Loop zero forcing and grundy domination in planar graphs and claw-free cubic graphs
给定一个具有顶点集$V(G)$的简单有限图，我们定义$G$的迫零集如下。选择$S\subseteq V(G)$并将$S$的所有顶点着色为蓝色，将所有顶点着色为$V(G) - S$白色。颜色变化规则是如果$w$是蓝色顶点$v$的唯一白色邻居，则将$w$的颜色从白色变为蓝色。如果在尽可能多地应用颜色变化规则之后，最终$G$的每个顶点都是蓝色的，则我们称$S$为$G$的迫零集。$Z(G)$表示迫零集的最小基数。Davila和Henning在\cite{zerocubic}中证明了对任意无爪三次图$G$，$Z(G) \le \frac{1}{3}|V(G)| + 1$ .我们证明了如果$G$是$2$ -边连通的、无爪的和立方的，则$Z(G) \le \left\lceil\frac{5n(G)}{18}\right\rceil+1$。我们还研究了一个类似的图不变量称为循环迫零数的图$G$这恰好是对偶不变量的Grundy控制数的$G$。特别地，我们研究了两种特殊类型的可平面图中的圈迫零数。
2022-12-01 math.CO
Dominating sequences under atomic changes with applications in Sierpiński and interval graphs
图$G$的不同顶点的序列$S=(v_1,\ldots,v_k)$称为合法序列，如果对任何$i$有$N[v_i] \setminus \cup_{j=1}^{i-1}N[v_j]\not=\emptyset$。图$G$中合法（控制）序列的最大长度称为图的Grundy控制数$γ_{gr}(G)$。已知确定Grundy控制数的问题一般是NP-完全的，而对于树和其他一些图类，存在有效的算法。本文给出了求区间图Grundy控制数的一个有效算法。我们还证明了任意Sierpienski图$S_p^n$的Grundy控制数的精确值，并给出了构造相应序列的算法。这些结果是利用本文的主要结果得到的，这些结果是点和边去除图的Grundy控制数的精确界。也就是说，给定一个图$G$，$e\in E(G)$和$u\in V(G)$，我们证明了$γ_{gr}(G)-1\le γ_{gr}(G-e) \le γ_{gr}(G)+1$和$γ_{gr}(G)-2\le γ_{gr}(G-u) \le γ_{gr}(G)$。对于每一个边界都存在图，其中所有三种可能性分别发生在不同的边和顶点上。
2016-03-16 math.CO
Grundy domination of forests and the strong product conjecture
图$G$中顶点的最大序列$S$，使得$S$中的每个顶点都有一个独立于或自身独立于$S$中所有先前顶点的邻居，称为Grundy控制序列。Grundy控制数$γ_{gr}(G)$是$S$的长度。我们表明，对于任何森林$F$，$γ_{gr}(F)=|V(T)|-|\mathcal{P}|$，其中$\mathcal{P}$是一个最小的分区的非孤立顶点的$F$到毛虫，如果两个毛虫的$\mathcal{P}$有一个边缘之间的$F$，那么这样的边缘必须入射到一个非叶顶点的毛虫中的至少一个。我们利用这个结果证明了B的强乘积猜想。布雷沙角Bujtás，T. Gologranc，S.克拉瓦扎尔湾科什姆尔利湾帕科斯僵尸Tuza和M.张文，张文，等。23（4）：P4.34（2016），所有森林。也就是说，我们表明，对于任何森林$G$和图$H$，$γ_{gr}(G \boxtimes H) = γ_{gr}(G) γ_{gr}(H)$。我们还证明了每个连通图$G$都有一个生成树$T$，使得$γ_{gr}(G)\le γ_{gr}(T)$和每个非完全连通图都包含一个Grundy控制集$S$，使得$S$的导出子图不包含孤立点.
2021-04-12 math.CO
On graphs with equal total domination and Grundy total domination number
图$G$中没有孤立点的顶点序列$(v_1,\ldots ,v_k)$称为全控制序列，如果序列中的每个顶点$v_i$完全控制至少一个不被$\{v_1,\ldots , v_{i-1}\}$完全控制的顶点，并且$\{v_1,\ldots ,v_k\}$是$G$的全控制集.最短的这样的序列的长度是G（$γ_t(G)$）的总控制数，而最长的这样的序列的长度是$G$（$γ_{gr}^t(G)$）的Grundy总控制数。本文研究了具有相等和Grundy全控制数的图.刻画了全控制数和Grundy全控制数均为4的二部图，证明了不存在具有$γ_t(G)=γ_{gr}^t(G)=4$的连通弦图$G$.本文的主要结果是一个经常二部图与$γ_t(G)=γ_{gr}^t(G)=6$证明建立一个令人惊讶的对应关系存在这样的图形和一个经典的，但仍然存在的问题，某些有限的射影平面的特征。
2019-06-28 math.CO
Extending Grundy domination to $k$-Grundy domination
图$G = (V,E)$的Grundy控制数是对每个$i \in [k]$满足$N[v_i] \setminus \cup_{j=1}^{i-1}N[v_j] \neq \emptyset$的最长唯一顶点序列$S = (v_1, \ldots, v_k)$的长度。最近，这个概念的推广称为$k$ -Grundy支配。在$k$ -Grundy支配中，如果顶点$v$具有邻居$u$，使得$u$出现在少于$S$的$k$顶点的闭合邻域中，则顶点$v$可以包括在$S$中。本文确定了图族的$k$ -Grundy控制数，给出了图族的$k$ - $L$ -Grundy控制数的度上界，并定义了图族的$k$ - $Z$ -Grundy控制数与图族的$k$ -强迫数之间的关系.
2022-12-19 math.CO
Total Dominating Sequences in Graphs
图中的一个顶点完全支配另一个顶点，如果它们是相邻的。图$G$中的一个顶点序列称为全控制序列，如果序列中的每个顶点$v$都完全控制至少一个不被序列中任何在$v$之前的顶点完全控制的顶点，并且在序列的最后，$G$的所有顶点都是完全控制的.当最短序列的长度是$G$的全控制数时，本文研究了最大长度的全控制序列，我们称之为$G$的Grundy全控制数，$γ_{\rm gr}^t(G)$.我们提供了一个表征的图形$G$为$γ_{\rm gr}^t(G)=|V(G)|$和那些为$γ_{\rm gr}^t(G)=2$。证明了若$T$是一个非平凡的~ $n$阶树，且其顶点不具有两个或两个以上的叶邻居，则有$γ_{\rm gr}^t(T) \ge \frac{2}{3}(n+1)$，并刻画了其极值树.证明了对$k \ge 3$，若$G$是一个连通的$k$ -正则图，其序为$n$，序为$K_{k,k}$，则$γ_{\rm gr}^t(G) \ge (n + \lceil \frac{k}{2} \rceil - 2)/(k-1)$（若$G$不是二部图）和$γ_{\rm gr}^t(G) \ge (n + 2\lceil \frac{k}{2} \rceil - 4)/(k-1)$（若$G$是二部图）.证明了Grundy全控制数由Grundy控制数的两倍有界，而前者的不变量可以任意小于后者。最后，建立了与…
2016-01-27 math.CO
Total dominating sequences in trees, split graphs, and under modular decomposition
一个图$G$中没有孤立点的顶点序列称为全控制序列，如果序列中的每个顶点都完全控制至少一个不完全被序列中的前一个顶点控制的顶点，并且在末端$G$的所有顶点都是全控制的（根据定义，一个顶点完全控制它的邻居）。全控制序列的最大长度称为$G$的Grundy全控制数，$γ_{\rm gr}^t(G)$，如[B. Brešar，M.A. Henning和D. F. Rall，Total dominant sequences in graphs，Discrete Math.339（2016），1165- 1676].在本文中，我们继续调查这一概念，主要是从算法的角度来看。虽然它是已知的，决策版本的问题是NP-完全的二分图，我们表明，这也是真的，如果我们限制分裂图。基于公式$γ_{\rm gr}^t(T)=2τ(T)$，给出了一个确定任意树$T$的Grundy全控制数的线性时间算法，其中$τ(T)$是$T$的顶点覆盖数.对二部距离遗传图给出了一个类似的有效算法。使用图的模块化分解，我们提出了一个框架，获得多项式算法，这个问题的类图具有相对简单的模块化子图。特别地，给出了一个确定$P_4$ -整洁图的Grundy全控制数的线性算法.此外，我们证明了一个实现的结果，展示了一个家庭的图$G_k$，使$γ_{\rm gr}^t(G_k)=k$，对任何$k\in{\mathbb{Z}^+}\setminus…
2016-08-24 math.CO
Grundy Total Domination and Skew Zero Forcing in Cartesian Products of Paths and Cycles
National Dong Hwa University（东华大学）
该研究确定了路径与路径、路径与循环、循环与循环的笛卡尔积图的Grundy全支配数与斜零强制数，填补了相关界的空白并给出匹配的上下界。
2026-08-31 math.CO
A note concerning the Grundy and ${\rm b}$-chromatic number of graphs
图$G$的Grundy数是$G$的首次拟合着色所使用的颜色的最大数量，并且用$Γ(G)$表示。类似地，$G$的${\rm b}$ -色数${\rm{b}}(G)$表示另一个众所周知的着色过程的最坏情况行为，即$G$的颜色主导着色。我们得到了一些图族$\mathcal{F}$，对于这些图族，存在一个函数$f(x)$，使得对每个图$G$，有$Γ(G)\leq f({\rm{b}}(G))$.将任何这样的族称为$(Γ,b)$ -有界族。我们猜想${\rm b}$ -单调图族是$(Γ,b)$ -有界的，并对某些图族验证了这个猜想.
2020-03-31 math.CO
On the Parameterized Complexity of Grundy Domination and Zero Forcing Problems
Brandenburg University of Technology（勃兰登堡工业大学）
本文研究了Grundy支配和零强迫问题的参数复杂性，证明了四种变体均为W[1]-完全，同时扩展了零强迫问题的参数结果，揭示了L-Grundy支配问题的W[1]-难性。
2026-04-28 cs.CC cs.DM cs.DS
A Proof of the Grundy domination strong product conjecture
单图$G = (V,E)$的Grundy控制数是最长的唯一顶点序列$S = (v_1, \ldots, v_k)$，$v_i \in V$的长度，它满足每个$i \in [k]$的性质$N[v_i] \setminus \cup_{j=1}^{i-1}N[v_j] \neq \emptyset$。这里，是$N(v) = \{u : uv \in E\}$和$N[v] = N(v) \cup \{v\}$。本文证明了最近关于两个图的强积的Grundy控制数的一个猜想。然后，我们讨论了这个结果与图的强积的迫零数的关系。
2023-01-12 math.CO
On Grundy total domination number in product graphs
图$G$的顶点的最长序列$(v_1,\ldots,v_k)$是$G$的Grundy全控制序列，如果对所有$i$，有$N(v_i) \setminus \bigcup_{j=1}^{i-1}N(v_j)\not=\emptyset$ .序列的长度$k$称为$G$的Grundy全控制数，记为$γ_{gr}^{t}(G)$。本文研究了四种标准积图的Grundy全控制数。对于直积，我们证明了$γ_{gr}^t(G\times H) \geq γ_{gr}^t(G)γ_{gr}^t(H)$，猜想等式总是成立，并在几种特殊情况下证明了猜想。对于字典序积，我们用因子的相关不变量来表示$γ_{gr}^t(G\circ H)$，并给出了它的一些显式公式，对于强积，我们证明了$γ_{gr}^t(G \boxtimes H)$的下界以及路和圈的积的上界.对于笛卡儿积，我们证明了当因子是路或圈时，Grundy全控制数的上下界。
2017-12-23 math.CO
Grundy double domination number: bounds, graph operations, and efficient computation for $P_4$-tidy graphs
本文研究了 Grundy 双控制数（GDDN），建立了其一般紧致界，刻画了删点图与联图的双控制序列，并证明了在 $P_4$-tidy 图上计算 GDDN 是线性的，解决了先前针对 cographs 提出的开放问题。
2025-06-26 math.CO
On Grundy and b-chromatic number of some families of graphs: a comparative study
本文比较研究图的 Grundy 数与 b-色数，构造二者背离的图序列，并证明若干图族中 Grundy 数可由 b-色数的函数控制，从而验证相关猜想。
2020-12-18 math.CO
Zero Forcing sets and Power Dominating sets of cardinality at most 2
设$S$是图$G$的顶点集。假设$cl(S)$是通过迭代地应用以下传播规则从$S$构建的顶点集：如果顶点及其所有邻居（除了恰好一个）都在$cl(S)$中，则剩余的邻居也在$cl(S)$中。如果$cl(S)=V(G)$，则集合$S$称为$G$的迫零集合。$G$的迫零数$Z(G)$是迫零集合的最小基数。令$cl(N[S])$为通过迭代地应用先前的传播规则从$S$的闭合邻域$N[S]$构建的顶点集。一个集合$S$称为$G$的幂控制集，如果$cl(N[S])=V(G)$。$G$的幂控制数$\gp(G)$是幂控制集的最小基数。本文刻画了所有图$G$的集合，其中$Z(G)=2$。另一方面，我们提出了各种充分和/或必要条件的图$G$满足$1 \le \gp(G) \le 2$。
2019-08-08 math.CO
Total $k$-Uniform Graphs
图$G$中的一个顶点序列称为全控制序列，如果序列中的每个顶点$v$都有一个邻点不与序列中的$v$之前的顶点相邻，并且在序列的末尾，$G$的每个顶点至少有一个邻点.全控制序列的最小和最大长度分别是$G$的全控制数（用$γ_t(G)$表示）和$G$的Grundy全控制数（用$γ_{gr}^t(G)$表示）。本文研究了具有相等全控制数和Grundy全控制数的图。对于每一个正整数$k$，如果$γ_t(G)=γ_{gr}^t(G)=k$，则称$G$为全$k$ -一致图.证明了当$k$为奇数时，不存在全$k$ -一致图.此外，我们还提出了一个全4-一致图，它是T. Gologranc等人的研究，并给出了一个连通全8-一致图.此外，我们还证明了对于每个偶图$k$，每个全$k$ -均匀连通无伪孪生图都是正则的.证明了不存在具有$k\geq 4$的全$k$ -一致弦连通图，并刻画了全$k$ -一致弦连通图.
2020-10-27 math.CO
Restricted power domination and zero forcing problems
图中的功率支配产生于通过在系统中放置尽可能少的测量设备来监控电力系统的问题。图的功率支配集是观察图中的每个顶点的顶点的集合，遵循用于电力系统监视的一组规则。感兴趣的实际问题是确定当网络扩展并且现有设备保持在适当位置时监视电力网络所需的附加测量设备的最小数量。本文研究了求包含给定顶点集X的最小幂控制集的问题。我们还研究了相关的问题，找到最小的迫零集，包含一个给定的一组顶点X。图G中这类集合的大小分别称为图G受X约束的限制幂控制数和限制迫零数。我们得到了图的受限幂控制数和迫零数的几个紧界，并将它们与图的其他参数联系起来。我们还提出了精确的和算法的结果计算的限制功率控制数，包括整数规划一般图和有界树宽的图的线性时间算法。我们还使用限制的权力控制，以获得一个并行算法，寻找最小权力控制集的树。
2017-11-14 math.CO
Isomorphisms and properties of TAR reconfiguration graphs for zero forcing and other $X$-set parameters
$X$ -TAR（令牌添加/移除）重新配置图具有满足某个属性$X$的顶点集，如果一个集合是通过添加或移除一个元素从另一个集合获得的，则在两个集合之间具有边。本文考虑基图$G$的点集$X-$的$X$-TAR图，其中$G$的$X$ -集必须满足一定的条件.控制集、幂控制集、迫零集和半正定迫零集都是$X$ -集的例子。对于没有孤立点的图$G$和$G'$，证明了$G$和$G'$具有同构的$X$-TAR重构图当且仅当存在$G'$的顶点的重新标号使得$G$和$G'$具有完全相同的$X$ -集.为了便于分析$X$ -TAR图的同构，引入了$X$ -无关顶点的概念.进一步，给出了迫零TAR图的连通性的相关结果。我们提出了家庭的图，超过已知的连通性参数的下界。
2022-05-19 math.CO
Zero forcing irredundant sets
Iowa State University（爱荷华州立大学）；American Institute of Mathematics（美国数学研究所）；Stellenbosch University（斯泰伦博斯大学）
本文引入零强迫集的不可约性概念，定义了上界和下界零强迫不可约数，并研究了其性质及图运算的影响。
2026-03-30 math.CO
Dom-forcing sets in graphs
该研究提出图的dom-forcing集与dom-forcing数的概念，探究该参数的性质，并给出若干经典图对应的dom-forcing数的精确值。
2024-11-01 math.CO
Connected dom-forcing sets in graphs
本研究提出图的连通支配强迫数Fcd(G)的概念，探究其性质特征，并求解多种经典图及图乘积的连通支配强迫数具体值，丰富图论中强迫集相关理论。
2025-05-16 math.CO
Some Families of Graphs with Small Power Domination Number
设$ G $是一个顶点集为$ V(G) $的图，$ S $是$ V(G) $的子集.假设$cl(S)$是从$S$构建的顶点集，通过迭代地应用以下传播规则：如果一个顶点及其所有邻居（除了其中一个）都在$ cl(S) $中，则例外邻居也在$ cl(S) $中。如果$cl(S)=V(G)$成立，则集合$S$称为$G$的迫零集合。$G$的迫零数$Z(G)$是迫零集合的最小基数。令$cl(N[S])$为通过迭代地应用先前的传播规则从$S$的闭合邻域$N[S]$构建的顶点集。一个集合$S$称为$G$的一个幂控制集，如果$cl(N[S])=V(G)$。$G$的幂控制数$γ_p (G)$是幂控制集的最小基数。本文给出了幂控制数为1或2的图族。
2021-06-25 math.CO
The polytope of legal sequences
一个图中的顶点序列称为\emph{(total) legal dominating sequence}，如果序列中的每个顶点（总）支配至少一个不被在它之前的顶点支配的顶点，并且在最后图的所有顶点都（完全）支配。图的\emph{Grundy (total) domination number}是图的最大（总）合法控制序列的大小。在这项工作中，我们解决的问题，确定这两个参数，通过引入一个广义的版本。我们明确计算相应的（一般）参数的路径和网络图。我们提出了整数规划配方的新问题，我们研究的多面体与其中之一。我们发现家庭的有效的不平等和条件下，他们是刻面定义。最后，我们进行计算实验比较配方，以及测试有效的不等式切割的B\&C框架。
2018-11-29 cs.DM math.CO
The relationship between $k$-forcing and $k$-power domination
迫零和幂控制是图上的迭代过程，其中观察到初始顶点集，并且基于某些规则观察到额外的顶点。在这两种情况下，目标都是使用最少数量的初始顶点来最终观察整个图。Chang等人在[Generalized power dominance in graphs，{ \it Discrete Applied Math.} 160（2012）1691-1698]作为幂支配和标准图支配的推广。独立地，Amos等人在[图的$k$ -强迫数的上界，{ \it离散应用数学}中定义了$k$ -强迫。181（2015）1-10]来推广迫零。本文将$k$ -强迫过程和$k$ -功率控制过程的研究结合起来，为分析这两个过程提供了一种新的方法.我们给出了图的$k$ -强迫和$k$ -幂控制数之间的关系，其中一个图以另一个图为界。我们还得到的结果，使用收缩的子图，允许并行计算的$k$ -强迫和$k$ -电源控制集。
2017-03-01 math.CO
Covering the Baire space by families which are not finitely dominating
Baire空间中的max{b，g}个非双支配族的并不是支配族是相容的（相对于ZFC）。特别地，对于每个非主超滤子U，约化超幂w^w/U的共尾性大于max{b，g}是一致的。该模型是由预言链条件强制构造的，我们给出了一个完整的介绍。
2010-10-31 math.CO math.GN math.LO
Optimal Sensor Placement in Power Grids: Power Domination, Set Covering, and the Neighborhoods of Zero Forcing Forts
为了监控整个电网的电气活动并减少停电，可以安装称为相量测量单元的传感器。由于实施成本的原因，期望在确保可以有效地监测电网的同时最小化部署的传感器的数量。这个优化问题激发了图论的幂支配集问题。在本文中，我们提出了一个新的整数规划识别最小功率控制集，制定了一个集覆盖问题。这个问题的约束对应于迫零的邻域;我们研究了它们的结构特性，并表明它们可以分离，从而可以通过行生成来解决所提出的模型。在几个计算实验中，所提出的方法始终表现出一个数量级的改善，在运行时的性能的建议和现有的方法进行了比较。
2020-06-04 cs.DM cs.DS math.CO
On the spectrum of the forced matching number of graphs
设$G$是一个允许完美匹配的图。用于$G$的完美匹配$M$的{ \sf强制集}是$M$的子集$S$，使得$S$不包含在$G$的其它完美匹配中。这一概念最初出现在化学中的分子共振结构的研究中。类似的概念已经在名称为{ \sf defining set}的区组设计和图着色中以及在名称为{ \sf临界集}的拉丁方中进行了研究。最近几篇论文出现在研究强迫集的其他图论概念，如控制集，方向和测地学。虽然在化学的背景下已经有一些研究强迫六角系统的匹配集，但只有少数其他类别的图被考虑过。本文研究了网格$P_m \times P_n$的可能强迫匹配数的谱，讨论了某些特殊图类的强迫集的概念，并证明了求图的最小强迫数的问题是\NP -完全的.
2009-03-14 math.CO
Four Dominion Growth Regimes in Trees: Forcing, Fibonacci Enumeration, Periodicity, and Stability
Elizabeth City State University（伊丽莎白城州立大学）
本文研究了树中支配集的增长模式，揭示了不同构造方式对支配集数量的影响，并证明了完全二叉树中支配域的周期性规律及稳定性边界。
2026-01-07 cs.DM math.CO
Graphs which satisfy a Vizing-like bound for power domination of Cartesian products
权力支配是一个两步的观察过程，用于监测电力网络，可以被视为支配和零强迫的组合。给定一个图$G$，一个子集$S\subseteq V(G)$，它可以观察到$G$的所有顶点使用这个过程被称为$G$的一个功率控制集，和$G$的功率控制数，$γ_P(G)$，是在一个功率控制集中的顶点的最小数目。我们在图的顶点上引入一种新的划分，从而给出了幂控制数的一个下界。我们还考虑了两个图的笛卡儿积$G \Box H$的幂控制数，并证明了某些图满足关于幂控制数的类Vizing界。特别地，我们证明了对于任意两棵树$T_1$和$T_2$，$γ_P(T_1)γ_P(T_2) \leq γ_P(T_1 \Box T_2)$ .
2022-09-08 math.CO
