On $e$-positivity and $e$-unimodality of chromatic quasisymmetric functions
对几类自然单位区间阶证明了色拟对称函数的$e$ -正猜想和$e$ -单峰猜想.最近，J. Shareshian和M. Wachs引入了色拟对称函数作为Stanley色对称函数的一种改进，并证明了这些函数的$e$ -正性和$e$ -单峰性.色拟对称函数的$e$ -正性蕴涵了相应的色对称函数的$e$ -正性，解决了Stanley关于两类自然单位区间序的$(3+1)$ -free偏序集的色对称函数的猜想.
2017-11-26 math.CO
Maximum odd induced subgraph of a graph concerning its chromatic number
本文研究图的奇诱导子图最大阶数问题，证明 Scott 猜想对二部图不成立但对线图成立，并否定 Berman 等人的相关猜想。
2024-02-25 math.CO
A note on the double-critical graph conjecture
一个连通的$n$-色图$G$是双临界的，如果对于$G$的所有边$xy$，图$G-x-y$是$(n-2)$-色的. 1966年Erd \H os和Lovász证明了唯一的双临界$n$-色图是$K_n$。这个猜想对于$n \ge 6.$仍然没有解决。在这篇短文中，我们对色数为$6$的无爪图$G$验证了这个猜想。
2016-04-18 math.CO
On Brenti's conjecture about the log-concavity of the chromatic polynomial
色多项式是图论中的一个重要研究对象。关于色多项式及与之相关的其它多项式的对数正态性，已有许多结果和说明，这些多项式的根的位置也得到了很好的研究。A. Sokal和C. Borgs提供了一个关于图的最高度的色多项式的根的绝对值的界。我们利用这个结果证明了一个由F.布伦蒂Brenti最初的猜想是色多项式在自然数上是对数凹的。保罗·西摩（Paul Seymour）提出了一个相反的例子来证明这一点。我们证明了图$G$的色多项式$P_G(q)$对所有的$q > CΔ+ 1$都是对数凹的，其中$Δ$表示$G$的最高度。我们还提供了一个例子，表明对于小于1的常数$C$，结果不成立。
2011-05-03 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. II. Three steps towards Gyarfas' conjectures
Gyarfas在1985年证明了：对所有的$k$，$l$，任何没有团的大小大于$k$，也没有奇洞的长度大于$l$的图，其色数都是以$k$和$l$为界的.我们证明了三个较弱的命题：（1）每一个色数足够大的无三角形图都有一个长度不等于5的奇洞：（2）对所有的$l$，每一个色数足够大的无三角形图都有一个长度大于$l$的奇洞或一个长度大于5的奇洞;（3）对所有的$k$，$l$，每个不存在团大小大于$k$且色数足够大的图都含有5-洞或长度大于$l$的洞.
2015-08-28 math.CO
The list chromatic number of the intersection of two generalized partition matroids
本研究针对Kiraly、Berczi等人提出的“任意两个拟阵的交的列表色数等于其色数”的猜想，以及Aharoni–Berger的相关猜想，证明二者对任意两个广义划分拟阵均成立。
2024-07-11 math.CO
A counterexample to a conjecture on the chromatic number of r-stable Kneser hypergraphs
本文的主要目的是给弗洛里安·弗里克[\textit{Int. Math. Res. Not. IMRN 2020 (13), 4037-4061 (2020)}]提出的下列猜想一个反例。猜想设$r\geq 3$和$\mathcal{F}$是一个集合系统。然后是$$χ\left(\textrm{KG}^r\left(\mathcal{F}_{r-stab}\right)\right)\geq\left\lceil\frac{cd_r\left(\mathcal{F}\right)}{r-1}\right\rceil.$$
2022-03-18 math.CO
A note on Hadwiger's conjecture: Another proof that every 4-chromatic graph has a $K_4$ minor
本文针对哈德维格猜想的第一个非平凡情形，给出一种新证明，通过利用图的子图的正常3-染色来构造$K_4$子式，从而证明每个色数至少为4的图都含有$K_4$子式。
2023-08-10 math.CO
The Berge-Füredi conjecture on the chromatic index of hypergraphs with large hyperedges
本文围绕与超图着色相关的两个猜想（Vizing定理的超图推广、Erdős-Faber-Lovász猜想），研究一类特殊均匀线性超图并建立其若干性质，推进Berge-Füredi猜想相关研究。
2024-03-11 math.CO
Chromatic-choosability of hypergraphs with high chromatic number
由Ohba提出并由Noel等人最近证实的是，对于任何图$G$，如果$|V(G)|\le 2χ(G)+1$，则$χ_l(G)=χ(G)$。这表明具有高色数的图是可色选的。我们证明了这也是均匀超图的情况，并进一步提出了Ohba猜想的一个推广版本：对于任何$r$ -均匀超图$H$与$r\geq 2$，如果$|V(H)|\le rχ(H)+r-1$，那么$χ_l(H)=χ(H)$。通过给出具有$|V(H)|= rχ(H)+r$和$χ_l(H)>χ(H)$的两类$r$ -一致超图$H$，证明了该猜想成立的条件是尖锐的.为了支持这一猜想，我们给出了两类$r$ -具有$|V(H)|= rχ(H)+r-1$的一致超图$H$，并证明了$χ_l(H)=χ(H)$。
2018-07-22 math.CO
Graphs with chromatic roots in the interval (1,2)
本文给出了一类色根在区间（1，2）上的3-连通非二部图，从而解决了Jackson的一个猜想.此外，我们还简要地考虑了在（1，2）中被证明没有色根的其他图类。
2007-04-18 math.CO
About Berge-Füredi's conjecture on the chromatic index of hypergraphs
本文在反秩或最大度的特定条件下证明了超图边染色数的Berge-Füredi猜想上界，并为Erdős-Faber-Lovász猜想提供了精确信息。
2024-03-14 math.CO
On a conjecture about the strong odd chromatic number of planar graphs
Cochin University of Science and Technology（科钦科技大学）
本文研究了平面图的强奇数染色数，通过构造反例验证了一个关于其上界猜想的假设。
2026-02-03 math.CO
The Path Partition Conjecture is True and its Validity Yields Upper Bounds for Detour Chromatic Number and Star Chromatic Number
图$G$的迂回顺序，记为$τ(G)$，是$G$中最长路径的顺序。$V(G)$的分区$(A, B)$使得$τ(\langle A \rangle) \leq a$和$τ(\langle B \rangle) \leq b$被称为$G$的$(a, b)$ -分区。一个图$G$称为$τ$ -可分图，如果$G$对每对正整数$(a, b)$都有一个$(a, b)$ -可分图，使得$a + b = τ(G)$ .著名的路径划分猜想指出，每个图都是$τ$ -可划分的。在\cite{df07}中Dunber和Frick证明了如果每个2-连通图都是$τ$ -可分的，那么每个图都是$τ$ -可分的。本文证明了2-连通图是PDMATHAMT-可分图。因此，我们的结果肯定地解决了路径划分猜想。我们证明了以下两个定理作为路划分猜想有效性的推论。{ \bf定理1：}对每个图$G$，$χ_s(G) \leq τ(G)$，其中$χ_s(G)$是图$G$的星色数.图$G$的$n^{th}$迂回色数，记作$χ_n(G)$，是给$G$的顶点着色所需的最小颜色数，使得没有阶数大于$n$的路是单色的。这些色数是由Chartrand，Gellar和Hedetniemi引入的\cite{cg68}作为点色数$χ(G)$的推广。{ \bf定理2：}对每个图$G$和每个$n \geq 1$，有$χ_n(G) \leq \left\…
2014-09-15 math.CO
Proper $q$-caterpillars are distinguished by their Chromatic Symmetric Functions
本研究针对Stanley的树同构猜想，证明其可推广至一类新的真$q$-毛虫树类，进一步拓展了色对称函数可区分非同构树的树类范围。
2023-07-21 math.CO
Chromatic Signed-Symmetric Functions of Signed Graphs
Stanley引入了单图的色对称函数，它是色多项式的推广。这是用相应图形排列的补数的整数点来表示的。Stanley证明了色函数的组合互易定理。这被认为是一个埃尔哈特型互易定理的图形安排。我们引入了色符号对称函数的符号图，色对称函数的一个模拟，通过相应的符号图安排的补的整数点，并证明了斯坦利的互易定理的推广。斯坦利已经证实，色对称函数区分树。这个猜想也被推广到符号树。我们验证了某些类的签名路径的猜想。
2021-03-04 math.CO
Improved lower bound for the list chromatic number of graphs with no $K_t$ minor
Hadwiger猜想断言任何没有$K_t$ -子式的图都是$(t-1)$ -可着色的.已知Hadwiger猜想的确切版本并不扩展到列表着色，但Kawarabayashi和Mohar（2007）已经证明存在一个常数$c$使得每个没有$K_t$ -子图的列表色数至多为$ct$。更具体地说，他们还强调这适用于$c=\frac{3}{2}$。证明了不含$K_t$ -子式的图的最大色数至少为$(2-o(1))t$，从而证明了上述猜想中的$c \ge 2$是必要的.这改进了Barát，Jouret和Wood（2011）之前的最佳下界，他们证明了$c \ge \frac{4}{3}$。我们的下界的例子是通过概率方法获得的。
2021-10-18 math.CO
The History of the Total Chromatic Number Conjecture
全色数色数猜想至今已在几百篇文章和无数的书籍中出现，是经典的数学未解问题之一。似乎许多作者巧合地将其归功于M教授。Behzad教授和/或V.G.维辛40年后，A. Soifer调查了这个猜想的起源，并在2009年的《数学着色书》（The Mathematical Coloring Book）上发表了他的发现，并表示：“在我看来，这毫无疑问应该归功于Vizing和Behzad。“在检查了所有提出的论点和引用的指责后，我决定自己调查这本书中陈述的争议。我在本报告中提出的调查结果具体表明了以下两点。- M. Behzad是全色数猜想的唯一作者。- 在过去的44年里，许多作者提供了错误的转介，以表明Vizing的作者身份，必须通过适当的手段尽快引起作者和研究人员的注意。
2011-04-15 math.CO
Polynomial bounds for chromatic number. II. Excluding a star-forest
Gyarfas-Sumner猜想说，对于每一个森林$H$，存在一个函数$f$，使得如果$G$是$H$ -free，则$χ(G)\le f(ω(G))$（其中$χ, ω$是色数和$G$的团数）。Louis Esperet解释说，只要这样的陈述成立，$f$就可以被选为多项式。Gyarfas-Sumner猜想只对一组适度的森林$H$成立，而埃斯佩雷特猜想几乎不对森林成立。例如，当$H$是五顶点路时，我们不知道。这里我们证明了当$H$的每个分支都是星时的Esperet猜想。
2021-07-25 math.CO
The chromatic number of the square of subcubic planar graphs
Wegner在1977年证明了最大度至多为$3$的可平面图的平方是$7$ -可着色的。我们证明了这个猜想使用放电方法和计算技术来验证可约配置。
2016-04-21 math.CO
New upper bounds on the chromatic number of a graph
我们概述了一些正在进行的工作有关的猜想里德\cite{reed97}的$ω$，$Δ$，和$χ$。我们猜想一个反例$G$对Reed猜想的补具有$\log(|G|)$阶的连通性.我们证明，这适用于一个家庭（参数化的$ε> 0$）的放松的界限，其中的$ε= 0$限制里德的上限。
2006-06-25 math.CO
Bipartite graphs whose squares are not chromatic-choosable
图$G$的正方形$G^2$是在$V(G)$上定义的图，使得如果$G$中的$u$和$v$之间的距离至多为2，则$G^2$中的两个顶点$u$和$v$相邻。令$χ(H)$和$χ_{\ell}(H)$分别为$H$的色数和列表色数。一个图$H$称为{ \em chromatic-choosable}，如果$χ_{\ell} (H) = χ(H)$。寻找可色选的图是一个有趣的问题。受列表全着色猜想的启发，Kostochka和Woodall（2001）提出了列表平方着色猜想，该猜想指出$G^2$对每个图$G$都是色可选择的。最近，Kim和Park证明了列表平方着色猜想一般不成立，他们找到了一个图族，其平方是完全多部图，其部集的大小是无界的。对于特殊的二部图类，如果列表平方着色猜想成立，则列表全着色猜想成立。另一方面，列表平方着色猜想的反例不是二部图。因此，一个自然的问题是，$G^2$是否是色选择或不是每一个二部图$G$。本文给出了一个二部图$G$，使得$χ_{\ell} (G^2) \neq χ(G^2)$ .此外，我们还证明了$χ_{\ell}(G^2) - χ(G^2)$的值可以任意大。
2014-05-07 math.CO
A counterexample to a conjecture about triangle-free induced subgraphs of graphs with large chromatic number
证明了对每个$n$，存在一个具有$χ(G) \geq n$和$ω(G) \leq 3$的图$G$，使得具有$ω(H) \leq 2$的$G$的每个诱导子图$H$满足$χ(H) \leq 4$ .这就否定了一个众所周知的猜想。我们的构造是一个团数有界，二色数大，且不存在长度至少为5的诱导有向圈的有向图。
2022-09-15 math.CO
A Few More Trees the Chromatic Symmetric Function Can Distinguish
图论中一个著名的公开问题是问Stanley的色对称函数，图的色多项式的推广，是否能区分任何两个非同构树。以前的工作已经证明了一类称为蜘蛛的树的猜想。本文将蜘蛛类推广为$n$ -蜘蛛类，其中正常蜘蛛类对应于$n = 1$，并验证了关于$n = 2$的猜想.
2019-08-14 math.CO
A note on a conjecture of star chromatic index for outerplanar graphs
图$G$的星边染色是图$G$的正常边染色，它不含长为4的双色路或圈. $G$的it星色指数$χ_{st}^{'} (G ),$是使$G$具有由$k$颜色着色的星边的最小数目$k$。在\cite{LB}中，L. Behauv $\acute{a}$等证明了当$G$是最大度外平面图时，$χ_{st}^{'} (G )\leq \lfloor\frac{3Δ}{2}\rfloor+1$是$Δ\geq 3.$本文证明了当$G$是直径为2或3的2-连通外平面图时，$χ_{st}^{'}(G) \leq Δ+6$是$G$的最大度外平面图.若$G$是最大度为5的2-连通外平面图，则$χ_{st}^{'}(G) \leq 9.$
2020-06-01 math.CO
Chromatic index of dense quasirandom graphs
设$G$是一个具有最大度$Δ(G)$的单图.如果$|E(H)|>Δ(G)\lfloor |V(H)|/2 \rfloor$是$G$的一个子图$H$，则它是过满的. Chetwynd和Hilton在1985年证明了一个具有$Δ(G)>n/3$的$G$在$n$顶点上有色指数$Δ(G)$当且仅当$G$不含过满子图. Glock，Kühn和Osthus在2016年证明了该猜想对于偶数阶的稠密拟随机图是正确的，并且他们证明了对于奇数阶的此类图也应该成立。本文证明了Glock，Kühn和Osthus的猜想是肯定的.
2021-04-16 math.CO
Eschers and Stanley's chromatic e-positivity conjecture in length-2
本研究针对长度为2的分拆情形，给出了Stanley色e正性猜想的简短证明，推进了该组合数学猜想的验证工作。
2023-05-01 math.AT math.CO
Counterexamples to Hedetniemi's conjecture
$G\times H$的色数可以小于有限单图$G$和$H$的最小色数。
2019-06-14 math.CO
Some results on the maximal chromatic polynomials of $2$-connected $k$-chromatic graphs
本文证明了Brown和Erey关于$2$-连通$k$-色图最大色多项式猜想成立的两个充分条件：图的团数为$k$或独立数为$2$。
2023-10-25 math.CO
An analogue of chromatic bases and $p$-positivity of skew Schur $Q$-functions
研究了色对称函数与Schur $Q$ -函数生成的对称函数代数$Γ$的关系.利用色对称函数构造了$Γ$的自然基.我们还研究了斜Schur $Q$ -函数的$p$正性，发现了一类$p$正的带状Schur $Q$ -函数，并猜想它们是\emph{all} .我们包括许多具体的计算结果，支持我们的猜想。
2019-07-23 math.CO
Chromatic index determined by fractional chromatic index
给定一个可能有多条边但没有环的图$G$，分别用$Δ$表示$G$的{\it最大度}，$μ$表示$G$的{\it重数}，$χ'$表示$G$的{\it色指数}，$χ_f'$表示$G$的{ \it分数色指数}。已知$Δ\le χ_f' \le χ' \le Δ+ μ$，其中上界是Vizing的经典结果。而$χ'$的精确值的确定是一个经典的NP完全问题，$χ_f'$的计算是在多项式时间内。事实上，它表明，如果$χ_f' > Δ$然后$χ_f'= \max \frac{|E(H)|}{\lfloor |V(H)|/2\rfloor}$，其中的最大值是在所有诱导子图$G$ $H$。Gupta\，（1967），Goldberg\，（1973），Andersen\，（1977），and Seymour\，（1979）证明了$χ'=\lceilχ_f'\rceil$若$χ'\ge Δ+2$，这通常被称为Goldberg猜想。在本文中，我们表明，如果$χ' >Δ+\sqrt[3]{Δ/2}$然后$χ'=\lceilχ_f'\rceil$。以前最著名的结果是由Scheide和Chen，Yu和Zang独立地得到的具有$χ'> Δ+\sqrt{Δ/2}$的图。本文证明了Goldberg猜想等价于Jakobsen的猜想：{ \it对于任何正整数$m$和$m\ge 3$，每个图$G$和$χ'>\frac{m}{m…
2016-12-12 math.CO
Counterexamples to the List Square Coloring Conjecture
图$G$的正方形$G^2$是在$V(G)$上定义的图，使得如果$G$中的$u$和$v$之间的距离至多为2，则$G^2$中的两个顶点$u$和$v$相邻。令$χ(H)$和$χ_l(H)$分别为$H$的色数和列表色数。一个图$H$称为{ \em chromatic-choosable}，如果$χ_l (H) = χ(H)$。寻找可色选的图是一个有趣的问题。Kostochka和Woodall \cite{KW2001}证明了对每个图$G$都有$χ_l(G^2) = χ(G^2)$，这就是列表平方着色猜想.本文给出了该猜想的无穷多个反例。此外，我们表明，值$χ_l(G^2) - χ(G^2)$可以是任意大的。
2013-05-16 math.CO
Chromatic Bounds On Orbital Chromatic Roots
给定一个图$Γ$的自同构群$G$，轨道色多项式$OP_{Γ,G}(x)$是其值在正整数$k$处的多项式，该多项式的值是$G$在\cite{Cameron}的适当$k$ -着色上的轨道数。等人探索了轨道色多项式的根，特别证明了轨道色根在$\mathbb{R}$中是稠密的，从而推广了Lassen关于色根在$[\frac{32}{27},\infty)$中是稠密的著名结果（见\cite{Thomassen}）. Cameron等人\cite{Cameron}进一步证明了任何图的轨道色多项式的实根都由其色多项式的最大实根上界。我们解决这个猜想的负面影响，并提供了一个过程中产生的家庭的反例。我们还表明，答案是真实的各类图，包括许多outerplanar图。
2014-09-09 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. I. Odd holes
图中的奇洞是指一个诱导子图，它是一个长度至少为5的奇圈。1985年，A. Gyarfas猜想：对任意的t，存在n使得无K_t子图且无奇洞的图是n-列图。我们证明了这个猜想。
2015-08-28 math.CO
Hedetniemi's Conjecture Via Altermatic Number
Hedetniemi提出的$50$多年未解决的猜想[{ \it图和自动机的同态，\newblock { \em论文（博士）-- University of Michigan}，1966}]断言两个图$G$和$H$的范畴积的色数是$\min\{χ(G),χ(H)\}$ .本文作者[{ \it]讨论了一般{K}neser超图的色数. \newblock { \em Journal of Combinatorial Theory，Series B}，2015.}]引入了图的交替数和强交替数作为图的色数的两个紧下界。本文证明了Hedetniemi猜想在强交替数意义下的一个松弛.利用图的交替数和强交替数给出了两个图的范畴积的色数的一个紧下界。这些结果丰富了满足Hedetniemi猜想的偶图族$\{G,H\}$.
2016-08-01 math.CO
Explicit formulas for e-positivity of chromatic quasisymmetric functions
1993年，Stanley和Stembridge证明了任何$(3+1)$ -free偏序集的色对称函数是$e$ -正的. Guay-Paquet把这个猜想归结为$(3+1)$ -和$(2+2)$ -free偏序集，它们也被称为自然单位区间序。Shareshian和Wachs定义了色拟对称函数，推广了色对称函数，并证明了任何自然单位区间阶的色拟对称函数是$e$ -正的和$e$ -单峰的.对于给定的自然区间序，存在一个相应的分块$λ$，我们用$X_λ$表示色拟对称函数.第一作者引入了色拟对称函数的局部线性关系。本文证明了上述局部线性关系的一个强有力的推广，称为矩形引理，它也推广了Huh，Nam和Yoo的结果。这样的引理可以应用于描述色对称函数$X_λ$的$e$ -正性的显式公式，其中$λ$包含在矩形中。利用矩形引理，我们还给出了当$λ$不包含在矩形中时，$e$ -正性的一些结构公式.
2022-02-13 math.CO
Properties, Proved and Conjectured, of Keller, Mycielski, and Queen Graphs
我们证明了关于三个图族的几个结果。对于皇后图，定义从国际象棋皇后通常的举动，我们发现边色数在几乎所有的情况下。在未经证明的情况下，我们有一个猜想支持了大量的计算，其中涉及到一个新的边着色算法的发展。猜想是边色数是最大度，除非简单的算术迫使边色数比最大度大大于1。对于Mycielski图，我们通过证明它们是Hamilton连通的（除了M（3），它是一个圈），加强了一个旧的结果：图是Hamilton的.对于Keller图G（d），在所有情况下，我们建立了G（d）的色数、边色数和独立数的精确值，并得到了除5 <= d <= 7以外的所有情况下的团覆盖数.我们还研究了Keller图的Hamilton分解，得到了G（6）上的Hamilton分解.
2016-06-25 math.CO
The $b$-Chromatic Number and $f$-Chromatic Vertex Number of Regular Graphs
图$G$的$b$-色数，记为$b(G)$，是使G存在一个$k$色的真染色的最大正整数，其中每个色类至少包含一个与其它色类中某个顶点相邻的顶点，这样的顶点称为优势点.一个$d$-正则图$G$的$f$-色顶点数记为$f(G)$，是在一个含有$d+1$颜色的真染色中，不同颜色的主顶点的最大数目. El Sahili和Kouider证明了对任意周长为5的$d$-正则图$G$，都有$b(G)=d+1$.在补充条件下，我们研究了这一猜想，给出了部分答案。
2013-02-18 math.CO
Chromatic number, clique subdivisions, and the conjectures of Hajós and Erdős-Fajtlowicz
对于图$G$，用$χ(G)$表示它的色数，用$σ(G)$表示$G$中最大团剖分的阶.设H（n）是$χ(G)/σ(G)$在所有$n$ -顶点图$G$上的最大值. Hajós在1961年提出了一个著名的猜想：对每个图$G$，有$σ(G) \geq χ(G)$。也就是说，$H(n) \leq 1$适用于所有正整数$n$。这个猜想在1979年被卡特林推翻。Erdenses和Fajtlowicz进一步证明了通过考虑一个随机图，对于某个绝对常数$c>0$，$H(n) \geq cn^{1/2}/\log n$。在1981年，他们证明，这一界是紧到一个常数的因素，有一些绝对常数$C$，使$χ(G)/σ(G) \leq Cn^{1/2}/\log n$的所有$n$ -顶点图$G$。本文证明了Erdens-Fajtlowicz猜想。在我们的证明，这可能是独立的利益的主要成分，是一个估计的最大集团细分的顺序，人们可以找到在每个图的$n$顶点与独立数$α$。
2012-02-14 math.CO
Hadwiger conjecture for 8-coloring graph
Hadwiger猜想是半个多世纪以来的一个公开问题，它认为对于每个t-可着色图，至多存在一个完全图Kt，但不存在Kt+1。Hadwiger猜想的一些例子，如1，2，3，4，5，6-可着色图，已经被完全证明是所有1 -5，但证明是非常困难的超过5-可着色图6，7。尽管图论的发展启发了科学家们对图着色的深入理解，但对于7-以上可着色图来说，这仍然是一个悬而未决的问题6，7。因此，我们提出了一种全新的色图结构，并给出了如何在色空间中描述图的着色问题。基于这一思想，我们定义了一个色平面，并在欧拉空间中配置了色坐标。同时，我们还找到了一种方法来证明Hadwiger猜想对任何8-着色图都是可行的。
2021-04-28 math.CO
Notes on Tree- and Path-chromatic Number
树-色数是树宽的一个色版本，其中树分解中袋的成本由其色数而不是其大小来度量。路-色数的定义类似.这些参数由Seymour（JCTB 2016）引入。本文综述了树色数和路色数的所有已知结果，并给出了一些新的结果和定理。特别地，我们提出了树-色数的Hadwiger猜想。为了证明我们的猜想可能比Hadwiger猜想更容易处理，我们给出了一个简短的证明：每个$K_5$ -minor free图最多有树色数$4$，避免了四色定理.我们也给出了计算树和路的色数的一些困难结果和图解.
2020-07-09 cs.DM math.CO
Clique Minors in Double-critical Graphs
一个连通$t$ -色图$G$是\dfn{double-critical}，如果$G \backslash\{u, v\}$对每条边$uv\in E(G)$都是$(t-2)$ -可着色的.一个长期存在的猜想Erdans和Lovász的完全图是唯一的双临界$t$ -色图仍然开放的所有$t\ge6$。鉴于Erdés和Lovász猜想难以解决，并受到著名的Hadwiger猜想的启发，Kawarabayashi，Pedersen和Toft提出了一个较弱的猜想，即每个双临界$t$ -色图都包含一个$K_t$子图，并验证了他们对$t\le7$的猜想。Albar和Gonçalves最近证明了每个双临界$8$ -色图都包含一个$K_8$子图，并且他们的证明是计算机辅助的。本文证明了对于所有的$t\le9$，每个双临界$t$ -色图都含有一个$K_t$子图。我们对$t\le8$的证明更短并且不需要计算机。
2017-10-16 math.CO
Hedetniemi's conjecture is asymptotically false
推广了Shitov的一个新突破，证明了两个图的张量积的色数可以是比这两个图的最小色数小的常数因子.更精确地说，我们证明了存在一个绝对常数$δ>0$，使得对于所有足够大的$c$，存在图$G$和$H$的色数至少为$(1+δ)c$，其中$χ(G \times H) \le c$。
2020-03-09 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. VII. Gyárfás' complementation conjecture
一类图是$χ$ -有界的，如果存在函数$f$，使得对于该类图的每个导出子图$G$，$χ(G)\le f(ω(G))$是有界的，其中$χ,ω$分别表示$G$的色数和团数. 1987年，Gyárfás证明了对每个$c$，如果$\mathcal{C}$是一个图类，使得对于该类中的每个图的每个导出子图$G$都有$χ(G)\le ω(G)+c$，则$\mathcal{C}$的成员的补类是$χ$ -有界的.我们证明了这个猜想。实际上，更一般地说，一类图是$χ$ -有界的，如果它具有这样的性质，即在该类中没有图具有$c+1$奇洞，两两不相交并且它们之间没有边。主要工具是一个引理，如果$C$是图中最短的奇洞，而$X$是$V(C)$中至少有五个邻居的顶点集，则存在一个支配$X$的三顶点集。
2019-03-14 math.CO
Dichromatic number and fractional chromatic number
图$G$的二色数是最大整数$k$，使得存在$G$的边的定向，使得对于顶点的每个划分为少于$k$的部分，至少一个部分必须包含在该定向下的有向圈。1979年，Erdens和Neumann-Lara证明了如果图的色数有界，那么它的色数也有界.通过证明该猜想的一个分数版本，我们在这个猜想上取得了第一个重大进展。虽然我们的结果使用了更强的分数色数假设，但它也给出了一个更强的结论：如果图的分数色数至少为$t$，则图的分数色数至少为$\tfrac{1}{4}t/\log_2(2et^2)$ .这个界限在一个很小的常数因子下是最好的。给出了几个相关的独立结果。
2015-10-20 math.CO
Planar triangulations with real chromatic roots arbitrarily close to four
我们展示了无限家庭的可平面图的实色根任意接近4，从而解决了一个长期存在的猜想肯定。
2005-11-17 math.CO
Conflict-free chromatic index of bipartite graphs
School of Mathematics and Statistics, Lanzhou University（兰州大学数学与统计学院）
本文证明了双色图无冲突色数不超过3，验证了Kamyczura等人关于无孤立顶点双色图的猜想。
2026-04-27 math.CO
Edge-chromatic $4$-critical graphs and Overfull Conjecture for graphs with maximum degree $4$
Hebei University of Science and Technology（河北科技大学）；Royal Holloway University of London（伦敦大学皇家霍洛威学院）
本文针对最大度为4的图，对1986年切特温德和希尔顿提出的过满猜想进行证明，该猜想指出特定条件下简单图是二类图当且仅当包含特定过满子图，此为相关研究提供了重要结论。
2026-08-03 math.CO
Chromatic numbers of flag 3-spheres
本文证明了对每个维数d，旗三角剖分S^d的色数不存在常数上界，并利用Ramsey理论构造了色数至少为Ω~(n^{1/4})的3-球面旗三角剖分。
2023-11-14 math.CO
The Matching Kneser Graph Conjecture For High Chromatic Numbers
本文证明了在满足特定参数条件下，存在连通图使得其团数、色数、$rK_2$-染色数及边数减去 $rK_2$-极值边数满足给定等式，从而支持高色数情形的匹配 Kneser 图猜想。
2024-02-06 math.CO
New construction of graphs with high chromatic number and small clique
本文介绍了一种构造具有高色数和小团的图的新方法。事实上，通过这种方法，我们提出了一个新的证明著名的Kneser猜想。
2017-02-05 math.CO
Colorful paths for 3-chromatic graphs
本文证明了除$C_7$以外的所有3-色连通图都有一个3-点染色，其中每个点都是3-色路的起点，这是S.~ Akbari，F.~ Khaghanpoor和S.~ Moazzeni在[P. J. Cameron，Research problems from the BCC 22，\emph{Discrete Math.} { \bf 311}（2011），1074- 1083]中引用，指出除了$C_7$之外的每个连通图$G$都允许$χ(G)$ -着色，使得$G$的每个顶点都是彩色路径（即，包含每种颜色的顶点的$χ(G)$顶点的路径）的开始。在4-色图的情况下，我们也为猜想提供了一些支持。
2015-03-03 math.CO
Chromatic index, treewidth and maximum degree
我们猜想，树宽为~ $k$且最大度为$Δ(G)\geq k + \sqrt{k}$的图$G$满足$χ'(G)=Δ(G)$ .在支持的猜想，我们证明其分数版本。我们还证明了树宽为$k\geq 4$且度为最大的图$G$满足$χ'(G)=Δ(G)$，改进了Vizing的一个旧结果.
2018-04-24 math.CO
The Chromatic Polynomials of Signed Petersen Graphs
Zaslavsky在2012年证明，直到切换同构，有六个不同的符号彼得森图，它们可以通过它们的色多项式区分开来，通过显示后者在3时给出不同的结果。他指出，六个不同的带符号彼得森图也有不同的无零色多项式，并且两种类型的色多项式在\emph{any}正整数上有不同的求值。我们开发并执行了一个计算机程序（运行在{ \tt SAGE}），有效地确定适当的$k$着色的数量为一个给定的签名图，我们的计算签名彼得森图证实Zaslavsky的猜想。我们还计算了所有最多五个顶点的符号完全图的色多项式。
2014-12-18 math.CO
