A spectral condition for odd cycles in graphs
Vladimir Nikiforov
本文给出了给定阶图中奇圈存在的一个清晰的谱条件。我们还证明了一个相关的稳定性结果。
We give a sharp spectral condition for the existence of odd cycles in a graph of given order. We also prove a related stability result.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On the maximum number of odd cycles in graphs without smaller odd cycles
证明了对每一个奇数$k \geq 7$，$n$顶点上的每一个不含长度小于$k$的奇圈的图至多含有长度为$k$的$(n/k)^k$圈.推广了Erdens在1984年提出的关于无三角形图中五边形的最大个数的结果，并渐近地确定了奇$k$的广义Turán数$\mathrm{ex}(n,C_k,C_{k-2})$.与之前五角大楼案例的结果相反，我们的证明不是计算机辅助的。
Completing the spectrum of almost resolvable cycle systems with odd cycle length
本文构造了奇$k\ge 11$的$4k+1$阶的几乎可分解循环系统.这就完成了具有奇循环长度的几乎可解循环系统存在性的证明。
Rainbow odd cycles
我们证明了在$n$顶点上的完全图$K_n$中的每一族（不一定是不同的）奇圈$O_1, \dots, O_{2\lceil n/2 \rceil-1}$都有一个彩虹奇圈（即，来自不同的$O_i$的一组边，形成一个奇圈）.作为证明的一部分，我们刻画了$K_{n+1}$中没有彩虹奇圈的$n$奇圈族。我们还刻画了$K_{n+1}$中的$n$圈族，以及$K_{n+1}$中的$n$边不相交非空子图族，其中没有彩虹圈.
Improved Erdős-Pósa inequalities for odd cycles in planar graphs
本文改进了平面图中奇圈的埃罗什-波萨不等式，证明其比值不超过4，优于之前的6。
On the directed Oberwolfach Problem with equal cycle lengths: the odd case
证明了完全对称有向图$K_{2m}^\ast$对所有奇数$m$，$5 \le m \le 49$都可分解为长度为$m$的有向圈.因此，$K_{n}^\ast$允许对所有$n \equiv 0 \pmod{2m}$和奇数$m$，$5 \le m \le 49$，可分解为长度为$m$的有向圈。
Cycles on a multiset with only even-odd drops
对于$\mathbb{Z}_{>0}$的有限子集$A$，Lazar和Wachs（2019）证明，只有奇偶滴的$A$上的循环数等于$A$上的D-循环数。在这篇注记中，我们在只有偶-奇滴的多重集上引入了圈，并双射地证明了他们的猜想的多重集版本。因此，仅具有奇偶滴的$[2n]$上的循环数等于Genocchi数$g_n$。用Laguerre历史作为中间结构，我们还构造了一类已知由Dumont发明的$g_n$计数的长度为$2n-1$的置换与$[2n]$上只有奇偶滴的圈之间的双射.
On graphs with a large chromatic number containing no small odd cycles
本文给出了具有大色数且不含小奇圈的图的顶点数的下界。
Parity considerations for drops in cycles on $\{1,2,\ldots,n\}$
2019年，A. Lazar和M. L.瓦克斯指出，只有偶-奇滴的$[2n]$上的循环数等于第$n$个Genocchi数。在本文中，我们限制我们的注意力在$[n]$上的一个子集的循环，在所有滴在循环中，后者的条目是奇数。我们推导出两个二元生成函数这样的一个子集的周期与一个额外的变量引入计数的奇-奇和偶-奇滴，分别。其中一个生成函数恒等式证实了Lazar和Wachs的猜想，而另一个恒等式则意味着只有奇-奇滴的$[2n-1]$上的圈数等于$(n-2)$ -th Genocchi中位数。
On the Odd Cycle Game and Connected Rules
我们研究的位置游戏中，两个球员，制造商和断路器，交替选择分别$1$和$b$以前无人认领的边缘$K_n$。如果制造者成功地在$K_n$中获得某个奇数周期的所有边缘，则她获胜，否则破坏者获胜。改进Bednarska和Pikhurko的结果，证明了如果$b \leq ((4 - \sqrt{6})/5 + o(1)) n$，Maker会赢得奇数循环博弈.我们还介绍了“连接规则”，并研究了奇数循环游戏下，无论是在制造商，断路器以及在客户端服务员的变体。
Alternating odd cycles and orientations of Kneser-like graphs
本文研究特定图的定向问题，聚焦拓扑χ-染色图，探讨其是否存在避免交错奇环的定向或使所有最短奇环为交错奇环的定向，并针对Kneser图等多个图族给出结果。
A note on the Turán number of a Berge odd cycle
本文给出了不含奇长Berge圈的3-一致超图中超边个数的上界。我们改进了Füredi和Özkahya在2017年给出的界。这个结果是由一个更一般的定理得出的.我们还得到了Berge团的一些新结果。
Counting odd cycle free orientations of graphs
在这个简短的说明中，我们确定的最大数目，在所有的$n$ -顶点图$G$，定向$G$不包含强连通圈$C_{2k+1}$。这回答了Araujo，Botler和Mota最近提出的一个问题的一部分。
Solution to a conjecture on the maximum skew-spectral radius of odd-cycle graphs
设$G$是一个不含偶圈的简单图，称为奇圈图。Cavers等人[Cavers等人，邻接矩阵of graphs，线性代数Appl.436（2012），4512- 1829]表明，对于$G$的每个方向$σ$，$G^σ$的谱半径是相同的，并且等于$G$的最大匹配根。他们提出了一个猜想，即在$n$阶的奇圈图$G$中，达到最大斜谱半径的图同构于单顶点度$n-1$且大小为$m=\lfloor 3(n-1)/2\rfloor$的奇圈图.本文利用Kelmans变换给出了该猜想的一个证明。给出了给定阶数$n$和大小$m$的奇圈图的最大匹配根的精确上界，并刻画了极图.
Even-cycle decompositions of graphs with no odd-$K_4$-minor
图G的偶圈分解是将E（G）划分为偶数长度的圈。显然，每一个欧拉二部图都有偶圈分解。Seymour（1981）证明了每一个具有偶数条边的2-连通无环欧拉可平面图也允许偶圈分解。后来，Zhang（1994）将其推广到没有$K_5$ -子式的图。我们的主要定理给出了图的偶圈分解存在的充分条件。也就是说，我们证明了每一个2-连通无环欧拉奇- $K_4$ -minor-free图的边数为偶数，有一个偶圈分解。这是最可能的，因为“odd- $K_4$ -minor-free”不能用“odd- $K_5$ -minor-free”代替。主要的技术成分是一类奇- $K_4$ -minor-free图的结构特征，这是由于Lovász，Seymour，Schrijver和Truemper。
Multicolour Ramsey Numbers of Odd Cycles
证明了对任意正整数$r$，存在一个整数$k$和$K_{2^{k}+1}$的边的$k$ -着色，且不存在长度小于$r$的单色奇循环.这使得Erdés和Graham的一个问题的进展，并回答了Chung的一个问题。我们使用这些着色给新的下界$k$ -彩色拉姆齐数的奇循环，并证明，所有奇$r$和所有$k$足够大，存在一个常数$ε= ε(r) > 0$，使$R_{k}(C_{r}) > (r-1)(2+ε)^{k-1}$。
Odd Properly Colored Cycles in Edge-Colored Graphs
本文研究边着色图中奇数正常着色圈的存在性判定，并作为副产品给出检测给定边集中具有偶数或奇数条边的图中完美匹配的方法。
Min-max relations for odd cycles in planar graphs
设m（G）是图G的点不交奇圈的最大个数，t（G）是图G中使G为二分的顶点的最小个数.证明了当G是平面图时，t（G）<= 6 m（G）.这改进了Fiorini，Hardy，Reed和Vetta [Math. Program. B 110（2007），71-91]。
Topologically $4$-chromatic graphs and signatures of odd cycles
我们调查群论的“签名”的奇循环的一个图，和他们的连接拓扑障碍3-着色。在签名来自自由群的情况下，我们证明了具有平凡签名的奇圈的存在性等价于hom-complex的余指数至少为2（这意味着色数至少为4）。对于初等阿贝尔2-群的签名，证明了具有平凡签名的奇圈的存在是其hom-complex的指数至少为2的充分条件（这也意味着其色数至少为4）.
Graphs with large minimum degree and no small odd cycles are $3$-colourable
本文讨论了Letzter和Snyder提出的一个问题，证明了对于足够大的$k$，任何最小度至少为$\frac{1}{2k-1}n$且没有长度小于$2k+1$的奇圈的$n$ -顶点图$G$是$3$ -列图.事实上，我们证明了一个更强的结果，它适用于稍小的最小度。
New upper bound for multicolor Ramsey number of odd cycles
令$r_k(C_{2m+1})$为长度为$2m+1$的奇数圈$C_{2m+1}$的$k$ -色拉姆齐数.它表明，对于每个固定的$m\ge2$，\[r_k(C_{2m+1})<c^{k}\sqrt{k!}\]的所有足够大的$k$，其中$c=c(m)>0$是一个常数。这改进了Bondy和Erdwords的一个旧结果（Ramsey numbers for cycles in graphs，J. Combin.理论系列B 14（1973）46-54）。
A half-integral Erdős-Pósa theorem for directed odd cycles
本文证明了有向图存在半整数Erdős-Pósa定理，即存在函数$f$使得有向图包含$k$个顶点至多重叠两次的有向奇圈，或有至多$f(k)$个顶点击中所有有向奇圈，并给出了固定$k$的多项式时间算法，将Reed的无向结果扩展至有向图。
Cycles with consecutive odd lengths
证明了存在一个绝对常数c > 0，使得对任意自然数k，任意平均度至少为ck的非二部2-连通图都含有k个连续奇长的圈.这意味着存在一个绝对常数d > 0，即每一个最小度至少为dk的非二部2-连通图都包含模k的所有长度的圈，从而（以强形式）回答了一个Quarassen问题.这两个结果在常数因子下都很尖锐。
On the full automorphism group of a Hamiltonian cycle system of odd order
证明了抽象群G是哈密顿圈系统的全自同构群的必要条件是G的阶为奇数，或者G是二元的，或者G是p素的仿射线性群AGL（1; p）.我们表明，这个条件也是充分的，除了可能的非可解的二元群类。
Parity linkage and the Erdős-Pósa property of odd cycles through prescribed vertices in highly connected graphs
我们证明了以下每个充分连通图$G$，$G$的任何顶点子集$S$，和给定的整数$k$：有$k$不相交的奇循环在$G$每个包含一个顶点的$S$或有一个集合$X$的最多$2k-2$顶点，使$G-X$不包含任何奇循环，包含一个顶点的$S$。我们通过Kawarabayashi和Reed关于奇偶- $k$ -链接图的结果（Combinatorica 29，215-225）的推广证明了这一点。从这个结果很容易推出其他几个著名的关于高连通图中奇圈的Erdens-Pósa性质的结果。这分别加强了Rautenbach和Reed（Combinatorica 21，267-278）的结果。
Every toroidal graph without $3$-cycles is odd $7$-colorable
奇染色是一种带有附加限制的真染色，即每个非孤立顶点都有某种颜色在其邻域中出现奇数次。可以确保图$G$的奇着色的最小颜色数$k$由$χ_o(G)$表示。如果是$χ_o(G)\le k$，我们说$G$是$k$ -可着色的。这个概念最近由Petruševski和Škrekovski引入，他们证明了如果$G$是平面的，那么$ χ_{o}(G) \leq 9 $。环形图是可以嵌入到环面上的图。请注意，$K_7$是一个环形图，$χ_{o}(G)\leq7$。本文证明了不含$3$ -圈的环形图是奇$7$ -可染的.因此，任何不含$3$ -圈的平面图都是奇$7$ -可着色的.也就是说，如果解决了围绕$3$ -圈的其余情形，就可以证明每个环形图都是$7$ -可着色的。
A note on the total number of cycles of even and odd permutations
本文双射地证明了$[n]=\{1,2,...,n\}$的所有偶置换的圈的总数与$[n]$的所有奇置换的圈的总数相差$(-1)^n(n-2)!$，这是Miklós Bóna提出的一个公开问题.我们还证明了双射以下更一般的身份：$$\sum_{i=1}^n c(n,i)\cdot i \cdot (-k)^{i-1} = (-1)^k k! (n-k-1)!,$$其中$c(n,i)$表示的数量的排列$[n]$与$i$循环。
Odd-Ramsey numbers of Hamilton cycles
本文研究哈密顿圈的奇拉姆齐数，通过有限域构造和奇偶切换组合框架证明其渐近阶为$\Theta(\sqrt{n})$，并初步探讨Dirac图中该类奇拉姆齐数的性质。
A strengthening on odd cycles in graphs of given chromatic number
Gyárfás解决了Bollobás和Erdás的一个猜想，证明了每个具有色数$k+1\geq 3$的图$G$包含具有$\lfloor\frac{k}{2}\rfloor$不同奇长的圈。我们加强这一突出的结果表明，这样的$G$包含周期的$\lfloor\frac{k}{2}\rfloor$连续奇数长度。一路上，结合极值和结构工具，我们证明了一个更强的声明，每个图的色数$k+1\geq 7$包含$k$周期的连续长度，除了一些块是$K_{k+1}$。作为推论，这证实了Verstraëte的一个猜想，并回答了Moore和West的一个问题。
A list analog of Vizing's Theorem for simple graphs with triangles but no other odd cycles
这篇论文已被作者撤回。Peterson和Woodall以前证明了列表边着色猜想对没有长度为5或更长的奇圈的图成立。D. Peterson和D. R. Woodall，Edge-Choosability in line-perfect multigraphs，Discrete Mathematics 202（1999），191-199. D. Peterson和D. R. Woodall，Erratum to“Edge-Choosability in line-perfect multigraphs”，Discrete Mathematics 260（2003），323-326.
Counting odd cycles in locally dense graphs
证明了对任意给定的$\varepsilon>0$和$d\in [0,1]$，每个充分大的$(\varepsilon, d)$稠密图$G$对每个奇数$r$至少包含长度为$r$的$(d^r-\varepsilon)|V(G)|^r$圈.这里，$G$是$(\varepsilon, d)$ -稠密的意味着每个包含至少~ $\varepsilon\,|V(G)|$顶点的集合$X$至少跨越$\tfrac d2\, |X|^2$边，我们真正计数的是从$r$ -圈到$G$的同态的数目.结果解决了Y.小早川湾Nagle，V. Rödl，and M.沙赫特
Generalized Andrásfai--Erdős--Sós theorems for odd cycles
本研究针对两类涉及奇环的广义Turán问题，建立了Andrásfai–Erdős–Sós型稳定性定理，拓展了Erdős五边形问题，强化了已有结论并简化了部分证明。
Maxima of the $Q$-index of non-bipartite graphs: forbidden short odd cycles
设$G$是一个不含长度至多为$2k+1$的奇圈的非二部图.本文确定了$G$的最大$Q$ -指数，如果它的阶是固定的，并且相应的极图是唯一的。此外，在给定$G$的长度的条件下，还证明了$G$的最大$Q$ -指标和唯一极图.
Ramsey numbers of trees versus odd cycles
Burr，Erdés，Faudree，Rousseau和Schelp首先研究了树的Ramsey数与奇圈的关系，证明了对于所有奇$m \ge 3$和$n \ge 756m^{10}$，都有$R(T_n, C_m) = 2n - 1$，其中$T_n$是具有$n$顶点的树，$C_m$是长度为$m$的奇圈。他们建议研究最小正整数$n_0(m)$，使得该结果对所有$n \ge n_0(m)$都成立，作为$m$的函数。本文证明了$n_0(m)$至多是线性的。特别地，我们证明了$R(T_n, C_m) = 2n - 1$对所有奇数$m \ge 3$和$n \ge 50m$都是.结合Faudree，Lawrence，Parsons和Schelp的结果，得出$n_0(m)$有界于两个线性函数之间，从而确定$n_0(m)$为常数因子。
Descent set distribution for permutations with cycles of only odd or only even lengths
本文证明对称群中仅含奇长度循环与仅含偶长度循环的排列数等式在下降集层面的细化，并给出奇数阶情形的变体，方法基于特征标生成函数与高阶 Lie 特征标新恒等式。
Cycle Domination, Independence and Irredundance in graphs
如果导出子图$\langle S\rangle$是无圈的，则称图$G = (V, E)$中的顶点集$S$为{ \em圈独立};如果导出子图$\langle S\rangle$是二部的，则称其为{ \em奇圈独立dendet}.一个集合$S$是{ \em循环支配}（分别为{ \em奇循环支配}），如果对于每个顶点$u \in V \setminus S$，存在顶点$v \in S$，使得$u$和$v$分别包含在a（resp.奇数周期）在$\langle S \setminus \{u\}\rangle$中的周期。集合$S$是{ \em循环无冗余}（分别奇循环无冗余），如果对于每个顶点$v \in S$，存在顶点$u \in V \setminus S$，使得$u$和$v$在（分别）奇数周期）周期，但$\langle S \setminus \{u\}\rangle$不在$\langle S \cup \{u\} \setminus \{v\}\rangle$的周期中。在本文中，我们提出了这些新的概念，它涉及到一个自然的方式独立，控制和不可约图。特别是，我们构造类似的控制不平等链，这些新的概念。
A polynomial improvement for the odd cycle-complete Ramsey numbers
本文改进了奇环-完全Ramsey数的下界，通过多项式因子提升，揭示了对于固定奇数ℓ>7，当k趋近于无穷时，Ramsey数的渐进行为。
3-Coloring $P_t$-Free Graphs With Only One Prescribed Induced Odd Cycle Length
本文提出了一种多项式时间算法，用于解决特定结构的图的3-染色问题。
Infinitely many cyclic solutions to the Hamilton-Waterloo problem with odd length cycles
证明了对于大于2的奇数对$(\ell,m)$与$m \equiv 1\; \pmod{\ell}$，存在$K_{\ell m}$的循环二因子分解，其$(m-1)/2$因子恰好为$\ell^m$型，而其它因子均为$m^{\ell}$型.当$\ell \equiv 1\; \pmod{4}$和$m \geq \ell^2 -\ell + 1$ .
On Odd Rainbow Cycles in Edge-Colored Graphs
设$G = (V, E)$是一个$n$ -点边着色图. 2013年，H. Li证明了，如果每个顶点$v \in V$都至少与$(n+1)/2$有不同颜色的边相关联，则$G$允许彩虹三角形.我们证明，同样的假设，确保彩虹$\ell$周期$C_{\ell}$每当$n \ge 432 \ell$。这一结果对所有奇数$\ell \geq 3$都是尖锐的，并推广了作者早期的工作，当$\ell$是偶数时.
Odd-cycle defects in the Alon-Friedland bound
研究有限简单图\(G\)的完美匹配，通过两种观点得到奇圈缺陷\(\delta_{\mathrm{odd}}(G)\)，结合不等式细化度序列界，证明缺陷多种解释，研究界中近似等式，包括对极值图扰动分类及提出有界度差距问题。
The maximum number of odd cycles in planar graphs forbidding shorter odd cycles
研究禁止较短奇圈的平面图中奇圈最大数量问题，通过确定\(\mathrm{ex}_\mathcal{P}(n, C_{2k+1}, \{C_3,C_5,\ldots,C_{2k-1}\})\)精确值，证实了关于奇圈的相关猜想。
Injective hulls of odd cycles
明确地描述了奇圈的内射壳。
A strengthening on consecutive odd cycles in graphs of given minimum degree
本文确认了Liu和Ma关于最小度至少为$k+1$的$2$-连通非二部图包含连续奇长度圈的猜想对任意自然数$k$成立，并改进了先前关于连续长度圈的结果。
Monochromatic odd cycles in edge-coloured complete graphs
针对Erdős与Graham提出的求最小L(q)问题，本文证明边着色完全图K_{2^q+1}中必含长度至多为O(2^q/q^{1-o(1)})的单色奇环，给出L(q)的首个非平凡上界。
A procedure to obtain symmetric cycles of any odd length using directed Hajós constructions
有向图$D$的二色数是指$D$的顶点着色的最小颜色数，使得$D$没有单色圈。Hajós加入最近扩展到有向图（使用二色数）由J. Bang-Jensen等。和Hajós（有向）运算是得到r-（di）色（di）图的一个工具。J. Bang-Jensen et. 2020年，他提出了如何从长度为3的对称循环中获得长度为5的对称循环的问题。我们最近通过应用遗传算法解决了这个问题。本文给出了一个通过对长度为3的对称圈应用有向Hajós运算来构造任意奇对称圈的方法，从而推广了已知的长度为5的对称圈的构造.此外，还对该过程进行了分析，确定了其计算复杂性。
A solution to Erdős and Hajnal's odd cycle problem
1981年，Erdens和Hajnal提出了一个问题：一个具有无限色数的图的奇数圈长的倒数之和是否必然是无限的.设$\mathcal{C}(G)$是图$G$中的圈长集，$\mathcal{C}_\text{odd}(G)$是$\mathcal{C}(G)$中的奇数集.证明了：若$G$有色数$k$，则有$\sum_{\ell\in \mathcal{C}_\text{odd}(G)}1/\ell\geq (1/2-o_k(1))\log k$ .这解决了Erdés和Hajnal的奇循环问题，而且，这个界限是渐近最优的。在1984年，Erdens提出了一个问题：是否存在某些$d$，使得每个色数至少为$d$（甚至可能是平均度至少为$d$）的图都有一个长度为2的幂的圈。我们表明，一个平均度条件是足够的这个问题，解决它的方法，适用于广泛的序列，除了2的权力。最后，我们使用我们的方法证明，对于每个$k$，都有一些$d$，使得每个平均度至少为$d$的图都对完全图$K_k$进行细分，其中每条边被细分相同的次数。这证实了1984年的一个猜想。
The list chromatic index of simple graphs whose odd cycles intersect in at most one edge
本文研究了一类单图$\mathcal{G}^*$，其中每对不同的奇圈至多相交于一条边。给出了$\mathcal{G}^*$中图的结构特征，证明了每个$G \in \mathcal{G}^*$满足列表边着色猜想.当$Δ(G) \geq 4$时，我们证明了一个关于$L(G)$中的核完美定向的更强的结果，这意味着对于每个$m \geq 1$，$G$是$(mΔ(G):m)$ -边可选择的和$Δ(G)$ -边可涂的.
Coloring graphs with two odd cycle lengths
本文确定了具有两个奇圈长的图的色数。设$G$是一个图，$L(G)$是$G$的所有奇圈长的集合。证明了：（1）若$L(G)=\{3,3+2l\}$，其中$l\geq 2$，则$χ(G)=\max\{3,ω(G)\}$ ;（2）若$L(G)=\{k,k+2l\}$，其中$k\geq 5$和$l\geq 1$，则$χ(G)=3$ .这些，连同\cite{W}中解决的$L(G)=\{3,5\}$案例，给出了\cite{W,CS,KRS}中解决的一般问题的完整解决方案。我们的结果也改进了Gyárfás的一个经典定理，该定理断言对任何图$G$都有$χ(G)\le 2|L(G)|+2$。
An improved upper bound for the multicolour Ramsey number of odd cycles
该研究推导出长度为$2\ell+1$的奇环的$k$色Ramsey数的改进上界$(4\ell)^k \cdot k^{k/\ell}$，证明了Fox的猜想，实现了自1973年以来该问题指数项的首次超绝对常数因子改进。
The signless Laplacian spectral radius of graphs without intersecting odd cycles
设$F_{a_1,\dots,a_k}$是由$k$个奇数长$2a_1+1,\dots, 2a_k+1$圈组成的图，它们分别相交于一个公共顶点，其中$k\geq1$和$a_1\ge a_2\ge \cdots\ge a_k\ge 1$ .本文给出了所有$F_{a_1,\dots,a_k}$ -free图的无符号Laplacian谱半径的一个精确上界，并刻画了达到这个上界的所有极图.与特征值相关的图的稳定性方法和结构适用于证明。
Doyen-Wilson results for odd length cycle systems
对于每一个奇数$m \geq 3$，我们完全解决的问题时，一个$m$ -循环系统的顺序$u$可以嵌入到一个$m$ -循环系统的顺序$v$，排除了有限数量的可能的例外。在$u$大于$m$、$m$为素数幂或$m \leq 15$的情况下，问题完全解决。在其他情况下，只有当$v-u$小于$m$时才会出现可能的例外。这一结果被证明是一个更一般的结果，给出了一个$m$ -循环分解的存在的充要条件，一个完全图的顺序$v$与一个洞的大小$u$的情况下，$u \geq m-2$和$v-u \geq m+1$都持有。
Extremal results for odd cycles in sparse pseudorandom graphs
本文研究伪随机图的子图的极值问题。对于图$F$和$Γ$，广义Turán密度$π_F(Γ)$表示$Γ$的最大子图的密度，其中不包含~$F$的副本。推广了关于奇圈的经典Turán型结果，证明了当$F$是奇圈且$Γ$是充分伪随机图时，$π_{F}(Γ)=1/2$是一个完全伪随机图.特别地，对于$(n,d,λ)$-图$Γ$，即，$n$-顶点，$d$-正则图的所有非平凡的特征值在区间$[-λ,λ]$，我们的结果适用于奇数周期的长度$\ell$，提供\[ λ^{\ell-2}\ll \frac{d^{\ell-1}}n\log(n)^{-(\ell-2)(\ell-3)}\,. \]到polylog因子这验证了一个猜想Krivelevich，李和Sudakov。对于三角形来说，这个条件是最好的，并且之前已经被Sudakov，Szabó和Vu证明了，他们解决了$F$是完全图的情况。阿隆和Kahale（基于早期的三角形自由$(n,d,λ)$-图的阿隆建设）的建设表明，我们的假设$Γ$是最好的可能的polylog因子为每一个奇数$\ell\geq 5$。
Odd cycles in subgraphs of sparse pseudorandom graphs
我们回答两个极端的问题，自然出现在稀疏伪随机图的研究中的奇数周期。令$Γ$是$(n,d,λ)$ -图，即，$n$ -顶点，$d$ -正则图，所有非平凡特征值都在区间$[-λ,λ]$内. Krivelevich，Lee和Sudakov证明了，只要$λ^{2k-1}\ll d^{2k}/n$，$Γ$的每个有$(1/2+o(1))e(Γ)$边的子图$G$都包含一个奇圈$C_{2k+1}$ . Aigner Horev，Hàn和第三作者证明了一个较弱的陈述，允许在假设$λ^{2k-1}\ll d^{2k}/n$中有一个额外的多对数因子，但我们完全删除了它，从而解决了猜想。这也推广了Sudakov，Szabo和Vu的三角形Turán型定理。其次，我们得到了奇圈的Ramsey重数结果。也就是说，在相同的参数范围内，我们证明了每个2-边着色的$Γ$包含至少$(1-o(1))2^{-2k}d^{2k+1}$单色副本的$C_{2k+1}$。这两个结果是渐近最好的可能由Alon和Kahale的$C_{2k+1}$ -自由伪随机图的建设。
Strongly common graphs with odd girth are cycles
本文回答了 Chen 和 Ma 的问题，证明了具有奇围长但非圈的图不是强公共图。
Short monochromatic odd cycles
研究单色奇数环的长度上界，结合代数组合学与逼近理论，改进了Erdős和Graham关于k边着色完全图中单色奇数环长度的上界。
Extremal graph for intersecting odd cycles
一个在$n$顶点上的图$H$的极图是一个在$n$顶点上具有最大边数且不包含$H$作为子图的图。设$T_{n,r}$是Turán图，它是在$n$顶点上的完全$r$ -部图，其部分大小相差至多1.著名的图兰定理指出，$T_{n,r}$是完全图$K_{r+1}$的唯一极值图。Erdös等人（1995）确定了相交三角形的极值图，Chen等人（2003）确定了相交团的极值图的最大边数。本文确定了相交奇圈的极图。
The maximum number of odd cycles in a planar graph
本文研究了平面图中固定奇圈的最大数量问题，针对特定$m$值给出了渐近解答，并证明了其他$m$值在$3/2$因子内紧致的界，将问题归约为团边上的最大似然概率问题。
Tight bound on the minimum degree to guarantee graphs forbidding some odd cycles to be bipartite
本文确定了 Erdős–Simonovits 问题在色数至多为 2 且禁用奇圈族情形下的最小度阈值，证明当最小度超过由最短缺失奇圈和最长禁用奇圈决定的最大值时图必为二部图，并证明该界是紧的。
Breaking Cycles, the Odd Versus the Even
本文将排列的基本双射与Cayley连分数组合研究中的奇偶循环问题联系起来，发现连接两类极端排列的中间结构，并证明递归过程最终归结为打破循环这一技巧。
Threshold Ramsey multiplicity for odd cycles
图$H$的Ramsey数$r(H)$是使得完全图$K_n$的边的任意二染色包含$H$的单色副本的最小$n$。阈值Ramsey多重性$m(H)$则是在$K_{r(H)}$的所有双边缘着色上取得的$H$的单色拷贝的最小数目。这一概念的研究最早是由Harary和Prins在近50年前提出的。在另一篇论文中，作者证明了存在一个正的常数$c$，使得具有$k$顶点的路径或甚至圈的阈值Ramsey重数至少为$(ck)^k$，这紧到$c$的值。在这里，使用不同的方法，我们表明，同样的结果也适用于奇数圈与$k$顶点。
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