From Italian domination in lexicographic product graphs to w-domination in graphs
本文证明了字典序积图$G\circ H$的意大利控制数可以用$G\circ H$的五个不同的控制参数来表示。这些参数可以在以下统一的方法下定义，该方法包括几个众所周知的支配参数的定义并引入新的支配参数。令$N(v)$表示$v\in V(G)$的开邻域，并且令$w=(w_0,w_1, \dots,w_l)$是非负整数的向量，使得$ w_0\ge 1$。我们说一个函数$f: V(G)\longrightarrow \{0,1,\dots ,l\}$是$w$ -支配函数，如果对每个顶点$v$有$f(N(v))=\sum_{u\in N(v)}f(u)\ge w_i$，$f(v)=i$ . $f$的权重定义为$ω(f)=\sum_{v\in V(G)} f(v)$。$G$的$w$ -控制数，记为$γ_{w}(G)$，是$G$上所有$w$ -控制函数中的最小权.如果我们在需要时对$G$的最小度施加限制，则在这种方法下，我们可以定义例如控制数、总控制数、$k$ -控制数、$k$ -元组控制数、$k$-元组总控制数、意大利控制数、总意大利控制数和$\{k\}$ -控制数。具体来说，我们表明，$γ_{I}(G\circ H)=γ_{w}(G)$，其中$w\in \{2\}\times\{0,1,2\}^{l}$和$l\in \{2,3\}$。关于等式是否对$w_0,\dots,w_l$的特定值成立…
2021-05-11 math.CO
On the weak Roman domination number of lexicographic product graphs
一个图$G=(V,E)$的顶点$v$被称为关于一个函数$f: V \longrightarrow \{0,1,2\}$是不设防的，如果对于每个与$v$相邻的顶点$u$，有$f(v)=0$和$f(u)=0$。我们称函数$f$为弱罗马控制函数，如果对于每个$v$，使得$f(v)=0$，存在一个与$v$相邻的顶点$u$，使得$f(u)\in \{1,2\}$和由$f'(v)=1$，$f'(u)=f(u)-1$和$f'(z)=f(z)$定义的函数$f': V \longrightarrow \{0,1,2\}$，对于每个$z\in V \setminus\{u,v\}$，没有不设防的顶点。$f$的重量为$w(f)=\sum_{v\in V(G) }f(v)$。图$G$的弱罗马控制数，记作$γ_r(G)$，是$G$上所有弱罗马控制函数中的最小权。Henning和Hedetniemi [Discrete Math.266（2003）239-251]表明，计算$γ_r(G)$的问题是NP难的，即使限制在二分图或弦图上。这表明找到$γ_r(G)$的特殊类的图或获得良好的界限，这个不变。本文利用因子图的不变量，得到了字典序积图的弱罗马控制数的封闭公式和紧界。
2018-03-19 math.CO
Orientable domination in product-like graphs
图$G$的可定向控制数${\rm DOM}(G)$是图$G$在所有定向上的最大控制数。本文研究了不同乘积图的${\rm DOM}$及其相关的图运算。确定了任意电晕积的可定向控制数，同时证明了笛卡尔积和字典积的精确上、下界上界。通过对任意正整数$n_1,n_2$和$n_3$建立${\rm DOM}(K_{n_1,n_2,n_3})$的值，扩展了Chartrand等人1996年的结果。在考虑字典序积图的可定向控制数时，我们否定地回答了[Domination in digraphs and their direct and笛卡儿积，J. Graph Theory 99（2022）359-377]中提出的关于无圈有向图的控制数和堆积数的问题.
2022-11-04 math.CO
Dominating sequences in grid-like and toroidal graphs
图$G$的不同顶点的最长序列$S$，使得$S$的每个顶点支配某个不被其前面的顶点支配的顶点，称为Grundy支配序列; $S$的长度是$G$的Grundy支配数。本文研究了四种标准图积：笛卡尔积、字典积、直积和强积的Grundy控制数。对于每一个乘积，我们给出了Grundy控制数的一个下界，它对字典序乘积是精确的，对强乘积是精确的.在大多数情况下，精确的Grundy控制数是由路和/或圈的乘积确定的。
2016-07-01 math.CO
From (secure) w-domination in graphs to protection of lexicographic product graphs
设$w=(w_0,w_1, \dots,w_l)$是一个非负整数向量，使得$ w_0\ge 1$。设$G$是一个图，$N(v)$是$v\in V(G)$的开邻域。我们说一个函数$f: V(G)\longrightarrow \{0,1,\dots ,l\}$是$w$ -支配函数，如果对每个顶点$v$都有$f(N(v))=\sum_{u\in N(v)}f(u)\ge w_i$和$f(v)=i$ . $f$的权重定义为$ω(f)=\sum_{v\in V(G)} f(v)$。给定$w$ -支配函数$f$和具有$f(v)=0$和$f(u)>0$的任何一对相邻顶点$v, u\in V(G)$，对于每个$x\in V(G)\setminus\{u,v\}$，函数$f_{u\rightarrow v}$由$f_{u\rightarrow v}(v)=1$，$f_{u\rightarrow v}(u)=f(u)-1$和$f_{u\rightarrow v}(x)=f(x)$定义.我们说$w$ -支配函数$f$是安全的$w$ -支配函数，如果对于每个具有$f(v)=0$的$v$，存在$u\in N(v)$使得$f(u)>0$和$f_{u\rightarrow v}$也是$w$ -支配函数. $G$的（安全）$w$ -控制数，记为（$γ_{w}^s(G)$）$γ_{w}(G)$，定义为所有（安全）…
2021-05-11 cs.DM math.CO
Efficient closed domination in digraph products
有向图$D$是有效闭控制有向图，如果存在$V(D)$的一个子集$S$，且以$S$的顶点为中心的闭外邻域构成$V(D)$的一个划分.本文研究了有向图的几个乘积中的有效闭控制有向图。我们完整地描述了有向图的字典序积和强积中的有效闭控制有向图。我们刻画了有向图的直积是有效闭控制图，其中因子是两个圈或两条路。在有向图的笛卡儿积中，我们刻画了所有这样的有效闭控制有向图，使得它们是具有圈或具有星的笛卡儿积有向图.
2018-07-31 math.CO
Some new results on domination roots of a graph
设$G$是阶为$n$的单图. $G$的控制多项式是多项式$D(G,λ)=\sum_{i=0}^{n} d(G,i) λ^{i}$，其中$d(G,i)$是大小为$i$的$G$的控制集的数目。$D(G,λ)$的每一个根称为$G$的控制根。本文给出了控制多项式不含非零实根的图族。我们观察到这些图具有正实部的复控制根。然后，我们考虑了两个图的字典序积，得到了这类积的控制多项式的一个公式。利用这一积，我们构造了一族控制根在所有$\mathbb{C}$中稠密的图。
2012-10-11 math.CO
Power domination and zero forcing
电力控制数是电力网络监控中的一个重要问题，其确定是电力网络监控中的一个重要问题。幂控制数的上界可以通过构造得到。几类图的幂控制数的下界是已知的，但它们通常来自于每个图族的特定性质，并且这些方法不具有推广性。本文利用幂控制数与迫零数之间的关系，得到了幂控制数的第一个一般下界。我们应用这个界得到了图的张量积的幂控制和字典序积的迫零数的结果。我们还建立了图的张量积和笛卡儿积的迫零数的结果。
2017-02-22 math.CO
Characterizations of minimal dominating sets and the well-dominated property in lexicographic product graphs
本文通过引入不可约支配集概念，刻画了字典序乘积图的最小支配集，并给出良支配图的特征刻画，包括支配数为2时的多项式可检验条件，以及支配数有界图类中的多项式时间识别算法。
2017-08-18 cs.DM math.CO
Independence Complex of the Lexicographic Product of a Forest
研究了森林$G$与图$H$的字典积$G[H]$的独立复形.证明了对于不受单点支配的森林$G$，如果$H$的独立复形同伦等价于球面的楔形和，则$G[H]$的独立复形同伦等价于球面的楔形和.我们提供两个显式计算的例子。作为第一个例子，我们确定了$L_m [H]$的独立复形的同伦类型，其中$L_m$是$m$顶点上没有分支的树，对于任何正整数$m$，当$H$的独立复形同伦等价于$d$维球面的$n$拷贝的楔形和时。第二类是对森林$G$和完全图$K$，用$G$的独立控制数刻画了$G[K]$的独立复形的同调连通性.
2021-09-09 math.CO
On the Double Roman Domination Number of Generalized Sierpinski Graphs
本文研究了广义Sierpienski图$S(G,t)$的双罗马控制数.更精确地说，我们得到了$S(G, t)$的双罗马控制数的一个界。我们还找到了$γ_{dR}(S(K_{n}, 2))$的精确值。
2019-08-19 math.CO
Isolation number: Cartesian and lexicographic products and generalized Sierpiński graphs
本文研究隔离数在笛卡尔积、字典序积和广义谢尔宾斯基图等图运算下的行为，证明多个上下界，并得到超立方体棱柱及经典谢尔宾斯基图的精确隔离数值。
2025-08-22 math.CO
Double domination and total $2$-domination in digraphs and their dual problems
有向图$D$的顶点子集$S$是双控制集（全$2$ -控制集），如果每个不在$S$中的顶点都与$S$中的至少两个顶点相邻，并且每个在$S$中的顶点都与$S$中的至少一个顶点相邻（由$S$导出的子有向图没有孤立点）.有向图$D$的双控制数（全$2$ -控制数）是$D$中双控制集（全$2$ -控制集）的最小基数.本文研究了图的双重控制到有向图的两个推广，以及与之有密切关系的$2$ -有限填充和全$2$ -有限填充.
2019-07-23 math.CO
A note on double domination in graphs
最近，Haynes，Hedetniemi和Henning出版了一本书Topics in Domination in Graphs，其中包括16篇文章，介绍了图支配中的高级主题，包括开放问题，现代技术和最新结果。其中一个贡献是Hansberg和Republmann的“多重支配”一章，他们将2020年之前发现的所有关于多重支配的相关研究结果放在背景中。在这篇笔记中，我们将展示如何改进书中包含的关于双重控制的一些结果。
2021-05-11 math.CO
Revisiting the outer-weakly convex domination number in graph products
Sree Narayana College（斯里纳拉亚纳学院）；Mahatma Gandhi College（甘地大学）；University of San Jose - Recoletos（圣何塞-雷科莱托斯大学）；Visayas State University（维萨亚斯州立大学）
本文研究了图积中外弱凸支配数的计算，分析了Cartesian、strong和lexicographic积下的图结构，并探讨了重要组合发现。
2026-04-24 math.CO
Double Total Domination in Harary Graphs
设$G$是一个最小度至少为2的图。一个集合$D\subseteq V$是$G$的一个双全控制集，如果每个顶点都与$D$中的至少两个顶点相邻。$G$的二重全控制数$γ_{\times 2,t}(G)$是$G$的二重全控制集的最小基数。本文主要研究Harary图的双全控制数。
2016-03-08 math.CO
Z-domination game
Z-支配博弈是支配博弈的一个变体，其中每个新选择的顶点$u$在博弈中必须有一个尚未支配的邻居，但在移动之后，所有来自$u$的封闭邻居的顶点都被宣布为支配。Z-支配博弈是五种自然支配博弈中最快的。图$G$的相应博弈Z-控制数用$γ_{Zg}(G)$表示。证明了图的博弈控制数和博弈全控制数可以表示为适当字典序积的博弈Z-控制数。引入了具有Z-不敏感性质的图，证明了如果$G$是Z-不敏感的，则$γ_{Zg}(G)$等于$G$的博弈控制数.定义了弱无爪图，并证明了弱无爪图是Z-不敏感的。结果，确定了$γ_{Zg}(P_n)$，从而锐化了先前相关的近似结果。证明了如果$γ_{Zg}(G)$是偶数，则$γ_{Zg}(G)$严格小于对策L-控制数.另一方面，家庭的图形构造的所有五个游戏控制数一致。图$G$与$γ_{Zg}(G) = γ(G)$也被认为是和计算结果比较研究的不变量在最多$16$顶点的树类报告。
2019-11-20 math.CO
Exact double domination in subdivision, Mycielskian and middle graphs
本文研究任意图在细分图、Mycielskian 图及中间图及其补图中精确双重支配集的存在性判定问题。
2024-08-11 math.CO
Restrained double Roman domination of a graph
对于图G=（V，E），一个约束双罗马控制函数是函数f：V \rightarrow \{0，1，2，3\}，它具有如下性质：如果f（v）=0，则顶点v必须至少有两个邻点在f下被赋2，或者有一个邻点w使f（w）=3，如果f（v）=1，则顶点v必须至少有一个邻点w使f（w）\geq 2，同时包含零标号顶点的子图G[V_0]没有孤立点.约束双罗马控制函数f的权是和f（V）= \sum_{v\in V} f（v），G上约束双罗马控制函数f的最小权是G的约束双罗马控制数.我们开始研究限制双重罗马控制，证明计算这个参数的问题是NP-困难的。利用图G的阶给出了连通图G的限制性双罗马控制数的一个上界，并刻画了达到这个上界的图.我们研究了受限制的双重罗马统治与受限制的罗马统治。最后，我们刻画了所有达到所展示的边界的树T。
2021-06-16 math.CO
On $r$-dynamic coloring on lexicographic product of star graphs
本文给出了路与星图、路与双星图、路与三星图以及路与完全图的字典积的$r$ -动态着色的精确结果。
2021-05-18 math.CO
On Grundy total domination number in product graphs
图$G$的顶点的最长序列$(v_1,\ldots,v_k)$是$G$的Grundy全控制序列，如果对所有$i$，有$N(v_i) \setminus \bigcup_{j=1}^{i-1}N(v_j)\not=\emptyset$ .序列的长度$k$称为$G$的Grundy全控制数，记为$γ_{gr}^{t}(G)$。本文研究了四种标准积图的Grundy全控制数。对于直积，我们证明了$γ_{gr}^t(G\times H) \geq γ_{gr}^t(G)γ_{gr}^t(H)$，猜想等式总是成立，并在几种特殊情况下证明了猜想。对于字典序积，我们用因子的相关不变量来表示$γ_{gr}^t(G\circ H)$，并给出了它的一些显式公式，对于强积，我们证明了$γ_{gr}^t(G \boxtimes H)$的下界以及路和圈的积的上界.对于笛卡儿积，我们证明了当因子是路或圈时，Grundy全控制数的上下界。
2017-12-23 math.CO
3-Factor-criticality in double domination edge critical graphs
图$G$的顶点子集$S$是$G$的双控制集，如果对$G$的每个顶点$v$都有$|N[v]\cap S|\geq 2$，其中$N[v]$是顶点$v$及其相邻顶点的集合. $G$的双重控制数，记作$γ_{\times 2}(G)$，是$G$的最小双重控制集的基数。一个图$G$称为双控制边临界图，如果对任意边$e \notin E$都有$γ_{\times 2}(G+e)<γ_{\times 2}(G)$.一个具有$γ_{\times 2}(G)=k$的双控制边临界图$G$称为$k$ - $γ_{\times 2}(G)$ -临界图.一个图$G$是$r$ -因子关键的，如果$G-S$对于$G$中的每个$r$顶点集$S$都有完美匹配。本文证明了$G$是3-因子临界的，如果$G$是一个3-连通无爪$4$ - $γ_{\times 2}(G)$ -临界图，其最小度至少为4，且除图族外为奇数阶.
2014-08-19 math.CO
Double Italian domination in trees
School of Mathematics and Statistics, Jiangsu Normal University（江苏师范大学数学与统计学院）；School of Mathematics and Statistics, Zhengzhou University（郑州大学数学与统计学院）
本文研究树上双重意大利 domination 数，发现其与双重罗马 domination 数不同，并给出了非平凡树的精确界及达到该界的树特征。
2026-03-30 math.CO
Impact of Some Graph Operations on Double Roman Domination Number
给定一个图$G=(V,E)$，一个函数$f:V\rightarrow \{0,1,2,3\}$，具有如下性质：如果是$f(v)=0$，则存在$ v_{1},v_{2}\in N(v)$使得$f(v_{1})=f(v_{2})=2$，或者存在$ w \in N(v)$使得$f(w)=3$，如果是$f(v)=1$，则存在$ w \in N(v)$使得$f(w)\geq 2$，称为双罗马控制函数（DRDF）。DRDF $f$的权重是总和$f(V)=\sum_{v\in V}f(v)$。双罗马控制数$γ_{dR}(G)$是$G$上DRDF的权值中最小的。本文研究了图的卡氏积、孪生子加、图的冠等运算对双罗马控制数的影响。
2019-08-19 math.CO
Independent double Roman domination in graphs
图$G=(V,E)$上的独立双罗马控制函数（IDRDF）是具有以下性质的函数$f:V(G)\rightarrow \{0,1,2,3\}$：如果$f(v)=0$，则顶点$v$具有至少两个在$f$下被分配$2$的邻居，或者具有在$f$下被分配$3$的一个邻居$w$，并且如果$f(v)=1$，则存在具有$f(w)\geq2$的$w\in N(v)$，使得正权重顶点是独立的。IDRDF的权重是值$\sum_{u\in V}f(u)$。图$G$的独立双罗马控制数$i_{dR}(G)$是图G上IDRDF的最小权.本文首先研究了独立双罗马控制数，并给出了它与独立罗马控制数IDN和独立罗马$\{2\}$ -控制数IR 2DN的关系.给出了图$G$的IDRDN的几个严格界，它们分别是$G$的阶、最大度和最小边覆盖。最后，我们证明了，任何有序对$(a,b)$可实现为某个非平凡树的IDN和IDRDN当且仅当$2a + 1 \le b \le 3a$。
2019-04-09 math.CO
Some Bounds on the Double Domination of Signed Generalized Petersen Graphs and Signed I-Graphs
在图$G$中，一个顶点支配它自己和它的邻居。如果$D$支配$G$的每个顶点至少两次，则子集$D \subseteq V(G)$是$G$的双支配集。带符号图$Σ= (G,σ)$是一个图$G$，它的所有边都被分配了正符号或负符号的$σ$。一个符号图中的圈是正的，如果它的边符号之积是正的。一个有符号图是平衡的，如果它的所有圈都是正的。一个子集$D \subseteq V(Σ)$是$Σ$的一个双控制集，如果它满足以下条件：（i）$D$是$G$的一个双控制集，（ii）$Σ[D:V \setminus D]$是平衡的，其中$Σ[D:V \setminus D]$是由$Σ$的边诱导的$Σ$的子图，其中一个端点在$D$中，另一个端点在$V \setminus D$中。$Σ$的最小双重控制集的基数是双重控制数$γ_{\times 2}(Σ)$。本文给出了符号三次图的双控制数的界。我们还得到了符号广义Petersen图和符号I-图的双控制数的一些界。
2019-07-25 math.CO
Double domination in maximal outerplanar graphs
在图$G$中，一个顶点支配它自己和它的邻居。一个子集$S\subseteq V(G)$称为$G$的双支配集，如果$S$支配$G$的每个顶点至少两次。双控制数$γ_{\times 2}(G)$是$G$的双控制集的最小基数。证明了如果$G$是$n\geq 3$顶点上的极大外平面图，则$γ_{\times 2}(G)\leq \lfloor \frac{2n}{3}\rfloor$ .此外，如果是$n\geq 4$，则是$γ_{\times 2}(G)\leq \min \{\lfloor \frac{n+t}{2}\rfloor, n-t\}$，其中$t$是$G$中度$2$的顶点数。这些界限被证明是紧的。此外，我们还研究了$G$是带条极大外平面图的情形.
2021-07-06 math.CO
Three domination number and connectivity in graphs
在图G中，一个顶点支配自己和它的邻居。V的子集S称为G的控制集，如果V中的每个顶点至少被S中的一个顶点控制。控制数gamma G是控制集的最小基数。一个图G的集合S的子集V称为图G的双控制集，如果V中的每个顶点至少被S中的两个顶点控制。双控制集的最小基数称为G的双控制数。在图G中，一个顶点支配自己和它的邻居。V的子集S称为G的控制集，如果V中的每个顶点至少被S中的一个顶点控制。控制数gamma G是控制集的最小基数。一个图G的子集S称为图G的双控制集，如果V中的每个顶点至少被S中的两个顶点控制。双控制集的最小基数称为G的双控制数。一个连通图G的连通度γ G是指除去G中的顶点后G成为不连通图或平凡图的最小数目。本文引入了图的三控制的概念。得到了图的三个控制数和连通度的一个上界，并刻画了相应的极图。
2015-02-16 math.CO
On the isolation numbers in graph products
Faculty of Natural Sciences and Mathematics, University of Maribor（马里博尔大学自然科学与数学学院）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理与力学研究所）；Furman University（弗曼大学）
本文在前期笛卡尔积、字典积隔离数研究基础上，研究四类图乘积的隔离数与$\boldsymbol{\textit{F}}$-隔离数，推导相关上下界并确定多族图乘积的精确值，扩展了笛卡尔积的对应研究结果。
2026-08-27 math.CO
The restrained double Roman domination and graph operations
设$G=(V(G),E(G))$是一个简单图。一个受限制的双罗马控制函数$G$的（RDRD-函数）是满足以下性质的函数$f: V(G) \rightarrow \{0,1,2,3\}$：如果$f(v)=0$，则顶点$v$具有至少两个在$f$下分配为2的邻居或一个具有$f(u)=3$的邻居$u$;并且如果$f(v)=1$，则顶点$v$必须具有一个具有$f(u) \geq 2$的邻居$u$;在$f$下，顶点赋值为0的导出图不含孤立点。RDRD函数$f$的权是和$f(V)=\sum_{v \in V(G)} f(v)$，并且RDRD函数在$G$上的最小权是$G$的受约束的双罗马控制数（RDRD数），由$γ_{rdR}(G)$表示。在本文中，我们首先证明了计算RDRD-数的问题是NP-困难的，即使弦图。然后研究了图的强积、基数积、冠等运算对限制双罗马控制数的影响。
2021-11-08 math.CO
Grundy double domination number: bounds, graph operations, and efficient computation for $P_4$-tidy graphs
本文研究了 Grundy 双控制数（GDDN），建立了其一般紧致界，刻画了删点图与联图的双控制序列，并证明了在 $P_4$-tidy 图上计算 GDDN 是线性的，解决了先前针对 cographs 提出的开放问题。
2025-06-26 math.CO
Upper bounds for double Roman domination and $[k]$-Roman domination of cylindrical graphs $C_m \Box P_n$
Faculty of Mechanical Engineering, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学机械工程学院）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics, Ljubljana（卢布尔雅那数学、物理与力学研究所）；Rudolfovo – Science and Technology Centre, Novo Mesto（诺沃梅斯托鲁多尔福沃科学与技术中心）
本文研究了柱形图C_m□P_n的[k]-罗马 domination 数，通过线性周期构造、均匀天花板型标记和基于打包的改进三种方法，推导出新的上界，并比较了不同参数k下的效率。
2026-09-25 math.CO
Bounds for (strong) Roman $k$-dominations
Ilam University（伊拉姆大学）
本文研究了连通图的罗马k-支配和强罗马k-支配数的精确上界，统一并扩展了k=2和k=3时的已有结果，并精确刻画了达到这些上界的图。
2026-04-08 math.CO
Excellent graphs with respect to domination: subgraphs induced by minimum dominating sets
一个图$G=(V,E)$是$γ$ -优的，如果$V$是$G$的所有$γ$ -集的并集，其中$γ$代表控制数.设$\mathcal{I}$是所有互不同构的图和$\emptyset \not= \mathcal{H} \subsetneq \mathcal{I}$的集合.本文首先研究了$\mathcal{H}$ - $γ$ -优图，定义如下.如果以下条件成立，则$G$图为$\mathcal{H}$ - $γ$ -优：（i）对于每个$H \in \mathcal{H}$和每个$x \in V(G)$，存在$G$的导出子图$H_x$，使得$H$和$H_x$同构，$x \in V(H_x)$和$V(H_x)$是$G$的某个$γ$ -集的子集，以及（ii）$G$的每个导出子图$H$的顶点集，它同构于$\mathcal{H}$的某个元素，是$G$的某个$γ$ -集的子集。对于一些著名的图，包括圈、树和两个图的某些卡图积，我们描述了它的最大集$\mathcal{H} \subsetneq \mathcal{I}$，使它的图是$\mathcal{H}$ - $γ$ -优的.给出了$γ$ -优良正则图和图的广义字典序积的一些结果.提出了几个开放的问题和疑问。
2020-10-07 math.CO
On three outer-independent domination related parameters in graphs
设$G$是一个图，令$S\subseteq V(G)$。集合$S$是$G$的二重外独立控制集，如果对所有$v\in V(G)$，$|N[v]\cap D|\geq2$和$V(G)\setminus S$是独立的。类似地，$S$是$2$ -外独立控制集，如果来自$V(G)\setminus S$的每个顶点在$S$中至少有两个邻居，并且$V(G)\setminus S$是独立的。最后，$S$是一个完全外独立控制集，如果来自$V(G)$的每个顶点在$S$中都有一个邻居，并且$S$的补是一个独立集。$G$的二重、全或$2$ -外独立控制数分别是$G$的任何二重、全或$2$ -外独立控制集的最小可能基数。本文研究了图的$2$ -外独立控制数、全外独立控制数和双外独立控制数。证明了一些Nordhaus-Gaddum型不等式，导出了它们的计算复杂性，并给出了它们的几个界.
2018-12-28 math.CO
Domination in the Sierpiński graphs S(K_n,t)
本文主要研究Sierpienski图S（K_n，t）的不同类型的控制。更精确地说，我们给出了S（K_n，t）的一个极小控制集，从而给出了它们的控制数、罗马控制数和双罗马控制数的精确值.作为应用，证明了已有的一些界和结果是紧的，并进一步推广了它们。
2020-08-22 math.CO
Total mutual-visibility in graphs with emphasis on lexicographic and Cartesian products
本文研究了连通图的完全互见性数，给出了基于直径、阶数和连通控制数的界限与图刻画，并确定了字典序积的精确值及笛卡尔积图的界限与闭式公式。
2023-06-27 math.CO
Grundy dominating sequences on $X$-join product
本文研究了图$G$与图族$\mathcal R=\{G_v: v\in V(G)\}$的$X$ -联积$G\hookleftarrow \mathcal R$的Grundy控制数.这些结果使我们扩展了已知的几个图族，在这些图族中可以有效地计算这个参数。我们证明了，如果，对于所有的$v\in V(G)$，$G_v$的Grundy控制数是给定的，$G$是一个权力的一个循环，一个权力的一条道路，或分裂图，计算的Grundy控制数的$G\hookleftarrow \mathcal R$可以在多项式时间内完成。特别是，权力的循环和路径的结果来自多项式减少这些图上的最大权重独立集问题。因此，当$G$是圈的幂、路的幂或分裂图时，我们导出了计算字典序积$G\circ H$的Grundy控制数的封闭公式，推广了Bresar等人在2016年给出的关于圈和路的结果。此外，当$G$是分裂图时，关于$X$ -连接积的结果也提供了计算$(q,q-4)$图、伙伴有限图和扩展的$P_4$ -负载图的Grundy控制数的多项式时间算法，这些图类在少数$P_4$的图的层次中是高的.
2018-10-05 math.CO
On the $2$-packing differential of a graph
令$G$是一个具有阶$n(G)$和顶点集$V(G)$的图。给定一个集合$S\subseteq V(G)$，我们定义$S$的外部邻域为$V(G)\setminus S$中所有顶点的集合$N_e(S)$，该集合在$S$中至少有一个邻域。$S$的微分定义为$\partial(S)=|N_e(S)|-|S|$。本文研究了图的$2$ -packing微分，定义为$\partial_{2p}(G)=\max\{\partial(S): S\subseteq V(G) \text{ is a }2\text{-packing}\}.$.证明了$2$ -packing微分与图的packing数、独立控制数、全控制数、完全微分和唯一响应Roman控制数等参数密切相关.特别是，我们表明，$2$ -包装差分理论是一个适当的框架，调查的唯一响应罗马控制数的图，而不使用的功能。在其他结果中，我们得到了一个Gallai型定理，它指出，$\partial_{2p}(G)+μ_{_R}(G)=n(G)$，其中$μ_{_R}(G)$表示唯一的响应罗马控制数的$G$。作为一个结果的研究，我们得出了几个组合的结果$μ_{_R}(G)$，我们发现这个参数的问题是NP-困难的。此外，还讨论了字典序积图的特殊情况。
2021-05-27 math.CO
Domination number of middle graphs
本文研究了中间图的控制数。事实上，我们得到严格的界限，这个数字的顺序图。我们还计算了一些图族的控制数，如星图，双起点图，路图，圈图，轮图，完全图，完全二部图和友谊图。此外，还得到了中间图控制数的Nordhaus-Gaddum-like关系.
2020-08-07 math.CO
Maximal double Roman domination in graphs
本文首次研究图中的极大双重罗马控制问题，证明了其在二分图、弦图和平面图上是NP完全的，但在有界团宽图上可线性求解，并给出了该控制数的参数关系、树的界限及路径与环的精确值。
2024-02-10 math.CO
An Upper Bound for the Double Domination Number in Maximal Outerplanar Graphs
Faculty of Informatics, Gunma University（群马大学信息学部）
研究最大外平面图的双支配数，证明其不超过(n+k)/2，其中k为外环上距离至少3的顶点对数，完善了前人未完成的证明。
2026-05-11 cs.DM math.CO
Domination parameters with number 2: interrelations and algorithmic consequences
本文研究了图中与数字2相关的13种基本控制不变量，按三个标准分类并引入彩虹版本，主要贡献是给出了各不变量相互表示的精确上下界，并由此导出近似算法的复杂性结果。
2016-11-03 math.CO
Restrained condition on double Roman dominating functions
本文研究图的约束双罗马支配，证明其在平面图上NP难、在有界团宽图上线性可解，并建立参数界、树的下界及极值图刻画。
2022-02-03 math.CO
Domination game and minimal edge cuts
本文建立了控制对策与最小边割之间的关系。证明了连通图的博弈控制数可以根据最小边割的大小上有界。特别地，如果$C$是连通图$G$的最小边割，则$γ_g(G) \le γ_g(G\setminus C) + 2κ'(G)$。为了证明这个上界对于有桥的图是可以达到的，引入了双Staller图。所得到的结果被用来扩展的家庭已知的可追踪的图，其游戏控制数是最多一半的顺序。一路上的两个技术引理，这似乎是普遍适用于研究的控制游戏，证明。
2018-10-24 math.CO
Reduced Groebner Bases With Double Exponential Cardinality
University of Hyderabad（海德拉巴大学）；The Institute of Mathematical Sciences, HBNI（数学科学研究所，HBNI）；CNRS IRL ReLaX（法国国家科学研究中心中法研究交流中心 ReLaX）
本文提出了一种多项式族和准则，使得在特定单项式顺序下，缩减格罗伯纳基的基数呈现双指数增长特性。
2026-01-21 cs.CC math.CO
Independent Double Roman Domination on Block Graphs
给定一个图$G=(V,E)$，如果当$f(v)=0$时$f$满足$\sum_{u \in N(v)}f(u) \geq 2$，则$f:V \rightarrow \{0,1,2 \}$是$G$的意大利控制函数.将$w(f)=\sum_{v \in V}f(v)$表示为$f$的重量。设$V_i=\{v:f(v)=i\},i=0,1,2$，如果$V_1 \cup V_2$是独立集，则称$f$为独立意大利控制函数. $G$的独立意大利控制数是独立意大利控制函数$f$的最小权，记为$i_{I}(G)$。将连通块图$G$的独立控制问题等价地转化为其块割点图$T$的诱导独立控制问题，并给出了求解任意连通块图$G$的$i_{I}(G)$的基于动态规划的线性时间算法.
2019-08-02 cs.DM cs.DS math.CO
Convex and weakly convex domination in prism graphs
对于给定的图$G=(V,E)$和置换$π:V\mapsto V$，$G$的棱镜$πG$定义如下：$V(πG)=V(G)\cup V(G')$，其中$G'$是$G$的副本，以及$E(πG)=E(G)\cup E(G')\cup M_π$，其中$M_π=\{uv': u\in V(G), v=π(u)\}$和$v'$表示$v$在$G'$中的副本。研究并比较了棱柱图中凸控制集和弱凸控制集的性质。特别是，我们表征棱镜$γ_{con}$ -定影剂和-增倍剂。我们还证明了$γ_{wcon}(G)-γ_{wcon}(πG)$和$γ_{wcon}(πG) - 2γ_{wcon}(G)$的差可以是任意大的，并且$πG$的凸控制数不能根据$γ_{con}(G).$有界
2017-12-20 math.CO
Integer Linear Programming Formulations for Double Roman Domination Problem
对于图$G= (V,E)$，双罗马控制函数（DRDF）是具有以下性质的函数$f : V \to \{0,1,2,3\}$：如果$f (v) = 0$，则顶点$v$必须具有至少两个在$f$下分配$2$的邻居，或者{至少}一个具有$f (u) = 3$的邻居$u$，并且如果$f (v) = 1$，则顶点$v$必须具有至少一个具有$f (u) \ge 2$的邻居$u$。本文考虑了双罗马控制问题，这是一个寻找DRDF $f$使得$\sum_{v\in V} f (v)$最小的优化问题.我们提出了{5整数线性规划（ILP）公式和一个混合整数线性规划公式与多项式的约束。对于其中的一些公式，还提出了一些额外的有效不等式和界。此外，我们证明了{前四个模型确实解决了双重罗马控制问题，最后两个模型}与其他模型是等价的，无论变量松弛或使用较少数量的约束和变量。此外，我们使用一个ILP制定给$H(2(Δ+1))$ -近似算法。所有提出的配方和近似算法进行评估随机生成的图比较的性能。
2020-04-12 cs.DM math.CO math.OC
Signed double Roman domination on cubic graphs
本文研究三次图上的带符号双罗马支配问题，利用放电法证明紧下界并给出新上界，还通过约束规划引导证明确定广义 Petersen 图和 $2\times m$ 网格图的支配数。
2023-08-02 cs.DM math.CO
Injective coloring of product graphs
本文利用两步图染色、开 packing 划分及支配理论三种等价视角，研究直积、字典序乘积和冠积的单射染色，给出直积与字典序乘积的上下界，并完全确定两个圈的直积的单射色数及冠积的闭公式。
2023-06-02 math.CO
$[k]$-Roman domination on cylindrical grids $C_m \Box P_n$
Faculty of Mechanical Engineering, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学机械工程学院）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理与力学研究所）；Rudolfovo – Science and Technology Centre（鲁多尔福沃科学与技术中心）
本文研究了圆柱形网格 $C_m \Box P_n$ 上的 $[k]$-罗马 domination 数，推导了上界并揭示了不同构造在不同参数下的主导范围。
2026-09-25 math.CO
Restrained Italian domination in graphs
对于图$G=(V(G),E(G))$，意大利控制函数（ID函数）$f:V(G)\rightarrow\{0,1,2\}$具有这样的性质：对于每个具有$f(v)=0$的顶点$v\in V(G)$，$v$与在$f$下被分配$2$的顶点相邻，或者$v$与在$f$下被分配$1$的至少两个顶点相邻。ID函数的权重是$\sum_{v\in V(G)}f(v)$。意大利控制数是$G$的所有ID函数的最小权重。在本文中，我们开始研究ID函数的一个变体。$G$的一个约束意大利控制函数$f$是$G$的一个ID函数，它使得由$\{v\in V(G)\mid f(v)=0\}$导出的子图没有孤立点，约束意大利控制数$γ_{rI}(G)$是$G$的所有RID函数的最小权.我们首先证明了计算这个参数的问题是NP-难的，即使是限制在二分图和弦图以及平面图与最大程度的五。我们证明了，$γ_{rI}(T)$的顺序$n\geq3$不同于双星$S_{2,2}$的树$T$可以从下面有界的$(n+3)/2$。此外，本文还刻画了该下界的所有极树。对于一般图，我们也给出了这个参数的一些精确界，并给出了具有小或大$γ_{rI}(G)$的图$G$的特征。
2020-09-25 math.CO
Distance mutual-visibility coloring: relations with (total) domination, exact distance graphs and graph products
本文结合互可见概念提出$k$-距离互可见着色，研究了$k=2$时的性质与界限，并探讨了其与全支配、精确距离图及字典序和笛卡尔积等图积的关系。
2025-10-11 math.CO
