)$。此外，如果$γ(G) = χ(G) = χ_{d}(G) = k$，则图$G$是$D(k)$。本文证明了对于$n \geq 4k - 3$，总存在$n$阶的$D(k)$图.进一步证明了当$k \in \{3, 4\}$.也就是说，我们证明了，对于一个非平凡的平面图$G$，图$G$是$D(k)$当且仅当$G$是$K_{2, q}$，其中$q \geq 2$。
Semistrong edge colorings of planar graphs
本文研究了给定最大度$Δ$的平面图的最大半强色指数，证明了最大平均度小于特定值时色指数的上界，并在Lužar等人的猜想上取得进展，同时提供了下界示例。
Chromatic symmetric functions from the modular law
在这篇文章中，我们展示了如何计算色拟对称函数的无差异图的模的法律Guay-Paquet介绍。我们提供了一个算法，它适用于任何函数，满足这一法律，如单细胞LLT多项式。当无差异图有二部补时，它退化为平面网络，在这种情况下，我们证明了色拟对称函数在初等基中的系数是正单峰多项式，并将其刻画为某些$q$ -击中数（直到一个因子）.最后，讨论了色拟对称函数系数的对数分布。
Planar Graphs with Ore-degree at Most seven is strongly $13$-edge-colorable
本文证明Ore度至多7的平面图强色指数不超过13，解决Chen等人的猜想，采用放电法与组合零点定理。
Maximal Planar Subgraphs of Fixed Girth in Random Graphs
1991年，Bollobás和Frieze证明了$G_{n,p}$包含生成极大平面子图的阈值非常接近于$p = n^{-1/3}$。在本文中，我们计算类似的阈值范围$G_{n,p}$包含一个最大的二部平面子图和$G_{n,p}$包含一个最大的平面子图固定围长$g$。
Shallow Minors, Graph Products and Beyond Planar Graphs
Dujmović，Jordet，Micek，Morin，Ueckerdt，and Wood [J. ACM 2020]的可平面图乘积结构定理指出，每个可平面图都是树宽有界的图和路的强乘积的子图，这个结果已经成为解决队列布局、非重复着色、中心着色和邻接标号方案等重要公开问题的关键工具。在本文中，我们扩展了这条线的研究，利用浅子证明类似的产品结构定理的几个超越可平面图类。驱动我们工作的关键观察是，许多超越可平面图可以被描述为可平面图与小完全图的强积的浅子图。特别地，我们证明了平面图、$k$ -平面图、$(k,p)$ -簇平面图、扇平面图和$k$ -扇丛可平面图的幂都具有这种浅子结构.利用新旧结果的结合，我们推出了这些类具有有界的色数、有界的非重复色数、多项式$p$ -中心色数、线性强色数和立方弱色数.此外，我们证明了$k$ -间隙可平面图至少有指数局部树宽，因此，不能被描述为一个有界树宽图和一条路的强积的子图。
Homotopy type of the neighborhood complexes of graphs of maximal degree at most $3$ and $4$-regular circulant graphs
为了估计图$G$的色数的下界，Lovász关联了一个称为邻域复形的单纯复形$\mathcal{N}(G)$，并将$\mathcal{N}(G)$的拓扑连通性与$G$的色数联系起来。更一般地说，他证明了色数的$G$是有界以下的拓扑连接的$\mathcal{N}(G)$加上$3$。本文考虑最大度至多为$3$和$4$ -正则循环图.我们证明了这些图的邻域复形的每个连通分量同伦等价于一个点，一个楔形和的圆，一个楔形和的$2$ -球$S^2$，$S^3$，一个花环的$2$ -球$S^2$或一个连接和的环面。
Circular chromatic number of signed graphs
带符号图是一对$(G, σ)$，其中$G$是一个图，$σ: E(G) \to \{+, -\}$是一个签名，它为$G$的每条边分配一个符号。符号图的着色的各种概念已被研究。本文将图的循环染色推广到符号图。给定一个符号图$(G, σ)$，$(G, σ)$的圆$r$ -染色是圆周上点的一个赋值$ψ$，@ MATHABMP到$G$的顶点，使得对于$G$的每条边$e=uv$，如果$σ(e)=+$，则$ψ(u)$和$ψ(v)$具有至少$1$的距离，并且如果$σ(e)=-$，则$ψ(v)$与$ψ(u)$的对映体的距离至少为$1$。符号图$(G, σ)$的循环色数$χ_c(G, σ)$是$(G, σ)$允许循环$r$ -染色的$r$的下确界.对于图$G$，我们定义$G$的符号循环色数为$\max\{χ_c(G, σ): σ\text{ is a signature of $ G $}\}$ .我们研究了符号图的循环染色的基本性质，并开发了计算$χ_c(G, σ)$的工具。研究了图的圈色数与符号圈色数之间的关系，给出了某些图族的符号圈色数的界。特别地，我们确定了大围长$k$ -色图、简单二部平面图、$d$ -退化图、简单外平面图和串-平行图的符号圆色数的上确界。构造了一个符号平面简单图，其圆色数为$4+\frac{2}{3}$ .这是基于并改进了由Kardos和Narboni构建的有符号图，作为M…
Tree-colorable maximal planar graphs
极大可平面图的树染色是一个真点$4$ -染色，使得由此染色导出的每个双色子图都是树.一个极大可平面图$G$是树可着色的，如果$G$有树可着色.本文证明了树可着色极大可平面图$G$至少含有四个奇顶点，且其$δ(G)\geq 4$是可着色极大平面图.此外，对于一个最小度为4的树可着色的最大可平面图，如果它恰好包含四个奇顶点，我们证明了由它的四个奇顶点导出的子图不是爪，并且不包含三角形。
Homomorphisms of signed planar graphs
符号图的研究始于上个世纪中叶。最近，符号图的同态的概念已经被引入，因为这个概念捕获了一些众所周知的图，可以使用符号同态的定义重新表述。本文引入并研究了符号同态的一些目标图的性质。利用这些性质，我们得到了具有有界无圈色数的图的符号色数的上界和给定围长的符号平面图的符号色数的上界。
An update on non-Hamiltonian $\frac{5}{4}$-tough maximal planar graphs
研究了极大可平面图中最长圈的短性，改进了Harant和Owens [Discrete Math.147（1995），301- 305]提出的$\frac{5}{4}$ -tough极大可平面图类的短性指数的上界.此外，我们提出了两个推广的类似结果的Tkáloves认为$1$ -强硬的最大可平面图[离散数学。154（1996），321- 328];我们注意到，这些推广之一，给出了一个紧的上界。我们修正了第一篇论文中使用的一个有问题的论点。
Some Results on incidence coloring, star arboricity and domination number
建立了连接关联色数、星荫度和控制数三个孤立图不变量的两个不等式。由此，我们得到了所有图的关联色数的上界和下界。利用这些界，我们进一步降低了可平面图的关联色数的上界，并证明了阶数不可被4整除的三次图是不可4-关联着色的。确定了图的笛卡儿积、并、并的关联色数。
On a Conjecture on the Wiener Index of a Maximal Planar Graph
证明了顶点为$n$的极大可平面图$G$的Wiener指标$W(G)$满足$3 \leq n \leq 18$的$W(G) \leq \Big{\lfloor} \frac{1}{18}(n^3 + 3n^2) \Big{\rfloor}$.
Improvements on the density of maximal 1-planar graphs
一个图是1-平面的，如果它可以在平面上画，使得每个边最多交叉一次。一个图和一个单平面图一起称为单平面图。Brandenburg等人证明了存在仅有$\frac{45}{17}n + O(1)\approx 2.647n$边的极大1-可平面图和仅有$\frac{7}{3}n+O(1)\approx 2.33n$边的极大1-平面图。另一方面，他们证明了极大1-可平面图至少有$\frac{28}{13}n-O(1)\approx 2.15n-O(1)$边，极大1-平面图至少有$2.1n-O(1)$边。我们将这两个下界改进为$\frac{20n}{9}\approx 2.22n$。
The Maximum Wiener Index of Maximal Planar Graphs
一个连通图的Wiener指数是图中所有顶点对之间的距离之和。证明了$n$ -顶点极大可平面图的Wiener指标至多为$\lfloor\frac{1}{18}(n^3+3n^2)\rfloor$ .我们证明了这个猜想，并为每一个$n$，$n \geq 10$，确定唯一的$n$ -顶点极大可平面图，这是达到最大值。
Proper orientations and proper chromatic number
图$G$的真色数$\Vecχ(G)$是最小$k$，使得存在$G$的边的定向，使得所有顶点的出度至多为$k$，并且对于任何邻顶点，出度是不同的。解决了关于真色数的两个主要问题。首先证明了任何可平面图$G$的$\Vecχ(G)$是有界的（实际上至多为14）。其次，证明了对任何图，$\Vecχ(G)$至多是$O(\frac{r\log r}{\log\log r})+\tfrac{1}{2}\MAD(G)$，其中$r=χ(G)$是图的通常色数，$\MAD(G)$是$G$的所有子图的最大平均度.其他几个相关的结果。我们的证明是基于一个新的概念分数方向。
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