$2$-limited broadcast domination in cubic graphs
Seoul National University（首尔大学）
本文证实了立方图中2限广播支配数不超过顶点数的三分之一的猜想。
2026-02-22 math.CO
On $(t,r)$ broadcast domination of directed graphs
图$G$的控制集是指图中每一条边的至少一个端点所在的顶点集。$G$的控制数是$G$的最小控制集的阶。$(t,r)$广播支配是支配的推广，其中一组广播顶点发出强度为$t$的信号，当它们穿过每条边时，强度减1，并且我们要求图中的每个顶点从其广播邻居集合接收至少$r$的累积信号。本文将$(t,r)$广播控制的研究推广到有向图。我们的主要结果探讨了区间的值，通过考虑有向$(t,r)$广播控制数的所有方向的图$G$。特别是，我们证明了在$r=1$和$(t,r) = (2,2)$的情况下，对于这个区间中的每一个整数值，存在一个定向$\vec{G}$的$G$有定向$(t,r)$广播支配数等于该值。我们还研究了有限格图、星形图、无限格图和无限三角格图上的有向$(t,r)$广播控制。最后提出了今后研究的方向。
2021-05-24 math.CO
Comparing Upper Broadcast Domination and Boundary Independence Numbers of Graphs
A broadcast on a nontrivial connected graph G with vertex set V is a function f from V to {0,1,...,diam(G)} such that f(v) is at most the eccentricity of v for all v in V. The weight of f is the sum of the function values taken over V. A vertex u hears f from v if f(v) is positive and d(u,v) is at most f(v). A broadcast f is dominating if every vertex of G hears f. The upper broadcast number of G is Γ_{b}(G), which is the maximum weight of a minimal dominating broadcast on G. A broadcast f is boundary independent if, for any vertex w that hears f from vertices v_{1} ,..., v_{k} , where k is at…
2022-08-02 math.CO
Broadcast Domination Number is at Most Twice the Multipacking Number
Indian Statistical Institute（印度统计研究所）
该论文证明了广播控制数$\gamma_b(G)$至多为多重打包数$mp(G)$的两倍，解决了相关猜想，还得到了最大多重打包问题的多项式时间2-近似算法。
2026-10-26 cs.DM math.CO
Computing upper bounds for optimal density of $(t,r)$ broadcasts on the infinite grid
有限图$G$的顶点集$V$的控制数是最小集$S\subseteq V$的基数，使得对于每个顶点$v\in V$，$v\in S$或$v$与$S$中的一个顶点相邻。满足这些条件的集合称为支配集。在2015年，Blessing、Insko、Johnson和Mauretour引入了$(t,r)$广播支配，这是由非负整数$t$和$r$参数化的图支配的推广。在此设置中，我们说顶点$v\in V$从位于顶点$T$处的强度塔$t$接收的信号由$sig(v,T)=max(t-dist(v,T),0)$定义。则$G$上的$(t,r)$广播支配集是集合$S\subseteq V$，使得在每个顶点$v \in V$处接收的所有信号的总和至少为$r$。在本文中，我们认为$(t,r)$广播的无限网格，并提出了一个Python程序计算上界的最小密度的$(t,r)$广播的无限网格。这些上界允许我们构造Blessing等人的猜想的反例，即只要$t,r\geq 1$，$(t,r)$和$(t+1, r+2)$广播就相等。
2017-12-01 math.CO
Relation between broadcast domination and multipacking numbers on chordal and other hyperbolic graphs
Indian Statistical Institute（印度统计研究所）；Université Clermont Auvergne, CNRS, Clermont Auvergne INP, Mines Saint-Étienne, LIMOS（克莱蒙奥弗涅大学，法国国家科学研究中心，克莱蒙奥弗涅国立高等矿业学校，圣艾蒂安国立高等矿业学校，LIMOS）；Ramakrishna Mission Vivekananda Educational and Research Institute（罗摩克里希那传教维韦卡南达教育与研究机构）
该研究揭示弦图与δ-双曲图中广播支配数和多重装填数的量化关系，构造反例说明二者差值可任意大，并给出δ-双曲图多重装填的多项式时间构造算法。
2026-01-16 cs.DM math.CO
Optimal $(t,r)$ Broadcasts On the Infinite Grid
设$G=(V,E)$是一个图，$t,r$是正整数.顶点$v$从位于顶点$T$的信号强度$t$的塔接收的信号被定义为$sig(v,T)=max(t-dist(v,T),0)$，其中$dist(v,T)$表示顶点$v$和$T$之间的距离。在2015年，Blessing、Insko、Johnson和Mauretour定义了一个$(t,r)$广播支配集，或者简称为$(t,r)$广播，在$G$上定义为一个集合$\mathbb{T}\subseteq V$，使得在每个顶点$v \in V$接收到的所有信号的总和至少是$r$。我们说$\mathbb{T}$是最优的，如果$|\mathbb{T}|$在所有这样的集合$\mathbb{T}$中是最小的。有限图$G$上的最优$(t,r)$广播的基数称为$G$的$(t,r)$广播控制数。$(t,r)$广播控制的概念推广了图的经典控制问题。事实上，图$G$上的$(2,1)$广播恰好是$G$的支配集。在他们的论文中，Blessing等人考虑了$(t,r)\in\{(2,2),(3,1),(3,2),(3,3)\}$，并给出了$G_{m,n}$上的最佳$(t,r)$广播，$G_{m,n}$是尺寸为$m\times n$的网格图，用于$m$和$n$的小值。他们还提供了上限的最佳$(t,r)$广播数的网格图的任意尺寸。在本文中，我们定义了密度的$(t,r)$广播，…
2017-11-29 math.CO
Characterizations of minimal dominating sets and the well-dominated property in lexicographic product graphs
本文通过引入不可约支配集概念，刻画了字典序乘积图的最小支配集，并给出良支配图的特征刻画，包括支配数为2时的多项式可检验条件，以及支配数有界图类中的多项式时间识别算法。
2017-08-18 cs.DM math.CO
Bounds On $(t,r)$ Broadcast Domination of $n$-Dimensional Grids
本文研究 $(t,r)$ 广播支配变体，给出无限网格上支配模式密度的上下界及计算方法，并针对 $r \ge 2$ 构造反例否证 Vizing 猜想的推广。
2023-02-17 math.CO
On the multipacking number of grid graphs
本文研究网格图的广播支配数与多重打包数，证明所有高度至少4、宽度至少7的大网格图中两者相等，扩展了强弦图上的已知结果。
2019-06-17 cs.DM math.CO
The eternal dominating set problem for interval graphs
我们证明了，在游戏中，所有的警卫在同一个回合中，永恒的控制和cn-connected覆盖数一致的区间图。作为一个副产品，得到了永恒支配集问题的线性算法。
2018-08-29 cs.DM math.CO
Perfect dominating sets in the Cartesian products of prime cycles
研究了$C_{2n+1}^n$的最小控制集的结构，$C_{2n+1}^n$是大小为$2n+1$的循环的$n$拷贝的笛卡儿积，其中$2n+1$是素数.
2009-03-14 math.CO
Eternal dominating sets on digraphs and orientations of graphs
研究了有向图的永恒控制数和m-永恒控制数。我们将已知的图的结果推广到有向图。我们还考虑了问题“定向（m-）永恒的统治”，包括在寻找一个方向的图，最大限度地减少其永恒的支配数。我们证明了计算定向永远控制数是NP-困难的，并刻画了定向m-永远控制数为2的图。我们还研究了树、圈、完全图、完全二部图、平凡完美图以及各种格和积图上的这两个参数。
2018-05-24 cs.DM math.CO
Broadcast domination and multipacking: bounds and the integrality gap
覆盖和填充的对偶概念在图论中得到了很好的研究。半径为1的球的图的覆盖和两两距离至少为2的顶点的填充分别是著名的控制和独立概念。2001年，Erwin在图中引入了\emph{broadcast domination}，这是一个使用不同半径的球的覆盖问题，其中球的成本是它的半径。图$G$中的支配广播的最小成本由$γ_b(G)$表示。广播控制的对偶（在线性规划的意义上）是\emph{multipacking}：多重包装是一个集合$P \subseteq V(G)$，使得对于任何顶点$v$和任何正整数$r$，$v$周围的半径$r$的球最多包含$P$的$r$顶点。图$G$中多重包装的最大尺寸由$mp(G)$表示。当然是$mp(G) \leq γ_b(G)$。Hartnell和Mynhardt证明了$γ_b(G) \leq 3 mp(G) - 2$（只要$mp(G)\geq 2$）。在本文中，我们表明，$γ_b(G) \leq 2mp(G) + 3$。此外，我们推测，这可以改进为$γ_b(G) \leq 2mp(G)$（这将是尖锐的）。
2019-05-28 math.CO
Asymptotically Optimal Bounds for (t,2) Broadcast Domination on Finite Grids
设$G=(V,E)$是一个图，$t,r$是正整数.信号强度$t$的塔顶点$T$提供给顶点$v$的\emph{signal}被定义为$sig(T,v)=max(t-dist(T,v),0),$，其中$dist(T,v)$表示顶点$v$和$T$之间的距离。在2015年，Blessing、Insko、Johnson和Mauretour在$G$上定义了一个\emph{$(t,r)$ broadcast dominating set}，或简称为\emph{$(t,r)$ broadcast}，作为一个集合$\mathbb{T}\subseteq V$，使得在每个顶点$v \in V$处从塔集合$\mathbb{T}$接收到的所有信号之和至少为$r$。有限图$G$的$(t,r)$广播控制数，记作$γ_{t,r}(G)$，是$G$在所有$(t,r)$广播上的最小基数。最近的研究集中在界定$m \times n$网格图$G_{m,n}$的$(t,r)$广播支配数。在2014年，Grez和Farina界定了网格图的$k$ -距离控制数，等价于界定$γ_{t,1}(G_{m,n})$。2015年，Blessing等人建立了$γ_{2,2}(G_{m,n})$、$γ_{3,2}(G_{m,n})$和$γ_{3,3}(G_{m,n})$的界限。在本文中，我们采取下一步，并提供了一个紧上界的$γ_{t,2}…
2018-12-08 math.CO
A note on efficient k-limited broadcast domination in graphs
National Institute of Technology Karnataka（卡纳塔克国立理工学院）
本文研究图的高效k受限广播支配参数，针对树开发了确定最小代价的多项式时间动态规划算法，证明任意图的k-ELDB存在性判定为NP完全问题，明确了该问题的复杂度边界。
2026-08-24 cs.DS math.CO
From (secure) w-domination in graphs to protection of lexicographic product graphs
设$w=(w_0,w_1, \dots,w_l)$是一个非负整数向量，使得$ w_0\ge 1$。设$G$是一个图，$N(v)$是$v\in V(G)$的开邻域。我们说一个函数$f: V(G)\longrightarrow \{0,1,\dots ,l\}$是$w$ -支配函数，如果对每个顶点$v$都有$f(N(v))=\sum_{u\in N(v)}f(u)\ge w_i$和$f(v)=i$ . $f$的权重定义为$ω(f)=\sum_{v\in V(G)} f(v)$。给定$w$ -支配函数$f$和具有$f(v)=0$和$f(u)>0$的任何一对相邻顶点$v, u\in V(G)$，对于每个$x\in V(G)\setminus\{u,v\}$，函数$f_{u\rightarrow v}$由$f_{u\rightarrow v}(v)=1$，$f_{u\rightarrow v}(u)=f(u)-1$和$f_{u\rightarrow v}(x)=f(x)$定义.我们说$w$ -支配函数$f$是安全的$w$ -支配函数，如果对于每个具有$f(v)=0$的$v$，存在$u\in N(v)$使得$f(u)>0$和$f_{u\rightarrow v}$也是$w$ -支配函数. $G$的（安全）$w$ -控制数，记为（$γ_{w}^s(G)$）$γ_{w}(G)$，定义为所有（安全）…
2021-05-11 cs.DM math.CO
Dominating sequences in grid-like and toroidal graphs
图$G$的不同顶点的最长序列$S$，使得$S$的每个顶点支配某个不被其前面的顶点支配的顶点，称为Grundy支配序列; $S$的长度是$G$的Grundy支配数。本文研究了四种标准图积：笛卡尔积、字典积、直积和强积的Grundy控制数。对于每一个乘积，我们给出了Grundy控制数的一个下界，它对字典序乘积是精确的，对强乘积是精确的.在大多数情况下，精确的Grundy控制数是由路和/或圈的乘积确定的。
2016-07-01 math.CO
Roman domination in Cartesian product graphs and strong product graphs
图$G$的顶点集$S$是$G$的控制集，如果$S$之外的每个顶点都与属于$S$的至少一个顶点相邻。$G$的控制集的最小基数称为$G$的控制数。一个映射$f : V \rightarrow \{0, 1, 2\}$是图$G$上的罗马控制函数，如果对于每个具有$f(v) = 0$的顶点$v$，存在一个与$v$相邻的顶点$u$，使得$f(u) = 2$。罗马控制函数的权由$f(V) =\sum_{u\in V}f(u)$给出。$G$上罗马控制函数的最小权称为$G$的罗马控制数。本文研究了笛卡儿积图和强积图的罗马控制数。更确切地说，我们研究了乘积图的罗马控制数与因子的罗马控制数之间的关系。
2011-11-15 math.CO
Dominating the direct product of two graphs through total Roman strategies
给定一个没有孤立点的图$G$，$G$的一个全罗马控制函数是一个函数$f : V(G)\rightarrow \{0,1,2\}$，使得每个标号为0的顶点都与标号为2的顶点相邻，并且标号为正的顶点的集合导出一个最小度至少为1的图. $G$的全罗马控制数$γ_{tR}(G)$是所有全罗马控制函数$f$中$\sum_{v\in V(G)}f(v)$的最小可能值。研究了图$G$和图$H$的直积$G\times H$的全罗马控制数.具体地，给出了因子的$γ_{tR}(G\times H)$与一些经典控制参数之间的上下界关系.给出了$γ_{tR}(G\times H)$的小值直积图$G\times H$（$\le 7$）的特征，并在考虑各种特定的直积类的情况下，导出了$γ_{tR}(G\times H)$的精确值.
2020-05-27 math.CO
New Optimal Results on Codes for Location in Graphs
University of Turku（图尔库大学）
该研究针对图中定位相关的编码问题，在无限三角网格、国王网格、完全图直积及汉明图等结构中，给出了刚定位支配码、自定位支配码等类型编码的最优规模结果。
2026-08-18 cs.DM math.CO
Multipackings in Graphs
一个图G的顶点子集M是多重包装的，如果对每个顶点v，且每个小于或等于G的直径的正整数s，v至多在M的s个顶点的距离s之内.图的多重包装数是图G的多重包装的最大基数。作为2-填充的推广，多重填充为最小成本广播支配问题提供了有趣的见解。本文综述了近年来关于多重包装的研究结果，包括树的多重包装数与广播数相等，Farber算法在强弦图的控制集和2-包装问题上的推广，以及分数多重包装的一些早期结果。本文最后提出了一系列深入的各种算法的例子。
2014-09-29 math.CO
A Note on Total and Paired Domination of Cartesian Product Graphs
图$G$的控制集$D$是$V(G)$的子集，使得不在$D$中的任何顶点在$D$中至少有一个邻居。控制数$γ(G)$是$G$中最小控制集的大小。Vizing的猜想从1968年指出，对于图$G$和$H$的笛卡儿积，$γ(G) γ(H) \leq γ(G \Box H)$，以及Clark和Suen（2000）证明了$γ(G) γ(H) \leq 2γ(G \Box H)$。本文改进了Clark和Suen的方法，证明了与全控制和成对控制有关的一系列相似的上界，并将这些上界推广到图$A^1$到图$A^n$的$n$ -笛卡儿积.
2011-09-09 cs.DM math.CO
Super Domination: Graph Classes, Products and Enumeration
支配集问题是组合优化中最著名的问题之一。其定义如下。对于给定的简单图$G=(V,E)$，$G$的控制集是一个子集$S\subseteq V$，使得$ V \setminus S$中的每个顶点至少与$S$中的一个顶点相邻.此外，DSP的问题是找到一个最小尺寸的控制集和相应的最小尺寸，PDMATHAMN的控制数。在这篇文章中，我们研究了DSP的一个变体，即超支配集问题（SDSP），它在过去几年中引起了人们的广泛关注。一个控制集$S$称为$G$的超控制集，如果对每个顶点$u\in \overline{S}=V \setminus S$，存在一个$v\in S$使得$N(v)\cap \overline{S}=\{u\}$ .类似地，SDSP是寻找一个最小尺寸的超控制集，以及相应的最小尺寸，$G$的超控制数。DSP和SDSP的决策变体都被证明是$\mathcal{NP}$ -硬的。在本文中，我们提出了紧界的超控制数的邻域电晕产品，PDMATHAMV-胶合，和Hajós和两个图。此外，我们提出了无限的家庭达到我们的界限图。最后，我们给出了某些图类的最小超控制集的确切个数。特别地，圈的超支配集的数量具有相当令人惊讶的性质，因为它在基于$n\mod4$的集合$\{4,n,2n,\frac{5n^2-10n}{8}\}$的值之间变化。
2022-10-31 math.CO
On the number of k-dominating independent sets
研究了某些图族中$k$ -控制独立集的存在性和个数。虽然情况$k=1$即情况下的最大独立集-这是起源于埃尔德什和莫泽-被广泛研究，更少的是已知的一般。本文解决了树的问题，证明了当$k\geq 2$为$n$ -顶点图时，$k$ -控制独立集的最大数目介于$c_k\cdot\sqrt[2k]{2}^n$和$c_k'\cdot\sqrt[k+1]{2}^n$之间，并且$n$ -顶点图中$2$ -控制独立集的最大数目介于$c\cdot 1.22^n$和$c'\cdot1.246^n$之间.含有大量$k$ -支配独立集的图的构造来自于乘积图、完全二部图和有限几何图。乘积图的构造与某些MDS码的数目相关联。
2015-05-07 math.CO
A Note on Integer Domination of Cartesian Product Graphs
给定一个图$G$，支配集$D$是一组顶点，使得$G$中的任何顶点在$D$中至少有一个邻居（或可能是它自己）。一个${k}$ -支配多重集$D_k$是一个顶点的多重集，使得$G$中的任何顶点在重数下都至少有来自$D_k$中闭邻域的$k$顶点。本文利用Clark和Suen（2000）提出的方法和二元矩阵的性质，证明了图$G,H$和笛卡儿积图$G \Box H$的最小${k}$ -支配多集的一个“Vizing式”不等式。具体地说，我们用$γ_{k}(G)$表示最小${k}$支配集的大小，证明了$γ_{k}(G) γ_{k}(H) \leq 2k γ_{k}(G \Box H)$ .
2012-09-09 math.CO
Adjoining edges to $G\mathbin{\square}H$ to construct a minimal dominating set of size $γ(G)γ(H)$
对于图$G,H$，可以将$(|V(G)|-γ(G))(|V(H)|-γ(H))$边添加到笛卡儿积$G\mathbin{\square}H$，使得出现大小为$γ(G)γ(H)$的最小支配集$D$。我们假设$D$也是所得图的最小支配集，并表明这意味着Vizing的猜想。
2021-11-16 math.CO
On $(t,r)$ broadcast domination of certain grid graphs
本文针对路径图、网格图、斜格、国王格等图类，研究$(t,r)$广播支配数，明确了该支配数的定义及相关概念。
2023-06-22 math.CO
On the super domination number of lexicographic product graphs
图$G$的顶点$v$的邻域是$G$中与$v$相邻的所有顶点的集合$N(v)$。对于$D\subseteq V(G)$，我们定义$\overline{D}=V(G)\setminus D$。一个集合$D\subseteq V(G)$称为超控制集，如果对每个顶点$u\in \overline{D}$，存在$v\in D$使得$N(v)\cap \overline{D}=\{u\}$ . $G$的超控制数是$G$中所有超控制集的最小基数。本文利用字典序乘积图的因子图的不变量，得到了字典序乘积图的超控制数的闭公式和紧界。作为研究的结果，我们证明了寻找图的超控制数的问题是NP-Hard的。
2017-03-17 math.CO
2-limited broadcast domination on grid graphs
本研究针对路径与环构成的各类网格图，通过显式构造和线性规划对偶方法，分别推导其2-限制广播支配数的上下界，为该图类的广播支配问题提供了定量边界结果。
2023-06-17 math.CO
The Italian domination numbers of some products of directed cycles
定义了一个有向图$D$上的意大利控制函数为函数$f : V(D) \rightarrow \{0, 1, 2\}$，使得每个顶点$v \in V(D)$和$f(v) = 0$至少有两个内邻居被分配给$f$下的$1$或一个内邻居被分配给$w$和$f(w) = 2$ .本文确定了某些有向圈积的Italian控制数的精确值。
2020-08-23 cs.DM math.CO
Double domination in lexicographic product graphs
在图$G$中，一个顶点支配它自己和它的邻居。一个子集$S\subseteq V(G)$称为$G$的双支配集，如果$S$支配$G$的每个顶点至少两次。$G$的所有双控制集的最小基数是双控制数。利用因子图$G$和$H$的不变量，得到了字典序积图$G\circ H$的双控制数的紧界和闭公式.
2020-08-01 math.CO
Grundy dominating sequences on $X$-join product
本文研究了图$G$与图族$\mathcal R=\{G_v: v\in V(G)\}$的$X$ -联积$G\hookleftarrow \mathcal R$的Grundy控制数.这些结果使我们扩展了已知的几个图族，在这些图族中可以有效地计算这个参数。我们证明了，如果，对于所有的$v\in V(G)$，$G_v$的Grundy控制数是给定的，$G$是一个权力的一个循环，一个权力的一条道路，或分裂图，计算的Grundy控制数的$G\hookleftarrow \mathcal R$可以在多项式时间内完成。特别是，权力的循环和路径的结果来自多项式减少这些图上的最大权重独立集问题。因此，当$G$是圈的幂、路的幂或分裂图时，我们导出了计算字典序积$G\circ H$的Grundy控制数的封闭公式，推广了Bresar等人在2016年给出的关于圈和路的结果。此外，当$G$是分裂图时，关于$X$ -连接积的结果也提供了计算$(q,q-4)$图、伙伴有限图和扩展的$P_4$ -负载图的Grundy控制数的多项式时间算法，这些图类在少数$P_4$的图的层次中是高的.
2018-10-05 math.CO
Further results on outer independent $2$-rainbow dominating functions of graphs
本文证明连通无爪图的OI$2$RD数下界为$n/2$并刻画等号成立图类，解决开放问题；同时给出有根积与冠积的精确公式及笛卡尔积、直接积的上界。
2023-01-29 math.CO
On Deposition of the Product of Demazure Atoms and Demazure Characters
本文利用线性算子和表格组合学研究了Demazure原子的性质和特征。证明了支配单项与原子之积的原子正性，这是一个悬而未决的问题。利用Skyline填充证明了控制单项式与密钥乘积的密钥正性，利用线性算子证明了Schur函数与密钥乘积的密钥正性，并利用线性算子和多面体证明了两个密钥乘积的密钥正性猜想的第一个开例.
2016-06-07 math.CO
Properties of Partial Dominating Sets of Graphs
一个集合$S\subseteq V$是$G$的控制集，如果$V - S$中的每个顶点都与$S$中的至少一个顶点相邻。$G$的控制数$γ(G)$等于控制集$S$在$G$中的最小基数;我们说这样的集$S$是$γ$ -集。对此的概括是Case、Hedetniemi、Laskar和Lipman于2017年提出的部分支配[3，2]。在部分控制中，一个集合$S$是$p$ -控制集，如果它控制$V$中的一部分$p$顶点。p-控制数$γ_{p}(G)$是$G$中$p$ -控制集的最小基数。本文研究了部分控制集的进一步性质，特别是与图的乘积和部分控制集的定位有关的性质。我们还引入了一个$p$ -影响集的概念，作为所有$p$ -支配集的联合，为一个固定的$p$，并研究了它的一些性质。
2019-06-01 math.CO
Partitioning an $S$-packing coloring into broadcast dominating sets
Faculty of Natural Sciences and Mathematics, University of Maribor（马里博尔大学自然科学与数学学院）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics, Ljubljana（卢布尔雅那数学、物理与力学研究所）；Faculty of Education, University of Maribor（马里博尔大学教育学院）
本文研究打包$k$-控制染色，证明在最小度至少2的连通图中$\u03c7_{\u03c1,3}=\u03c7_{\u03c1}$，并给出路径和圈上的精确值与界，同时推广到$S$-打包$k$-控制染色。
2026-10-05 math.CO
Multipacking in Hypercubes
本文研究超立方体中的多重打包数，证明其介于 n/2 与 n/2+6√(2n) 之间，从而验证广播支配数猜想并构造出比值 γ_b/mp 趋近于 2 的连通图序列。
2025-07-02 cs.DM math.CO
On Stronger Types of Locating-dominating Codes
本文研究能定位单目标并检测多目标的更强定位支配码，给出其最小尺寸界及在树和笛卡尔积中的性质，并证明与最优定位支配码共存的实现定理。
2019-04-02 math.CO
Tightness of Paired and Upper Domination Inequalities for Direct Product Graphs
图$G$中的顶点集$D$称为控制图，如果$G$的每个顶点都在$D$中或与$D$的一个顶点相邻. $G$的成对控制数$γ_{\mathrm{pr}}(G)$是其导出子图允许完美匹配的控制集的最小尺寸，上控制数$Γ(G)$是最小控制集的最大尺寸.本文研究了图积为直积$\times$的两个关于控制参数的乘法不等式的尖锐性.我们表明，对于每一个正常数$c$，存在图$G$和$H$的任意大直径，使$γ_{\mathrm{pr}}(G \times H) \leq cγ_{\mathrm{pr}}(G)γ_{\mathrm{pr}}(H)$，从而回答了一个问题的拉尔以及两个问题的Paulraja和Sampath Kumar。然后，我们研究当这个不等式与$c = \frac{1}{2}$，特别是证明它持有时，$G$和$H$是树。最后，我们证明了不等式$Γ(G \times H) \geq Γ(G) Γ(H)$，由于Brešar，Klavžar和Rall，是紧的。
2020-08-10 math.CO
$(t,r)$ Broadcast Domination Numbers and Densities of the Truncated Square Tiling Graph
本文研究了截断正方形平铺图 $H_{m,n}$ 的 $(t,r)$ 广播控制数与密度，给出了有限图的下上界及特定参数的精确值，并为无限图提供了广播构造及密度上界。
2024-08-23 math.CO
On $k$-limited domination: complexity and Cartesian products
University of Maribor（马里博尔大学）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理与力学研究所）
本文证明对于每个固定整数 $k\ge 2$，判定图是否存在大小不超过 $\ell$ 的 $k$-限制定支配集是 NP-完全的，并系统研究了笛卡尔积中的 $k$-限制定支配，给出了上下界及精确值。
2026-10-02 math.CO
Disjoint Dominating Sets with a Perfect Matching
本文考虑控制集$D$和$D'$，使得$D$和$D'$不相交且它们之间存在完美匹配.令$DD_{\textrm{m}}(G)$表示$G$中最小此类集合$D, D'$的基数（如果它们存在，则为$DD_{\textrm{m}}(G) = \infty$）。该概念在[Klostermeyer et al.，Theory and Application of Graphs，2017]在研究某个图保护问题的背景下。我们刻画了$DD_{\textrm{m}}(T)$等于某个图保护参数且$DD_{\textrm{m}}(T) = α(T)$等于某个图保护参数的树$T$，其中$α(G)$是$G$的独立数.我们还进一步研究了图产品中的这个参数，例如，给出了格图和小独立数图的界。
2017-08-31 math.CO
Computing global offensive alliances in Cartesian product graphs
图$G$中的全局进攻联盟是顶点的集合$S$，具有如下性质：每个不属于$S$的顶点在$S$中的邻居比它在$S$之外的邻居至少多一个。$G$的全球进攻联盟数，$γ_o(G)$，是$G$中全球进攻联盟的最小基数。一个图$G$的顶点集$S$是$G$的控制集，如果每个不属于$S$的顶点在$S$中至少有一个邻居. $G$的控制数，$γ(G)$，是$G$的控制集的最小基数。本文给出了几类笛卡儿积图的全局进攻联盟数的闭公式，证明了对任意图$G$和$H$，都有$γ_o(G\square H)\ge \frac{γ(G)γ_o(H)}{2}$，并且证明了如果$G$有有效控制集，则$γ_o(G\square H)\ge γ(G)γ_o(H).$.此外，我们还提出了全局进攻联盟数的类Vizing猜想，并对几类图证明了它.
2012-07-25 math.CO
On Index coding for Complementary Graphs with focus on Circular Perfect Graphs
循环完美图是指对于每个导出子图，循环团数等于循环色数的无向图。它们形成了完美图的严格超类，其索引编码广播速率是众所周知的。我们提出了广播率的索引编码的边信息图的补充是圆形完美的，随着最佳可实现的方案。因此，我们扩大了已知的类的图的广播速率的确切特征。在试图了解的广播率的图给定的补充，我们得到的产品和一个图和它的补充的向量线性广播率的总和的上界和下界。我们表明，这些界限是满足平等，甚至一些完美的图。策展先前的结果，我们表明，有圆形完美，但不完美的图，满足下界的产品的互补图的广播率与平等。
2019-01-17 cs.IT math.CO math.IT
On well-dominated direct, Cartesian and strong product graphs
如果一个图的每个极小控制集都是极小控制集，则称该图是良控制图。自从1988年关于良控图的开创性论文发表以来，人们研究了几个限制类的良控图的结构。本文给出了良控非平凡直积的一个完整刻画。我们证明了，如果一个强的产品是良好的控制，那么它的两个因素是良好的控制。当强积的一个因子是完全图时，另一个因子是良控的也是强积是良控的充分条件。我们的主要结果给出了至少有一个因子是完全图的良控笛卡儿积的一个完全刻画。另外，我们猜想这个结果实际上是非平凡的良控笛卡儿积类的完全刻画。
2021-05-20 math.CO
Rainbow domination in the lexicographic product of graphs
设k是正整数，f是V（G）到{1，2，3，.，k}。函数f称为G的k-彩虹控制函数，只要u是G的顶点使得f（u）是空集，则对{1，2，3，.，k}存在u的近邻x使得f（x）包含r。G的k-彩虹控制数是G的k-彩虹控制函数所指定的子集的基数的最小和（在G的所有顶点上）。G的k-彩虹控制数是G与k阶完全图的笛卡儿积的普通控制数。本文主要研究了图的字典积的2-彩虹控制数，并证明了这个数的精确下界和上界。实际上，我们证明了G与H的字典积的2-彩虹控制数的精确值，除了当H的2-彩虹控制数为3且存在H的最小2-彩虹控制函数使得H中的某个顶点被赋予标号{1，2}的情况。
2013-03-13 math.CO
Domination in digraphs and their products
一个有向图$D$的控制（或全控制）集$S$是$D$中的一个顶点集，使得$S$中的顶点的闭（或开）外邻域的并集等于$D$的顶点集。$D$的控制（或全控制）集的最小尺寸是$D$的控制（或全控制）数，记为$γ(D)$（或$γ_t(D)$）。$D$的成对不相交闭（相应地，开）内邻域的最大数目由$ρ(D)$（相应地，$ρ^{\rm o}(D)$）表示。我们证明了在有向图的基础图的围长至少为$7$时，闭（分别为开）的内邻域具有Helly性质，并利用这两个结果证明了在任何有向树$T$（即基础图为树的有向图）中，$γ_t(T)=ρ^{\rm o}(T)$和$γ(T)=ρ(T)$ .利用前一个等式，我们证明了$γ_t(G\times T)=γ_t(G)γ_t(T)$，其中$G$是任意有向图，$T$是任意双树，都没有源顶点，$G\times T$是它们的直积.从等式$γ(T)=ρ(T)$出发，我们导出了有界$γ(G\mathbin{\Box} T)\geγ(G)γ(T)$，其中$G$是任意有向图，$T$是任意有向树，$G\mathbin{\Box} T$是它们的笛卡尔积.在一般的有向图这种Vizing型界失败，但我们证明，对于任何有向图$G$和$H$，其中$γ(G)\geγ(H)$，我们有$γ(G \mathbin{\Box} H) \ge \frac{1}{2}γ(G)(γ(H) + 1)$。这个不…
2020-07-30 math.CO
Nordhaus-Gaddum bounds for locating domination
图G的一个控制集S称为度量定位控制集，如果它也是定位的，即如果每个顶点v都由它到S中顶点的距离向量唯一确定。此外，如果每个不在S中的顶点v也由v属于S的邻居集唯一确定，则称它是定位控制的。最小基数的定位、度量定位控制和定位控制集分别称为b-码、e-码和l-码。Nordhaus-Gaddum界是图G与其补图G的参数之和或乘积的紧下界或上界。本文给出了位置数b、度量位置数e和位置控制数l的Nordhaus-Gaddum界。此外，在每种情况下，图族达到相应的界限的特点。
2012-07-27 math.CO
Roman domination in direct product graphs and rooted product graphs
设$G$是一个顶点集为$V(G)$的图.函数$f:V(G)\rightarrow \{0,1,2\}$是$G$上的罗马控制函数，如果$f(v)=0$的每个顶点$v\in V(G)$与至少一个顶点$u\in V(G)$相邻，使得$f(u)=2$。$G$的罗马控制数是$G$上所有罗马控制函数$f$中的最小权$ω(f)=\sum_{x\in V(G)}f(x)$。本文研究了直积图和根积图的罗马控制数。具体地说，我们给出了包含因子参数的直积图的罗马控制数的几个严格的上下界，其中包括控制数、（全）罗马控制数和填充数等.另一方面，我们证明了根积图的罗马控制数只能达到三个可能的值，这取决于产品的顺序，控制，罗马控制数的因素。此外，理论刻画类的根积图实现这三个可能的值。
2021-05-20 math.CO
Revisiting the outer-weakly convex domination number in graph products
Sree Narayana College（斯里纳拉亚纳学院）；Mahatma Gandhi College（甘地大学）；University of San Jose - Recoletos（圣何塞-雷科莱托斯大学）；Visayas State University（维萨亚斯州立大学）
本文研究了图积中外弱凸支配数的计算，分析了Cartesian、strong和lexicographic积下的图结构，并探讨了重要组合发现。
2026-04-24 math.CO
Grundy domination of forests and the strong product conjecture
图$G$中顶点的最大序列$S$，使得$S$中的每个顶点都有一个独立于或自身独立于$S$中所有先前顶点的邻居，称为Grundy控制序列。Grundy控制数$γ_{gr}(G)$是$S$的长度。我们表明，对于任何森林$F$，$γ_{gr}(F)=|V(T)|-|\mathcal{P}|$，其中$\mathcal{P}$是一个最小的分区的非孤立顶点的$F$到毛虫，如果两个毛虫的$\mathcal{P}$有一个边缘之间的$F$，那么这样的边缘必须入射到一个非叶顶点的毛虫中的至少一个。我们利用这个结果证明了B的强乘积猜想。布雷沙角Bujtás，T. Gologranc，S.克拉瓦扎尔湾科什姆尔利湾帕科斯僵尸Tuza和M.张文，张文，等。23（4）：P4.34（2016），所有森林。也就是说，我们表明，对于任何森林$G$和图$H$，$γ_{gr}(G \boxtimes H) = γ_{gr}(G) γ_{gr}(H)$。我们还证明了每个连通图$G$都有一个生成树$T$，使得$γ_{gr}(G)\le γ_{gr}(T)$和每个非完全连通图都包含一个Grundy控制集$S$，使得$S$的导出子图不包含孤立点.
2021-04-12 math.CO
Excellent graphs with respect to domination: subgraphs induced by minimum dominating sets
一个图$G=(V,E)$是$γ$ -优的，如果$V$是$G$的所有$γ$ -集的并集，其中$γ$代表控制数.设$\mathcal{I}$是所有互不同构的图和$\emptyset \not= \mathcal{H} \subsetneq \mathcal{I}$的集合.本文首先研究了$\mathcal{H}$ - $γ$ -优图，定义如下.如果以下条件成立，则$G$图为$\mathcal{H}$ - $γ$ -优：（i）对于每个$H \in \mathcal{H}$和每个$x \in V(G)$，存在$G$的导出子图$H_x$，使得$H$和$H_x$同构，$x \in V(H_x)$和$V(H_x)$是$G$的某个$γ$ -集的子集，以及（ii）$G$的每个导出子图$H$的顶点集，它同构于$\mathcal{H}$的某个元素，是$G$的某个$γ$ -集的子集。对于一些著名的图，包括圈、树和两个图的某些卡图积，我们描述了它的最大集$\mathcal{H} \subsetneq \mathcal{I}$，使它的图是$\mathcal{H}$ - $γ$ -优的.给出了$γ$ -优良正则图和图的广义字典序积的一些结果.提出了几个开放的问题和疑问。
2020-10-07 math.CO
Upper k-tuple total domination in graphs
设$G=(V,E)$是一个单图.对于任意整数$k\geq 1$，如果$V$中的每个顶点在集合中至少有$k$邻居，则称$V$的子集为$G$的$k$ -元组全控制集. $G$的最小$k$ -元组全控制集的最小基数称为$G$的$k$ -元组全控制数。本文引入$G$的上$k$ -元组全控制数的概念，作为$G$的最小$k$ -元组全控制集的最大基数，研究了在几类图上求最大基数的最小$k$ -元组全控制集的问题，以及求一般界和刻画.同时，我们还得到了笛卡尔图和向量积图的上$k$ -元组全控制数的一些结果.
2018-08-13 math.CO
