Graphs with chromatic roots in the interval (1,2)
Gordon F. Royle
本文给出了一类色根在区间（1，2）上的3-连通非二部图，从而解决了Jackson的一个猜想.此外，我们还简要地考虑了在（1，2）中被证明没有色根的其他图类。
We present an infinite family of 3-connected non-bipartite graphs with chromatic roots in the interval (1,2) thus resolving a conjecture of Jackson's in the negative. In addition, we briefly consider other graph classes that are conjectured to have no chromatic roots in (1,2).
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The Beraha number $B_{10}$ is a chromatic root
本文给出了以Beraha数$B_{10} = (5 + \sqrt{5})/2$为根的色多项式的图。以前已知没有其他非整数的Beraha数是色根，因此这些例子完成了精确确定哪些Beraha数可以是色根。
Chromatic Bounds On Orbital Chromatic Roots
给定一个图$Γ$的自同构群$G$，轨道色多项式$OP_{Γ,G}(x)$是其值在正整数$k$处的多项式，该多项式的值是$G$在\cite{Cameron}的适当$k$ -着色上的轨道数。等人探索了轨道色多项式的根，特别证明了轨道色根在$\mathbb{R}$中是稠密的，从而推广了Lassen关于色根在$[\frac{32}{27},\infty)$中是稠密的著名结果（见\cite{Thomassen}）. Cameron等人\cite{Cameron}进一步证明了任何图的轨道色多项式的实根都由其色多项式的最大实根上界。我们解决这个猜想的负面影响，并提供了一个过程中产生的家庭的反例。我们还表明，答案是真实的各类图，包括许多outerplanar图。
A note on the real part of complex chromatic roots
一个{ \em色根}是一个图的色多项式的根。虽然实色根已被广泛研究和理解，但对色根的{ \em实部}知之甚少。不难看出，一个顶点为$n$的图的最大实色根是$n-1$，而且确实，已知一个图的最大实色根至多是该图的树宽。类似于这些事实，文献[8]中指出，色根的实部也是由图的$n-1$和树宽上界的。本文证明了对所有的$k\geq 2$，存在无穷多个具有树宽$k$的图$G$，使得$G$具有非实色根$z$，且$\Re(z)>k$具有$\Re(z)>k$ .我们还讨论了较弱的猜想，并证明了它的图$G$与$χ(G)\geq n-3$。
Planar triangulations with real chromatic roots arbitrarily close to four
我们展示了无限家庭的可平面图的实色根任意接近4，从而解决了一个长期存在的猜想肯定。
Chromatic roots at 2 and at the Beraha number $B_{10}$
通过构造适当的图并确定其色多项式，解决了实色根的两个公开问题。首先，我们展示了图的Beraha数$B_{10} = (5 + \sqrt{5})/2$是一个色根。由于之前已知没有其他非整数Beraha数是色根，这就完成了精确确定哪些Beraha数可以是色根的工作。其次，我们构造了一类$3$ -连通图的无限族，使得对于任何$k \geqslant 1$，都有一个以$q=2$为重数的色根的图族成员至少为$k$ .前者解决了萨拉斯和索卡尔的问题[J。派104（2001）pp. 609- 699]，后者是Dong和Koh的问题[J.图论70（2012）pp. 262- 283]。
In this paper, we prove that $(-\infty, 0)$ is a zero-free interval for chromatic polynomials of a family ${\cal L}_0$ of hypergraphs and $(0, 1)$ is a zero-free interval for chromatic polynomials of a subfamily ${\cal L}_0'$ of ${\cal L}_0$ of hypergraphs. These results extend known results on zero-free intervals of chromatic polynomials of graphs and hypergraphs.
On the roots of hypergraph chromatic polynomials
设$G = (V,E)$是一个有限的简单连通图，其色多项式为$P_G(q)$ . Sokal \cite{sokal}证明了$G$的色多项式的根在绝对值上有$KD$的界，其中$D$是图的最大度，$7< K < 8$是常数.本文将这一结果推广到一致超图。为了证明我们的结果，我们将使用有界指数型图多项式的理论。
Chromatic roots and limits of dense graphs
在这个简短的说明中，我们观察到，最近的结果阿伯特和Hubai和Csikvari和Frenkel约Benjamini-Schramm连续性的根的色多项式的全纯矩扩展到理论的稠密图序列。我们提供了一些问题和激励这一观察。
Chromatic roots and minor-closed families of graphs
给定一个次闭图类$\mathcal{G}$，$G \in \mathcal{G}$的色多项式的非平凡根的下确界是什么？当$\mathcal{G}$是所有图的类时，已知答案是$32/27$。我们回答这个问题，正是为三个小封闭类的图。此外，我们推测，当值大于$32/27$。
On the imaginary parts of chromatic root
虽然很多注意力都集中在$n$阶图（即具有$n$顶点的图）的色根的最大模和最大实部上，但对这类图的最大虚部却知之甚少。我们证明了最大虚部可以按图的顺序线性增长。我们还证明了对于任何固定的$p \in (0,1)$，几乎每个随机图$G$在Erdös-Rényi模型有一个非实根。
A rooted variant of Stanley's chromatic symmetric function
本文研究有根图的色对称函数变体，利用Eisenstein判据证明Stanley多项式不可约性，证明有根树同构与有根色多项式相等的等价性，并给出pointed chromatic functions单项式展开的组合解释。
New Bounds for Chromatic Polynomials and Chromatic Roots
若$G$是$n$阶的$k$ -色图，则已知对每个$x\in \mathbb{N}$，$G$的色多项式$π(G,x)$至多为$x(x-1)\cdots (x-(k-1))x^{n-k} = (x)_{\downarrow k}x^{n-k}$.在这里，我们通过证明对于每个$x\in \mathbb{N},$都有\[ π(G,x) \leq (x)_{\downarrow k} (x-1)^{Δ(G)-k+1} x^{n-1-Δ(G)}\]来改进这个界，其中$Δ(G)$是$G$的最大度。其次，我们证明了，如果$G$是一个连接的$k$ -色图的顺序$n$，$k\geq 4$然后$π(G,x)$是最多$(x)_{\downarrow k}(x-1)^{n-k}$为每个真正的$x\geq n-2+\left( {n \choose 2} -{k \choose 2}-n+k \right)^2$（它已被证明，这个不等式成立所有$x \geq k$）。最后，我们提供了一个上界的色根的模，这是一个改进的稠密图的已知界限。
Linear bound in terms of maxmaxflow for the chromatic roots of series-parallel graphs
本文证明了具有最大最大流λ的串-平行图的（实或复）色根位于圆盘中|Q-1| <（λ-1）/log 2。更一般地说，当边权重位于“实反铁磁区域”-1\f2 \le v_e \le 0 - 1时，对于多元Tutte多项式的（实或复）根，同样的界限也成立。该结果在1/log 2 \approx 1.442695的因子范围内，为尖锐
A zero-free interval for chromatic polynomials of graphs with 3-leaf spanning trees
证明了如果$G$是一个包含至多3个叶子的生成树的图，则$G$的色多项式在区间$(1,t_1]$中没有根，其中$t_1 \approx 1.2904$是多项式$(t-2)^6 +4(t-1)^2(t-2)^3 -(t-1)^4$的最小实根.我们还构建了一个家庭的图包含这样的生成树的色根收敛到$t_1$从上面。我们采用惠特尼$2$开关操作管理的分析无限类的色多项式。
A set of chromatic roots which is dense in the complex plane and closed under multiplication by positive integers
我们研究了一个非常大的图族，其中的成员包括不相交的路径与极端集团确定的集团。这种广泛的特性自然地概括了具有众所周知的色多项式的各种较小的图形族。对于由其分支团路至少有一个平凡极值团的图组成的子族中的任意成员，我们导出了一个相对简单的公式，并利用这个公式证明了这些图的所有非整数色根的集合在乘自然数下是闭的. Sokal的一个著名结果引出了我们的主要结果，即存在一组色根，它在复平面上是稠密的，而且在正整数乘法下是封闭的。我们的研究结果提供了相当大的重量卡梅隆猜想，谁建议，这种封闭性可能是一个通用的功能的色多项式。我们也希望我们所提供的公式能对那些用色多项式计算的人有所帮助。
Algebraic properties of chromatic roots
\emph{chromatic root}是图的色多项式的根。任何色根都是代数整数。关于色根在实数和复数中的位置，人们知道得很多，但关于它们作为代数数的性质，却知之甚少。这个问题是2008年底在艾萨克·牛顿研究所举行的一次研讨会的主题。本文件的目的是报告研讨会的情况和随后的事态发展。我们猜想，对于每一个代数整数$α$，存在一个自然数$n$使得$α+n$是色根.这是证明了二次整数，一个扩展到立方整数已发现亚当博恩。这个想法是考虑某些特殊类别的图的色多项式是一个产品的线性因素和一个“有趣”的因素较大的程度。我们还报道了某些特殊图的色多项式的不可约因子的伽罗瓦群的计算结果。最后，Tutte多项式的扩展被简要地提到。
Ramsey Numbers of Interval 2-chromatic Ordered Graphs
有序图$G$是顶点按一定的线性序排列的图，其区间色数是划分顶点集所需的由相邻顶点组成的独立集的最小数目.有序图$G$的$t$ -色Ramsey数$R_t(G)$是一个有序完全图的最小顶点数，使得来自一组$t$颜色的每一个边着色包含$G$的单色副本，使得$G$的副本保持$G$上的原始排序。一个有序图是$k$ -色的，如果它有区间色数$k$ .我们得到了某些2-色序图的Ramsey数与顶点数成线性关系的下界。我们还确定了两类2-色序图的$t$ -色Ramsey数的精确值，并证明了一类2-色序图的线性上界.
On the real roots of $σ$-Polynomials
$σ$ -多项式由$σ(G,x) = \sum_{i=χ(G)}^{n} a_{i}(G)\, x^{i}$给出，其中$a_{i}(G)$是$G$的顶点划分成$i$非空独立集的数目。这些多项式与色多项式密切相关，因为$G$的色多项式由$\sum_{i=χ(G)}^{n} a_{i}(G)\, x(x-1) \cdots (x-(i-1))$给出。已知色多项式的实根的闭包精确地为$\{0,~1\} \bigcup [32/27,\infty)$，其中$(-\infty,0)$、$(0,1)$和$(1,32/27)$是色多项式的根的最大无零区间。我们问在这里是否存在这样的最大零自由的间隔$σ$ -多项式，并表明，只有这样的间隔是$[0,\infty)$ -也就是说，封闭的实根的$σ$ -多项式是$(-\infty,0]$。
On the concentration of the chromatic number of random graphs
假设0<p<1是固定的。Shamir和Spencer在20世纪80年代证明了G（n，p）中随机图的色数集中在长度约为n^{1/2}的区间内。在这篇说明中，我们证明了Noga Alon的一个结果，证明了色数集中在一个长度约为n^{1/2}/log n的区间中.
We give a proof of Stanley-Stembridge conjecture on chromatic symmetric functions for the class of all unit interval graphs with independence number 3. That is, we show that the chromatic symmetric function of the incomparability graph of a unit interval order in which the length of a chain is at most 3 is positively expanded as a linear sum of elementary symmetric functions.
Benjamini--Schramm continuity of root moments of graph polynomials
最近，M。阿贝尔特和T。\胡白研究了以下问题。有限单图的色测度定义为其色根的均匀分布。Abért和Hubai证明了有限图的Benjamini-Schramm收敛序列的色测度收敛于全纯矩。他们还表明，规范化的日志的色多项式收敛到一个调和实函数外有界盘。在本文中，我们推广他们的工作到一个广泛的一类图多项式，即有界指数型的乘法图多项式。我们的结果的一个特殊情况是，对于任何固定的复数$v_0$的措施所产生的Tutte多项式$Z_{G_n}(z,v_0)$收敛于全纯矩，如果序列$(G_n)$的有限图是Benjamini-Schramm收敛。这肯定地回答了阿贝尔特和胡白的一个问题。即使在原来的情况下的色多项式，我们的证明是相当简单。
Chromatic functions, interval orders and increasing forests
本研究将色拟对称函数从单位区间序推广到一般区间序，证明其为递增生成森林相关拟对称函数的加权和，并推广相关恒等式与猜想。
Benjamini-Schramm convergence and the distribution of chromatic roots for sparse graphs
定义有限单图的色测度为其色根的均匀分布。证明了有限图的Benjamini-Schramm收敛序列的色测度在全纯矩中收敛.作为推论，对于收敛的有限图序列，我们证明了色多项式的正规对数收敛于有界圆盘外的一个解析函数。这推广了Borgs，Chayes，Kahn和Lovász最近的一个结果，他们证明了在足够大的正整数下的收敛性，并回答了Borgs的一个问题。我们的方法也导致显式估计的数量正常染色的图与大围长。
In 1993, Stanley and Stembridge conjectured that a chromatic symmetric function of any $(3+1)$-free poset is $e$-positive. Guay-Paquet reduced the conjecture to $(3+1)$- and $(2+2)$-free posets which are also called natural unit interval orders. Shareshian and Wachs defined chromatic quasisymmetric functions, generalizing chromatic symmetric functions, and conjectured that a chromatic quasisymmetric function of any natural unit interval order is $e$-positive and $e$-unimodal. For a given natural interval order, there is a corresponding partition $λ$ and we denote the chromatic quasisymmetric f…
Properties of chromatic polynomials of hypergraphs not held for chromatic polynomials of graphs
本文给出了超图的色多项式的一些性质，这些性质不适用于图的色多项式。我们首先证明了超图的色多项式的零点都是整数，并且在实数集中含有稠密的实零点。证明了对任意重图$G=(V,E)$，$G$的全循环定向数等于$|P(H,-1)|$的值，其中$P(H,λ)$是由$G$构造的超图$H$的色多项式.最后证明了对于某些连通超图$H$，$P(H,λ)$的根“$0$“的重数至少可以是$2$;对于某些连通可分超图$H$，$P(H,λ)$的根“$1$“的重数可以是$1$;对于某些连通不可分超图$H$，$P(H,λ)$的根“$1$”的重数可以是$2$.
On the roots of $σ$-polynomials
给定一个阶为$n$的图$G$，$G$的$σ$ - $polynomial$是生成函数$σ(G,x) = \sum a_{i}x^{i}$，其中$a_{i}$是$G$的顶点集划分成$i$非空独立集的个数。这样的多项式以自然的方式从色多项式中产生。Brenti [1]证明了色数至少为$n-2$的图的$σ$ -多项式都有实根，并证明了色数为$n-3$的图的$σ$-多项式也有实根.我们肯定这一推测。
S-positivity of interval hypergraphs
本文证明了区间超图的色函数的s-正性，并由此证明了Taylor~ \cite{Taylor15}的一个猜想.我们还给出了Gasharov关于$(3+1)$ -free偏序集的色对称函数的s-正性定理的一个新的证明。
Chromatic symmetric functions of conjoined graphs
本文研究了联图的色对称函数，通过组合方法得到了几种图类的色对称函数展开式，并提出了帽链的 e 正猜想。
Classes of graphs with e-positive chromatic symmetric function
在20世纪90年代中期，Stanley和Stembridge证明了无爪协可比（也称为不可比）图的色对称函数是e-正的。对这个猜想的证明的探索导致了对其他相关图类的研究。在2013年，Guay-Paquet证明了如果单位区间图是e-正的，这意味着无爪不可比图也是。受这种方法的启发，我们考虑了一个相关的情况，并证明了单位区间图的补也是一个单位区间图是e-正的。引入强$e$ -正的概念来表示图的诱导子图都是e-正的，并猜想图是强e-正的当且仅当它是（爪，网）-free的.
The chromatic number of the plane with an interval of forbidden distances is at least 7
本文证明 Exoo 猜想：对任意正禁距区间宽度，欧几里得平面及任意 Minkowski 平面的色数至少为7，且当区间足够小时恰好为7。
Chromatic Polynomials of Oriented Graphs
有向图的有向色多项式输出任何输入$k$的有向$k$着色的数目。我们完全分类的有向图，有向图具有相同的色多项式作为基础的简单图，关闭一个开放的问题所提出的索佩纳。我们发现这类有向图可以在多项式时间内被识别和构造，因为它们恰好是一类准传递有向余区间图。我们研究了这个多项式的解析性质，并表明存在有向图的色多项式有根，包括负实根，不能实现为一个简单的图的任何色多项式的根。
On Brenti's conjecture about the log-concavity of the chromatic polynomial
色多项式是图论中的一个重要研究对象。关于色多项式及与之相关的其它多项式的对数正态性，已有许多结果和说明，这些多项式的根的位置也得到了很好的研究。A. Sokal和C. Borgs提供了一个关于图的最高度的色多项式的根的绝对值的界。我们利用这个结果证明了一个由F.布伦蒂Brenti最初的猜想是色多项式在自然数上是对数凹的。保罗·西摩（Paul Seymour）提出了一个相反的例子来证明这一点。我们证明了图$G$的色多项式$P_G(q)$对所有的$q > CΔ+ 1$都是对数凹的，其中$Δ$表示$G$的最高度。我们还提供了一个例子，表明对于小于1的常数$C$，结果不成立。
On the chromatic roots of generalized theta graphs
广义theta图Θ_{s_1，.，s_k}由一对由k条长度为s_1，.，s_k \ge 1.证明了色多项式$pi（Θ_{s_1，.，s_k}，z）都在圆盘中|z-1| \le [1 + o（1）] k/ \log k，在路径长度s_i上一致。此外，我们还证明了Θ_{2，. 2}\simeq K_{2,k}确实具有模[1 + o（1）] k/ \log k的色根。最后，对于k \le 8，我们证明了具有最大化的色根的广义theta图|z-1|是所有路径长度等于2的一个;我们猜想这对所有k都成立。
The Chromatic Symmetric Functions of Trivially Perfect Graphs and Cographs
RichardP. Stanley定义了单图的色对称函数，并证明了每棵树都是由它的色对称函数决定的.最近，Takahiro Hasebe和作者证明了阶拟对称函数，它是色对称函数的类似物，可以区分有根树。本文用类似的方法证明了色对称函数可区分平凡完美图。此外，我们还证明了无爪余图，即无$ \{K_{1,3},P_{4}\} $图属于一类已知的$ e $ -正图.
Using the definition of colouring of $2$-edge-coloured graphs derived from $2$-edge-coloured graph homomorphism, we extend the definition of chromatic polynomial to $2$-edge-coloured graphs. We find closed forms for the first three coefficients of this polynomial that generalize the known results for the chromatic polynomial of a graph. We classify those $2$-edge-coloured graphs that have a chromatic polynomial equal to the chromatic polynomial of the underlying graph, when every vertex is incident to edges of both colours. Finally, we examine the behaviour of the roots of this polynomial, hig…
On the Set of Circular Total Chromatic Numbers of Graphs
对任意整数$r\ge3$和$\eps>0$，构造了一个最大度$r-1$的图，其循环色数在区间$(r,r+\eps)$内.证明了：（i）每个整数$r\ge3$是图的循环色数集的一个聚点;（ii）对于每个$Δ\ge2$，具有最大度$Δ$的图的循环色数集是无穷大的.所有这些结果对于二部图的循环全色数色数集也是成立的。
Chromatic polynomials of graphs from Kac-Moody algebras
利用具有Dynkin图G的Kac-Moody李代数给出了单图G的色多项式的一个新的解释.证明了该李代数的色多项式实质上是其在单根和上的q-Kostant分拆函数.应用根重数的Peterson递推公式，我们得到了G的键格中路的加权和的色多项式的一种新实现。
We establish a set of recursion relations for the coefficients in the chromatic polynomial of a graph or a hypergraph. As an application we provide a generalization of Whitney's broken cycle theorem for hypergraphs, as well as deriving an explicit formula for the linear coefficient of the chromatic polynomial of the $r$-complete hypergraph in terms of roots of the Taylor polynomials for the exponential function.
Power sum expansion of chromatic quasisymmetric functions
图的色拟对称函数是由Shareshian和Wachs在Stanley色对称函数的基础上引入的。证明了Shareshian和Wachs给出的一个用幂和对称函数表示自然单位区间阶不可比图的色拟对称函数的显式组合公式.证明使用Roichman公式的对称群的不可约特征标。
A geometric realization of the chromatic symmetric function of a unit interval graph
本文利用簇$\mathscr X_Ψ$的Betti上同调给出了单位区间图色对称函数的新几何实现，得到新的归纳组合表达式，并据此提出了蕴含Shareshian-Wachs猜想的Stanley-Stembridge猜想的几何加细。
LLT polynomials, chromatic quasisymmetric functions and graphs with cycles
我们使用单位区间图的Dyck路径模型来研究由Shareshian和Wachs引入的色拟对称函数，以及垂直带-特别是单胞LLT多项式。我们发现，有平行的现象，关于$e$ -这两个家庭的多项式的积极性。特别是，我们给出了几个例子，LLT多项式的行为就像一个“镜像”的色准对称对应。Dyck路径模型也扩展到圆弧有向图，以获得更大的家庭的多项式。LLT多项式的这种循环扩张以前没有被研究过。很多关于单位区间图的组合数学进行到这个更一般的设置，我们证明了几个语句关于色拟对称函数和LLT多项式的$e$ -系数。特别是，我们认为某些$e$阳性的特征在上述所有家庭中都存在。此外，我们还研究了垂直带LLT多项式，它不存在自然的色拟对称对应项。这些多项式基本上是修改霍尔-Littlewood多项式，因此特别感兴趣。在这个更一般的框架中，我们能够给出一个自然的组合解释的$e$ -系数的线图和循环图，在这两个色和LLT设置。
Chromatic polynomials of complements of bipartite graphs
二部图是二部图的补图;因此，每个图都由两个由多条边连接的团组成。在本文中，我们研究这些图的色多项式的代数方面。本文导出了任意二分图的色多项式的一个公式，并利用这个公式给出了两个图具有相同分裂域的色多项式的条件。最后，我们使用一个bicliques的子类证明了三次情况下的$α+n$猜想，通过显示，任何三次整数$α$，有一个自然数$n$，使$α+n$是一个色根。
On the location of roots of graph polynomials
图的多项式的根，如特征多项式，色多项式，匹配多项式，和许多其他的广泛研究。在本文中，我们研究在何种程度上这些根的位置反映了底层图的图论性质。
In the mysterious and colorful world of chromatic numbers, where there are a lot of unknown, there is an amazing thing. It turns out that for some intervals of forbidden distances on the plane, one can specify the exact value of the chromatic number $χ$. Two sets of such intervals have been found, for $χ=7$ and 9. We call them islands of certainty. Here we increase the size of these islands, and add three new ones with $χ=8$, 12, 13. We also %formulate conjectures which predict conjecture islands for $χ=14$, 15, 16. Are there islands of certainty for $χ$=10 or 11? This is still a mystery. Roll…
Reinforcement Learning the Chromatic Symmetric Function
本文利用强化学习识别单位区间图中 Eschers 循环元组的通用拼接条件，提出色对称函数系数的猜想性通用计数公式。
Let $\mathfrak g$ be a Borcherds algebra with the associated graph $G$. We prove that the chromatic symmetric function of $G$ can be recovered from the Weyl denominator identity of $\mathfrak g$ and this gives a Lie theoretic proof of Stanley's expression for chromatic symmetric function in terms of power sum symmetric function. Also, this gives an expression for chromatic symmetric function of $G$ in terms of root multiplicities of $\lie g$. The absolute value of the linear coefficient of the chromatic polynomial of $G$ is known as the chromatic discriminant of $G$. As an application of our m…
Hadwiger's famous coloring conjecture states that every $t$-chromatic graph contains a $K_t$-minor. Holroyd [Bull. London Math. Soc. 29, (1997), pp. 139--144] conjectured the following strengthening of Hadwiger's conjecture: If $G$ is a $t$-chromatic graph and $S \subseteq V(G)$ takes all colors in every $t$-coloring of $G$, then $G$ contains a $K_t$-minor rooted at $S$. We prove this conjecture in the first open case of $t=4$. Notably, our result also directly implies a stronger version of Hadwiger's conjecture for $5$-chromatic graphs as follows: Every $5$-chromatic graph contains a $K_5$-mi…
Sharp concentration of the equitable chromatic number of dense random graphs
图$G$的均匀着色是$G$的顶点的着色，使得没有两个相邻的顶点被着色为相同的，并且另外，颜色类大小最多相差$G$。公平的色数$χ_=(G)$是为此所需的最小颜色数。研究了稠密随机图$G(n,m)$的均匀色数，其中$m = \left\lfloor p {n \choose 2} \right \rfloor $和$0<p< 0.86$是常数.这是一个众所周知的问题Bollobás是否为$p=1/2$有一个功能$f(n) \rightarrow \infty$，使任何序列的间隔长度$f(n)$，正常的色数的$G(n,m)$在于以外的间隔概率至少$1/2$，如果$n$是足够大。Bollobás提出，这很可能适用于$f(n) = \log n$。我们证明了对于\emph{equitable}色数，类似问题的答案是否定的。事实上，存在整数的子序列$(n_j)_{j}$，其中$χ_=(G(n_j,m_j)) = n/j$具有高概率，即，$χ_=(G(n_j,m_j))$集中在一个明确已知的值上。这构成了令人惊讶的窄浓度，因为在这个范围内，公平的色数，像正常的色数一样，在绝对值上相当大，即渐近地等于$n / (2\log_b n)$，其中$b=1/(1-p)$。
The chromatic number of signed graphs is defined recently. The coloring and clique problem of interval graphs has been studied and polynomial time algorithms are established. Here we consider these problems for signed interval graphs and prove that the coloring problem of signed interval graphs is NP-complete whereas their ordinary clique problem is in P. We also study the complexity of further related problems.
Chromatic roots are dense in the whole complex plane
我证明了广义theta图θ^{（s，p）}的色多项式P_G（q）的零点在整个复平面上（可能除了圆盘之外）是稠密的|Q-1| < 1。这同样适用于它们在盘外的二色多项式（别名Tutte多项式，别名Potts模型配分函数）Z_G（q，v| q+v| < |v|。一个直接的推论是，不一定是平面图的色零点在整个复平面上是稠密的。证明这些结果的主要技术工具是Beraha-Kahane-Weiss定理关于某些解析函数序列的零点极限集，对此我给出了一个新的更简单的证明。
Injective colorings of Sierpiński-like graphs and Kneser graphs
本文建立单射色数与色数、边色数的关系，确定 Sierpiński 图及根积的单射色数，并刻画 Sierpiński 图与 Kneser 图的完美单射可着色性。
Root multiplicities for Borcherds algebras and graph coloring
建立了Borcherds-Kac-Moody代数的根重数与图着色之间的联系。我们证明了对于给定的Borcherds代数，可以利用图的广义色多项式给出某些根重数的闭公式.使用这种连接，我们给出了第二种解释，即根的多重性的一个给定的根与非循环方向的数量与一个唯一的汇的某个图（取决于根）相一致。最后，利用Lyndon词的组合学，我们构造了与这些根对应的根空间的基，并确定了当所有单根都是虚根时的Hilbert级数.作为应用，我们给出了色多项式的Stanley互易定理的一个李理论证明.
A signed $e$-expansion of the chromatic quasisymmetric function
本文研究着色拟对称函数的初等对称函数展开，给出自然单位区间图的带符号 $e$-展开，并通过符号反转对合建立 K-链的组合公式，从而证明其 $e$-正性和 $e$-单峰性，同时推广到任意图。
A generalization of the Birthday problem and the chromatic polynomial
生日悖论表明，随机选择的23个人中至少有50%的可能性有两个人的出生日期相同。这个问题的计算假设所有出生日期的可能性相等。我们考虑这个问题的以下两个修改。如果生日的分布是不均匀的，那会增加还是减少匹配出生日期的概率？此外，如果我们把重点放在某些特定的对而不是任何两个人的生日上呢？出生日期的非均匀分布会增加还是减少匹配对的概率？在本文中，我们提出了我们的结果在这个广义的设置。利用Sokal关于色多项式根的界的一些结果和方法证明了我们的结果。
Chromatic quasisymmetric functions of directed graphs
标号图的色拟对称函数是由Shareshian和Wachs定义的Stanley色对称函数的一个改进。在这个扩展的摘要中，我们考虑了由Richard Stanley提出的将它们的定义从标号图扩展到有向图的问题。我们得到了所有有向图的色拟对称函数的F-基展开式和所有有向图的对称色拟对称函数的p-基展开式，推广了Shareshian-Wachs和Athanasiadis的工作.证明了真圆弧有向图的色拟对称函数是对称函数，推广了Shareshian和Wachs关于自然单位区间图的一个结果。n个顶点上的有向圈包含在真圆弧有向图类中，并且我们给出了有向圈的色拟对称函数的e基展开的母函数，改进了Stanley关于无向圈的结果。我们提出了一个推广的Shareshian-Wachs加细的斯坦利-Stembridge e-阳性猜想。
In this paper, we extend the chromatic symmetric function $X$ to a chromatic $k$-multisymmetric function $X_k$, defined for graphs equipped with a partition of their vertex set into $k$ parts. We demonstrate that this new function retains the basic properties and basis expansions of $X$, and we give a method for systematically deriving new linear relationships for $X$ from previous ones by passing them through $X_k$. In particular, we show how to take advantage of homogeneous sets of $G$ (those $S \subseteq V(G)$ such that each vertex of $V(G) \backslash S$ is either adjacent to all of $S$ or …
Planar graphs and Stanley's Chromatic Functions
本文研究了图的色对称函数关于各种对称函数基的正性现象。给出了Gasharov关于$(3 + 1)$ -free偏序集的色对称函数的Schur-正性定理的一个新证明。我们提出了一个组合的舒尔系数的平面网络的解释。与Gasharov的证明相比，它给出了一个更清晰的取消过程的直观说明，并且在精神上与通过Lindstrom-Gessel-Viennot引理证明Schur函数的单项正性非常相似。我们应用类似的设备的$e$ -正性问题的色函数。继斯坦利，我们分析了某些类似的对称函数连接到图，而不是直接与图的色对称函数。引入了一个新的组合对象：单位区间阶的正确序列，并利用它重新证明了幂和对称函数的$G$ -模拟的单项正性.
A sufficient condition for a graph with boxicity at most its chromatic number
欧几里得$k$ -空间中的盒是实直线上$k$闭区间的笛卡儿积。图$G$的盒度，记为$\text{box}(G)$，是使$G$同构于欧氏$k$ -空间中盒族的交图的最小非负整数$k$.本文给出了图$G$为$\text{box}(G)\leq χ(G)$的一个充分条件，其中$χ(G)$表示图$G$的色数. Bhowmick和Reynran（2010）证明了$\text{box}(G)\leq χ(G)$对没有星状三元组的图$G$成立。我们证明了$\text{box}(G)\leq χ(G)$对一类特殊的具有星状三元组的循环图族中的图$G$成立。
For a connected graph $G$ of order $n$, let $Diag(Tr)$ be the diagonal matrix of vertex transmissions and $D(G)$ be the distance matrix of $G$. The distance Laplacian matrix of $G$ is defined as $D^L(G)=Diag(Tr)-D(G)$ and the eigenvalues of $D^{L}(G)$ are called the distance Laplacian eigenvalues of $G$. Let $\partial_{1}^{L}(G)\geq \partial_{2}^{L}(G)\geq \dots \geq \partial_{n}^{L}(G)$ be the distance Laplacian eigenvalues of $G$. Given an interval $I$, let $m_{D^{L} (G)} I$ (or simply $m_{D^{L} } I$) be the number of distance Laplacian eigenvalues of $G$ which lie in the interval $I$. For a…
Interpreting the (signed) chromatic polynomial coefficients via hyperplane arrangements
本文利用超平面排列的投影统计量，给出色多项式系数解释的替代证明，并将其推广至带符号图及辫子排列等情形。
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