Grundy domination of forests and the strong product conjecture
图$G$中顶点的最大序列$S$，使得$S$中的每个顶点都有一个独立于或自身独立于$S$中所有先前顶点的邻居，称为Grundy控制序列。Grundy控制数$γ_{gr}(G)$是$S$的长度。我们表明，对于任何森林$F$，$γ_{gr}(F)=|V(T)|-|\mathcal{P}|$，其中$\mathcal{P}$是一个最小的分区的非孤立顶点的$F$到毛虫，如果两个毛虫的$\mathcal{P}$有一个边缘之间的$F$，那么这样的边缘必须入射到一个非叶顶点的毛虫中的至少一个。我们利用这个结果证明了B的强乘积猜想。布雷沙角Bujtás，T. Gologranc，S.克拉瓦扎尔湾科什姆尔利湾帕科斯僵尸Tuza和M.张文，张文，等。23（4）：P4.34（2016），所有森林。也就是说，我们表明，对于任何森林$G$和图$H$，$γ_{gr}(G \boxtimes H) = γ_{gr}(G) γ_{gr}(H)$。我们还证明了每个连通图$G$都有一个生成树$T$，使得$γ_{gr}(G)\le γ_{gr}(T)$和每个非完全连通图都包含一个Grundy控制集$S$，使得$S$的导出子图不包含孤立点.
2021-04-12 math.CO
On graphs with equal total domination and Grundy total domination number
图$G$中没有孤立点的顶点序列$(v_1,\ldots ,v_k)$称为全控制序列，如果序列中的每个顶点$v_i$完全控制至少一个不被$\{v_1,\ldots , v_{i-1}\}$完全控制的顶点，并且$\{v_1,\ldots ,v_k\}$是$G$的全控制集.最短的这样的序列的长度是G（$γ_t(G)$）的总控制数，而最长的这样的序列的长度是$G$（$γ_{gr}^t(G)$）的Grundy总控制数。本文研究了具有相等和Grundy全控制数的图.刻画了全控制数和Grundy全控制数均为4的二部图，证明了不存在具有$γ_t(G)=γ_{gr}^t(G)=4$的连通弦图$G$.本文的主要结果是一个经常二部图与$γ_t(G)=γ_{gr}^t(G)=6$证明建立一个令人惊讶的对应关系存在这样的图形和一个经典的，但仍然存在的问题，某些有限的射影平面的特征。
2019-06-28 math.CO
Total Dominating Sequences in Graphs
图中的一个顶点完全支配另一个顶点，如果它们是相邻的。图$G$中的一个顶点序列称为全控制序列，如果序列中的每个顶点$v$都完全控制至少一个不被序列中任何在$v$之前的顶点完全控制的顶点，并且在序列的最后，$G$的所有顶点都是完全控制的.当最短序列的长度是$G$的全控制数时，本文研究了最大长度的全控制序列，我们称之为$G$的Grundy全控制数，$γ_{\rm gr}^t(G)$.我们提供了一个表征的图形$G$为$γ_{\rm gr}^t(G)=|V(G)|$和那些为$γ_{\rm gr}^t(G)=2$。证明了若$T$是一个非平凡的~ $n$阶树，且其顶点不具有两个或两个以上的叶邻居，则有$γ_{\rm gr}^t(T) \ge \frac{2}{3}(n+1)$，并刻画了其极值树.证明了对$k \ge 3$，若$G$是一个连通的$k$ -正则图，其序为$n$，序为$K_{k,k}$，则$γ_{\rm gr}^t(G) \ge (n + \lceil \frac{k}{2} \rceil - 2)/(k-1)$（若$G$不是二部图）和$γ_{\rm gr}^t(G) \ge (n + 2\lceil \frac{k}{2} \rceil - 4)/(k-1)$（若$G$是二部图）.证明了Grundy全控制数由Grundy控制数的两倍有界，而前者的不变量可以任意小于后者。最后，建立了与…
2016-01-27 math.CO
Total dominating sequences in trees, split graphs, and under modular decomposition
一个图$G$中没有孤立点的顶点序列称为全控制序列，如果序列中的每个顶点都完全控制至少一个不完全被序列中的前一个顶点控制的顶点，并且在末端$G$的所有顶点都是全控制的（根据定义，一个顶点完全控制它的邻居）。全控制序列的最大长度称为$G$的Grundy全控制数，$γ_{\rm gr}^t(G)$，如[B. Brešar，M.A. Henning和D. F. Rall，Total dominant sequences in graphs，Discrete Math.339（2016），1165- 1676].在本文中，我们继续调查这一概念，主要是从算法的角度来看。虽然它是已知的，决策版本的问题是NP-完全的二分图，我们表明，这也是真的，如果我们限制分裂图。基于公式$γ_{\rm gr}^t(T)=2τ(T)$，给出了一个确定任意树$T$的Grundy全控制数的线性时间算法，其中$τ(T)$是$T$的顶点覆盖数.对二部距离遗传图给出了一个类似的有效算法。使用图的模块化分解，我们提出了一个框架，获得多项式算法，这个问题的类图具有相对简单的模块化子图。特别地，给出了一个确定$P_4$ -整洁图的Grundy全控制数的线性算法.此外，我们证明了一个实现的结果，展示了一个家庭的图$G_k$，使$γ_{\rm gr}^t(G_k)=k$，对任何$k\in{\mathbb{Z}^+}\setminus…
2016-08-24 math.CO
A note concerning the Grundy and ${\rm b}$-chromatic number of graphs
图$G$的Grundy数是$G$的首次拟合着色所使用的颜色的最大数量，并且用$Γ(G)$表示。类似地，$G$的${\rm b}$ -色数${\rm{b}}(G)$表示另一个众所周知的着色过程的最坏情况行为，即$G$的颜色主导着色。我们得到了一些图族$\mathcal{F}$，对于这些图族，存在一个函数$f(x)$，使得对每个图$G$，有$Γ(G)\leq f({\rm{b}}(G))$.将任何这样的族称为$(Γ,b)$ -有界族。我们猜想${\rm b}$ -单调图族是$(Γ,b)$ -有界的，并对某些图族验证了这个猜想.
2020-03-31 math.CO
On Grundy total domination number in product graphs
图$G$的顶点的最长序列$(v_1,\ldots,v_k)$是$G$的Grundy全控制序列，如果对所有$i$，有$N(v_i) \setminus \bigcup_{j=1}^{i-1}N(v_j)\not=\emptyset$ .序列的长度$k$称为$G$的Grundy全控制数，记为$γ_{gr}^{t}(G)$。本文研究了四种标准积图的Grundy全控制数。对于直积，我们证明了$γ_{gr}^t(G\times H) \geq γ_{gr}^t(G)γ_{gr}^t(H)$，猜想等式总是成立，并在几种特殊情况下证明了猜想。对于字典序积，我们用因子的相关不变量来表示$γ_{gr}^t(G\circ H)$，并给出了它的一些显式公式，对于强积，我们证明了$γ_{gr}^t(G \boxtimes H)$的下界以及路和圈的积的上界.对于笛卡儿积，我们证明了当因子是路或圈时，Grundy全控制数的上下界。
2017-12-23 math.CO
Grundy double domination number: bounds, graph operations, and efficient computation for $P_4$-tidy graphs
本文研究了 Grundy 双控制数（GDDN），建立了其一般紧致界，刻画了删点图与联图的双控制序列，并证明了在 $P_4$-tidy 图上计算 GDDN 是线性的，解决了先前针对 cographs 提出的开放问题。
2025-06-26 math.CO
Extending Grundy domination to $k$-Grundy domination
图$G = (V,E)$的Grundy控制数是对每个$i \in [k]$满足$N[v_i] \setminus \cup_{j=1}^{i-1}N[v_j] \neq \emptyset$的最长唯一顶点序列$S = (v_1, \ldots, v_k)$的长度。最近，这个概念的推广称为$k$ -Grundy支配。在$k$ -Grundy支配中，如果顶点$v$具有邻居$u$，使得$u$出现在少于$S$的$k$顶点的闭合邻域中，则顶点$v$可以包括在$S$中。本文确定了图族的$k$ -Grundy控制数，给出了图族的$k$ - $L$ -Grundy控制数的度上界，并定义了图族的$k$ - $Z$ -Grundy控制数与图族的$k$ -强迫数之间的关系.
2022-12-19 math.CO
On Grundy and b-chromatic number of some families of graphs: a comparative study
本文比较研究图的 Grundy 数与 b-色数，构造二者背离的图序列，并证明若干图族中 Grundy 数可由 b-色数的函数控制，从而验证相关猜想。
2020-12-18 math.CO
A Proof of the Grundy domination strong product conjecture
单图$G = (V,E)$的Grundy控制数是最长的唯一顶点序列$S = (v_1, \ldots, v_k)$，$v_i \in V$的长度，它满足每个$i \in [k]$的性质$N[v_i] \setminus \cup_{j=1}^{i-1}N[v_j] \neq \emptyset$。这里，是$N(v) = \{u : uv \in E\}$和$N[v] = N(v) \cup \{v\}$。本文证明了最近关于两个图的强积的Grundy控制数的一个猜想。然后，我们讨论了这个结果与图的强积的迫零数的关系。
2023-01-12 math.CO
The polytope of legal sequences
一个图中的顶点序列称为\emph{(total) legal dominating sequence}，如果序列中的每个顶点（总）支配至少一个不被在它之前的顶点支配的顶点，并且在最后图的所有顶点都（完全）支配。图的\emph{Grundy (total) domination number}是图的最大（总）合法控制序列的大小。在这项工作中，我们解决的问题，确定这两个参数，通过引入一个广义的版本。我们明确计算相应的（一般）参数的路径和网络图。我们提出了整数规划配方的新问题，我们研究的多面体与其中之一。我们发现家庭的有效的不平等和条件下，他们是刻面定义。最后，我们进行计算实验比较配方，以及测试有效的不等式切割的B\&C框架。
2018-11-29 cs.DM math.CO
Total $k$-Uniform Graphs
图$G$中的一个顶点序列称为全控制序列，如果序列中的每个顶点$v$都有一个邻点不与序列中的$v$之前的顶点相邻，并且在序列的末尾，$G$的每个顶点至少有一个邻点.全控制序列的最小和最大长度分别是$G$的全控制数（用$γ_t(G)$表示）和$G$的Grundy全控制数（用$γ_{gr}^t(G)$表示）。本文研究了具有相等全控制数和Grundy全控制数的图。对于每一个正整数$k$，如果$γ_t(G)=γ_{gr}^t(G)=k$，则称$G$为全$k$ -一致图.证明了当$k$为奇数时，不存在全$k$ -一致图.此外，我们还提出了一个全4-一致图，它是T. Gologranc等人的研究，并给出了一个连通全8-一致图.此外，我们还证明了对于每个偶图$k$，每个全$k$ -均匀连通无伪孪生图都是正则的.证明了不存在具有$k\geq 4$的全$k$ -一致弦连通图，并刻画了全$k$ -一致弦连通图.
2020-10-27 math.CO
Unique paired vs edge-vertex minimum dominating sets in trees
本文证明了树中唯一最小边顶支配集与唯一最小配对支配集的等价性。
2025-11-28 math.CO
Locating-dominating sets and identifying codes in graphs of girth at least 5
定位控制集和识别码是分离系统领域中两个密切相关的概念。粗略地说，它们存在于图的控制集中，使得每个顶点在控制集中由其邻域唯一标识。本文研究了围长至少为5的给定最小度图的最小定位控制集或识别码的大小。我们使用顶点不相交路径的技术来提供这样的集合的最小尺寸的上界，并构造接近满足这些界限的图。
2015-11-24 cs.DM math.CO
Maximal bipartite graphs with a unique minimum dominating set
Rochester Institute of Technology（罗切斯特理工学院）
本文研究了具有唯一最小支配集的二部图的最大边数界限，提出了紧的边数上界猜想，并在γ=2和n=3γ情况下证明了该界限成立，同时探讨了完美支配与极图构造的关系。
2025-11-03 math.CO
Locating-Dominating Sets and Identifying Codes of a Graph Associated to a Finite Vector Space
本文研究了Das \cite{Das}在有限向量空间中引入的图的顶点覆盖问题，使得我们可以通过检查覆盖它的顶点来唯一地识别任何顶点，我们使用了与此密切相关的定位控制集和识别码.这些集合由图的一个控制集组成，使得每个顶点在控制集中由其邻域唯一标识。给出了图的位置控制数和识别数，并研究了图的位置控制集和识别码的交换性质。
2017-01-30 math.CO
Domination and location in twin-free digraphs
有向图中的控制集$D$是一组顶点，使得每个顶点要么在$D$中，要么在$D$中有一个内邻点。有向图的控制集$D$是位置控制的，如果每个不在$D$中的顶点在$D$中有唯一的内邻集.有向图$G$的位置控制数$γ_L(G)$是$G$的位置控制集的最小大小。我们根据$G$的阶研究了$γ_L(G)$的上界.我们刻画了位置控制数等于阶数或阶数减1的有向图。这样的有向图总是有许多孪生：顶点具有相同的（开或闭）内邻域。因此，我们研究了在没有孪生子的情况下$γ_L(G)$的值，并给出了利用特殊控制集构造小定位控制集的一般方法。证明了对每一个$n$阶的无孪生有向图$G$，$γ_L(G)\leq\frac{4n}{5}$成立，并且存在有$γ_L(G)=\frac{2(n-2)}{3}$阶的无孪生有向图$G$.此外，如果$G$是竞赛图或非循环的，则界改进为$γ_L(G)\leq\lceil\frac{n}{2}\rceil$，这在两种情况下都是紧的。
2020-12-05 cs.DM math.CO
Independent Domination in Directed Graphs
本文对有向图的独立控制问题进行了初步的研究。我们证明了图的定向的独立控制集也是底层图的独立控制集，但反之一般不成立。然后，我们证明了几类有向图的存在性和唯一性定理，包括完全图、路、树、DAG、圈和二部图的定向。我们还提供了一些特殊情况下，这些家庭的有向图的idomatic数。
2019-09-11 cs.DM math.CO
Efficient $k$-limited Dominating Broadcasts in Product Graphs
本文提出高效 k-限支配广播（k-ELDB）概念，统一高效支配集与 k-限支配广播，证明确定 mcr(G) 对一般图是 NP-完全的，并研究标准图及其乘积图上的 mcr(G) 值。
2025-02-06 cs.DM math.CO
New results on metric-locating-dominating sets of graphs
一个图的控制集$S$是一个度量定位控制集，如果图的每个顶点与$S$中元素的距离是唯一可区分的，这样一个控制集的最小基数称为度量定位控制数。在本文中，我们进行了一项研究，在一般图和特定族中，将度量定位控制集与其他特殊集：分解集、控制集、定位控制集和双重分解集联系起来。我们首先根据树的度量-位置-控制数与度量维数和控制数之间的关系刻画了树类。然后，我们给出了度量定位控制集到定位控制集和双可解集的不同转化方法。我们的方法产生新的界限上的最小基数的所有这些集，其中一些涉及的参数还没有相关到目前为止。
2016-04-13 math.CO
Perfect Roman Domination and Unique Response Roman Domination
本文利用多项式时间可解的扩展问题，通过构造双射证明了完美和唯一响应罗马支配函数可多项式延迟枚举，并揭示了二者在分裂图上的复杂性差异。
2023-09-13 cs.CC cs.DM math.CO
Nordhaus-Gaddum bounds for locating domination
图G的一个控制集S称为度量定位控制集，如果它也是定位的，即如果每个顶点v都由它到S中顶点的距离向量唯一确定。此外，如果每个不在S中的顶点v也由v属于S的邻居集唯一确定，则称它是定位控制的。最小基数的定位、度量定位控制和定位控制集分别称为b-码、e-码和l-码。Nordhaus-Gaddum界是图G与其补图G的参数之和或乘积的紧下界或上界。本文给出了位置数b、度量位置数e和位置控制数l的Nordhaus-Gaddum界。此外，在每种情况下，图族达到相应的界限的特点。
2012-07-27 math.CO
Locating Dominating Sets in local tournaments
有向图中的支配集是一个顶点集$S$，使得所有不属于$S$的顶点在$S$中都有一个近邻。定位集$S$是这样的顶点集，使得所有不属于$S$的顶点由它们在$S$中具有的内邻居唯一地表征，即，对于不在$S$中的每两个顶点$u$和$v$，存在正好支配它们中的一个的顶点$s\in S$。同时具有定位性和支配性的有向图$D$的最小集合的大小由$γ^{LD}(D)$表示。Foucaud，Heydarshahi和Parreau证明了任意无孪生有向图PDMATHAMQ满足$γ^{LD}(D)\leq \frac{4n} 5 +1$，但猜想这个界可以降到$\frac{2n} 3$ .此猜想仍未得到解决.他们还证明，如果$D$是一个锦标赛，即有向图，其中有一个弧之间的每对顶点，然后$γ^{LD}(D)\leq \lceil \frac{n}{2}\rceil$。本文的主要结果是将这一界推广到连通局部竞赛图，即连通有向图，其中每个顶点的内邻域和外邻域都诱导一个竞赛图.我们还证明了对于所有准孪生自由有向图$D$，$γ^{LD}(D)\leq \frac{2n} 3$允许一个监督点（从该点可到达任何一个点）。这类有向图推广了无孪生无圈图，这是已知这一界的最一般的一类。
2021-09-07 cs.DM math.CO
Hypo-efficient domination and hypo-unique domination
对于图$G$，设$γ(G)$为其控制数。定义图G为（i）次有效控制图（或次$\mathcal{ED}$图），如果$G$没有有效控制集（EDS），但通过从$G$中移除单个顶点形成的每个图都具有至少一个EDS，以及（ii）次唯一控制图（一个次$\mathcal{UD}$图），如果$G$至少有两个最小支配集，但$G-v$对每个$v\in V(G)$都有唯一的最小支配集。我们证明了每一个次$\mathcal{UD}$图$G$的阶至少为$3$是连通的，并且对所有的$v \in V(G)$都是$γ(G-v) < γ(G)$.利用图的控制数和最大度得到了次$\mathcal{P}$图的阶的一个紧上界，其中$\mathcal{P} \in \{\mathcal{UD}, \mathcal{ED}\}$。家庭的循环图，实现这些界限。我们还证明了任何次$\mathcal{UD}$图的束缚数不大于最小度加1。
2016-01-10 math.CO
Locating-Dominating Sets of Functigraphs
图$G$的定位控制集是$G$的控制集，使得$G$在控制集外的每个顶点由其在控制集内的邻域唯一标识。$G$的位置控制数是$G$中位置控制集的最小基数。设$G_{1}$和$G_{2}$是图$G$和$f:V(G_{1})\rightarrow V(G_{2})$的不相交的副本.函数图$F^f_{G}$由顶点集$V(G_{1})\cup V(G_{2})$和边集$E(G_{1})\cup E(G_{2})\cup \{uv:v=f(u)\}$组成。本文研究了从$G$到$F^f_{G}$的位置控制数的变化，得到了位置控制数的精确上下界.对于函数$f$的所有可能的定义，我们还研究了完全图的函数图的位置控制数。我们还得到了一类完全图的生成子图的函数图的位置控制数。
2017-09-15 math.CO
Uniform hypergraphs and dominating sets of graphs
一个（简单）超图是一个有限集的两两不可比集族H。我们称一个超图H是控制超图，如果至少存在一个图G使得G的极小控制集的集合等于H。给定一个超图，我们感兴趣的是确定它是否是一个控制超图，如果不是这种情况，我们希望找到在某种意义上接近它的控制超图，即控制完成。在这里，我们将集中讨论包含所有具有相同基数的子集的超图族，即最大大小的一致超图。具体来说，我们的特点是这些超图H在这个家庭中的控制超图，在任何其他情况下，我们证明了超图H是唯一确定的一些其控制完成，H可以从他们恢复使用一个合适的超图操作。
2016-05-05 math.CO
On global location-domination in graphs
图$G$的控制集$S$称为定位-控制集，简称LD-集，如果$S$中所有不属于$S$的顶点$v$都由属于$S$的$v$的邻居集唯一确定.最小基数的位置控制集称为$LD$ -码，LD-码的基数是位置控制数$λ(G)$。图$G$的LD-集$S$是全局的，如果它是$G$及其补图$\overline{G}$的LD-集。全局位置控制数$λ_g(G)$是$G$的全局LD-集的最小基数。本文给出了图及其补图的位置控制集与位置控制数之间的一些关系。
2013-12-03 math.CO
On lower bounds for cardinalities of several separating-dominating codes in graphs
本文研究图中分离-支配码基数的下界问题，针对八个识别问题提供极图的一般构造，重新证明并建立了对数下界，同时刻画了达到这些下界的所有图。
2024-12-23 math.CO
The Interplay Between Domination and Separation in Graphs
LIMOS, Université Clermont Auvergne, CNRS, Mines Saint-Étienne, Clermont Auvergne INP（克莱蒙奥弗涅大学，法国国家科学研究中心，圣艾蒂安矿业学院，克莱蒙奥弗涅国立高等理工学院）；Department of Computer Science and Mathematics, Lebanese American University（黎巴嫩美国大学）
本文研究了图中支配与分离的相互作用，探讨了四种分离性质及它们与代码的关系，揭示了分离性质在图及其补图上的对称性。
2026-01-28 cs.CC cs.DM math.CO
Fault-Tolerant Detection Systems on the King's Grid
在图中建模的检测系统使用顶点子集上的“检测器”来唯一地识别任何顶点处的“入侵者”。我们考虑两种类型的检测系统：开放定位支配（OLD）集和识别码（IC）。一个OLD集给每个顶点一个唯一的，非空的开放邻域的检测器，而一个IC提供一个唯一的，非空的封闭邻域的检测器。我们探索它们的容错变体：冗余OLD（RED：OLD）集和冗余IC（RED：IC），它们确保删除/禁用最多一个检测器即可分别保证OLD集和IC的属性。在无限King网格上构造最优RED：OLD集和RED：IC，并证明了它们的最小密度的界：RED：OLD集为[3/10，1/3]，RED：IC为[3/11，1/3].
2022-11-27 cs.DM math.CO
Strong Identification Codes for Graphs
对任意图~ \(G,\)，称一个顶点集~ \({\cal V}\)是控制的，如果~ \(G\)的每个顶点都至少包含~ \(G\)的一个节点，并且如果每个顶点~ \(v\)都包含一个唯一的邻居~ \(u_v \in {\cal V}\)，并且该邻居不与~ \(G.\)的其它顶点相邻。如果~ \({\cal V}\)是控制的和分离的，则~ \({\cal V}\)被定义为一个标识码。本文研究了以~ \(r,\)为指标的强识别码，通过对~ \(G\)的每个顶点在~ \({\cal V}.\)中至少包含~ \(r\)唯一邻点的约束，利用概率方法研究了强识别码的最小码长和允许识别码具有给定指标的图的存在性.
2021-08-15 math.CO
Trees with unique minimum glolal offensive alliance sets
设$G=$ $\left( V,E\right) $是一个单图。一个非空集$S \subseteq V$称为全局进攻联盟，如果$S$是一个控制集，并且对于$V-S$中的每个顶点$v$，至少有一半来自$v$的闭邻域的顶点在$S$中.全局进攻联盟数是$G$中全局进攻联盟的最小基数。在本文中，我们给出了一个具有唯一的最小全球进攻联盟的树的建设性特征。
2018-04-19 math.CO
On three domination-based identification problems in block graphs
Université Clermont-Auvergne（克莱蒙奥弗涅大学）；University of Johannesburg（约翰内斯堡大学）；CNRS Mines de Saint-Étienne Clermont-Auvergne-INP LIMOS（法国国家科学研究中心圣艾蒂安矿业学院克莱蒙奥弗涅国立理工学院LIMOS）；Univ Lyon CNRS INSA Lyon UCBL Centrale Lyon Univ Lyon 2 LIRIS UMR5205（里昂大学法国国家科学研究中心里昂国立应用科学学院里昂第一大学里昂中央理工学院里昂第二大学LIRIS UMR5205）
研究块图中识别码、定位支配码和开定位支配码的最小规模问题，通过确定块图中最大团数量和图阶数来获得紧界，验证文献中的猜想并证明下界线性关系。
2024-07-04 cs.DM math.CO
There is but one PDS in $\mathbb{Z}^{3}$ inducing just square components
在格$\mathbb{Z}^3\subset\mathbb{R}^3$的单位距离图中，存在一个以$4$ -圈为唯一诱导分支的控制集$S$，并且$\mathbb{Z}^3\setminus S$的每个顶点在$S$中有唯一的邻居.我们发现$S$是独一无二的。
2018-02-06 math.CO
P_3-Games on Chordal Bipartite Graphs
设G=（V，E）是一个连通图.一个集合U子集V是凸的，如果G[U]是连通的，并且V的所有顶点\U在U中至多有一个近邻.令sigma（W）表示包含W子集的唯一最小凸集。考虑一个凸集U，称之为“操场”。最初，U = emptyset。当U=V时，移动的玩家输掉游戏。否则，该参与者选择V \U中的顶点x，该顶点x与U的距离至多为2。移动的效果是，操场U变为sigma（U cup {x}），并且对手被呈现这个新操场。一个图是弦二部图，如果它是二部图并且没有长度大于4的诱导圈。本文证明了当G是弦二部图时，存在一个多项式时间算法来计算G上P_3对策的Grundy数。这意味着有一个有效的算法来决定第一个玩家是否有获胜策略。
2016-10-22 cs.DM cs.DS math.CO
Unique identification and domination of edges in a graph: The vertex-edge dominant edge metric dimension
控制集和分解集在控制理论和计算机科学中有重要的应用。本文引入了图的经典支配度量维数的边模拟。结合图的点边支配集和边可解集的概念，引入了图的点边支配边可解集的概念。我们称图$\G$中这样一个集合的最小基数为图$\G$的点边优势边度量维数$\g_{emd}(\G)$。对一些常见的图族，如路、圈、完全二部图、轮图和扇形图，计算了新的参数$\g_{emd}$.本文还计算了一些路与路、路与圈的笛卡儿积的$\g_{emd}$。重要的是，这个新参数的一些一般性的结果和界限。我们还进行了比较分析的$\g_{emd}$与图的主导度量维数。比较表明，这两个参数一般不具有可比性。在考虑二部图类的基础上，证明了树$T_n$的$\g_{emd}(T_n)$总是小于或等于它的支配度量维数.然而，我们表明，非树二部图，参数是不可比的，就像一般的图。基于本文的结果，我们在最后提出了一些有待解决的问题。
2022-11-17 math.CO
Roman-Type Domination on Convex and Chordal Bipartite Graphs: Algorithms and Hardness
Indian Institute of Technology Guwahati（印度理工学院古瓦哈提分校）
研究凸二分图和弦二分图上四种罗马支配变体，为凸二分图开发统一动态规划框架，可\(O(n^6)\)时间计算相关参数，同时证明弦二分图上部分变体仍NP完全，明确两类图算法差异。
2026-07-17 cs.DM math.CO
On global location-domination in bipartite graphs
图$G$的控制集$S$称为定位-控制集，简称LD-集，如果$S$中所有不属于$S$的顶点$v$都由属于$S$的$v$的邻居集唯一确定.最小基数的定位控制集称为$LD$ -码，LD-码的基数是\emph{location-domination number} $λ(G)$。图$G$的LD-集$S$是\emph{global}，如果它是$G$及其补图$\overline{G}$的LD-集。\emph{global location-domination number} $λ_g(G)$是$G$的全局LD集的最小基数。对于给定图$G$的任意LD-集$S$，引入了所谓的\emph{S-associated graph} $G^S$.这种边标记的二部图被证明是非常有帮助的方法研究图中的LD-集，特别是当$G$是二部的。本文主要研究了图$G$及其补图$\overline{G}$中的全局LD-集、LD-码和位置控制数之间的关系.
2015-06-10 math.CO
Power domination polynomials of graphs
图的幂控制集是通过将经典控制与电路理论产生的迭代传播过程相结合来观察图中的每个顶点的顶点集合。本文研究了$n$阶图$G$的幂控制多项式，定义为$\mathcal{P}(G;x)=\sum_{i=1}^n p(G;i) x^i$，其中$p(G;i)$是大小为$i$的$G$的幂控制集的个数.我们把幂控制多项式与其他图多项式联系起来，给出了它的根和系数的结构和极值结果，并确定了它所包含的一些图参数。我们还推导出分解公式的权力控制多项式，计算它明确的几个家庭的图形，并探讨图形，可以唯一地确定其权力控制多项式。
2018-05-28 math.CO
Complete r-partite graphs determined by their domination polynomial
图的控制多项式是其系数计算每个基数的控制集的数目的多项式。最近的一个问题是，哪些图是由它们的控制多项式唯一确定的（直到同构）。在本文中，我们完全描述的完全r-部图，这是在二部的情况下，这解决了肯定的一个猜想的Aidmour，Akbari和Ebrahimi。
2013-04-02 math.CO
On the power domination number of de Bruijn and Kautz digraphs
设$G=(V,A)$是一个没有平行弧的有向图，$S\subseteq V$是一个顶点集。令序列$S=S_0\subseteq S_1\subseteq S_2\subseteq\cdots$定义如下：$S_1$由$S_0$通过将$S_0$中的顶点的所有外邻居相加而获得。对于$k\geqslant 2$，通过添加所有顶点$w$从$S_{k-1}$获得$S_k$，使得对于某些顶点$v\in S_{k-1}$，$w$是$V\setminus S_{k-1}$中$v$的唯一外邻居。我们设置$M(S)=S_0\cup S_1\cup\cdots$，如果$M(S)=V(G)$，则将$S$称为$G$的\emph{power dominating set}。这样的集合的最小基数称为$G$的\emph{power domination number}。本文确定了de Bruijn和Kautz有向图的幂控制数。
2016-12-06 cs.DM math.CO
The Domination Polynomials of Cubic graphs of order 10
设G是n阶单图. G的控制多项式是多项式D（G，x）= \sum_{i=γ(G)}^{n} d（G，i）x^{i}，其中d（G，i）是G的大小为i的控制集的个数，γ（G）是G的控制数.本文研究了10阶三次图的控制多项式。因此，我们证明了Petersen图是由它的控制多项式唯一确定的。
2009-05-20 math.CO
On $\mathcal{D}$-equivalence classes of some graphs
设$G$是阶为$n$的简单图。$G$的控制多项式是多项式$D(G, x)=\sum_{i=1}^n d(G,i) x^i$，其中$d(G,i)$是大小为$i$的$G$的控制集的数目。具有$2n$顶点的$n$ -杠铃图$Bar_n$是由一条边连接一个完全图$K_n$的两个副本而形成的.证明了对每个$n\geq 2$，$Bar_n$不是$\mathcal{D}$ -唯一的，即存在另一个具有相同控制多项式的非同构图.更精确地说，我们证明了对每个$n$，杠铃图的$\mathcal{D}$ -等价类$[Bar_n]$包含许多图，其中之一是顺序$n-1$的书图$B_{n-1}^c$的补图.同时，我们给出了$K_{n_1}\cup K_{n_2}\cup \cdots\cup K_{n_k}$的$\mathcal{D}$ -等价类中的许多图族.
2015-11-18 math.CO
On the Domination Polynomials of Friendship Graphs
设$G$是阶为$n$的简单图。$G$的{ \em控制多项式}是多项式${D(G, x)=\sum_{i=0}^{n} d(G,i) x^{i}}$，其中$d(G,i)$是大小为$i$的$G$的控制集的数目。设$n$是任意正整数，$F_n$是由$K_{1}$与$nK_{2}$的连接构成的具有$2n + 1$和$3n$的友谊图.我们研究了这类图的控制多项式，特别是研究了这类图的控制根，并找到了根的极限曲线。我们还证明了对于每个$n\geq 2$，$F_n$不是$\mathcal{D}$ -唯一的，即存在另一个具有相同控制多项式的非同构图.同时，我们构造了实控制根仅为$-2$和$0$的图族。最后，我们结束了讨论的控制多项式的一个相关的家庭的图，$n$ -书图$B_n$，形成加入$n$副本的循环图$C_4$与一个共同的边缘。
2014-08-28 math.CO
The partition dimension and $k$-domination number of a family of non-distance regular graph
Payame Noor University（帕亚梅诺尔大学）；Yazd University（亚兹德大学）
本文研究了一类非距离正则图Toeplitz图的划分维度和k-支配数，通过计算得出这两个参数，解决了此前未确定的问题。
2026-05-07 math.CO
Spectral Extremal 1-Planar Graphs with Bounded Pentagon Packing
Central University of Finance and Economics（中央财经大学）
本文确定了1-平面图中无$tC_5$子图且谱半径最大的唯一极值图，通过结构分解与打包-缺陷不等式解决了Li-Wang-Zhao问题1。
2026-10-08 math.CO
Identifying Codes on Directed De Bruijn Graphs
对于有向图$G$，$t$标识码是子集$S\subseteq V(G)$，其具有如下性质：对于每个顶点$v\in V(G)$，通过长度至多为$t$的有向路径从$v$可达的$S$的顶点集是非空的且唯一的.如果存在一个$t$标识码，则一个图称为{ \it $t$-identifiable}.本文证明了de~Bruijn图$\vec{\mathcal{B}}(d,n)$是$t$ -可识别的当且仅当$n \geq 2t-1$ .证明了$t$-可识别de~Bruijn图的$t$-可识别码必须至少包含$d^{n-1}(d-1)$顶点，并给出了该下界可达到的构造$n \geq 2t$ .此外，当$n=2t-1$ .此外，对于$\vec{\mathcal{B}}(d,n)$，我们提供了最小\textit{$t$-dominating set}大小的上限和下限（具有每个顶点与子集的距离至多为\textit{directed resolving set}的属性的子集），即\textit{directed resolving set}的最小大小（具有图的每个顶点可以通过其到$S$的顶点的有向距离来区分的性质的子集）是$d^{n-1}(d-1)$，并且如果$d>n$，{ \it确定集}（具有固定$S$的唯一自同构是平凡自同构的性质的子集$S$）的最小大小是$\left\lceil \frac{d-1}{n}…
2017-06-22 math.CO
