The characterization of perfect Roman domination stable trees
图$G = (V, E)$上的\emph{perfect Roman dominating function}（PRDF）是满足以下条件的函数$f : V \rightarrow \{0, 1, 2\}$：每个顶点$u$（其$f(u) = 0$）恰好与一个顶点$v$（其$f(v) = 2$）相邻。PRDF的权重是值$w(f) = \sum_{u \in V}f(u)$。图$G$上的PRDF的最小权称为$G$的\emph{perfect Roman domination number $γ_R^p(G)$}。一个图$G$是完美罗马控制控制稳定的，如果在任意顶点的移除下，图$G$的完美罗马控制数保持不变.在本文中，我们刻画了所有的树是完美罗马控制稳定的。
2018-06-08 math.CO
Roman domination in direct product graphs and rooted product graphs
设$G$是一个顶点集为$V(G)$的图.函数$f:V(G)\rightarrow \{0,1,2\}$是$G$上的罗马控制函数，如果$f(v)=0$的每个顶点$v\in V(G)$与至少一个顶点$u\in V(G)$相邻，使得$f(u)=2$。$G$的罗马控制数是$G$上所有罗马控制函数$f$中的最小权$ω(f)=\sum_{x\in V(G)}f(x)$。本文研究了直积图和根积图的罗马控制数。具体地说，我们给出了包含因子参数的直积图的罗马控制数的几个严格的上下界，其中包括控制数、（全）罗马控制数和填充数等.另一方面，我们证明了根积图的罗马控制数只能达到三个可能的值，这取决于产品的顺序，控制，罗马控制数的因素。此外，理论刻画类的根积图实现这三个可能的值。
2021-05-20 math.CO
Averaging $2$-Rainbow Domination and Roman Domination
对于图$G$，设$γ_{r2}(G)$和$γ_R(G)$分别表示图的$2$ -彩虹控制数和罗马控制数. Fujita和Furuya（Difference between 2-rainbow dominance and Roman dominance in graphs，Discrete Applied Mathematics 161（2013）806-812）证明了$γ_{r2}(G)+γ_R(G)\leq \frac{6}{4}n(G)$对于阶为$n(G)$至少为$3$的连通图$G$。此外，他们证明了$γ_{r2}(G)+γ_R(G)\leq \frac{4}{3}n(G)$的连通图$G$的最小度至少$2$是不同于$C_5$。我们刻画了所有极图的不等式，并证明了它们的猜想。
2015-07-17 math.CO
Perfect Roman domination in middle graphs
图$G$的中间图$M(G)$是通过将$G$的每条边精确地细分一次并且连接$G$的邻边的所有这些新引入的顶点而获得的图。图$G$上的完美罗马控制函数是满足以下条件的函数$f : V(G) \rightarrow \{0, 1, 2\}$：每个具有$f(v)=0$的顶点$v$恰好与一个具有$f(u)=2$的顶点$u$相邻。完美罗马控制函数$f$的权是顶点权的和。完美罗马控制数是$G$上完美罗马控制函数的最小权。本文给出了具有相等罗马控制数和完美罗马控制数的中间图的一个刻划。
2021-06-03 math.CO
Roman domination number of Generalized Petersen Graphs P(n,2)
图$G=(V, E)$上的$Roman\ domination\ function$是满足以下条件的函数$f:V(G)\rightarrow\{0,1,2\}$：每个具有$f(u)=0$的顶点$u$与至少一个具有$f(v)=2$的顶点$v$相邻。罗马控制函数$f$的$weight$是值$f(V(G))=\sum_{u\in V(G)}f(u)$。图$G$上罗马控制函数的最小权称为$G$的$Roman\ domination\ number$，记为$γ_{R}(G)$。本文研究了广义Petersen图P（n，2）的{ \it罗马控制数}，证明了$γ_R(P(n,2)) = \lceil {\frac{8n}{7}}\rceil (n \geq 5)$ .
2011-03-12 math.CO
Relating $2$-rainbow domination to weak Roman domination
为了解决Chellali，Haynes，and Hedetniemi（Discrete Appl. Math. 178（2014）27-32）提出的问题，我们证明了对每个图$G$都有$γ_{r2}(G)\leq 2γ_r(G)$，其中$γ_{r2}(G)$和$γ_r(G)$分别表示$G$的$2$ -彩虹控制数和弱罗马控制数。我们刻画了这个不等式的无$\{ K_4,K_4-e\}$的极图，并证明了无$K_5$的极图的识别是NP-困难的.
2015-07-17 math.CO
On a generalization of Roman domination with more legions
本文将 Roman 与 Italian 控制推广为任意正整数 k 下的强 Roman 及 Roman k-控制，比较其控制数，并首次确定完全二部图上的相关控制数。
2022-12-17 math.CO
Roman k-tuple domination number of a graph
对于任意整数$k\geq 1$和任意最小度至少为$k-1$的图$G=(V,E)$，如果对于任意具有$f(v)=0$的顶点$v$，至少存在$G$，并且对于任意具有$f(v)\neq 0$的顶点$v$，在其与$f(w)=2$的邻域中至少存在$k-1$顶点，则定义一个函数$f:V\rightarrow \{0,1,2\}$为$k$ -元组控制函数.罗马$k$ -元组控制函数$f$在$G$上的最小权称为图的罗马$k$ -元组控制数，其中$f$的权为$f(V)=\sum_{v\in V}f(v)$ .本文首次研究了图的Roman $k$ -元组控制数，给出了图的Garph、图的Mycieleskian和冠图的Roman $k$ -元组控制数的一些精确界.我们的另一个目标是找到一些已知图的Roman $k$ -元组控制数。我们的一些结果推广了Cockayne等人的结果。在2004年的罗马控制数。
2019-05-01 math.CO
Restrained double Roman domination of a graph
对于图G=（V，E），一个约束双罗马控制函数是函数f：V \rightarrow \{0，1，2，3\}，它具有如下性质：如果f（v）=0，则顶点v必须至少有两个邻点在f下被赋2，或者有一个邻点w使f（w）=3，如果f（v）=1，则顶点v必须至少有一个邻点w使f（w）\geq 2，同时包含零标号顶点的子图G[V_0]没有孤立点.约束双罗马控制函数f的权是和f（V）= \sum_{v\in V} f（v），G上约束双罗马控制函数f的最小权是G的约束双罗马控制数.我们开始研究限制双重罗马控制，证明计算这个参数的问题是NP-困难的。利用图G的阶给出了连通图G的限制性双罗马控制数的一个上界，并刻画了达到这个上界的图.我们研究了受限制的双重罗马统治与受限制的罗马统治。最后，我们刻画了所有达到所展示的边界的树T。
2021-06-16 math.CO
On the Strong Roman Domination Number of Graphs
根据君士坦丁皇帝下令罗马帝国任何不设防的地方（没有军团）必须由一个“更强”的邻居（有两个军团）保护的历史，描述了一个称为图中罗马统治的图论模型。图$G=(V,E)$的罗马控制函数是一个函数$f:V\rightarrow \{0,1,2\}$，使得每个具有$f(v)=0$的顶点$v$在$G$中至少有一个邻居$w$，对于该邻居$f(w)=2$。图的罗马控制数是罗马控制函数的最小权$\sum_{v\in V}f(v)$。本文首先研究了与罗马控制有关的一个新参数，我们称之为强罗马控制数，记为$γ_{StR}(G)$ .我们的方法的罗马统治型防御策略下的多个同时攻击的问题，并开始研究这个不变量的几个数学性质。特别是，我们首先证明了强罗马控制数的计算决策问题是NP-完全的，即使是限制在二分图。我们得到了这一参数的几个界，并给出了它的可实现性结果，证明了对于任意$n\ge 3$阶树$T$，$γ_{StR}(T)\le 6n/7$，并刻画了所有的极值树.
2015-08-01 math.CO
On the Roman domination number of generalized Sierpinski graphs
一个映射$f : V \rightarrow \{0, 1, 2\}$是图$G=(V,E)$上的罗马控制函数，如果对于每个具有$f(v) = 0$的顶点$v\in V$，存在一个与$v$相邻的顶点$u$，使得$f(u) = 2$。罗马控制函数的权由$f(V) =\sum_{u\in V}f(u)$给出。$G$上罗马控制函数的最小权称为$G$的罗马控制数。本文研究了广义Sierpienski图$S(G,t)$的罗马控制数.更精确地说，我们得到了$S(G,t)$的罗马控制数的一个一般上界，并讨论了这个上界的紧性。特别是，我们专注于的情况下，基图$G$是一条路，一个循环，一个完全的图或图有一个唯一的通用顶点。
2016-05-23 math.CO
Roman $\{2\}$-domination in graphs and graph products
对于$n$阶的图$G=(V,E)$，罗马$\{2\}$ -支配函数$f:V\rightarrow\{0,1,2\}$具有这样的性质：对于具有$f(v)=0$的每个顶点$v\in V$，要么$v$邻近于在$f$下被赋予$2$的顶点，要么$v$邻近于在$f$下被赋予$1$的至少两个顶点.本文对所有具有Roman $\{2\}$ -控制数的图进行了分类，并给出了属于集合$\{2,3,4,n-2,n-1,n\}$的图的分类.此外，我们还得到了一些图运算的Roman $\{2\}$ -控制数的结果.
2020-08-04 math.CO
Several Roman domination graph invariants on Kneser graphs
本文研究了Kneser图上的罗马支配、全罗马支配和符号罗马支配三个图不变量，给出了相应支配数的精确值及上下界。
2023-05-17 math.CO
Triple Roman Domination in Graphs
本文研究图中的三重罗马支配，要求每城至少三军团防御，给出一般图的界、部分图族的精确值及复杂性结果。
2024-02-10 math.CO
Quasi-total Roman domination in graphs
图$G=(V, E)$上的拟全罗马控制函数是满足以下条件的函数$f : V \rightarrow \{0,1,2\}$：-每个顶点$u$，其$f(u) = 0$与至少一个顶点$v$相邻，其$f(v) =2$，和-如果$x$是由标为1和2的顶点集合导出的子图中的孤立顶点，则$f(x)=1$。拟全罗马控制函数的权是值$ω(f)=f(V)=\sum_{u\in V} f(u)$。图$G$上的拟全罗马控制函数的最小权称为图$G$的拟全罗马控制数。本文引入了图的拟全罗马控制数，并研究了它的组合性质和计算性质。
2019-03-23 math.CO
Roman domination number of zero-divisor graphs over commutative rings
本文研究交换环上零因子图$\Gamma(R)$的Roman控制数，推导了$T(\Gamma(R))$的Roman控制数的界，丰富了零因子图的控制理论相关结果。
2024-12-10 math.CO
Upper bounds for double Roman domination and $[k]$-Roman domination of cylindrical graphs $C_m \Box P_n$
Faculty of Mechanical Engineering, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学机械工程学院）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics, Ljubljana（卢布尔雅那数学、物理与力学研究所）；Rudolfovo – Science and Technology Centre, Novo Mesto（诺沃梅斯托鲁多尔福沃科学与技术中心）
本文研究了柱形图C_m□P_n的[k]-罗马 domination 数，通过线性周期构造、均匀天花板型标记和基于打包的改进三种方法，推导出新的上界，并比较了不同参数k下的效率。
2026-09-25 math.CO
Relating the outer-independent total Roman domination number with some classical parameters of graphs
对于一个给定的没有孤立点的图$G$，我们考虑一个函数$f: V(G) \rightarrow \{0,1,2\}$。对于每个$i\in \{0,1,2\}$，设$V_i=\{v\in V(G):\; f(v)=i\}$。如果满足：（i）$V_0$中的每个顶点至少与$V_2$中的一个顶点相邻;（ii）$V_0$是一个独立集;（iii）由$V_1\cup V_2$导出的子图没有孤立点，则称$f$是图$G$的外独立全罗马控制函数. $G$的所有外独立全罗马控制函数中的最小可能权$ω(f)=\sum_{v\in V(G)}f(v)$称为$G$的外独立全罗马控制数。在这篇文章中，我们得到了这个参数的新的紧界，改进了一些著名的结果。这样的界限也可以被看作是这个参数和图论中其他几个经典参数之间的关系，如控制，全控制，罗马控制，独立性和顶点覆盖数。此外，我们还计算了Sierpienski图、循环图以及完全图的笛卡尔积和直积的外独立全罗马控制数。
2021-12-10 math.CO
Perfect domination, Roman domination and perfect Roman domination in lexicographic product graphs
本文研究字典序乘积图的完美控制数、罗马控制数和完美罗马控制数，给出前两者的闭式公式，为完美罗马控制数提供界限及达到条件，并刻画完美罗马图。
2022-04-26 cs.DM math.CO
Relating $2$-Rainbow Domination to Roman domination
对于图$G$，令$γ_R(G)$和$γ_{r2}(G)$分别表示$G$的罗马控制数和$G$的$2$ -彩虹控制数.已知$γ_{r2}(G)\leq γ_R(G)\leq \frac{3}{2}γ_{r2}(G)$ . Fujita和Furuya（Difference between 2-rainbow dominance and Roman dominance in graphs，Discrete Applied Mathematics 161（2013）806-812）给出了图$G$的某种表征，其中$γ_R(G)-γ_{r2}(G)=k$针对某个整数$k$。不幸的是，他们的结果并没有导致一个算法，允许有效地识别这些图形。我们证明了对于每个固定的非负整数$k$，连通无$K_4$图$G$与$γ_R(G)-γ_{r2}(G)=k$的识别是NP-困难的，这意味着这些图很可能没有好的刻画.我们刻画了图$G$，使得$G$的每个导出子图$H$都有$γ_{r2}(H)=γ_R(H)$，并收集了图$G$有$γ_R(G)=\frac{3}{2}γ_{r2}(G)$的几个性质.
2015-12-03 math.CO
Roman domination: changing, unchanging, $γ_R$-graphs
图$G = (V(G), E(G))$上的罗马控制函数（RD-函数）是一个标号$f : V(G) \rightarrow \{0, 1, 2\}$，使得每个标号为$0$的顶点都有标号为$2$的邻居. RD函数$f$在$G$上的权重$f(V(G))$是值$Σ_{v\in V(G)} f (v)$。$G$的{ \em罗马控制数} $γ_{R}(G)$是$G$上RD函数的最小权。考虑了图的罗马控制数在删除一个点、删除一条边或增加一条边时发生变化或不变的六类图。我们考虑类之间的关系，这是说明在维恩图。一个图$G$是罗马控制$k$ -关键的，如果任何一组$k$顶点的删除减少罗马控制数。研究了这类图的一些初始性质。图$G$的$γ_R$ -图是其顶点集是$G$上所有最小权RD-函数的集合$\mathscr{D}_R(G)$的图。我们用几种方法定义了$\mathscr{D}_R(G)$中任意两个元素之间的邻接关系，并开始了对所得到的$γ_R$ -图的研究.
2017-09-15 math.CO
Theoretical results for Perfect Location signed Roman domination problem
本文研究图论中的完美定位符号罗马控制（PLSRD）问题，给出多种经典图类的PLSRD数精确值，并推导3-正则图下界与花斯诺克图上界，揭示约束与图结构的关联。
2025-01-15 math.CO
Further Results on the Majority Roman Domination in graphs
University of Mazandaran（马赞德兰大学）；University of Tafresh（塔夫雷什大学）；Shahrood University of Technology（沙赫鲁德理工大学）
本文研究了图中的多数罗马支配问题，探讨了其性质并给出了某些图的多数罗马支配数的上下界。
2025-12-07 math.CO
Independent double Roman domination in graphs
图$G=(V,E)$上的独立双罗马控制函数（IDRDF）是具有以下性质的函数$f:V(G)\rightarrow \{0,1,2,3\}$：如果$f(v)=0$，则顶点$v$具有至少两个在$f$下被分配$2$的邻居，或者具有在$f$下被分配$3$的一个邻居$w$，并且如果$f(v)=1$，则存在具有$f(w)\geq2$的$w\in N(v)$，使得正权重顶点是独立的。IDRDF的权重是值$\sum_{u\in V}f(u)$。图$G$的独立双罗马控制数$i_{dR}(G)$是图G上IDRDF的最小权.本文首先研究了独立双罗马控制数，并给出了它与独立罗马控制数IDN和独立罗马$\{2\}$ -控制数IR 2DN的关系.给出了图$G$的IDRDN的几个严格界，它们分别是$G$的阶、最大度和最小边覆盖。最后，我们证明了，任何有序对$(a,b)$可实现为某个非平凡树的IDN和IDRDN当且仅当$2a + 1 \le b \le 3a$。
2019-04-09 math.CO
Impact of Some Graph Operations on Double Roman Domination Number
给定一个图$G=(V,E)$，一个函数$f:V\rightarrow \{0,1,2,3\}$，具有如下性质：如果是$f(v)=0$，则存在$ v_{1},v_{2}\in N(v)$使得$f(v_{1})=f(v_{2})=2$，或者存在$ w \in N(v)$使得$f(w)=3$，如果是$f(v)=1$，则存在$ w \in N(v)$使得$f(w)\geq 2$，称为双罗马控制函数（DRDF）。DRDF $f$的权重是总和$f(V)=\sum_{v\in V}f(v)$。双罗马控制数$γ_{dR}(G)$是$G$上DRDF的权值中最小的。本文研究了图的卡氏积、孪生子加、图的冠等运算对双罗马控制数的影响。
2019-08-19 math.CO
Roman domination in graphs: the class $\mathcal{R}_\mathbf{UV R}$
对于图$G = (V, E)$，罗马控制函数$f : V \rightarrow \{0, 1, 2\}$具有这样的性质：每个具有$f (v) = 0$的顶点$v \in V $都有一个具有$f (u) = 2$的邻居$u$.罗马控制函数$f$的权是和$f (V) = \cup_{v\in V} f (v)$，并且罗马控制函数在$G$上的最小权是$G$的罗马控制数$γ_R(G)$。$G$的罗马束缚数$b_R(G)$是所有集合$F \subseteq E$的最小基数，其中$γ_R(G - F) > γ_R(G)$。若图$G$在删除一个顶点后罗马控制数保持不变，则它属于图类$\mathcal{R}_{UVR}$.本文给出了图$G$在$\mathcal{R}_{UVR}$中的$γ_R(G)$和$b_R(G)$的紧上界.我们提出了一个树是在类$\mathcal{R}_{UV R}$的必要和充分条件。利用标号给出了$\mathcal{R}_{UVR}$ -树的构造性刻画。
2015-08-09 math.CO
Integer Linear Programming Formulations for Triple and Quadruple Roman Domination Problems
针对NP-hard的三重、四重罗马支配问题，本文提出对应的遗传算法与整数线性规划公式，通过IBM CPLEX 22.1求解器在NetworkX Erdos-Renyi随机图上完成了模型实现与结果获取。
2023-05-01 cs.DM math.CO
Roman domination and Mycieleki's structure in graphs
对于图$G=(V,E)$，如果对于任意一个具有$f(v)=0$的顶点$v$，在其邻域内至少有一个具有$f(w)=2$的顶点$w$，则称一个函数$f:V\rightarrow \{0,1,2\}$为罗马控制函数（RDF）. $G$的RDF $f$的权重是值$f(V)=\sum_{v\in V}f(v)$。$G$的RDF的最小权是它的罗马控制数，记为$γ_ R(G)$。本文首先证明了$γ_{R}(G)+1\leq γ_{R}(μ(G))\leq γ_{R}(G)+2$，其中$μ(G)$是$G$的Mycielekian图，然后刻画了在这些界中达到相等的图.然后，对任意正整数$m$，计算了特殊罗马图$G$的$m$-Mycieleskian $μ_{m}(G)$在$γ_R(G)$上的罗马控制数.最后，我们提出了几个图表来说明讨论的图形。
2011-05-17 math.CO
Roman domination in graphs with minimum degree at least two and some forbidden cycles
设$G=(V,E)$是$n$阶图，$γ_{R}(G)$和$\partial (G)$分别表示$G,$的罗马控制数和微分.本文证明了对任意整数$k\geq 0$，若$G$是阶$n\geq 6k+9$，最小度$δ\geq 2,$且不含诱导$\{C_{5},C_{8},\ldots ,C_{3k+2}\}$ % -圈的图，则有$γ_{R}(G)\leq \frac{(4k+8)n}{6k+11}$ .这个界是[E.W.钱伯斯湾Kinnersley，N.王子和D.B. West，Extremal problems for Roman domination，SIAM J. Discrete Math.23（2009）1575- 1586] when $k=0,$ {and [S. Alberdo，On the differential and Roman dominance number of a graph with minimum degree two，Discrete Appl. Math. 232（2017），64- 72] when } $k=1.$此外，使用由Alberdo等人建立的涉及罗马控制数和图的微分的Gallai型结果。声明$γ_{R}(G)+\partial (G)=n$，我们得到了$\partial (G)\geq \frac{(2k+3)n}{6k+11},$，从而…
2021-10-14 math.CO
Roman $\{2\}$-domination on Graphs with "few" 4-paths
本文通过模分解分析，研究了在具有有限数量4-路径的图类上的罗马{2}-控制问题，给出了蜘蛛图、良好标记蜘蛛图及某些关键素分裂图的罗马{2}-控制数，并提供了计算余图、P4-稀疏图、P4-整洁图和伙伴限制图的罗马{2}-控制数的线性时间算法，同时证明了罗马{2}-控制在P4-负载图上的NP完全性。
2026-05-27 math.CO
The Signed (Total) Roman Domination Problem on some Classes of Planar Graphs -- Convex Polytopes
本文讨论了文献中几类可平面图的符号罗马控制数$γ_{sR}$和$γ_{stR}$的计算问题。给出了数$γ_{sR}(A_n)$和$γ_{sR}(R_n)$以及数$γ_{stR}(S_n)$和$γ_{stR}(T_n)$的精确值的证明.对于其他几类可平面图，如$Q_n$，% $S_n"$和$T_n"$，计算并证明了$γ_{sR}$的上下界.本文给出了几类可平面图的$γ_{sR}$和$γ_{stR}$的精确值的一些公开问题。
2021-07-17 math.CO
Edge Roman domination on graphs
图$G$的边罗马控制函数是满足如下条件的函数$f\colon E(G) \rightarrow \{0,1,2\}$：每个具有$f(e)=0$的边$e$与具有$f(e')=2$的边$e'$相邻. $G$的边罗马控制数，用$γ'_R(G)$表示，是$G$的边罗马控制函数$f$的最小权$w(f) = \sum_{e\in E(G)} f(e)$。本文证明了Akbari，Ehsani，Ghajar，Jalaly Khalilabadi和Sadeghian Sadeghabad的一个猜想：如果$G$是$n$顶点上的最大度$Δ$的图，则$γ_R'(G) \le \lceil \fracΔ{Δ+1} n \rceil$ .当反例的边罗马控制数为$\frac{2Δ-2}{2Δ-1} n$时，证明了$\frac{2Δ-2}{2Δ-1} n + \frac{2}{2Δ-1}$是连通图的一个上界.进一步，我们给出了$k$ -退化图的边罗马控制数的一个上界，推广了Akbari，Ehsani，Ghajar，Jalaly Khalilabadi和Sadeghian Sadeghabad的结果.我们还证明了一个尖锐的上界次三次图。此外，我们还证明了平面图在$n$顶点上的边罗马控制数至多为$\frac{6}{7}n$，从而证实了Akbari和Qajar的一个猜想.我们还显示了一个上限周长至少为5，是2-细胞嵌入…
2014-08-13 math.CO
Roman domination excellent graphs: trees
图$G = (V, E)$上的罗马控制函数（RDF）是一个标号$f : V \rightarrow \{0, 1, 2\}$，使得每个标号为$0$的顶点都有一个标号为$2$的邻居。$f$的权重是值$f(V) = Σ_{v\in V} f(v)$。$G$的罗马控制数$γ_R(G)$是$G$上RDF的最小权重。最小权值的RDF称为$γ_R$ -函数。一个图G被称为$γ_R$ -优，如果对于每个顶点$x \in V$，在$G$上有一个$γ_R$ -函数$h_x$，其中有$h_x(x) \not = 0$ .我们提出了一个建设性的表征$γ_R$ -优秀的树使用标签。一个图$G$称为在类$UVR$中，如果对每个$v \in V$有$γ(G-v) = γ(G)$，其中$γ(G)$是$G$的控制数。我们证明了$UVR$中的每棵树都是$γ_R$ -优秀的。
2016-10-02 math.CO
A dual view of Roman Domination: The 2-limited packing problem
RPTU University Kaiserslautern-Landau（凯泽斯劳滕-兰道理工大学）
本文将罗马 domination 问题与 2 限制打包问题进行比较，证明二者在树结构上为强对偶，从而通过解决 2 限制打包问题来解决罗马 domination 问题。
2026-02-10 math.CO
The restrained double Roman domination and graph operations
设$G=(V(G),E(G))$是一个简单图。一个受限制的双罗马控制函数$G$的（RDRD-函数）是满足以下性质的函数$f: V(G) \rightarrow \{0,1,2,3\}$：如果$f(v)=0$，则顶点$v$具有至少两个在$f$下分配为2的邻居或一个具有$f(u)=3$的邻居$u$;并且如果$f(v)=1$，则顶点$v$必须具有一个具有$f(u) \geq 2$的邻居$u$;在$f$下，顶点赋值为0的导出图不含孤立点。RDRD函数$f$的权是和$f(V)=\sum_{v \in V(G)} f(v)$，并且RDRD函数在$G$上的最小权是$G$的受约束的双罗马控制数（RDRD数），由$γ_{rdR}(G)$表示。在本文中，我们首先证明了计算RDRD-数的问题是NP-困难的，即使弦图。然后研究了图的强积、基数积、冠等运算对限制双罗马控制数的影响。
2021-11-08 math.CO
Signed Total Roman Domination and Domatic Numbers: Degree Three and Complete Multipartite Graphs
RWTH Aachen University（亚琛工业大学）
研究三次图的符号全罗马支配数与其开放包装数、2-元全支配数和符号全支配数的关系，得到紧界和NP完全性结果，并确定完全多部图的精确值。
2026-06-26 math.CO
Total Roman 2-domination in graphs
给定一个图$G=(V,E)$，一个函数$f:V\rightarrow \{0,1,2\}$是一个全罗马$\{2\}$ -支配函数，如果：（1）每个顶点$v\in V$，对于它$f(v)=0$满足那个$\sum_{u\in N(v)}f(u)\geq 2$，其中$N(v)$表示$v$的开邻域，和（2）每个顶点$x\in V$，对于它$f(x)\geq 1$与至少一个顶点$y\in V$相邻，使得$f(y)\geq 1$ .函数$f$的权重定义为$ω(f)=\sum_{v\in V}f(v)$。总罗马$\{2\}$ -支配数，用$γ_{t\{R2\}}(G)$表示，是$G$上所有总罗马$\{2\}$ -支配函数中的最小权重。在这篇文章中，我们介绍了上述概念，并开始研究其组合和计算性质。例如，我们给出了这个参数与图中其他控制相关参数之间的几个封闭关系。此外，我们证明了计算值$γ_{t\{R2\}}(G)$的复杂性是NP-困难的，即使是限制在二分图或弦图。
2021-01-07 math.CO
Total Roman Domination Edge-Critical Graphs
图$G$上的全罗马控制函数是一个函数$% f:V(G)\rightarrow \{0,1,2\}$，使得每个具有$f(v)=0$的顶点$v$都与具有$f(u)=2$的顶点$u$相邻，并且由所有顶点$w$的集合导出的$G$的子图使得$f(w)>0$没有孤立点。$f$的权重为$Σ_{v\in V(G)}f(v)$。全罗马控制数$γ_{tR}(G)$是$G$上全罗马控制函数的最小权。一个图$G$是$k$-$γ_{tR}$-edge-critical，如果$γ_{tR}(G+e)<γ_{tR}(G)=k$对每个边$e\in E(\overline{G})\neq \emptyset $，和$k$-$γ_{tR}$-edge-critical，如果它是$k$-$γ_{tR}$-edge-critical和$γ_{tR}(G+e)=γ_{tR}(G)-2$对每个边$e\in E(\overline{G})\neq \emptyset $ .给出了$γ_{tR}$ -边临界图的一些基本结果，并刻画了某些类$γ_{tR}$ -边临界图.此外，我们表明，当$k$是小的，有一个连接$k$ - $γ_{tR}$ -边临界图和图的控制和全控制数是关键的。
2019-07-19 math.CO
Domination in the Sierpiński graphs S(K_n,t)
本文主要研究Sierpienski图S（K_n，t）的不同类型的控制。更精确地说，我们给出了S（K_n，t）的一个极小控制集，从而给出了它们的控制数、罗马控制数和双罗马控制数的精确值.作为应用，证明了已有的一些界和结果是紧的，并进一步推广了它们。
2020-08-22 math.CO
$[k]$-Roman domination on cylindrical grids $C_m \Box P_n$
Faculty of Mechanical Engineering, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学机械工程学院）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理与力学研究所）；Rudolfovo – Science and Technology Centre（鲁多尔福沃科学与技术中心）
本文研究了圆柱形网格 $C_m \Box P_n$ 上的 $[k]$-罗马 domination 数，推导了上界并揭示了不同构造在不同参数下的主导范围。
2026-09-25 math.CO
An Improved Bound for Upper Domination of Cartesian Products of Graphs
本文证明了Brešar提出的一个问题：对任意图$G$和$H$，$Γ(G\square H)\geΓ(G)Γ(H)+ \min\{|V(G)|-Γ(G),|V(H)|-Γ(H)\}$，其中$Γ(G)$表示$G$的上控制数.
2017-03-17 math.CO
On the weak Roman domination number of lexicographic product graphs
一个图$G=(V,E)$的顶点$v$被称为关于一个函数$f: V \longrightarrow \{0,1,2\}$是不设防的，如果对于每个与$v$相邻的顶点$u$，有$f(v)=0$和$f(u)=0$。我们称函数$f$为弱罗马控制函数，如果对于每个$v$，使得$f(v)=0$，存在一个与$v$相邻的顶点$u$，使得$f(u)\in \{1,2\}$和由$f'(v)=1$，$f'(u)=f(u)-1$和$f'(z)=f(z)$定义的函数$f': V \longrightarrow \{0,1,2\}$，对于每个$z\in V \setminus\{u,v\}$，没有不设防的顶点。$f$的重量为$w(f)=\sum_{v\in V(G) }f(v)$。图$G$的弱罗马控制数，记作$γ_r(G)$，是$G$上所有弱罗马控制函数中的最小权。Henning和Hedetniemi [Discrete Math.266（2003）239-251]表明，计算$γ_r(G)$的问题是NP难的，即使限制在二分图或弦图上。这表明找到$γ_r(G)$的特殊类的图或获得良好的界限，这个不变。本文利用因子图的不变量，得到了字典序积图的弱罗马控制数的封闭公式和紧界。
2018-03-19 math.CO
Roman-Type Domination on Convex and Chordal Bipartite Graphs: Algorithms and Hardness
Indian Institute of Technology Guwahati（印度理工学院古瓦哈提分校）
研究凸二分图和弦二分图上四种罗马支配变体，为凸二分图开发统一动态规划框架，可\(O(n^6)\)时间计算相关参数，同时证明弦二分图上部分变体仍NP完全，明确两类图算法差异。
2026-07-17 cs.DM math.CO
Italian Domination of Cartesian Products of Directed Cycles
在顶点集为$V(G)$的（di）图$G$上的意大利控制函数是一个函数$f: V(G) \to \{0, 1, 2\}$，使得每个顶点$v \in V(G)$，使得$f(v) = 0$有一个（in）邻居赋值为2或两个（in）邻居赋值为1。完成了有向圈的笛卡儿积的意大利控制数的研究。
2020-11-02 math.CO
Theoretical Studies of the k-Strong Roman Domination Problem
本文首次对k-强罗马控制问题进行理论研究，提出最小权重映射方法，为多类图给出精确值、界及三次图下界。
2023-12-22 math.CO
The Secure Domination Number of Cartesian Products of Small Graphs with Paths and Cycles
确定了两个小图与路或圈的笛卡儿积的安全控制数，以及Mobius梯图的安全控制数。在此之前的工作，在所有的情况下，安全控制数已被确定，证明要么是平凡的，或已来自下界建立考虑不同形式的控制。然而，后一种模式的证明是不适用于大多数图，包括那些考虑在这里。因此，这项工作代表了第一次尝试，以确定安全控制数通过安全控制本身的性质，预计这些方法可能会被用来确定在未来的进一步结果。
2021-11-15 math.CO
p-Strong Roman Domination in Graphs
本研究提出图的p-强罗马控制新参数，定义对应的函数与控制数，证明该问题的NP完全性，给出依赖经典图不变量的紧致上下界，并确定几类图的精确值。
2025-01-17 math.CO
Double Italian domination in trees
School of Mathematics and Statistics, Jiangsu Normal University（江苏师范大学数学与统计学院）；School of Mathematics and Statistics, Zhengzhou University（郑州大学数学与统计学院）
本文研究树上双重意大利 domination 数，发现其与双重罗马 domination 数不同，并给出了非平凡树的精确界及达到该界的树特征。
2026-03-30 math.CO
Protection of graphs with emphasis on Cartesian product graphs
本文研究了图的弱罗马控制数和安全控制数。特别是，我们得到这两个参数的一般界限，作为研究的结果，我们得到新的Nordhaus-Gaddum型不等式涉及安全控制和弱罗马控制。此外，还考虑了笛卡儿积图的特殊情况。
2020-08-01 math.CO
On total domination in the Cartesian product of graphs
Ho在[A note on the total dominance number，Util.Math. 77（2008）97- 100]中证明了任意两个没有孤立点的图的笛卡儿积的总控制数至少是它们的总控制数之积的一半。本文推广了Lu和Hou在[图与$K_2$或$C_n$的笛卡儿积的全控制，Util. Math.83（2010）313- 322]，通过表征图对$G$和$H$，其中$γ_t(G\Box H)=\frac{1}{2}γ_t(G) γ_t(H)\,$，无论何时$γ_t(H)=2$。此外，我们还得到了一类具有$γ_t(G_n)=2n$的图$G_n$，它们渐近地逼近$γ_t(G_n\Box G_n)\ge \frac{1}{2}γ_t(G_n)^2$中的等式.
2016-12-28 math.CO
Further results on \([k]\)-Roman domination on cylindrical grids \(C_m \Box P_n\)
Faculty of Mechanical Engineering, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学机械工程学院）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics, Ljubljana（卢布尔雅那数学、物理与力学研究所）；Faculty of Mathematics and Physics, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学数学与物理学院）；Rudolfovo – Science and Technology Centre, Novo Mesto（诺沃梅斯托鲁道尔福沃科学与技术中心）
本文研究圆柱形图$C_m \Box P_n$的$[k]$-罗马 domination 数，通过局部邻域约束得出下界，并利用与高效 domination 的联系刻画最优配置，构造周期性函数得到上界，经优化后展示其依赖于参数$k$和路径长度的强度。
2026-09-25 math.CO
Outer Independent Roman Domination Number of Cartesian Product of Paths and Cycles
本文研究路径与圈的笛卡尔积的外独立罗马控制数，确定了部分参数下的精确值，并给出了n≥4、m≥4时的上界，丰富了图的罗马控制理论相关结果。
2024-10-09 math.CO
On the total and strong version for Roman dominating functions in graphs
考虑一个有限简单图$G=(V,E)$，其最大度为$Δ$ .图$G$上的强罗马控制函数被理解为一个映射$f : V (G)\rightarrow \{0, 1,\ldots , \left\lceil \fracΔ{2}\right\rceil+ 1\}$，该映射执行以下条件：所有标记为$f(v)=0$的顶点$v$与至少一个满足$f(u)\geq 1+ \left\lceil \frac{1}{2}\vert N(u)\cap V_0\vert \right\rceil$的另一个顶点$u$相邻，使得$V_0=\{v \in V \mid f(v)=0 \}$和符号$N(u)$代表$u$的开邻域。一个强罗马控制函数的全版本包含了关于$G$的子图中不存在零度顶点的附加性质，这是由标为正值的顶点集引起的。在$G$的所有存在的全强罗马控制函数$f$中取的和$ω(f)=f(V)=\sum_{v\in V} f(v)$（也称为$f$的权重）的最小可能值称为$G$的全强罗马控制数，用$γ_{StR}^t(G)$表示。本研究引入了罗马控制数的全强版本，并由此开始了对罗马控制数的数学性质的研究。例如，我们建立了这个参数的上界，并将它与图中与点控制有关的几个参数联系起来，由此我们得到了图的标准控制数、标准控制数的全版本和（强）罗马控制数.此外，在其他结果中，我们表明，对于任何树$T$的顺序$n(T)\g…
2019-12-02 math.CO
The Signed Roman Domination Number of Ladder graphs, circular Ladder graphs and their complements
本文针对有限连通简单图的符号罗马控制数问题，明确了SRDF的定义与权的计算方式，探究了梯图、循环梯图及其补图的符号罗马控制数，为相关图论参数的研究提供了特定图类的分析方向。
2024-07-09 math.CO
