Roman Bondage Numbers of Some Graphs
图$G=(V,E)$上的罗马控制函数是满足以下条件的函数$f: V\to \{0,1,2\}$：每个具有$f(u)=0$的顶点$u$至少与一个具有$f(v)=2$的顶点$v$相邻。罗马控制函数的权是值$f(G)=\sum_{u\in V} f(u)$。$G$的罗马控制数是罗马控制函数在$G$上的最小权。一个非空图$G$的罗马束缚数是指除去这些边后图的罗马控制数大于$G$的罗马控制数的最小边数。本文对任意$n\ge 5$确定了两类图的罗马束缚数的精确值，即完全$t$ -部图和$(n-3)$ -正则图的罗马束缚数.
2011-09-19 math.CO
Minimum Roman Dominating Distance Energy of a Graph
本文引入了图$G$的最小罗马控制距离能量$E_{RDd}(G)$的概念，并计算了一些标准图的最小罗马控制距离能量.最后，我们给出了最小罗马控制距离矩阵$A_{RDd}(G).$的特征值的上、下界，并给出了最小罗马控制距离矩阵$E_{RDd}(G).$的上、下界
2022-03-31 cs.IT math.CO math.IT
Quasi-total Roman domination in graphs
图$G=(V, E)$上的拟全罗马控制函数是满足以下条件的函数$f : V \rightarrow \{0,1,2\}$：-每个顶点$u$，其$f(u) = 0$与至少一个顶点$v$相邻，其$f(v) =2$，和-如果$x$是由标为1和2的顶点集合导出的子图中的孤立顶点，则$f(x)=1$。拟全罗马控制函数的权是值$ω(f)=f(V)=\sum_{u\in V} f(u)$。图$G$上的拟全罗马控制函数的最小权称为图$G$的拟全罗马控制数。本文引入了图的拟全罗马控制数，并研究了它的组合性质和计算性质。
2019-03-23 math.CO
Total Roman {2}-Dominating functions in Graphs
本文开创性地研究了全Roman {2}-支配函数，确立了其性质与界限，证明相关判定问题在二部图和弦图中是NP完全的，并指出该参数在有界团宽图中可线性时间计算。
2024-02-12 math.CO
On the Roman domination number of generalized Sierpinski graphs
一个映射$f : V \rightarrow \{0, 1, 2\}$是图$G=(V,E)$上的罗马控制函数，如果对于每个具有$f(v) = 0$的顶点$v\in V$，存在一个与$v$相邻的顶点$u$，使得$f(u) = 2$。罗马控制函数的权由$f(V) =\sum_{u\in V}f(u)$给出。$G$上罗马控制函数的最小权称为$G$的罗马控制数。本文研究了广义Sierpienski图$S(G,t)$的罗马控制数.更精确地说，我们得到了$S(G,t)$的罗马控制数的一个一般上界，并讨论了这个上界的紧性。特别是，我们专注于的情况下，基图$G$是一条路，一个循环，一个完全的图或图有一个唯一的通用顶点。
2016-05-23 math.CO
On the total and strong version for Roman dominating functions in graphs
考虑一个有限简单图$G=(V,E)$，其最大度为$Δ$ .图$G$上的强罗马控制函数被理解为一个映射$f : V (G)\rightarrow \{0, 1,\ldots , \left\lceil \fracΔ{2}\right\rceil+ 1\}$，该映射执行以下条件：所有标记为$f(v)=0$的顶点$v$与至少一个满足$f(u)\geq 1+ \left\lceil \frac{1}{2}\vert N(u)\cap V_0\vert \right\rceil$的另一个顶点$u$相邻，使得$V_0=\{v \in V \mid f(v)=0 \}$和符号$N(u)$代表$u$的开邻域。一个强罗马控制函数的全版本包含了关于$G$的子图中不存在零度顶点的附加性质，这是由标为正值的顶点集引起的。在$G$的所有存在的全强罗马控制函数$f$中取的和$ω(f)=f(V)=\sum_{v\in V} f(v)$（也称为$f$的权重）的最小可能值称为$G$的全强罗马控制数，用$γ_{StR}^t(G)$表示。本研究引入了罗马控制数的全强版本，并由此开始了对罗马控制数的数学性质的研究。例如，我们建立了这个参数的上界，并将它与图中与点控制有关的几个参数联系起来，由此我们得到了图的标准控制数、标准控制数的全版本和（强）罗马控制数.此外，在其他结果中，我们表明，对于任何树$T$的顺序$n(T)\g…
2019-12-02 math.CO
Roman domination number of zero-divisor graphs over commutative rings
本文研究交换环上零因子图$\Gamma(R)$的Roman控制数，推导了$T(\Gamma(R))$的Roman控制数的界，丰富了零因子图的控制理论相关结果。
2024-12-10 math.CO
On the Roman bondage number of a graph
图$G=(V,E)$上的罗马控制函数是一个函数$f:V\rightarrow\{0,1,2\}$，使得每个具有$f(v)=0$的顶点$v\in V$至少有一个具有$f(u)=2$的邻居$u\in V$。罗马控制函数的权是值$f(V(G))=\sum_{u\in V(G)}f(u)$。图$G$上罗马控制函数的最小权称为罗马控制数，记为$γ_{R}(G)$。最大度至少为2的图$G$的罗马束缚数$b_{R}(G)$是所有集合$E'\subseteq E(G)$的最小基数，其中$γ_{R}(G-E')>γ_R(G)$。在本文中，我们首先表明，决定问题，以确定$b_{\rm R}(G)$是NP-困难的，即使是二部图，然后我们建立了一些尖锐的界限，$b_{\rm R}(G)$和所有的图达到这些界限的特征。
2012-04-06 math.CO
Roman domination in graphs: the class $\mathcal{R}_\mathbf{UV R}$
对于图$G = (V, E)$，罗马控制函数$f : V \rightarrow \{0, 1, 2\}$具有这样的性质：每个具有$f (v) = 0$的顶点$v \in V $都有一个具有$f (u) = 2$的邻居$u$.罗马控制函数$f$的权是和$f (V) = \cup_{v\in V} f (v)$，并且罗马控制函数在$G$上的最小权是$G$的罗马控制数$γ_R(G)$。$G$的罗马束缚数$b_R(G)$是所有集合$F \subseteq E$的最小基数，其中$γ_R(G - F) > γ_R(G)$。若图$G$在删除一个顶点后罗马控制数保持不变，则它属于图类$\mathcal{R}_{UVR}$.本文给出了图$G$在$\mathcal{R}_{UVR}$中的$γ_R(G)$和$b_R(G)$的紧上界.我们提出了一个树是在类$\mathcal{R}_{UV R}$的必要和充分条件。利用标号给出了$\mathcal{R}_{UVR}$ -树的构造性刻画。
2015-08-09 math.CO
Restrained double Roman domination of a graph
对于图G=（V，E），一个约束双罗马控制函数是函数f：V \rightarrow \{0，1，2，3\}，它具有如下性质：如果f（v）=0，则顶点v必须至少有两个邻点在f下被赋2，或者有一个邻点w使f（w）=3，如果f（v）=1，则顶点v必须至少有一个邻点w使f（w）\geq 2，同时包含零标号顶点的子图G[V_0]没有孤立点.约束双罗马控制函数f的权是和f（V）= \sum_{v\in V} f（v），G上约束双罗马控制函数f的最小权是G的约束双罗马控制数.我们开始研究限制双重罗马控制，证明计算这个参数的问题是NP-困难的。利用图G的阶给出了连通图G的限制性双罗马控制数的一个上界，并刻画了达到这个上界的图.我们研究了受限制的双重罗马统治与受限制的罗马统治。最后，我们刻画了所有达到所展示的边界的树T。
2021-06-16 math.CO
Restrained condition on double Roman dominating functions
本文研究图的约束双罗马支配，证明其在平面图上NP难、在有界团宽图上线性可解，并建立参数界、树的下界及极值图刻画。
2022-02-03 math.CO
On the outer independent total double Roman dominating functions
本文研究外独立全双罗马控制函数的最小权重问题，证明其在二分图和弦图上NP-完全，但在有界团宽度图上可线性求解，并给出紧界与若干图族的精确值。
2024-02-10 math.CO
Double Italian domination in trees
School of Mathematics and Statistics, Jiangsu Normal University（江苏师范大学数学与统计学院）；School of Mathematics and Statistics, Zhengzhou University（郑州大学数学与统计学院）
本文研究树上双重意大利 domination 数，发现其与双重罗马 domination 数不同，并给出了非平凡树的精确界及达到该界的树特征。
2026-03-30 math.CO
Roman Bondage Number of a Graph
图$G=(V,E)$上的罗马控制函数是函数$f: V\rightarrow\{0,1,2\}$，使得具有$f(x)=0$的每个顶点$x$与具有$f(y)=2$的至少一个顶点$y$相邻。值$f(G)=\sum\limits_{u\in V(G)} f(u)$称为$f$的权重。罗马控制数$γ_{\rm R}(G)$定义为所有罗马控制函数的最小权。本文定义了非空图$G=(V,E)$的罗马束缚数$b_{\rm R}(G)$为满足$γ_{\rm R}(G-B)>γ_{\rm R}(G)$的所有边集$B\subseteq E$之间的基数。得到了$b_{\rm R}(G)$的一些界，并确定了几类图的精确值。证明了$b_{\rm R}(G)$的判定问题是NP-难的，即使对于二部图也是NP-难的.
2011-09-19 math.CO
Roman domination in direct product graphs and rooted product graphs
设$G$是一个顶点集为$V(G)$的图.函数$f:V(G)\rightarrow \{0,1,2\}$是$G$上的罗马控制函数，如果$f(v)=0$的每个顶点$v\in V(G)$与至少一个顶点$u\in V(G)$相邻，使得$f(u)=2$。$G$的罗马控制数是$G$上所有罗马控制函数$f$中的最小权$ω(f)=\sum_{x\in V(G)}f(x)$。本文研究了直积图和根积图的罗马控制数。具体地说，我们给出了包含因子参数的直积图的罗马控制数的几个严格的上下界，其中包括控制数、（全）罗马控制数和填充数等.另一方面，我们证明了根积图的罗马控制数只能达到三个可能的值，这取决于产品的顺序，控制，罗马控制数的因素。此外，理论刻画类的根积图实现这三个可能的值。
2021-05-20 math.CO
Roman k-tuple domination number of a graph
对于任意整数$k\geq 1$和任意最小度至少为$k-1$的图$G=(V,E)$，如果对于任意具有$f(v)=0$的顶点$v$，至少存在$G$，并且对于任意具有$f(v)\neq 0$的顶点$v$，在其与$f(w)=2$的邻域中至少存在$k-1$顶点，则定义一个函数$f:V\rightarrow \{0,1,2\}$为$k$ -元组控制函数.罗马$k$ -元组控制函数$f$在$G$上的最小权称为图的罗马$k$ -元组控制数，其中$f$的权为$f(V)=\sum_{v\in V}f(v)$ .本文首次研究了图的Roman $k$ -元组控制数，给出了图的Garph、图的Mycieleskian和冠图的Roman $k$ -元组控制数的一些精确界.我们的另一个目标是找到一些已知图的Roman $k$ -元组控制数。我们的一些结果推广了Cockayne等人的结果。在2004年的罗马控制数。
2019-05-01 math.CO
On the complexity of global Roman domination problem in graphs
University of Hyderabad（海德拉巴大学）；Indian Institute of Technology Bhilai（印度技术研究所比莱分校）
本文研究了图中全局罗马支配问题的复杂性，证明了其在某些图类上的NP难性，并给出了cographs上的线性时间算法。
2026-01-14 cs.CC cs.DS math.CO
Further Results on the Majority Roman Domination in graphs
University of Mazandaran（马赞德兰大学）；University of Tafresh（塔夫雷什大学）；Shahrood University of Technology（沙赫鲁德理工大学）
本文研究了图中的多数罗马支配问题，探讨了其性质并给出了某些图的多数罗马支配数的上下界。
2025-12-07 math.CO
On the Strong Roman Domination Number of Graphs
根据君士坦丁皇帝下令罗马帝国任何不设防的地方（没有军团）必须由一个“更强”的邻居（有两个军团）保护的历史，描述了一个称为图中罗马统治的图论模型。图$G=(V,E)$的罗马控制函数是一个函数$f:V\rightarrow \{0,1,2\}$，使得每个具有$f(v)=0$的顶点$v$在$G$中至少有一个邻居$w$，对于该邻居$f(w)=2$。图的罗马控制数是罗马控制函数的最小权$\sum_{v\in V}f(v)$。本文首先研究了与罗马控制有关的一个新参数，我们称之为强罗马控制数，记为$γ_{StR}(G)$ .我们的方法的罗马统治型防御策略下的多个同时攻击的问题，并开始研究这个不变量的几个数学性质。特别是，我们首先证明了强罗马控制数的计算决策问题是NP-完全的，即使是限制在二分图。我们得到了这一参数的几个界，并给出了它的可实现性结果，证明了对于任意$n\ge 3$阶树$T$，$γ_{StR}(T)\le 6n/7$，并刻画了所有的极值树.
2015-08-01 math.CO
Relating the outer-independent total Roman domination number with some classical parameters of graphs
对于一个给定的没有孤立点的图$G$，我们考虑一个函数$f: V(G) \rightarrow \{0,1,2\}$。对于每个$i\in \{0,1,2\}$，设$V_i=\{v\in V(G):\; f(v)=i\}$。如果满足：（i）$V_0$中的每个顶点至少与$V_2$中的一个顶点相邻;（ii）$V_0$是一个独立集;（iii）由$V_1\cup V_2$导出的子图没有孤立点，则称$f$是图$G$的外独立全罗马控制函数. $G$的所有外独立全罗马控制函数中的最小可能权$ω(f)=\sum_{v\in V(G)}f(v)$称为$G$的外独立全罗马控制数。在这篇文章中，我们得到了这个参数的新的紧界，改进了一些著名的结果。这样的界限也可以被看作是这个参数和图论中其他几个经典参数之间的关系，如控制，全控制，罗马控制，独立性和顶点覆盖数。此外，我们还计算了Sierpienski图、循环图以及完全图的笛卡尔积和直积的外独立全罗马控制数。
2021-12-10 math.CO
Total Roman 2-domination in graphs
给定一个图$G=(V,E)$，一个函数$f:V\rightarrow \{0,1,2\}$是一个全罗马$\{2\}$ -支配函数，如果：（1）每个顶点$v\in V$，对于它$f(v)=0$满足那个$\sum_{u\in N(v)}f(u)\geq 2$，其中$N(v)$表示$v$的开邻域，和（2）每个顶点$x\in V$，对于它$f(x)\geq 1$与至少一个顶点$y\in V$相邻，使得$f(y)\geq 1$ .函数$f$的权重定义为$ω(f)=\sum_{v\in V}f(v)$。总罗马$\{2\}$ -支配数，用$γ_{t\{R2\}}(G)$表示，是$G$上所有总罗马$\{2\}$ -支配函数中的最小权重。在这篇文章中，我们介绍了上述概念，并开始研究其组合和计算性质。例如，我们给出了这个参数与图中其他控制相关参数之间的几个封闭关系。此外，我们证明了计算值$γ_{t\{R2\}}(G)$的复杂性是NP-困难的，即使是限制在二分图或弦图。
2021-01-07 math.CO
Roman $\{2\}$-domination in graphs and graph products
对于$n$阶的图$G=(V,E)$，罗马$\{2\}$ -支配函数$f:V\rightarrow\{0,1,2\}$具有这样的性质：对于具有$f(v)=0$的每个顶点$v\in V$，要么$v$邻近于在$f$下被赋予$2$的顶点，要么$v$邻近于在$f$下被赋予$1$的至少两个顶点.本文对所有具有Roman $\{2\}$ -控制数的图进行了分类，并给出了属于集合$\{2,3,4,n-2,n-1,n\}$的图的分类.此外，我们还得到了一些图运算的Roman $\{2\}$ -控制数的结果.
2020-08-04 math.CO
Total Roman Domination Edge-Critical Graphs
图$G$上的全罗马控制函数是一个函数$% f:V(G)\rightarrow \{0,1,2\}$，使得每个具有$f(v)=0$的顶点$v$都与具有$f(u)=2$的顶点$u$相邻，并且由所有顶点$w$的集合导出的$G$的子图使得$f(w)>0$没有孤立点。$f$的权重为$Σ_{v\in V(G)}f(v)$。全罗马控制数$γ_{tR}(G)$是$G$上全罗马控制函数的最小权。一个图$G$是$k$-$γ_{tR}$-edge-critical，如果$γ_{tR}(G+e)<γ_{tR}(G)=k$对每个边$e\in E(\overline{G})\neq \emptyset $，和$k$-$γ_{tR}$-edge-critical，如果它是$k$-$γ_{tR}$-edge-critical和$γ_{tR}(G+e)=γ_{tR}(G)-2$对每个边$e\in E(\overline{G})\neq \emptyset $ .给出了$γ_{tR}$ -边临界图的一些基本结果，并刻画了某些类$γ_{tR}$ -边临界图.此外，我们表明，当$k$是小的，有一个连接$k$ - $γ_{tR}$ -边临界图和图的控制和全控制数是关键的。
2019-07-19 math.CO
On the weak Roman domination number of lexicographic product graphs
一个图$G=(V,E)$的顶点$v$被称为关于一个函数$f: V \longrightarrow \{0,1,2\}$是不设防的，如果对于每个与$v$相邻的顶点$u$，有$f(v)=0$和$f(u)=0$。我们称函数$f$为弱罗马控制函数，如果对于每个$v$，使得$f(v)=0$，存在一个与$v$相邻的顶点$u$，使得$f(u)\in \{1,2\}$和由$f'(v)=1$，$f'(u)=f(u)-1$和$f'(z)=f(z)$定义的函数$f': V \longrightarrow \{0,1,2\}$，对于每个$z\in V \setminus\{u,v\}$，没有不设防的顶点。$f$的重量为$w(f)=\sum_{v\in V(G) }f(v)$。图$G$的弱罗马控制数，记作$γ_r(G)$，是$G$上所有弱罗马控制函数中的最小权。Henning和Hedetniemi [Discrete Math.266（2003）239-251]表明，计算$γ_r(G)$的问题是NP难的，即使限制在二分图或弦图上。这表明找到$γ_r(G)$的特殊类的图或获得良好的界限，这个不变。本文利用因子图的不变量，得到了字典序积图的弱罗马控制数的封闭公式和紧界。
2018-03-19 math.CO
On $\{2\}$-Roman graph recognition of Partner Limited graphs
FCEIA, Universidad Nacional de Rosario（罗萨里奥国立大学工程与农业科学学院）；CONICET（阿根廷国家科学研究委员会）
本文研究可通过连接、并操作分解为两子图的图的{2}-罗马性质，刻画了Partner Limited图相关特定图族的{2}-罗马图分类，推进了{2}-罗马图识别问题的研究。
2026-08-07 math.CO
The characterization of perfect Roman domination stable trees
图$G = (V, E)$上的\emph{perfect Roman dominating function}（PRDF）是满足以下条件的函数$f : V \rightarrow \{0, 1, 2\}$：每个顶点$u$（其$f(u) = 0$）恰好与一个顶点$v$（其$f(v) = 2$）相邻。PRDF的权重是值$w(f) = \sum_{u \in V}f(u)$。图$G$上的PRDF的最小权称为$G$的\emph{perfect Roman domination number $γ_R^p(G)$}。一个图$G$是完美罗马控制控制稳定的，如果在任意顶点的移除下，图$G$的完美罗马控制数保持不变.在本文中，我们刻画了所有的树是完美罗马控制稳定的。
2018-06-08 math.CO
Roman domination number of Generalized Petersen Graphs P(n,2)
图$G=(V, E)$上的$Roman\ domination\ function$是满足以下条件的函数$f:V(G)\rightarrow\{0,1,2\}$：每个具有$f(u)=0$的顶点$u$与至少一个具有$f(v)=2$的顶点$v$相邻。罗马控制函数$f$的$weight$是值$f(V(G))=\sum_{u\in V(G)}f(u)$。图$G$上罗马控制函数的最小权称为$G$的$Roman\ domination\ number$，记为$γ_{R}(G)$。本文研究了广义Petersen图P（n，2）的{ \it罗马控制数}，证明了$γ_R(P(n,2)) = \lceil {\frac{8n}{7}}\rceil (n \geq 5)$ .
2011-03-12 math.CO
Perfect Roman Domination and Unique Response Roman Domination
本文利用多项式时间可解的扩展问题，通过构造双射证明了完美和唯一响应罗马支配函数可多项式延迟枚举，并揭示了二者在分裂图上的复杂性差异。
2023-09-13 cs.CC cs.DM math.CO
Edge Roman domination on graphs
图$G$的边罗马控制函数是满足如下条件的函数$f\colon E(G) \rightarrow \{0,1,2\}$：每个具有$f(e)=0$的边$e$与具有$f(e')=2$的边$e'$相邻. $G$的边罗马控制数，用$γ'_R(G)$表示，是$G$的边罗马控制函数$f$的最小权$w(f) = \sum_{e\in E(G)} f(e)$。本文证明了Akbari，Ehsani，Ghajar，Jalaly Khalilabadi和Sadeghian Sadeghabad的一个猜想：如果$G$是$n$顶点上的最大度$Δ$的图，则$γ_R'(G) \le \lceil \fracΔ{Δ+1} n \rceil$ .当反例的边罗马控制数为$\frac{2Δ-2}{2Δ-1} n$时，证明了$\frac{2Δ-2}{2Δ-1} n + \frac{2}{2Δ-1}$是连通图的一个上界.进一步，我们给出了$k$ -退化图的边罗马控制数的一个上界，推广了Akbari，Ehsani，Ghajar，Jalaly Khalilabadi和Sadeghian Sadeghabad的结果.我们还证明了一个尖锐的上界次三次图。此外，我们还证明了平面图在$n$顶点上的边罗马控制数至多为$\frac{6}{7}n$，从而证实了Akbari和Qajar的一个猜想.我们还显示了一个上限周长至少为5，是2-细胞嵌入…
2014-08-13 math.CO
Improved Total Domination and Total Roman Domination in Unit Disk Graphs
本文研究单位圆盘图中的全支配与全罗马支配问题，首次证明TRDS问题NP完全，并给出TDS的7.17因子和TRDS的6.03因子近似算法，运行时间均为$O(n\log{k})$。
2024-04-04 cs.CG math.CO
On the Roman Bondage Number of Graphs on surfaces
图$G$上的罗马控制函数是一个标号$f : V(G) \rightarrow \{0, 1, 2\}$，使得每个标号为$0$的顶点都有一个标号为$2$的邻居。$G$的罗马控制数$γ_R(G)$是$Σ_{v\in V (G)} f(v)$在这类函数上的最小值。罗马束缚数$b_R(G)$是从$G$中移除的最小边集的基数，其结果是罗马控制数不等于$γ_R(G)$的图。本文给出了$b_{R}(G)$在平均度和最大度以及欧拉示性数、围长和最大度下的上界.我们还证明了在具有非负欧拉示性数的曲面上嵌入$2$胞的图的罗马束缚数不超过$15$。
2014-07-01 math.CO
Impact of Some Graph Operations on Double Roman Domination Number
给定一个图$G=(V,E)$，一个函数$f:V\rightarrow \{0,1,2,3\}$，具有如下性质：如果是$f(v)=0$，则存在$ v_{1},v_{2}\in N(v)$使得$f(v_{1})=f(v_{2})=2$，或者存在$ w \in N(v)$使得$f(w)=3$，如果是$f(v)=1$，则存在$ w \in N(v)$使得$f(w)\geq 2$，称为双罗马控制函数（DRDF）。DRDF $f$的权重是总和$f(V)=\sum_{v\in V}f(v)$。双罗马控制数$γ_{dR}(G)$是$G$上DRDF的权值中最小的。本文研究了图的卡氏积、孪生子加、图的冠等运算对双罗马控制数的影响。
2019-08-19 math.CO
Roman $\{2\}$-domination on Graphs with "few" 4-paths
本文通过模分解分析，研究了在具有有限数量4-路径的图类上的罗马{2}-控制问题，给出了蜘蛛图、良好标记蜘蛛图及某些关键素分裂图的罗马{2}-控制数，并提供了计算余图、P4-稀疏图、P4-整洁图和伙伴限制图的罗马{2}-控制数的线性时间算法，同时证明了罗马{2}-控制在P4-负载图上的NP完全性。
2026-05-27 math.CO
Roman domination in weighted graphs
Universidad de Sevilla（塞维利亚大学）；Universidad de Cádiz（加的斯大学）
本文研究加权图中的加权罗马 domination数，建立了该参数的界限并确定了若干图家族的精确值，同时展示了其与加权图differential的等价性。
2025-12-27 cs.DM math.CO
Roman domination and Mycieleki's structure in graphs
对于图$G=(V,E)$，如果对于任意一个具有$f(v)=0$的顶点$v$，在其邻域内至少有一个具有$f(w)=2$的顶点$w$，则称一个函数$f:V\rightarrow \{0,1,2\}$为罗马控制函数（RDF）. $G$的RDF $f$的权重是值$f(V)=\sum_{v\in V}f(v)$。$G$的RDF的最小权是它的罗马控制数，记为$γ_ R(G)$。本文首先证明了$γ_{R}(G)+1\leq γ_{R}(μ(G))\leq γ_{R}(G)+2$，其中$μ(G)$是$G$的Mycielekian图，然后刻画了在这些界中达到相等的图.然后，对任意正整数$m$，计算了特殊罗马图$G$的$m$-Mycieleskian $μ_{m}(G)$在$γ_R(G)$上的罗马控制数.最后，我们提出了几个图表来说明讨论的图形。
2011-05-17 math.CO
Domination in the Sierpiński graphs S(K_n,t)
本文主要研究Sierpienski图S（K_n，t）的不同类型的控制。更精确地说，我们给出了S（K_n，t）的一个极小控制集，从而给出了它们的控制数、罗马控制数和双罗马控制数的精确值.作为应用，证明了已有的一些界和结果是紧的，并进一步推广了它们。
2020-08-22 math.CO
Parameterized complexity of $r$-Hop, $r$-Step, and $r$-Hop Roman Domination
Indian Statistical Institute（印度统计研究所）
本文研究了 $r$-Hop、$r$-Step 和 $r$-Hop 罗马支配问题的参数复杂性，证明了 $r$-Hop 罗马支配是 W[2] 完全，并展示了其他问题在特定图类中的复杂性。
2026-02-28 cs.DM math.CO
Independent Double Roman Domination on Block Graphs
给定一个图$G=(V,E)$，如果当$f(v)=0$时$f$满足$\sum_{u \in N(v)}f(u) \geq 2$，则$f:V \rightarrow \{0,1,2 \}$是$G$的意大利控制函数.将$w(f)=\sum_{v \in V}f(v)$表示为$f$的重量。设$V_i=\{v:f(v)=i\},i=0,1,2$，如果$V_1 \cup V_2$是独立集，则称$f$为独立意大利控制函数. $G$的独立意大利控制数是独立意大利控制函数$f$的最小权，记为$i_{I}(G)$。将连通块图$G$的独立控制问题等价地转化为其块割点图$T$的诱导独立控制问题，并给出了求解任意连通块图$G$的$i_{I}(G)$的基于动态规划的线性时间算法.
2019-08-02 cs.DM cs.DS math.CO
On $\{k\}$-Roman graphs: complexity of recognition and the case of split graphs
Faculty of Information Studies in Novo Mesto, Slovenia（新梅斯托信息学院）；FAMNIT, University of Primorska, Koper, Slovenia（普里莫尔大学 FAMNIT 学院）；IAM, University of Primorska, Koper, Slovenia（普里莫尔大学 IAM 研究所）；Universidad Nacional de Rosario, Argentina（罗萨里奥国立大学）；CONICET, Argentina（阿根廷国家科学研究和技术委员会）
本文研究了{k}-罗马图的识别复杂性及分割图的特性，证明了识别问题NP难，并对特定分割图家族进行了分类。
2026-08-07 math.CO
A Note on Roman \{2\}-domination problem in graphs
对于图$G=(V,E)$，罗马$\{2\}$ -支配函数（R2 DF）$f:V\rightarrow \{0,1,2\}$具有这样的性质：对于具有$f(v)=0$的每个顶点$v\in V$，存在具有$f(u)=2$的邻居$u\in N(v)$，或者至少两个具有$f(x)=f(y)=1$的邻居$x,y\in N(v)$. R2 DF的权是和$f(V)=\sum_{v\in V}{f(v)}$，并且R2 DF的最小权是罗马$\{2\}$ -支配数$γ_{\{R2\}}(G)$。如果具有正函数值的顶点的集合是独立集合，则R2 DF是独立的。独立罗马$\{2\}$ -控制数$i_{\{R2\}}(G)$是独立罗马$\{2\}$ -控制函数在$G$上的最小权.在本文中，我们证明了与$γ_{\{R2\}}(G)$相关的决策问题是NP完全的，即使限制分裂图。我们设计了一个线性时间算法来计算任何树$T$的值$i_{\{R2\}}(T)$。这回答了Rahmouni和Chellali提出的一个开放问题[Independent Roman $\{2\}$ -domination in graphs，Discrete Applied Mathematics 236（2018），408-414]。Chellali、Haynes、Hedetniemi和McRae \cite{chellali2016roman…
2019-02-17 math.CO math.OC
Signed Total Roman Domination and Domatic Numbers: Degree Three and Complete Multipartite Graphs
RWTH Aachen University（亚琛工业大学）
研究三次图的符号全罗马支配数与其开放包装数、2-元全支配数和符号全支配数的关系，得到紧界和NP完全性结果，并确定完全多部图的精确值。
2026-06-26 math.CO
On The Double Roman bondage numbers of Graphs
对于图$G=(V,E)$，双罗马控制函数（DRDF）是具有以下性质的函数$f : V \longrightarrow \{0, 1, 2,3\}$：如果对于某个顶点$v$为$f(v)=0$，则$v$具有至少两个在$f$下被分配$2$的邻居，或者一个具有$f(w)=3$的邻居$w$，并且如果$f(v)=1$，则$v$具有至少一个具有$f(w) \geq 2$的邻居$w$。DRDF $f$的权重为$f (V) =\sum_{u\in V} f (u)$之和。图$G$上DRDF的最小权是$G$的双罗马控制数，记为$γ_{dR}(G)$。$G$的双罗马束缚数，用$b_{dR}(G)$表示，是所有边子集$B \subseteq E(G)$中的最小基数，使得$γ_{dR}(G-B) > γ_{dR}(G)$。本文研究了图的双重罗马束缚数。确定了几类图的双重罗马束缚数，并给出了双重罗马束缚数的几个界。我们还研究了双罗马束缚数的复杂性问题，并证明了双罗马束缚数的决策问题是NP-困难的，即使限制在二部图。
2019-05-16 math.CO
Roman domination excellent graphs: trees
图$G = (V, E)$上的罗马控制函数（RDF）是一个标号$f : V \rightarrow \{0, 1, 2\}$，使得每个标号为$0$的顶点都有一个标号为$2$的邻居。$f$的权重是值$f(V) = Σ_{v\in V} f(v)$。$G$的罗马控制数$γ_R(G)$是$G$上RDF的最小权重。最小权值的RDF称为$γ_R$ -函数。一个图G被称为$γ_R$ -优，如果对于每个顶点$x \in V$，在$G$上有一个$γ_R$ -函数$h_x$，其中有$h_x(x) \not = 0$ .我们提出了一个建设性的表征$γ_R$ -优秀的树使用标签。一个图$G$称为在类$UVR$中，如果对每个$v \in V$有$γ(G-v) = γ(G)$，其中$γ(G)$是$G$的控制数。我们证明了$UVR$中的每棵树都是$γ_R$ -优秀的。
2016-10-02 math.CO
Exploring Algorithmic Solutions for the Independent Roman Domination Problem in Graphs
本文针对已知在二分图上为NP难的最小独立罗马控制问题，提出一种多项式时间算法，可求解距离遗传图、分裂图和$P_4$-稀疏图上的该问题，推进了其算法复杂度研究。
2024-07-12 cs.DM math.CO
$[k]$-Roman domination on cylindrical grids $C_m \Box P_n$
Faculty of Mechanical Engineering, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学机械工程学院）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理与力学研究所）；Rudolfovo – Science and Technology Centre（鲁多尔福沃科学与技术中心）
本文研究了圆柱形网格 $C_m \Box P_n$ 上的 $[k]$-罗马 domination 数，推导了上界并揭示了不同构造在不同参数下的主导范围。
2026-09-25 math.CO
Roman domination: changing, unchanging, $γ_R$-graphs
图$G = (V(G), E(G))$上的罗马控制函数（RD-函数）是一个标号$f : V(G) \rightarrow \{0, 1, 2\}$，使得每个标号为$0$的顶点都有标号为$2$的邻居. RD函数$f$在$G$上的权重$f(V(G))$是值$Σ_{v\in V(G)} f (v)$。$G$的{ \em罗马控制数} $γ_{R}(G)$是$G$上RD函数的最小权。考虑了图的罗马控制数在删除一个点、删除一条边或增加一条边时发生变化或不变的六类图。我们考虑类之间的关系，这是说明在维恩图。一个图$G$是罗马控制$k$ -关键的，如果任何一组$k$顶点的删除减少罗马控制数。研究了这类图的一些初始性质。图$G$的$γ_R$ -图是其顶点集是$G$上所有最小权RD-函数的集合$\mathscr{D}_R(G)$的图。我们用几种方法定义了$\mathscr{D}_R(G)$中任意两个元素之间的邻接关系，并开始了对所得到的$γ_R$ -图的研究.
2017-09-15 math.CO
The restrained double Roman domination and graph operations
设$G=(V(G),E(G))$是一个简单图。一个受限制的双罗马控制函数$G$的（RDRD-函数）是满足以下性质的函数$f: V(G) \rightarrow \{0,1,2,3\}$：如果$f(v)=0$，则顶点$v$具有至少两个在$f$下分配为2的邻居或一个具有$f(u)=3$的邻居$u$;并且如果$f(v)=1$，则顶点$v$必须具有一个具有$f(u) \geq 2$的邻居$u$;在$f$下，顶点赋值为0的导出图不含孤立点。RDRD函数$f$的权是和$f(V)=\sum_{v \in V(G)} f(v)$，并且RDRD函数在$G$上的最小权是$G$的受约束的双罗马控制数（RDRD数），由$γ_{rdR}(G)$表示。在本文中，我们首先证明了计算RDRD-数的问题是NP-困难的，即使弦图。然后研究了图的强积、基数积、冠等运算对限制双罗马控制数的影响。
2021-11-08 math.CO
Independent double Roman domination in graphs
图$G=(V,E)$上的独立双罗马控制函数（IDRDF）是具有以下性质的函数$f:V(G)\rightarrow \{0,1,2,3\}$：如果$f(v)=0$，则顶点$v$具有至少两个在$f$下被分配$2$的邻居，或者具有在$f$下被分配$3$的一个邻居$w$，并且如果$f(v)=1$，则存在具有$f(w)\geq2$的$w\in N(v)$，使得正权重顶点是独立的。IDRDF的权重是值$\sum_{u\in V}f(u)$。图$G$的独立双罗马控制数$i_{dR}(G)$是图G上IDRDF的最小权.本文首先研究了独立双罗马控制数，并给出了它与独立罗马控制数IDN和独立罗马$\{2\}$ -控制数IR 2DN的关系.给出了图$G$的IDRDN的几个严格界，它们分别是$G$的阶、最大度和最小边覆盖。最后，我们证明了，任何有序对$(a,b)$可实现为某个非平凡树的IDN和IDRDN当且仅当$2a + 1 \le b \le 3a$。
2019-04-09 math.CO
Roman-Type Domination on Convex and Chordal Bipartite Graphs: Algorithms and Hardness
Indian Institute of Technology Guwahati（印度理工学院古瓦哈提分校）
研究凸二分图和弦二分图上四种罗马支配变体，为凸二分图开发统一动态规划框架，可\(O(n^6)\)时间计算相关参数，同时证明弦二分图上部分变体仍NP完全，明确两类图算法差异。
2026-07-17 cs.DM math.CO
On a Vizing-type integer domination conjecture
给定一个简单图$G$，$G$中的支配集是一个顶点$S$的集合，使得每个不在$S$中的顶点都有一个邻居。用$γ(G)$表示$G$的控制数，它是$G$的任何最小控制集的大小。对于任何整数$k\ge 1$，函数$f : V (G) \rightarrow \{0, 1, . . ., k\}$称为\emph{$\{k\}$-dominating function}，如果它的函数值在任何封闭邻域上的和至少是$k$。$\{k\}$ -支配函数的权是它在所有顶点上的值之和。定义$G$的$\{k\}$ -控制数$γ_{\{k\}}(G)$为所有$\{k\}$ -控制函数的最小权. Brešar，Henning和Klavžar（关于图中的整数支配和Vizing类问题。\emph{Taiwanese J. Math.} {10（5）}（2006）pp. 1317--1328）询问是否存在整数$k\ge 2$使得$γ_{\{k\}}(G\square H)\ge γ(G)γ(H)$。在本注记中，我们使用罗马$\{2\}$ -支配数，Chellali，Haynes，Hedetniemi和McRae的$γ_{R2}$（罗马$\{2\}$ -支配数。\emph{Discrete Applied Mathematics} {204}（2016）pp.（第22至28段）证明了若$G$是无爪图，$H$是任意图，则…
2020-07-08 math.CO
Maximal double Roman domination in graphs
本文首次研究图中的极大双重罗马控制问题，证明了其在二分图、弦图和平面图上是NP完全的，但在有界团宽图上可线性求解，并给出了该控制数的参数关系、树的界限及路径与环的精确值。
2024-02-10 math.CO
Total Roman Domination Edge-Supercritical and Edge-Removal-Supercritical Graphs
图$G$上的全罗马控制函数是一个函数$f:V(G)\rightarrow \{0,1,2\}$，使得每个具有$f(v)=0$的顶点$v$都与具有$f(u)=2$的顶点$u$相邻，并且$G$的子图由所有顶点$w$的集合导出，使得$f(w)>0$没有孤立点。$f$的重量是$Σ_{v\in V(G)}f(v)$。全罗马控制数$γ_{tR}(G)$是$G$上全罗马控制函数的最小权。一个图$G$是$k$-$γ_{tR}$-edge-critical，如果$γ_{tR}(G+e)<γ_{tR}(G)=k$对每个边$e\in E(\overline{G})\neq\emptyset $，和$k$-$γ_{tR}$-edge-critical和$γ_{tR}(G+e)=γ_{tR}(G)-2$对每个边$e\in E(\overline{G})\neq \emptyset $ .一个图$G$是$k$-$γ_{tR}$-边稳定的，如果对每条边$e\in E(\overline{G})$或$E(\overline{G})=\emptyset$都有$γ_{tR}(G+e)=γ_{tR}(G)=k$.对于具有度$1$顶点的边$e\in E(G)$事件，我们定义$γ_{tR}(G-e)=\infty$。图$G$是$k$-$γ_{tR}$-edge-removal-critical，如果它对每个边$e\in E…
2020-02-03 math.CO
Outer Independent Roman Domination Number of Cartesian Product of Paths and Cycles
本文研究路径与圈的笛卡尔积的外独立罗马控制数，确定了部分参数下的精确值，并给出了n≥4、m≥4时的上界，丰富了图的罗马控制理论相关结果。
2024-10-09 math.CO
Independent [k]-Roman Domination on Graphs
本文研究图上的独立 $[k]$-Roman 支配，定义 $[k]$-IRDF 与参数 $i_{[kR]}(G)$，证明相关判定问题在最大度 3 的平面二部图上 NP 完全，并给出一般图及两类 snark 图的界。
2024-06-17 math.CO
