The eternal dominating set problem for interval graphs
Martín Rinemberg, Francisco J. Soulignac
我们证明了，在游戏中，所有的警卫在同一个回合中，永恒的控制和cn-connected覆盖数一致的区间图。作为一个副产品，得到了永恒支配集问题的线性算法。
We prove that, in games in which all the guards move at the same turn, the eternal domination and the clique-connected cover numbers coincide for interval graphs. A linear algorithm for the eternal dominating set problem is obtained as a by-product.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Eternal dominating sets on digraphs and orientations of graphs
研究了有向图的永恒控制数和m-永恒控制数。我们将已知的图的结果推广到有向图。我们还考虑了问题“定向（m-）永恒的统治”，包括在寻找一个方向的图，最大限度地减少其永恒的支配数。我们证明了计算定向永远控制数是NP-困难的，并刻画了定向m-永远控制数为2的图。我们还研究了树、圈、完全图、完全二部图、平凡完美图以及各种格和积图上的这两个参数。
Fast winning strategies for the attacker in eternal domination
本研究针对非永恒控制集下攻击者的最快获胜步数问题，证明其为PSPACE难，同时给出余图与树的多项式时间算法，还从守卫数、步数两个参数展开参数化复杂度分析。
$m$-Eternal Dominating Set Problem on Subclasses of Chordal Graphs
研究m-永恒支配集问题在弦图子类中的计算复杂性，揭示不同图类中支配集与永恒支配集的复杂性差异。
A method for eternally dominating strong grids
在永恒控制博弈中，攻击者每回合攻击一个顶点，一队守卫必须移动一名守卫到被攻击的顶点进行防御，守卫只能移动到相邻的顶点，并且一个顶点只能有一名守卫占据。我们的目标是确定一个图的永恒控制数，这是保护图免受无限序列的攻击所需的最小数量的警卫。在本文中，我们继续研究强网格上的永恒控制对策。笛卡尔网格已经被广泛地研究，具有用于小网格（例如$2\times n$、$3\times n$、$4\times n$和$5\times n$网格）的紧边界，并且最近在[Lamprou等人，CIAC 2017，393 - 404]，这些网格的永恒控制数通常在它们的控制数的$O(m+n)$内，其下界了永恒控制数。最近，Finbow等人证明了强网格的永恒控制数是由$\frac{mn}{6}+O(m+n)$定义的上界.我们采用[Lamprou et al.，CIAC 2017，393 - 404]证明了强网格的永恒控制数是由$\frac{mn}{7}+O(m+n)$定义的上界。虽然这在一般情况下并没有改进最近宣布的$\lceil\frac{m}{3}\rceil \lceil\frac{n}{3}\rceil+O(m\sqrt{n})$的界[Mc Inerney，Nisse，Pérennes，CIAC 2019]，但我们证明了我们的界在两个维度中较小的一个至多是$6179$的情况下是一个改进。
Eternal domination on prisms of graphs
图$G$的永恒支配集是支配$G$的顶点（或“守卫”）的集合，并且可以防御任何无穷系列的顶点攻击，其中通过将一个守卫沿着边从其当前位置移动到被攻击的顶点来防御攻击。最小永恒支配集的大小记为$γ^\infty(G)$，称为$G$的永恒控制数。本文回答了Klostermeyer和Mynhardt的一个猜想[Discussiones Mathematicae Graph Theory，vol. 35，pp. 283-300]，证明了存在无穷多个图$G$使得$γ^\infty(G)=θ(G)$和$γ^\infty(G \Box K_2)<θ(G \Box K_2)$，其中$θ(G)$表示$G$的团覆盖数.
Eternal Domination and Clique Covering
利用大规模计算和解析方法研究了图的永恒控制数与团覆盖数之间的关系。在此过程中，我们回答了克洛斯特迈耶和明哈特的两个开放性问题。我们证明了永远控制数小于团覆盖数的最小图有$10$顶点。确定了永远控制数小于其团覆盖数的$10$ -顶点图和$11$ -顶点图的完全集.我们证明了具有此性质的最小无三角形图的阶为$13$，最小循环图也是如此。我们描述了一种生成无限族无三角形图和无限族永恒控制数小于其团覆盖数的循环图的方法。我们还考虑了可平面图和三次图。最后，我们证明了对任意整数$k \geq 2$，存在无穷多个图的控制数和永恒控制数等于$k$，且含有不是永恒控制集的控制集.
Perpetually Dominating Large Grids
在m- \emph{Eternal Domination}博弈中，一组守卫令牌最初占据图$G$上的支配集。然后攻击者选择一个没有守卫的顶点进行攻击，守卫防御攻击：其中一个守卫必须移动到被攻击的顶点，而剩下的每一个守卫可以选择移动到他的一个相邻顶点。新后卫的位置必须再次占据主导地位。这种攻击-防御过程永远持续下去。如果守卫能永远保持一个支配集对抗任何攻击序列，那么守卫就赢了，否则，攻击者就赢了。图$G$的m- \emph{eternal domination number}是在$G$（所有防护移动模型）中使它们战胜任何攻击者策略的防护的最小量。我们研究矩形网格，并提供了第一个已知的一般上界的m-永恒控制数为这些图。我们的新策略实现了一个平方旋转的原则，永远主导$m \times n$网格通过使用近似$\frac{mn}{5}$警卫，这是渐近最优的，即使是普通的统治。
Eternal distance-k domination on graphs
图的永恒控制是一个动态的过程，通过这个过程，图被保护不受无穷序列的顶点入侵。在永恒距离- $k$控制中，守卫最初占据距离- $k$控制集的顶点.当一个顶点被攻击后，每个守卫都移动距离$k$，形成一个距离- $k$控制集，使得某个守卫占据被攻击的顶点。图的永恒距离- $k$控制数是抵抗任意攻击序列所需的最小守卫数。对于$k=1$ .我们引入了$k > 1$的永恒距离-$k$支配.确定一个给定的集是否是一个永恒的距离- $k$控制集是在EXP中，在本文中，我们提供了一些结果的道路和循环，并与这个参数图的权力和控制一般。对于树，我们使用分解参数来限制永恒距离- $k$控制数，并在完美$m$ -ary树的情况下完全解决了这个问题。
Total 2-domination of proper interval graphs
当图$G$的每个顶点在$W$中至少有$k$邻居时，图$G$的顶点集$W$称为全$k$ -支配集.在最近的一篇文章中，Chiarelli et al.（适当区间图中$k$ -支配和全$k$ -支配的改进算法，计算机讲义。科学。10856，290- 302，2018）证明了当$G$是具有$n$顶点和$m$边的真区间图时，可以在$O(n^{3k})$时间内计算出全$k$ -支配集.在本文中，我们将$k=2$的时间复杂度降低到$O(m)$。
m-Eternal Domination and Variants on Some Classes of Finite and Infinite Graphs
本文研究了图上防守者与攻击者博弈的 m-Eternal Domination 问题，证明了该问题及其变体在特殊图类上为 NP-hard，并在四类无限正则网格中建立了紧界。
Counting Dominating Sets in Directed Path Graphs
一个图的支配集是一个顶点的集合，使得每个不在这个集合中的顶点至少有一个邻居在这个集合中。弦图的控制集计数问题是P-完全的，而其子类区间图的控制集计数问题是多项式时间可解的。有向路径图是一类介于弦图和区间图之间的著名图，其相应问题的复杂性状态仍未确定。本文揭示了有向路图的控制集计数问题仍然是P-完全的，但根有向路图的严格约束允许多项式时间的解决方案。
Parameterized complexity in multiple-interval graphs: domination, partition, separation, irredundancy
我们证明了问题k-支配集及其几个变体，包括k-连通支配集、k-独立支配集和k-配团，当以解大小k为参数时，在多区间图或其补图或两者中都是W[1]-困难的.另一方面，我们证明了当限制为多区间图及其补图时，这些问题属于W[1]。这回答了Fellows等人的一个公开问题。与之形成鲜明对比的是，我们证明了在多区间图及其补图中，d >= 2的d-距离k-支配集是W[2]-完全的。我们还证明了k-完美码和d-距离k-完美码（d >= 2）即使在单位2-道区间图中也是W[1]-完全的。此外，我们还给出了多区间图及其补图中k-点团划分和k-分离点的参数化复杂性的各种新结果，并给出了一般图中k-无冗余集的W[1]-硬度的一个非常简单的替代证明。
Identification, location-domination and metric dimension on interval and permutation graphs. II. Algorithms and complexity
本文研究区间图或置换图的最优识别码、（开）定位支配集和分解集（记为识别码、（开）定位支配集和度量维数）的求法问题。在这些问题中，人们要求通过顶点的子集来区分图的所有顶点，使用解集内的邻域或到解顶点的距离。使用这类问题的一般减少，我们证明了与这四个概念相关的决策问题是NP-完全的，即使是区间图的直径$2$和置换图的直径$2$。当用解的大小进行参数化时，识别码和（开）定位支配集是平凡的固定参数可处理的，而已知在相同的设置下，度量维数是$W[2]$ -难的。我们表明，对于区间图，这种参数化的度量维数是固定参数，听话。
New Algorithms for Weighted $k$-Domination and Total $k$-Domination Problems in Proper Interval Graphs
给定一个正整数$k$，图$G$中的$k$ -支配集是一个顶点集，使得每个不在集合中的顶点在集合中至少有$k$邻居。全$k$ -支配集，也称为$k$ -元组全支配集，是一个顶点集合，使得图的每个顶点在该集合中至少有$k$邻居。在给定的图中，分别求$k$ -控制集和全$k$ -支配集的最小尺寸的问题称为$k$ -控制集和全$k$-控制集.这些经典控制和全控制问题的推广在弦图类中是NP-困难的，更具体地说，甚至在分裂图类（两个问题）和无向路图类（在全$k$ -控制的情况下）中也是NP-困难的。另一方面，它遵循Kang等人最近的工作。（2017），这两个家庭的问题是可解的时间$\mathcal{O}(|V(G)|^{6k+4})$在类的区间图。我们开发了更快的算法$k$ -支配和总$k$ -支配类的适当的区间图，通过减少到一个最短路径计算在一个派生的有向无环图的$\mathcal{O}(|V(G)|^{2k})$节点和$\mathcal{O}(|V(G)|^{4k})$弧。我们表明，一个合适的实现，这避免了构建所有的弧的有向图，导致运行时间的$\mathcal{O}(|V(G)|^{3k})$。该算法也适用于加权的情况。
Domination Cover Number of Graphs
图$G=(V, E)$的一个集合$D \subseteq V$称为支配集，如果任何顶点$v\in V\setminus D$在$D$中至少有一个邻居。Fomin等人[9]给出了一个在$O(1.7159^n)$时间内枚举所有具有$n$顶点的极小控制集的算法。已知$n$顶点上的区间图和树的最小控制集的个数至多为$3^{n/3} \approx 1.4422^n$。本文引入控制覆盖数作为判定图的控制集的一个新准则。支配集$D$的控制覆盖数，记作$\mathcal{C}_D(G)$，是$D$中顶点的度之和。最大化或最小化这个参数在所有的最小支配集有有趣的应用在许多现实世界的问题，如画廊问题。此外，我们研究了不同图类的控制覆盖数的概念，并提出了一些算法来寻找树，块图的控制覆盖数。
On the Kernel and Related Problems in Interval Digraphs
给定一个有向图$G$，称一个集合$X\subseteq V(G)$为吸收集（或称吸收集）.控制集），如果图中的每个顶点要么在$X$中，要么是内邻居（分别为）。在$X$中的顶点的外邻）。一个集合$S\subseteq V(G)$称为独立集，如果$S$中没有两个顶点在$G$中相邻。内核（或解决方案）的$G$是一个独立的和吸收（分别。在$G$中设置。我们探讨了这些问题的算法复杂性，在众所周知的一类区间有向图。有向图$G$是区间有向图，如果一对区间$(S_u,T_u)$可以被分配给$G$的每个顶点$u$，使得$(u,v)\in E(G)$当且仅当$S_u\cap T_v\neq\emptyset$。区间有向图的许多不同的子类已经被定义，并在文献中通过限制可以分配给顶点的区间对的种类进行了研究。我们观察到，这些类中的几个，如区间捕捉有向图，区间嵌套有向图，调整区间有向图和时序区间有向图，是更一般的自反区间有向图类的子类-这是当我们要求分配给一个顶点的两个区间必须相交时产生的。我们发现，上述所有问题都是有效的可解的，在大多数情况下，甚至线性时间可解的，在自反区间有向图类，但APX-困难的，即使是非常有限的一类区间有向图称为点-点有向图，其中分配给每个顶点的两个区间必须是退化的，即它们每个由一个点组成。我们得到的结果改进和推广了已有的几个自反区间有向图子类的算法和结构结果。
Shortest Dominating Set Reconfiguration under Token Sliding
针对令牌滑动模型下树与区间图的支配集最短重构问题，本文首次提出多项式时间算法，填补了该优化变体的算法研究空白。
Partition strategies for the Maker-Breaker domination game
该研究针对Maker-Breaker支配博弈中判断Dominator获胜策略的PSPACE完全问题，提出基于图划分的后手策略，在正则图、外平面图等多类图上得出判定结论，并给出k-嵌套区间图的对应算法。
The Simultaneous Interval Number: A New Width Parameter that Measures the Similarity to Interval Graphs
本文提出同时区间数这一新宽度参数，证明其计算 NP 难并界定其位于路径宽度与线性 mim 宽度之间，还基于常数标签表示给出团、独立集和支配集的 FPT 算法。
Tropical Dominating Sets in Vertex-Coloured Graphs
给定一个顶点着色图，如果图的每一种颜色在一个支配集中至少出现一次，则称该配集是热带的。在这里，我们研究最小热带控制集的结构和算法的观点。首先，我们证明了热带支配集问题即使在简单路的情况下也是NP-完全的，然后，我们建立了与图的各种参数如最小度和边数有关的上界.我们还给出了随机图的上界。最后，我们给出了一般图类和限制图类的可逼近性和不可逼近性结果，并建立了区间图的FPT算法。
Complexity of Paired Domination in AT-free and Planar Graphs
对于图$G=(V,E)$，如果每个不在$D$中的顶点都与$D$中的至少一个顶点相邻，则顶点集$V$的子集$D$是$G$的支配集.如果图$G$的支配集$D$是由$G$中的$D$导出的子图$G[D]$，则称$D$为配对支配集（PD-集）. Min-PD问题要求计算一个最小基数的PD-集。决策版本的Min-PD问题仍然是NP-完全的，即使$G$属于限制图类，如二分图，弦图等。在积极的一面，这个问题是有效的可解的许多图类，包括区间图，强弦图，置换图等。在本文中，我们研究了问题的复杂性在AT-自由图和平面图。AT-自由图类包含余可比图、置换图、梯形图和区间图作为子类。我们提出了一个多项式时间算法来计算AT-自由图的最小PD-集。此外，我们还提出了一个线性时间的$2$ -近似算法的问题在AT-自由图。此外，我们证明了该问题的决策版本是NP-完全的平面图，回答了一个开放的问题问林等人。Comput.科学，$591 (2015): 99-105$和云母，$ 82 (2020) :2809-2840$）。
Algorithm and hardness results on neighborhood total domination in graphs
图$G=(V,E)$的一个集$D\subseteq V$称为$G$的邻域全控制集，如果$D$是一个控制集，并且由$D$的开邻域导出的$G$的子图没有孤立点.给定一个图$G$，\textsc{Min-NTDS}是求图$G$的最小基数的邻域全控制集的问题.已知\textsc{Min-NTDS}的决策版本对于二部图和弦图是\textsf{NP} -完全的。在本文中，我们将这个\textsf{NP} -完备性结果推广到无向路图、弦二部图和平面图。我们还提出了一个计算真区间图的最小邻域全控制集的线性时间算法。我们表明，对于一个给定的图$G=(V,E)$，\textsc{Min-NTDS}不能近似的$(1-\varepsilon)\log |V|$的一个因素内，除非\textsf{NP$\subseteq$DTIME($|V|^{O(\log \log |V|)}$)}和可以近似的一个因素内的$O(\log Δ)$，其中$Δ$是最大程度的图$G$。最后，我们证明了\textsc{Min-NTDS}是\textsf{APX} -完全图的度最多$3$。
Decremental Optimization of Dominating Sets Under the Reconfiguration Framework
给定一个支配集，通过初等运算我们能找到小多少的支配集？在这里，我们进行迭代顶点添加和删除，同时保持的属性，该集形成一个支配集的大小有界。这可以被视为支配集重新配置问题的优化变体，其中给出了两个支配集，问题只是是否可以通过基本运算从另一个支配集到达它们。我们表明，这个问题是PSPACE完全的，即使输入图是一个二分图，分裂图，或有界的路宽。在积极的一面，我们给出了线性时间算法的共图，树和区间图。我们还研究了这个问题的参数化复杂性。更准确地说，我们表明，当通过中间支配集大小的上界进行参数化时，该问题是W[2]-困难的。另一方面，我们给出了关于顶点覆盖最小尺寸的固定参数算法，即$d+s$，其中$d$是退化度，$s$是输出解的上界。
Rainbow Connection Number and Connected Dominating Sets
连通图G的彩虹连通数rc（G）是使G的每对顶点至少有一条路连通，且没有两条边的颜色相同所需的最小颜色数.本文证明了对每个最小度至少为2的连通图G，彩虹连通数的上界为γ c（G）+ 2，其中γ c（G）是G的连通控制数.对于许多特殊的图类，直径（G）\leq rc（G）\leq直径（G）+ c，1 \leq c \leq 4形式的界作为这个结果的简单推论。这包括区间图、无AT图、圆弧图、阈值图和链图，所有这些图的最小度至少为2并且是连通的。我们还证明了每一个无桥弦图G都有rc（G）\leq 3.radius（G）.在大多数情况下，我们还证明了边界的紧密性。将这一思想推广到两步控制集上，证明了对任意n阶最小度为δ的连通图，彩虹连通数的上界为3 n/（δ + 1）+ 3.这解决了Schiermeyer（2009）的一个公开问题，改进了Krivelevich和Yuster（2010）以前最著名的20 n/δ的界限。此外，通过Caro et al.（2008）的构建，该界限被认为是紧到加性因子。
Dominating sets reconfiguration under token sliding
设$G$是一个图，$D_s$和$D_t$是大小为$k$的$G$的两个控制集.是否存在$G$的控制集序列$\langle D_0 = D_s, D_1, \ldots, D_{\ell-1}, D_\ell = D_t \rangle$使得$D_{i+1}$可以从$D_i$通过用它的一个邻居替换一个顶点而得到？在本文中，我们研究了这个决策问题的复杂性。我们首先证明，这个问题是PSPACE-完全的，即使限制分裂，二分或有界树宽图。另一方面，我们证明了它可以解决在多项式时间的对偶弦图（一个超类的树和区间图）或余图。
Identification, location-domination and metric dimension on interval and permutation graphs. I. Bounds
本文研究了区间图或置换图的最优识别码、（开）定位支配集和分解集的求法问题。在这些问题中，人们要求找到顶点的子集，通常称为\emph{solution}集，使用该集可以区分图的所有顶点。可以通过考虑解集内的邻域或通过采用到解顶点的距离来进行识别。通常目标是最小化解集的大小。在这里，我们研究的情况下，区间图，单位区间图，（二部）置换图和余图。对于这些类的图，我们给紧下界的大小，这样的解决方案集取决于输入图的顺序。虽然这样的下界的一般类的图是对数顺序，在这些特殊类的改进的界限的顺序，无论是二次根或线性的顶点数。此外，cograms的结果导致线性时间算法来解决所考虑的问题上的输入是cograms。
Intersection Graphs of Non-crossing Paths
我们研究了非交叉（NC）连接集的家庭建模的图形类。在这方面的两个经典的图类是圆盘图和真区间图。我们专注于的情况下，当集的路径和主机是一棵树（推广适当的区间图）。给出了树（及其子类）的NC路径的交图的禁止导出子图刻画和线性时间证明识别算法。我们的认证算法的一个直接后果是一个线性时间算法认证的存在/不存在的诱导爪$(K_{1,3})$在弦图。对于树的NC路的交图，我们刻画了最小连通支配集（导致一个线性时间算法来计算）。我们进一步观察到，总是有一个独立的支配集，这是一个最小的支配集，导致支配集问题是可解的线性时间。最后，每个这样的图$G$被示出为具有哈密尔顿圈当且仅当它是2-连通的，并且当$G$不是2-连通的时，$G$的最小叶生成树具有$\ell$叶当且仅当$G$的块割点树恰好具有$\ell$叶（例如，这意味着块割点树是路径，当且仅当该图具有哈密尔顿路径）。
The complexity of dominating set reconfiguration
设给定图$G$的两个控制集$D_s$和$D_t$，其基数至多为给定的阈值$k$ .然后，我们被问到是否存在$D_s$和$D_t$之间的$G$的控制集序列，使得序列中的每个支配集的基数至多为$k$，并且可以通过添加或删除恰好一个顶点从前一个获得。这个问题通常被认为是PSPACE完全的。在本文中，我们研究了这个决策问题的复杂性，从图类的观点。我们首先证明，即使是平面图，有界带宽图，分裂图和二分图的问题仍然PSPACE完全。然后，我们给出了一个一般的计划，构造线性时间算法，并表明，这个问题可以在线性时间解决的共图，树，和区间图。此外，对于这些易于处理的情况下，我们可以得到一个所需的序列，使得添加和删除的数量由$O(n)$，其中$n$是在输入图中的顶点的数量限制。
Families of tractable problems with respect to vertex-interval-membership width and its generalisations
针对时序图计算难题，提出树区间隶属宽度参数，统一并推广了顶点区间隶属宽度，并给出元算法证明一大类问题的固定参数可处理性。
Cosecure Domination: Hardness Results and Algorithm
对于不含孤立点的简单图$G=(V,E)$，$G$的余安全控制集$D$满足以下两个性质：（i）$S$是$G$的控制集，（ii）对每个点$v \in S$，存在一个点$u \in V \setminus S$，使得$uv \in E$和$(S \setminus \{v\}) \cup \{u\}$是$G$的控制集. $G$的余安全控制集的最小基数称为$G$的余安全控制数，记为$γ_{cs}(G)$。最小余安全控制问题是求一个基数为$γ_{cs}(G)$的图$G$的余安全控制集。该问题的决策版本被称为是NP-完全的二分，平面，分裂图。此外，众所周知，对于适当的区间图和上图，最小上安全控制问题是有效可解的。在本文中，我们工作在各种重要的图类，努力减少最小余安全控制问题的复杂性差距。我们发现，决策版本的问题仍然是NP-完全的圆图，双弦图，弦二部图，星凸二部图和梳凸二部图。在积极的方面，我们给出了一个计算链图的余安全控制数的有效算法，链图是二部图的一个重要子类。此外，我们证明了这个问题是线性时间可解的有界树宽图。此外，我们证明了这个问题的计算复杂性不同的支配问题。
Complexity and Algorithms for Semipaired Domination in Graphs
对于一个没有孤立点的图$G=(V,E)$，如果$(i)$ $D$是图$G$的一个控制集，并且$(ii)$ $D$可以被划分为两个元素子集，使得每两个元素集中的顶点之间的距离至多为2，则称一个集合$D\subseteq V$为G的半配对控制集. $G$的半成对控制集的最小基数称为$G$的半成对控制数，记为$γ_{pr2}(G)$。\textsc{Minimum Semipaired Domination}问题是寻找基数为$γ_{pr2}(G)$的$G$的半成对控制集。在本文中，我们开始了\textsc{Minimum Semipaired Domination}问题的算法研究。我们表明，决策版本的\textsc{Minimum Semipaired Domination}问题是NP-完全的二分图和分裂图。在积极的一面，我们提出了一个线性时间算法来计算区间图和树的最小基数半配对控制集。我们还提出了一个$1+\ln(2Δ+2)$ -近似算法的\textsc{Minimum Semipaired Domination}问题，其中$Δ$表示的最大程度的图，并表明，\textsc{Minimum Semipaired Domination}问题不能近似在$(1-ε) \ln|V|$的任何$ε> 0$，除非NP $\subseteq$ DTIME $(|V|^{O(\log\log|V|)})$…
Algorithmic aspects of disjunctive domination in graphs
对于图$G=(V,E)$，如果对于每个顶点$v\in V\setminus D$，$v$与$D$的一个顶点相邻或至少有两个顶点在$D$中与之相距$2$，则称集合$D\subseteq V$为$G$的\emph{disjunctive dominating set}. $G$的最小析取控制集的基数称为图$G$的\emph{disjunctive domination number}，记为$γ_{2}^{d}(G)$ . \textsc{Minimum Disjunctive Domination Problem}（MDDP）是寻找一个基数$γ_{2}^{d}(G)$的析取控制集.给定一个正整数$k$和一个图$G$，\textsc{Disjunctive Domination Decision Problem}（DDDP）是判定$G$在至多$k$处是否有一个析取控制集.在这篇文章中，我们首先提出了一个线性时间算法MDDP在适当的区间图。接下来，我们收紧的NP-完全性DDDP表明，它仍然是NP-完全的，即使在弦图。我们还提出了一般图中MDDP的$(\ln(Δ^{2}+Δ+2)+1)$ -近似算法，并证明了对于任何$ε>0$，MDDP都不能在$(1-ε) \ln(|V|)$内近似，除非NP $\subseteq$ DTIME $(|V|^{O(\log \log |V|)})$ .最后，我…
k-Gap Interval Graphs
我们开始研究一个新的参数化图的问题。在图的多区间表示中，每个顶点与实线的至少一个区间相关联，当且仅当与一个顶点相关联的区间与另一个顶点相关联的区间有非空交集时，两个顶点之间有一条边。一个n阶图称为k-间隙区间图，如果它具有至多n+k个区间的多重区间表示.为了扩展区间图（其中k=0）良好的算法性质，我们用k来表示图问题，并找到了几个问题的FPT算法，包括反馈顶点集、支配集、独立集、团、团覆盖和多重区间变换.着色问题被证明是W[1]-困难的，我们设计了一个XP算法来解决识别问题。
Algorithmic Aspects of Semitotal Domination in Graphs
对于图$G=(V,E)$，如果$D$是$G$的一个控制集，且$D$中的每一个顶点都在$D$的另一个顶点的距离~ $2$之内，则称集合$D \subseteq V$为$G$的一个完全控制集. \textsc{Minimum Semitotal Domination}问题是寻找一个具有最小基数的完全控制集。给定一个图$G$和一个正整数$k$，\textsc{Semitotal Domination Decision}问题是判定$G$在至多$k$处是否有一个基数的完全控制集. \textsc{Semitotal Domination Decision}问题对于一般图来说是NP完全的。在本文中，我们证明了\textsc{Semitotal Domination Decision}问题对于平面图，分裂图和弦二部图仍然是NP-完全的。给出了求解区间图上的\textsc{Minimum Semitotal Domination}问题的多项式时间算法。我们表明，\textsc{Minimum Semitotal Domination}问题在一个图的最大程度~ $Δ$承认一个近似算法，实现了近似比$2+3\ln(Δ+1)$，表明该问题是在类日志APX。我们还表明，\textsc{Minimum Semitotal Domination}问题不能近似$(1 - ε)\ln |V| $内的任何$ε> 0…
On the tractability of optimization problems on H-graphs
对于图$H$，如果图$G$是$H$的某个子图的连通子图的交图，则它是$H$ -图。$H$ -图自然地推广了几个重要的图类，如区间图或圆弧图。这个类是由Bíró、Hujter和Tuza在20世纪90年代初引入的。最近，Chaplick等人通过证明一些基本优化问题在$H$-图上可以在多项式时间内求解，开始了对$H$-图的算法研究。我们扩展和补充这些算法的发现在几个方向。首先证明了对每个固定的$H$，$H$ -图类具有数学上有界的布尔宽度（通过mim-width）.流水线与过多的已知算法的图形有界布尔宽度，这描述了一个大类的问题，可解决的多项式时间$H$ -图。我们还观察到$H$ -图是具有多项式多个最小分隔符的图。结合工作的Fomin，Todinca和Villanger算法的性质，这类图，这确定了另一类广泛的问题，可解决的多项式时间上$H$ -图。在$H$ -图的多项式时间可解问题中，最基本的优化问题是最大团、最大独立集和最小支配集。我们从参数化复杂性的角度对这些问题进行了更精细的复杂性分析。我们证明了最大独立集和最小支配集是W[1]-难的，它们被$H$的大小加上解的大小所参数化.另一方面，我们证明了当$H$是一棵树时，最小支配集是由$H$的大小固定参数可处理参数化的。对于最大团，我们表明，它承认一个多项式内核参数化的$H$和解决方案的大小。
On $H$-Topological Intersection Graphs
Biró等人（1992）引入了$H$ -图，即图$H$的一个细分的连通子图的交图。它们与许多类几何交图有关，例如，区间图、圆弧图、分裂图和弦图。我们否定地回答了Biró等人25年前提出的一个问题，即对于一个固定的图$H$，$H$ -图是否可以在多项式时间内被识别。证明了如果$H$包含钻石图作为子图，则它是NP-完全的.对于每棵固定树$T$，我们提供了一个识别$T$ -图的多项式时间算法。当$T$是次数为$d$的星形$S_d$时，我们有一个$O(n^{3.5})$ -时间算法。分别给出了求解以$d$和$H$为参数的$S_d$ -图和$H$ -图的最小支配集问题的FPT-时间算法和XP-时间算法. $H$ -图的算法适用于$H$ -图的独立集和独立控制集问题的XP-时间算法。如果$H$包含双三角形作为子图，我们证明了$H$ -图是GI-完全的，团问题是APX-困难的.如果$H$是一个仙人掌图，那么团问题可以在多项式时间内得到解决.当图$G$具有Helly $H$ -表示时，团问题可以在多项式时间内得到解决.我们证明了在$H$ -图（由$k$和$H$的树宽参数化）上，$k$ -团和列表$k$ -着色问题都是FPT-时间可解的.事实上，这些结果适用于图类的树宽有界的一个函数的团数。我们观察到$H$ -图最多有$n^{O(\|H\|)}$最小分隔符，这允许我们应用Fomin et al.（2…
Generalized distance domination problems and their complexity on graphs of bounded mim-width
我们推广的家庭的$(σ, ρ)$ -问题和本地可检查的顶点划分问题，他们的距离版本，这自然捕获众所周知的问题，如距离- $r$支配集和距离- $r$独立集。我们表明，这些距离问题是XP参数的结构参数最小宽度，因此多项式的图类，最小宽度是有界的，并迅速计算，如$k$ -梯形图，Dilworth $k$ -图，（圆形）置换图，区间图及其补图，凸图及其补图，$k$ -多边形图，圆弧图，$d$ -退化图的补图，以及如果给定$H$ -表示，则给出$H$ -图。为了补充这些发现，我们证明了许多类（距离）$(σ, ρ)$ -问题是W[1]-硬参数化的最小宽度+解决方案的大小。
Total Domination, Separated Clusters, CD-Coloring: Algorithms and Hardness
本文研究结合支配与着色的CD-COLORING问题，证明其与全支配在无三角形正则图上的NP完全性，引入cd-完美性概念并给出通用算法框架，同时解决区间图上分离簇问题的多项式可解性。
On graph classes with logarithmic boolean-width
布尔宽度是最近引入的图形参数。当用布尔宽度参数化时，许多问题是固定参数可处理的，例如“最小加权支配集“（MWDS）问题可以在给定宽度$k$的布尔分解的$O^*(2^{3k})$时间内求解，因此对于所有可以在多项式时间内找到宽度$O(\log n)$的布尔分解的图类，MWDS可以在多项式时间内求解。我们研究了具有布尔宽度$O(\log n)$的图类和在$O^*(2^{O(k)})$中可解的问题，结合这两个结果来设计多项式算法。我们证明了对于梯形图、循环置换图、凸图、Dilworth- $k$图、圆弧图和$k$ -退化图的补图，可以在多项式时间内找到宽度为$O(\log n)$的布尔分解.我们还证明了圆形$k$ -梯形图具有布尔宽度$O(\log n)$，并在给出圆形$k$ -梯形交模型的条件下找到了这样的分解。对于许多图类，我们还证明了它们包含布尔宽度的图$Θ(\log n)$。进一步，我们应用\cite{boolw2}的结果给出了一个新的多项式时间算法，解决了Proskurowski和Telle \cite{TP97}提出的所有顶点划分问题.这扩展了Kratochvíl，Manuel和Miller \cite{KMM95}以前的结果表明，一个大的子集的顶点划分问题是多项式可解的区间图。
On the parameterized complexity of the Maker-Breaker domination game
本文研究Maker-Breaker支配游戏的参数复杂性，证明其在不同参数下具有W[2]-完全和W[1]-完全的计算复杂性，并提供多种参数化的FPT算法。
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