Girth of the algebraic bipartite graph $D(k,q)$
Lazebnik和Ustimenko（1995）提出的代数二部图$D(k,q)$不仅在极图理论中有重要意义，而且在编码理论和密码学中也有重要意义。这个图是$q$ -正则的，边传递的，围长至少为$k+4$。它的确切周长$g=g(D(k,q))$在1995年被重新确定为$k+5$，用于奇数$k$和$q\geq4$。这个猜想在2016年被证明是有效的，当时$\frac{k+5}{2}|_p(q-1)$，其中$p$是$\mathbb{F}_q$的特征，$m|_pn$意味着$m$将$p^r n$除以某个非负整数$r$。在本文中，我们证明了（a）$g(D(4t+2,q))=g(D(4t+1,q))$ ;（b）$g(D(4t+3,q))=4t+8$如果$g(D(2t,q))=2t+4$ ;（c）$g(D(8t,q))=8t+4$如果$g(D(4t-2,q))=4t+2$ ;（d）$g(D(2^{s+2}(2t-1)-5,q))=2^{s+2}(2t-1)$如果$p\geq 3$，$(2t-1)|_p(q-1)$和$2^s\|(q-1)$。最后给出了$D(k,q)$围长的一个简单的上界。
2022-09-05 math.CO
On strongly regular signed graphs of higher girth
Binghamton University（宾汉姆顿大学）
研究高围长的强正则带号图，证明围长为4的二分图由加权矩阵设计和对称块设计分类，围长为5的易于描述，围长更高的不存在，围长为4的非二分图未解决。
2026-07-15 math.CO
On the structure of graphs with given odd girth and large algebraic connectivity
Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）；Nankai University（南开大学）
该研究针对给定奇围长的图，以代数连通度为约束条件，证明了三类图在特定代数连通度阈值下必为二分图，并确定了相关常数的渐近最优性。
2026-09-01 math.CO
Bipartite Biregular Cages and Block Designs
二部双正则$(n,m;g)$ -图$G$是具有度集$\{n,m\}$的偶数围长$g$的二部图，并且满足同一部集中的顶点具有相同度的附加性质.一个$(n,m;g)$ -二部双正则笼是一个二部双正则最小阶$(n,m;g)$ -图.在他们2019年的论文中，Filipovski，Ramos-Rivera和Jajcay给出了二分双正则$(n,m;g)$ -图的阶的下界，并将达到这些界的图称为{ \em二分双正则摩尔笼}。与著名的经典结果有关的存在$k$ -正规摩尔图的偶数围长$g = 6,8 $和$12$的存在的射影平面，广义四边形，广义六边形，我们证明了存在的$S(2,k,v)$ -施泰纳系统产生的存在的二分双正规$(k,\frac{v-1}{k-1};6)$ -摩尔笼。此外，在Steiner三元系的特殊情况下（即，在$k=3$）的情况下，我们完全解决了对所有整数$m\geq 4$的$(3,m;6)$ -二部双正则笼的存在性问题。考虑围长大于$6$和素数幂$s$，我们将广义多边形（四边形、六边形和八边形）的存在性分别与$(n+1,n^2+1;8)$、$(n+1,n^3+1;12)$和$(n+1,n^2+1;16)$ -二分双正则Moore笼的存在性联系起来.使用这种连接，我们得到改进的上界的订单的二部双正则笼周长$8$，$12$和$14$。
2019-07-26 math.CO
On the characterization of some algebraically defined bipartite graphs of girth eight
对于任何域$\mathbb{F}$和多项式$f_{2},f_{3}\in\mathbb{F}[x,y]$，令$Γ_{\mathbb{F}}(f_{2},f_{3})$表示顶点划分为$P\cup L$的二部图，其中$P$和$L$是$\mathbb{F}^{3}$的两个副本，并且$(p_{1},p_{2},p_{3})\in P$与$[l_{1},l_{2},l_{3}]\in L$相邻当且仅当$p_{2}+l_{2}=f_{2}(p_{1},l_{1})$和$p_{3}+l_{3}=f_{3}(p_{1},l_{1})$。已知图$Γ_{3}(\mathbb{F})=Γ_{\mathbb{F}}(xy,xy^{2})$的围长为8。当$\mathbb{F}=\mathbb{F}_q$是奇数大小的有限域$q$或$\mathbb{F}=\mathbb{F}_{\infty}$是特征为零的代数闭域时，证明了图$Γ_{3}(\mathbb{F})$是直到同构的$Γ_{\mathbb{F}}(f_{2},f_{3})$中围长至少为8的唯一图.这一猜想在两个$f_{2},f_{3}$都是$\mathbb{F}_q$上的单项式的情况下，以及在至少一个$f_{2},f_{3}$是$\mathbb{F}_{\infty}$上的单项式的情况下得到了证实。如果$f_{2},f_{3}\in\mathbb{F}…
2020-07-30 math.CO
Homomorphism bounds of signed bipartite $K_4$-minor-free graphs and edge-colorings of $2k$-regular $K_4$-minor-free multigraphs
符号图$(G, Σ)$是一个图$G$和它的边的子集$Σ$，它对应于边的符号分配：$Σ$中的边是负的，而不在$Σ$中的边是正的。一个有符号图的闭行走是平衡的，如果它的边（包括重复）的符号的乘积是正的，否则是不平衡的。符号图的不平衡围长是最短不平衡闭行走的长度（如果存在这种行走）。$(G,Σ)$到$(H,Π)$的同态是$G$到$H$的同态，它保持了闭游动的平衡。本文给出了一个不平衡围长$2k$的带符号二部图$(B, Π)$，证明了$(B, Π)$允许任何不平衡围长$2k$的带符号二部图同态的一个充要条件，该图的基础图是$K_4$ -minor-free.该条件可以在关于$B$的阶数的多项式时间内检查。设$SPC(2k)$是顶点集$\mathbb{Z}_2^{2k-1}$上的带符号二部图，其中如果顶点$u$和$v$的差在$\{e_1,e_2, \ldots, e_{2k-1}\}$内（其中$e_i$形成标准基），则顶点$u$和$v$与正边相邻，如果它们的差是$J$（即，全1向量），则顶点$v$与负边相邻。作为我们工作的一个应用，我们证明了不平衡围长$2k$的所有符号二部$K_4$ -minor free图都与$SPC(2k)$同态.这支持了Guenin的一个猜想，即每个不平衡围长$2k$的有符号二部平面图都与$SPC(2k)$同态（这是四色定理的一个推广）。我们也给出了我们的工作的一个应…
2019-05-28 math.CO
Maximal Planar Subgraphs of Fixed Girth in Random Graphs
1991年，Bollobás和Frieze证明了$G_{n,p}$包含生成极大平面子图的阈值非常接近于$p = n^{-1/3}$。在本文中，我们计算类似的阈值范围$G_{n,p}$包含一个最大的二部平面子图和$G_{n,p}$包含一个最大的平面子图固定围长$g$。
2017-06-19 math.CO
A note on circular chromatic number of graphs with large girth and similar problems
在这个简短的说明中，我们扩展了Galluccio，Goddyn和Hell的结果，该结果指出，不包括一个未成年人的大围长图几乎是二分的。我们还证明了一个类似的结果，为定向色数，其中特别是，图的大围长不包括一个小有定向色数最多$5$，并为$p$第色数$χ_p$，其中特别是，图$G$的大围长不包括一个小有$χ_p(G)\leq p+2$。
2014-02-13 math.CO
Spectral radius of graphs with given size and odd girth
设$\mathcal{G}(m,k)$是具有大小为$m$和奇围长（最短奇圈的长度）$k$的图的集合。本文确定了当$m$为奇数时，使$\mathcal{G}(m,k)$的谱半径最大的图.作为副产品，我们证明，有一个数字$η(m)>\sqrt{m-k+3}$，使每个非二部图$G$的大小$m$和谱半径$ρ\ge η(m)$必须包含一个奇数圈的长度小于$k$，除非$m$是奇数和$G\cong SK_{k,m}$，这是通过细分一个边缘$k-2$倍的完全二部$K_{2,\frac{m-k+2}{2}}$。这个结果包含了[Discrete Math.345（2022）]和\cite{li-peng}的主要结果，也解决了\cite{li-peng}中的猜想。
2022-07-30 math.CO
Classification of 2-extendable bipartite and cubic non-bipartite vertex-transitive graphs
在\cite{Chan95}中，作者对2-可扩交换Cayley图进行了分类，并提出了刻画所有2-可扩Cayley图的问题.我们首先证明了一个连通二部Cayley图是2-可扩的当且仅当它不是一个圈。当一个点传递的非二部Cayley图的最小度至少为5 \cite{sun}时，它是2-可扩的.然后对所有的2-可扩的三次非二部Cayley图进行了分类，得到了：围长为$g$的三次非二部Cayley图是2-可扩的当且仅当$g\geq 4$不同构于$Z_{4n}(1,4n-1,2n)$或$Z_{4n+2}(2,4n,2n+1)$ with $n\geq 2$ .我们证明了一个更强的结果，即围长为$g$的三次非二部点传递图是2-可扩的当且仅当$g\geq 4$，并且它不同构于$Z_{4n}(1,4n-1,2n)$或$Z_{4n+2}(2,4n,2n+1)$与$n\geq 2$或Petersen图.
2016-12-09 math.CO
Map graphs having witnesses of large girth
二分图$B=(X,Y,E_B)$的半正方形有一个颜色类$B$作为顶点集，比如说$X$ ;当两个顶点在$Y$中有一个共同的邻居时，它们是相邻的。如果$G=(V,E_G)$是平面二部图$B=(V,W,E_B)$的半平方，则$G$称为映射图，而$B$是$G$的见证图.映射图是平面图的推广，Chen，Grigni和Papadimitriou [STOC 1998，J. ACM 2002]对映射图进行了介绍和研究。他们证明了识别地图图是在$\mathsf{NP}$通过证明存在的证人。不久之后，Thorup [FOCS 1998]通过为$n$ -顶点输入图提供$Ω(n^{120})$ -时间算法，声称识别地图图是在$\mathsf{P}$中。本文给出了围长至少为给定整数$g\ge 8$的二部图的半平方的良好刻画和有效识别。证明了证明围长至少为$g$的映射图恰是顶点团关联二部图是平面的围长至少为$g$的图。我们的结构表征意味着一个$O(n^2m)$ -时间算法，用于识别给定的$n$ -顶点$m$ -边图$G$是否是这样的映射图。
2018-12-10 cs.DM math.CO
Dense induced subgraphs of dense bipartite graphs
证明了平均度足够大的二部图都有一个平均度至少为$t$且围长至少为$6$的$K_{t,t}$ -子图或诱导子图.我们猜想“$6$“可以用“$k$“代替，从而加强了Alassen的一个猜想.为了支持这个猜想，我们证明了它对正则图也成立。
2020-03-31 math.CO
Connectivity keeping paths in $k$-connected bipartite graphs
2010年，马德尔[W. Mader，Connectivity keeping paths in $k$ -连通图，J.图论65（2010）61-69.]证明了每一个最小度至少为$\lfloor\frac{3k}{2}\rfloor+m-1$的$k$ -连通图$G$都含有一条$m$阶的路$P$，使得$G-V(P)$仍然是$k$ -连通的.本文考虑了二部图的类似问题，证明了每一个最小度至少为$k+m$的$k$ -连通二部图$G$都含有一条$m$阶的路$P$，使得$G-V(P)$仍是$k$ -连通的.
2021-10-03 math.CO
On a Generalization of the Bipartite Graph $D(k,q)$
本文讨论了Lazebnik和Ustimenko提出的二部图$D(k,q)$的一个推广$Γ(Ω,q)$，其中$Ω$是一组二进制序列，用来索引顶点的项.给出了$Ω$上$Γ(Ω,q)$容许各种自同构的几个充分条件.进一步给出了$Γ(Ω,q)$是边传递的一个充分条件。给出了$Γ(Ω,q)$的连通分支数的一个下界，给出了连通分支数的一些不变量.对于$Γ(Ω,q)$，详细研究了包含某种特定形式顶点的路和圈。然后给出了$Γ(Ω,q)$围长的一些下界。特别地，我们可以给出关于指标集$Ω$的非常简单的条件，从而保证广义图$Γ(Ω,q)$是一个具有大围长的图族.
2017-07-06 math.CO
Counting independent sets in cubic graphs of given girth
本文证明了围长至少为5的三次图的独立多项式（和独立集总数）的一个紧上界。该界限是通过Heawood图，Fano平面的点/线关联图的工会来实现的。我们还给出了无三角形三次图的独立集总数的一个紧下界。这个界限是通过Petersen图的并集来实现的。我们猜想，事实上所有的摩尔图是极值的缩放数量的独立集的正则图的给定的最小围长，最大化这个数量，如果他们的围长是偶数和最小化，如果奇数。希伍德图和彼得森图是这个猜想的例子，还有完全图、完全二部图和圈。
2018-04-11 math.CO
Classification by girth of three-dimensional algebraically defined monomial graphs over the real numbers
对于正整数$s,t,u,v$，我们定义了一个二部图$Γ_{\mathbb{R}}(X^s Y^t,X^u Y^v)$，其中每个部集都是$\mathbb{R}^3$的一个副本，并且第一部集中的一个顶点$(a_1,a_2,a_3)$与第二部集中的一个顶点$[x_1,x_2,x_3]$相邻当且仅当\[ a_2 + x_2 = a_1^s x_1^t \quad \text{and} \quad a_3+x_3=a_1^ux_1^v. \].
2021-01-23 math.CO
Some properties of catalog of (3, g) Hamiltonian bipartite graphs: orders, non-existence and infiniteness
本文的重点是讨论一类具有偶数围长g的（3，g）图的目录。（k，g）图是正则度为k，围长为g的图。该目录与其他已知的（3，g）图的列表，如枚举的三价对称图和枚举的三价顶点传递图，得出的结论是，该目录有更多的订单比这些列表的图。这个catalag还指定了一个列表的订单，旋转对称性和围长的类（3，g）图不存在。它还表明，这个目录的图无限延伸。
2017-06-24 cs.DM math.CO
Connectivity keeping caterpillars and spiders in bipartite graphs with connectivity at most three
Luo，Tian和Wu（2022）的一个猜想是：对每个正整数$k$和每个具有$X$和$Y$的有限树$T$（记为$t = \max\{|X|,|Y |\})$），每个具有$δ(G) \geq k + t$的$k$ -连通二部图$G$包含一个子树$T' \cong T$，使得$κ(G-V (T')) \geq k$ .在本文中，我们证实了这一猜想的毛毛虫时$k=3$和蜘蛛时$k\leq 3$。
2022-05-01 math.CO
Unicyclic Graphs of Arbitrary Girth with the Same Chromatic Symmetric Function
Universidad de Chile（智利大学）
研究图的色对称函数能否区分非同构单圈图，通过应用“三重删除”模关系，展示了一系列围长递增且具有相同色对称函数的非同构连通单圈图对，还给出首个具有相同色对称函数的无限二分图族。
2026-07-13 math.CO
On the structure of graphs with given odd girth and large minimum degree
研究了给定奇围长的图具有简单结构的最小度条件。例如，Andrásfai，Erd \H os和Sós的经典工作意味着每个具有奇数围长$2k+1$和最小度大于$\frac{2}{2k+1}n$的$n$ -顶点图必须是二部图。我们考虑图的最小度的条件较弱。推广了Häggkvist和Häggkvist与Jin关于$k=2$和$3$的结果，证明了每一个周长为$2k+1$且最小度大于$\frac{3}{4k}n$的$n$ -顶点图都同态于长度为$2k+1$的圈.这是最好的可能性，因为存在具有最小度$\frac{3}{4k}n$和奇围长$2k+1$的图，这些图不与长度为$2k+1$的圈同胚。Brandt和Ribe-Baumann也得到了类似的结果。
2016-03-14 math.CO
High-girth cubic graphs are homomorphic to the Clebsch graph
我们给出了一个（计算机辅助）证明，每个图的最大度为3，围长至少为17的边缘可能是5色的（可能不正确），使每个颜色类的补充是二分的。等价地，每一个这样的图承认一个同态的Clebsch图。Hopkins、Staton、Bondy和Locke证明了每一个围长至少为4的（次）三次图都有一个至少包含4/5条边的边割。这样的边割的存在性直接来自于上面描述的5-边着色的存在性，所以我们的定理可以被看作是他们结果的着色扩展（在更强的围长假设下）。每个与长度为5的圈同态的图都有上述的5-边染色;因此我们的定理也可以被看作是Nesetril的五角大楼问题的一个弱版本（该问题询问是否每个足够高围长的立方图都与C_5同态）。
2009-10-23 math.CO
On the structure of dense graphs with given odd girth
Jiangsu University（江苏大学）
研究具有奇数围长至少为2k + 1的n顶点图，通过最小度条件δ(G) > 4n/(6k - 1)得出图与4k个顶点的莫比乌斯梯子同态，加强了相关结果并回答了问题。
2026-07-07 math.CO
A little more about bipartite biregular cages, block designs, and generalized polygons
本文研究了二部双正则笼问题，利用Steiner System和广义多边形中的$t$-good结构获得了新的上下界，并精确构造了特定参数下的二部双正则笼，如56个顶点的$(3,4;8)$-笼。
2023-10-18 math.CO
On short cycle enumeration in biregular bipartite graphs
最近的一些工作已经使用了各种组合构造来导出LDPC码的Tanner图，并且其中一些已经被证明在其错误曲线和错误地板的概率方面表现良好。这样的图是二部的，并且这些构造中的许多产生双正则图，其中左顶点的度是常数$c+1$，右顶点的度是常数$d+1$。这样的图在这里称为$(c+1,d+1)$双正则二部图。在这样的工作中感兴趣的一个属性是图的围长和图中短循环的数量，长度为围长或稍大的循环。这些数字已经被示出与相关LDPC码的错误概率曲线的错误平层相关。使用已知的图论结果，它示出了如何周长和长度等于周长的圈数可以计算这些$(c+1,d+1)$双正则二部图只知道参数$c$和$d$和左，右顶点的数量。虽然存在许多算法来确定任意图中的短周期数，但将这些双正则二分图的问题从算法减少到计算是有意义的。
2017-08-19 cs.IT math.CO math.IT
A new series of dense graphs of high girth
令$k\ge 1$是奇数，$t=\lfloor {{k+2}\over 4}\rfloor$，$q$是素数幂。我们构造了一个二部的、$q$ -正则的、边传递的图$C\!D(k,q)$，它的阶为$v \le 2q^{k-t+1}$，围长为$g \ge k+5$ .如果$e$是$C\!D(k,q)$的边数，则$e =Ω(v^{1+ {1\over {k-t+1}}})$。这些图提供了最好的已知的渐近下界的最大数量的边缘图的顺序$v$和周长至少$g$，$ g\ge 5$，$g \not= 11,12$。对于$g\ge 24$，这表示对Margulis和Lubotzky、Phillips、Sarnak建立的边界的轻微改进;对于$5\le g\le 23$、$g\not= 11,12$，它改进或绑定了现有边界。
1995-01-01 math.CO
A new approach to catalog small graphs of high even girth
本文给出了一类具有偶数围长g的（3，g）图的分类.（k，g）图是度为k，围长为g的正则图。这类（3，g）图具有如下性质：当g为偶数围长时，围长满足6 <= g <= 16.首先，这个目录包含已知的最小的（3，g）图。一个适当的类的三次图的目录已被确定，这样的（3，g）图的最小阶内的类也是最小的已知的（3，g）图。其次，这个目录包含了比其他列表更多订单的（3，g）图。第三，定义了图的类，从而建立了一个实用的图生成算法。第四，这个目录是无限的，因为结果被扩展到关于无限多个图的知识。研究结果如下。首先，Hamilton二部图被认为是一类有前途的三次图，它可以产生一个偶数围长g的（3，g）图的目录，其中的图比其他列表的图具有更多的阶数，也期望包含一个具有最小阶数的（3，g）图。其次，这个（3，g）图的目录包含许多非点传递图。第三，为了使计算更加容易，同时也为了对结果进行更深入的分析，引入了对称因子来度量沿所识别的哈密顿圈的旋转对称程度.引入D3弦指数表示法作为三次Hamilton二部图的一种简洁表示法。D3和弦索引符号是LCF符号的两倍。D3弦指数表示法可以指定一个无限族的图。第四，关于（3，g）Hamilton二部图存在的最小阶和（3，g）Hamilton二部图存在的对称因子的最小值的结果是比较有意义的。
2017-12-02 cs.DM math.CO
Connectivity keeping paths for k-connected bipartite graphs
本文证实了Luo等人关于k-连通二部图中保持连通性树的猜想，证明了当T为m个顶点的奇路时存在同构子树T'使剩余图保持k-连通。
2024-12-22 math.CO
Extremal Graph Theory for Metric Dimension and Girth
集合$W\subseteq V(G)$称为$G$的解析集，如果对于每两个不同的顶点$u,v\in V(G)$，存在$w\in W$使得$d(u,w)\neq d(v,w)$，其中$d(x,y)$是顶点$x$和$y$之间的距离。$G$的分解集的最小基数称为$G$的度量维数，并表示为$β(G)$。本文证明了在$G$为$n$阶的连通图$G$中，有一个圈$β(G)\leq n-g(G)+2$，其中$g(G)$是$G$中最短圈的长度，等式成立当且仅当$G$是圈，完全图或完全二部图$K_{s,t}$，$ s,t\geq 2$ .
2012-03-10 math.CO
Non-bipartite distance-regular graphs with a small smallest eigenvalue
在2017年，Qiao和Koolen证明了，对于任何固定整数$D\geq 3$，只有200个这样的图具有$θ_{\min}\leq -αk$，其中$0<α<1$是任何固定数。本文主要研究非二部距离正则图，其中$θ_{\min}$与$k$相比相对较小.特别是，我们将证明，如果$θ_{\min}$是相对接近$-k$，那么奇数围长$g$必须是大的。我们还将用$D =4,5$的$θ_{\min} \leq \frac{D-1}{D}$对非二部距离正则图进行分类。
2019-01-03 math.CO
Non-existence of antipodal cages of even girth
Moore界$M(k,g)$是围长$g$的$k$ -正则图（记作$(k,g)$ -图）的阶的下界.一个$(k,g)$ -图的$n$阶的多余$e$是差$n-M(k,g).$一个$(k,g)$ -笼是所有$(k,g)$ -图中顶点数最少的$(k,g)$-图.一个直径为$d$的图称为对极图，如果对于任何顶点$u, v, w$使得$d(u,v)=d$和$d(u, w)=d$，Biggs和Ito在[4]中证明了任何周长为偶数的$d(v, w)=d$和多余的$e\leq k-2$的$(k,g)$ -笼是直径为$d+1.$的二部图。本文讨论了$(k,g)$-笼的一些性质。偶数围长和多余$e\leq k-2.$笼基于谱分析，给出了这类笼的邻接矩阵$A$和距离矩阵$A_{d+1}$的特征值之间的关系.此外，根据[4]和[13]中使用的方法，我们证明了过量$e$的对跖$(k,g)$笼的不存在，其中$k\geq e+2\geq4$和$g=2d\geq14.$
2017-05-20 math.CO
On coloring of graphs of girth 2l + 1 without longer odd holes
空穴是长度至少为4的诱导环。设$ł\ge 2$为正整数，${\cal G}_l$表示围长为$2ł+1$且洞长度至少为$2ł+3$的图族，$G\in {\cal G}_ł$ .对于顶点$u\in V(G)$和非空集$S\subseteq V(G)$，设$d(u, S)=\min\{d(u, v):v\in S\}$，对于任意整数$i\ge 0$设$L_i(S)=\{u\in V(G) \mbox{ and } d(u, S)=i\}$。我们表明，如果$G[S]$是连接和$G[L_i(S)]$是二分的每个$i\in\{1, \ldots, \lfloor{ł\over 2}\rfloor\}$，然后$G[L_i(S)]$是二分的每个$i>0$，因此$χ(G)\le 4$，其中$G[S]$表示的子图诱导的$S$。设$θ^-$是从Petersen图中删除三个导致路径的顶点而得到的图，设$θ^+$是从Petersen图中删除两个相邻顶点而得到的图，并且设$θ$是从$θ^+$中删除与两个度为3的顶点关联的边而得到的图。对于一个图$G\in{\cal G}_2$，我们表明，如果$G$是3-连通的，没有不稳定的3-割集，那么$G$必须诱导$θ$或$θ^-$，但不诱导$θ^+$。作为推论，对于${\cal G}_2$的既不诱导$θ$也不诱导$θ^-$的每个图$G$，以及${\cal G}_2$的最小…
2022-04-13 math.CO
Density of $C_{-4}$-critical signed graphs
一个带符号的二部（简单）图$(G, σ)$称为$C_{-4}$ -临界图，如果它不允许与$C_{-4}$（负4-圈）同态，但它的每个真子图都允许。在这项工作中，首先，我们表明，4-着色的图形和签署的图形的概念是捕获，通过简单的图形操作，由同态的概念，$C_{-4}$。具体地说，四色定理等价于：给定一个平面图$G$，通过用长度为2的负路径替换$G$的每条边得到的带符号二部图映射到$C_{-4}$。证明了除一个特殊的7点9边的符号二部图外，任何$C_{-4}$ -临界的$n$点的符号图都至少有$\lceil\frac{4n}{3}\rceil$边，并且对每个$n\geq 9$的值都有这个界或$\lceil\frac{4n}{3}\rceil+1$.作为应用，我们得到了所有负围长的带符号二部平面图至少$8$映射到$C_{-4}$的结论。此外，我们还证明了存在一个例子，它不映射到$C_{-4}$的周长$6$的有符号二部平面图，显示$8$是最好的可能和反驳的猜想Naserasr，Rollova和Spena，在上述重述的4CT的扩展。
2021-11-20 math.CO
Bounding signed bipartite partial t-trees and application to edge-coloring
Xiamen University of Technology（厦门理工学院）；Université de Paris, IRIF, CNRS（巴黎大学，IRIF，法国国家科学研究中心）；Zhejiang Normal University（浙江师范大学）
本文研究了有向二分图的边界问题，并将其应用于边着色，证明了某些平面图的边着色性质。
2026-01-05 math.CO
Counting short cycles of (c,d)-regular bipartite graphs
近年来，研究代表低密度奇偶检验（LDPC）码的Tanner图成为一个有趣的研究课题。Blake和Lin发现了Tanner图的短圈数，并利用图的谱和度分布研究了双正则二部图中长围长圈的多重性。虽然有许多算法来找到循环的数量，但他们更喜欢以计算的方式进行研究。Dehghan和Banihashemi计算了长度为$g+2$和$g+4,$的圈数，其中$G$是一个双正则二部图，$g$是周长为$G.$的圈数，但他们只是提出了一种描述性的技术来计算长度小于$2g$的双正则二部图的圈数。本文利用双正则二部图的谱和度分布，求出了长度小于$2g$的圈数，使得该公式仅依赖于正整数的划分和从双正则二部图的顶点开始的闭无圈行走数.
2018-08-04 cs.DM math.CO
The complexity of the Perfect Matching-Cut problem
完美匹配割是判定一个图是否具有包含边割的完美匹配的问题。我们证明了这个问题对于最大度为4的可平面图、围长为5的可平面图、二部五正则图、直径为3的图和直径为4的二部图都是NP-完全的。我们表明，存在多项式时间算法的以下类别的图：爪自由，$P_5$ -自由，直径2，二部与直径3和图有界树宽度。
2021-10-29 math.CO
On the sum of the largest and smallest eigenvalues of graphs with high odd girth
Trinity College, University of Cambridge（剑桥大学三一学院）
该研究通过逼近理论证明了具有高奇数圈长的图的特征值之和上界，给出了γ_k的紧上界至多项对数因子。
2026-02-26 math.CO
Matching Cuts in Graphs of High Girth and H-Free Graphs
该研究解决了匹配割问题的20年公开难题，证明多个匹配割相关问题在高围长有界度二部图、特定无H图上是NP完全的，还得到完美匹配割在无H子图图上的完整复杂度分类。
2023-11-07 cs.CC cs.DM cs.DS
Proof a conjecture on connectivity keeping odd paths in k-connected bipartite graphs
本文证明 k-连通二部图在最小度至少 k+⌈(m+1)/2⌉ 时含一条删除后仍保持 k-连通的 m 阶路，从而证实奇路情形并改进偶路界。
2024-01-22 math.CO
Semicubic cages and small graphs of even girth from voltage graphs
本文针对偶围长小阶半立方图的构造问题，采用粘合立方笼的推广方法与基于$\boldsymbol{\rm Z}_{m}$电压图的核心技术，构造了多族不同偶围长的半立方图，部分实例达到已知最优界。
2023-05-05 math.CO
Independent sets and cuts in large-girth regular graphs
我们提出了一个局部算法，在大围长3-正则图上产生一个独立的期望大小$0.44533n$集，在大围长4-正则图上产生一个独立的期望大小$0.40407n$集。在大围长3-正则图上，我们还构造了一个$1.34105n$边的割（或平分或二部子图）。这些分别减小了从$0.0178$到$0.01$、从$0.0242$到$0.0123$和从$0.0724$到$0.0616$的最佳已知上限和下限之间的间隙。我们使用的是局部算法，因此，该方法还提供了$1 / 0.44533 \approx 2.24554$和$1 / 0.40407 \approx 2.4748$的分数着色数和分数边着色数$1.5 / 1.34105 \approx 1.1185$的上界。我们的算法是Hoppen和Wormald介绍的技术的应用。
2016-02-08 cs.DM cs.DS math.CO
On the sum of the largest and smallest eigenvalues of odd-cycle free graphs
本文研究无奇数环图中最大与最小邻接特征值之和，将 Csikvári 对奇围长 5 的界推广到一般奇围长 $k$，并给出奇围长 7 时更紧的数值上界。
2025-07-23 math.CO
On the Ubiquity and Utility of Cyclic Schemes
令$k,l,m,n$和$μ$为正整数。$\mathbb{Z}_μ$ -{ \it化合价方案} $(k,l)$和{ \it顺序} $(m,n)$是子集$S_{ij} \subseteq \mathbb{Z}_μ$的$m \times n$阵列$(S_{ij})$，使得对于每行和每列，分别具有$\sum_{j=1}^n |S_{ij}| = k $和$\sum_{i=1}^m |S_{ij}| = l$。任何这样的计划是一个代数等价的$(k,l)$ -半正则二分电压图与$n$和$m$顶点的二分集和电压来自循环组$\mathbb{Z}_μ$。我们感兴趣的是$\mathbb{Z}_μ$的子类--对于所有的$a \in S_{ij}$、$b \in S_{ih}$、$c \in S_{gh}$和$d \in S_{gj}$都具有$a - b + c - d\; \not \equiv \;0$（mod $μ$）性质的方案，其中$i,g \in {1,...,m}$和$j,h \in {1,...,n}$不必是不同的。这些$\mathbb{Z}_μ$ --方案可以用来表示围长为$\ge 5$的正则图和围长为$\ge 6$的半正则二部图的邻接矩阵。对于合适的$ρ, σ\in \mathbb{N}$与$ρk = σl$，它们也表示多环$(ρμ_k, σμ_l)$配置的关联矩阵，特别是所有已知的De…
2011-11-14 math.CO
Strong Edge-Coloring of Cubic Bipartite Graphs: A Counterexample
图$G$的强边着色$φ$为$G$的边分配颜色，使得每当$e_1$和$e_2$的距离不大于1时，$φ(e_1)\ne φ(e_2)$。它等价于$G$的线图的正方形的一个适当的点染色。1990年Faudree，Schelp，Gyárfás，and Tuza证明了：如果$G$是一个最大度为3且围长足够大的二部图，则$G$有最多5种颜色的强边染色。在2021年，这个猜想被卢扎尔、马恰约娃、什科维耶拉和索塔克推翻。在这里，我们给出了一个替代的建设，以反驳猜想。
2022-05-26 math.CO
Subgraph densities in signed graphons and the local Sidorenko conjecture
我们证明了带号图和图子中各种二部子图的密度之间的不等式。其中一个主要的不等式是任何围长为r的二部图的密度不能超过r-圈的密度。Sidorenko猜想指出，任意图G中的m条边的二部图F的密度至少是G的边密度的m次方.另一种说法是，具有给定的边密度使F的副本数最小化的图G是渐近随机图。我们证明这是真的局部，即，对于图G是“接近”一个随机图。
2010-04-18 math.CO
Independent Locating-Dominating Sets in Pseudotrees
Universidad de Almería（阿尔梅里亚大学）；Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）
研究伪树中独立定位支配集的存在性，证明girth为4的图可能无ILD集，且在树和单环图中提供ILD集的存在条件及算法。
2026-05-14 math.CO
Irreducible pseudo 2-factor isomorphic cubic bipartite graphs
一个二部图是{ \em伪2-因子同构}的，如果它的所有2-因子具有相同的圈数奇偶性.在\cite{ADJLS}中，我们证明了围长为4的本质4-边连通伪2-因子同构三次二部图是$K_{3,3}$，并证明了\cite [猜想3.6]{ADJLS}中本质4-边连通三次二部图是$K_{3,3}$、Heawood图和Pappus图.由于Martinetti（1886），所有对称构型$n_3$都可以从一组无限的所谓的{ \em不可约}构型\cite{VM}中得到，所以存在对称构型$n_3$的一个特征. Boben \cite{B}用它们的{ \em不可约Levi图}完成了不可约构形的列表.本文刻画了不可约伪2-因子同构立方二部图，证明了伪2-因子同构不可约Levi图只有Heawood图和Pappus图。此外，所得到的表征允许我们部分地证明上述猜想。
2010-02-09 math.CO
Locally bipartite subgraphs via multicolor Ramsey numbers
Department of Mathematics, ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院数学系）
该研究针对Erdős-Hajnal猜想，改进了$f_4(k)$的上界，还证明了奇数$g\ge5$时对应函数$h_g(k)$的增长性，证实了Mohar和Wu2018年的相关猜想。
2026-09-09 math.CO
Asymptotic Spectral Bounds under Odd-Girth Constraints
本文研究奇围约束下图的最大与最小特征值之和的渐近上界，通过抽象矩问题证明其上确界介于$(1-o(1))(\log g)^2/g^3$和$(10/7+o(1))(\log g)^2/g^3$之间，并对正则图给出最优界。
2026-10-06 math.CO math.SP
Spectral bipartiteness in generalized odd graphs of diameter three
School of Finance and Mathematics, Huainan Normal University（淮南师范学院金融与数学学院）
该研究确定了直径为三、奇围长至少七的非二部距离正则图中谱不变量σ(G)的前三个最大值，分别由折叠7立方体、奇图O_4和C_7取得，并证明其余图均小于1/36，解决了相关公开问题。
2026-09-11 math.CO
Optimal girth-dependent bounds for the Bethe approximation of the permanent
California Institute of Technology（加州理工学院）；University of Illinois Chicago（伊利诺伊大学芝加哥分校）
针对非负矩阵永久值的Bethe近似，研究人员证实Anari的猜想，给出了基于二分支撑图围长g（g≥4）的最优界，细化了原有通用比较关系，该上界在g-环不交并邻接矩阵上达到。
2026-09-03 cs.DS math.CO
A Hall-type condition for path covers in bipartite graphs
本文研究二分图中覆盖X部顶点所需不相交路径数的上界问题，提出基于|S|-|Λ(S)|最大值的Hall型充分条件猜想，证明其在森林、最大度3及高围长正则图中成立，且对问题的遗传版本是必要的。
2023-10-08 math.CO
Very Well-Covered Graphs of Girth at least Four and Local Maximum Stable Set Greedoids
图$G$中的\textit{maximum stable set}是具有最大基数的稳定集。$S$是$G$的一个\textit{local maximum stable set}，如果$S$是由$S\cup N(S)$诱导的子图的最大稳定集，则我们写为$S\inΨ(G)$，其中$N(S)$是$S$的邻居。内姆豪泽和特罗特（1975），证明了任何$S\inΨ(G)$都是$G$的最大稳定集的子集。在（Levit & Mandrescu，2002）中，我们证明了森林$T$的家族$Ψ(T)$在其顶点集上形成一个广义拟阵。$G$是二分的、无三角形的、良好覆盖的，而$Ψ(G)$是greedoid的情况分别在（Levit & Mandrescu，2002）、（Levit & Mandrescu，2004）、（Levit & Mandrescu，2007）中进行了分析。本文证明了：如果$G$是围长为$\geq4$的覆盖很好的图，则族$Ψ(G)$是广义拟阵当且仅当$G$有唯一的完美匹配.
2010-08-17 cs.DM math.CO
Connectivity keeping trees in triangle-free graphs
Korea Institute for Advanced Study（韩国高等科学研究院）；School of Data Science, Yokohama City University（横滨市立大学数据科学学院）；Department of Mathematics Education, Seoul National University（首尔国立大学数学教育系）；Department of Mathematics, Ajou University（阿丘大学数学系）
本文在无三角形图中研究保持连通性的子树问题，证明最小度至少为2k+3m−4的k-连通无三角形图必含同构于任意m阶树T的子树且删除后仍保持k-连通，并给出二部图等子类的精细结果。
2026-10-14 math.CO
Exact and Asymptotic Results on Coarse Ricci Curvature of Graphs
里奇曲率是由Ollivier在度量测度空间的一般框架下提出的，近年来在图的背景下得到了广泛的研究。本文证明了二部图和围长至少为5的图的Ollivier里奇曲率的上界。我们还证明了一个一般的下界的里奇曲率的大小方面的最大匹配在一个适当的子图。作为结果，我们刻画了围长为5的Ricci平坦图。利用我们的一般下界和Birkhoff-von Neumann定理，给出了围长为4的Ricci平坦正则图的结构的一个充要条件.最后，我们得到了随机二部图$G(n,n, p)$和随机图$G(n, p)$在$p$的不同区域下的渐近里奇曲率.
2020-08-22 math.CO math.DG math.PR
