Grundy domination and zero forcing in regular graphs
给定一个有限图$G$，$G$中的顶点序列$(v_1,\ldots,v_k)$使得每个$v_i$支配一个不被$\{v_1,\ldots,v_{i-1}\}$中的任何顶点支配的顶点的最大长度称为$G$的Grundy支配数，$γ_{\rm gr}(G)$。一个小的修改的定义产生Z-格伦迪控制数，这是著名的迫零数的对偶不变量。本文证明了对于每一个连通的$k$-正则图，$γ_{\rm gr}(G) \geq \frac{n + \lceil \frac{k}{2} \rceil - 2}{k-1}$成立，其序为PDMATHAMT，不同于$K_{k+1}$和$\bar{2C_4}$.给出了$k=3$约化为$γ_{\rm gr}(G) \geq \frac{n}{2}$时的上界，并用$γ_{\rm gr}(G)=\frac{n}{2}$刻画了连通三次图.如果$G$不同于$K_4$和$K_{3,3}$，则$\frac{n}{2}$也是连通三次图迫零数的一个上界，并刻画了达到这个上界的连通三次图.
2020-10-01 math.CO
Grundy dominating sequences on $X$-join product
本文研究了图$G$与图族$\mathcal R=\{G_v: v\in V(G)\}$的$X$ -联积$G\hookleftarrow \mathcal R$的Grundy控制数.这些结果使我们扩展了已知的几个图族，在这些图族中可以有效地计算这个参数。我们证明了，如果，对于所有的$v\in V(G)$，$G_v$的Grundy控制数是给定的，$G$是一个权力的一个循环，一个权力的一条道路，或分裂图，计算的Grundy控制数的$G\hookleftarrow \mathcal R$可以在多项式时间内完成。特别是，权力的循环和路径的结果来自多项式减少这些图上的最大权重独立集问题。因此，当$G$是圈的幂、路的幂或分裂图时，我们导出了计算字典序积$G\circ H$的Grundy控制数的封闭公式，推广了Bresar等人在2016年给出的关于圈和路的结果。此外，当$G$是分裂图时，关于$X$ -连接积的结果也提供了计算$(q,q-4)$图、伙伴有限图和扩展的$P_4$ -负载图的Grundy控制数的多项式时间算法，这些图类在少数$P_4$的图的层次中是高的.
2018-10-05 math.CO
Computation of Grundy dominating sequences in (co-)bipartite graphs
本文证明Grundy支配问题在二分图和共二分图上为NP完全，并给出链图的线性时间算法。
2023-10-16 math.CO
Dominating sequences in grid-like and toroidal graphs
图$G$的不同顶点的最长序列$S$，使得$S$的每个顶点支配某个不被其前面的顶点支配的顶点，称为Grundy支配序列; $S$的长度是$G$的Grundy支配数。本文研究了四种标准图积：笛卡尔积、字典积、直积和强积的Grundy控制数。对于每一个乘积，我们给出了Grundy控制数的一个下界，它对字典序乘积是精确的，对强乘积是精确的.在大多数情况下，精确的Grundy控制数是由路和/或圈的乘积确定的。
2016-07-01 math.CO
Bounds for the Grundy chromatic number of graphs in terms of domination number
本文利用图的星形划分，建立了首批以支配数刻画 Grundy 色数的上界，并进一步给出结合支配数与围长的界。
2022-12-08 math.CO
Grundy domination of forests and the strong product conjecture
图$G$中顶点的最大序列$S$，使得$S$中的每个顶点都有一个独立于或自身独立于$S$中所有先前顶点的邻居，称为Grundy控制序列。Grundy控制数$γ_{gr}(G)$是$S$的长度。我们表明，对于任何森林$F$，$γ_{gr}(F)=|V(T)|-|\mathcal{P}|$，其中$\mathcal{P}$是一个最小的分区的非孤立顶点的$F$到毛虫，如果两个毛虫的$\mathcal{P}$有一个边缘之间的$F$，那么这样的边缘必须入射到一个非叶顶点的毛虫中的至少一个。我们利用这个结果证明了B的强乘积猜想。布雷沙角Bujtás，T. Gologranc，S.克拉瓦扎尔湾科什姆尔利湾帕科斯僵尸Tuza和M.张文，张文，等。23（4）：P4.34（2016），所有森林。也就是说，我们表明，对于任何森林$G$和图$H$，$γ_{gr}(G \boxtimes H) = γ_{gr}(G) γ_{gr}(H)$。我们还证明了每个连通图$G$都有一个生成树$T$，使得$γ_{gr}(G)\le γ_{gr}(T)$和每个非完全连通图都包含一个Grundy控制集$S$，使得$S$的导出子图不包含孤立点.
2021-04-12 math.CO
Loop zero forcing and grundy domination in planar graphs and claw-free cubic graphs
给定一个具有顶点集$V(G)$的简单有限图，我们定义$G$的迫零集如下。选择$S\subseteq V(G)$并将$S$的所有顶点着色为蓝色，将所有顶点着色为$V(G) - S$白色。颜色变化规则是如果$w$是蓝色顶点$v$的唯一白色邻居，则将$w$的颜色从白色变为蓝色。如果在尽可能多地应用颜色变化规则之后，最终$G$的每个顶点都是蓝色的，则我们称$S$为$G$的迫零集。$Z(G)$表示迫零集的最小基数。Davila和Henning在\cite{zerocubic}中证明了对任意无爪三次图$G$，$Z(G) \le \frac{1}{3}|V(G)| + 1$ .我们证明了如果$G$是$2$ -边连通的、无爪的和立方的，则$Z(G) \le \left\lceil\frac{5n(G)}{18}\right\rceil+1$。我们还研究了一个类似的图不变量称为循环迫零数的图$G$这恰好是对偶不变量的Grundy控制数的$G$。特别地，我们研究了两种特殊类型的可平面图中的圈迫零数。
2022-12-01 math.CO
On the Parameterized Complexity of Grundy Domination and Zero Forcing Problems
Brandenburg University of Technology（勃兰登堡工业大学）
本文研究了Grundy支配和零强迫问题的参数复杂性，证明了四种变体均为W[1]-完全，同时扩展了零强迫问题的参数结果，揭示了L-Grundy支配问题的W[1]-难性。
2026-04-28 cs.CC cs.DM cs.DS
Dominating sequences under atomic changes with applications in Sierpiński and interval graphs
图$G$的不同顶点的序列$S=(v_1,\ldots,v_k)$称为合法序列，如果对任何$i$有$N[v_i] \setminus \cup_{j=1}^{i-1}N[v_j]\not=\emptyset$。图$G$中合法（控制）序列的最大长度称为图的Grundy控制数$γ_{gr}(G)$。已知确定Grundy控制数的问题一般是NP-完全的，而对于树和其他一些图类，存在有效的算法。本文给出了求区间图Grundy控制数的一个有效算法。我们还证明了任意Sierpienski图$S_p^n$的Grundy控制数的精确值，并给出了构造相应序列的算法。这些结果是利用本文的主要结果得到的，这些结果是点和边去除图的Grundy控制数的精确界。也就是说，给定一个图$G$，$e\in E(G)$和$u\in V(G)$，我们证明了$γ_{gr}(G)-1\le γ_{gr}(G-e) \le γ_{gr}(G)+1$和$γ_{gr}(G)-2\le γ_{gr}(G-u) \le γ_{gr}(G)$。对于每一个边界都存在图，其中所有三种可能性分别发生在不同的边和顶点上。
2016-03-16 math.CO
Graphs with unique Grundy dominating sets
研究图$G$中Grundy支配集的唯一性条件，在自同构映射下刻画四种变体中具有唯一Grundy支配集的图与森林，并为森林类提出高效识别算法。
2025-04-03 cs.DM math.CO
Grundy Total Domination and Skew Zero Forcing in Cartesian Products of Paths and Cycles
National Dong Hwa University（东华大学）
该研究确定了路径与路径、路径与循环、循环与循环的笛卡尔积图的Grundy全支配数与斜零强制数，填补了相关界的空白并给出匹配的上下界。
2026-08-31 math.CO
On the length of L-Grundy sequences
图的L-序列$G $是不同顶点的序列$S = \{v_1, ... , v_k\}$使得$N[v_i] \setminus \cup_{j=1}^{i-1} N(v_j) \neq \emptyset$ .最长的L-序列的长度称为L-Grundy控制数，记作$γ_{gr}^L(G)$。在本文中，我们证明了$γ_{gr}^L(G) \leq n(G) - δ(G) + 1$，这是由Brear，Gologranc，Henning和Kos证明的。我们还证明了一些早期的结果$n$ -顶点图的特点，如$γ_{gr}^L(G) = n$，以及在图操作下的L-Grundy数的变化的界限。
2021-08-27 math.CO
Total Dominating Sequences in Graphs
图中的一个顶点完全支配另一个顶点，如果它们是相邻的。图$G$中的一个顶点序列称为全控制序列，如果序列中的每个顶点$v$都完全控制至少一个不被序列中任何在$v$之前的顶点完全控制的顶点，并且在序列的最后，$G$的所有顶点都是完全控制的.当最短序列的长度是$G$的全控制数时，本文研究了最大长度的全控制序列，我们称之为$G$的Grundy全控制数，$γ_{\rm gr}^t(G)$.我们提供了一个表征的图形$G$为$γ_{\rm gr}^t(G)=|V(G)|$和那些为$γ_{\rm gr}^t(G)=2$。证明了若$T$是一个非平凡的~ $n$阶树，且其顶点不具有两个或两个以上的叶邻居，则有$γ_{\rm gr}^t(T) \ge \frac{2}{3}(n+1)$，并刻画了其极值树.证明了对$k \ge 3$，若$G$是一个连通的$k$ -正则图，其序为$n$，序为$K_{k,k}$，则$γ_{\rm gr}^t(G) \ge (n + \lceil \frac{k}{2} \rceil - 2)/(k-1)$（若$G$不是二部图）和$γ_{\rm gr}^t(G) \ge (n + 2\lceil \frac{k}{2} \rceil - 4)/(k-1)$（若$G$是二部图）.证明了Grundy全控制数由Grundy控制数的两倍有界，而前者的不变量可以任意小于后者。最后，建立了与…
2016-01-27 math.CO
Invariance of the Sprague-Grundy Function for Variants of Wythoff's Game
我们证明了Fraenkel和Ho关于Wythoff博弈的两类变体的三个定理。Wythoff博弈的两类变体的特征是对角移动的限制。每一个猜想指出，斯普拉格-格伦迪函数是不变的，直到某个尼姆值的一个子集，这类变体的威索夫的游戏。对于一类Wythoff的游戏的变体，我们证明了Sprague-Grundy函数的不变性超出了Fraenkel和Ho所描述的。
2015-09-05 math.CO
Total dominating sequences in trees, split graphs, and under modular decomposition
一个图$G$中没有孤立点的顶点序列称为全控制序列，如果序列中的每个顶点都完全控制至少一个不完全被序列中的前一个顶点控制的顶点，并且在末端$G$的所有顶点都是全控制的（根据定义，一个顶点完全控制它的邻居）。全控制序列的最大长度称为$G$的Grundy全控制数，$γ_{\rm gr}^t(G)$，如[B. Brešar，M.A. Henning和D. F. Rall，Total dominant sequences in graphs，Discrete Math.339（2016），1165- 1676].在本文中，我们继续调查这一概念，主要是从算法的角度来看。虽然它是已知的，决策版本的问题是NP-完全的二分图，我们表明，这也是真的，如果我们限制分裂图。基于公式$γ_{\rm gr}^t(T)=2τ(T)$，给出了一个确定任意树$T$的Grundy全控制数的线性时间算法，其中$τ(T)$是$T$的顶点覆盖数.对二部距离遗传图给出了一个类似的有效算法。使用图的模块化分解，我们提出了一个框架，获得多项式算法，这个问题的类图具有相对简单的模块化子图。特别地，给出了一个确定$P_4$ -整洁图的Grundy全控制数的线性算法.此外，我们证明了一个实现的结果，展示了一个家庭的图$G_k$，使$γ_{\rm gr}^t(G_k)=k$，对任何$k\in{\mathbb{Z}^+}\setminus…
2016-08-24 math.CO
Total $k$-Uniform Graphs
图$G$中的一个顶点序列称为全控制序列，如果序列中的每个顶点$v$都有一个邻点不与序列中的$v$之前的顶点相邻，并且在序列的末尾，$G$的每个顶点至少有一个邻点.全控制序列的最小和最大长度分别是$G$的全控制数（用$γ_t(G)$表示）和$G$的Grundy全控制数（用$γ_{gr}^t(G)$表示）。本文研究了具有相等全控制数和Grundy全控制数的图。对于每一个正整数$k$，如果$γ_t(G)=γ_{gr}^t(G)=k$，则称$G$为全$k$ -一致图.证明了当$k$为奇数时，不存在全$k$ -一致图.此外，我们还提出了一个全4-一致图，它是T. Gologranc等人的研究，并给出了一个连通全8-一致图.此外，我们还证明了对于每个偶图$k$，每个全$k$ -均匀连通无伪孪生图都是正则的.证明了不存在具有$k\geq 4$的全$k$ -一致弦连通图，并刻画了全$k$ -一致弦连通图.
2020-10-27 math.CO
A note concerning the Grundy and ${\rm b}$-chromatic number of graphs
图$G$的Grundy数是$G$的首次拟合着色所使用的颜色的最大数量，并且用$Γ(G)$表示。类似地，$G$的${\rm b}$ -色数${\rm{b}}(G)$表示另一个众所周知的着色过程的最坏情况行为，即$G$的颜色主导着色。我们得到了一些图族$\mathcal{F}$，对于这些图族，存在一个函数$f(x)$，使得对每个图$G$，有$Γ(G)\leq f({\rm{b}}(G))$.将任何这样的族称为$(Γ,b)$ -有界族。我们猜想${\rm b}$ -单调图族是$(Γ,b)$ -有界的，并对某些图族验证了这个猜想.
2020-03-31 math.CO
More bounds for the Grundy number of graphs
图$G=(V,E)$的着色是将$V$划分为独立的集合或色类的划分$\{V_1, V_2, \ldots, V_k\}$。顶点$v\in V_i$是Grundy顶点，如果它与每个$j<i$的每个颜色类$V_j$中的至少一个顶点相邻。一个图的染色是Grundy染色，如果每个顶点都是Grundy顶点，并且图的Grundy数$Γ(G)$是一个图的Grundy染色的最大颜色数.本文给出了图的Grundy数的两个新的上界和著名的Nordhaus-Gaddum定理的一个更强的版本。此外，通过支持Zaker的一个猜想，我们给出了无$\{P_{4}, C_4\}$图的一个新的刻画，即对任何无$C_4$的图$G$，$Γ(G)\geq δ(G)+1$.
2015-12-08 math.CO
Domination game and total domination game played on Sierpiński graphs
University of Maribor（马里博尔大学）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理与力学研究所）；Trinity College（三一学院）；University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）
该研究聚焦谢尔宾斯基图上的控制与全控制博弈，通过推导严格不等式改进了控制博弈数的平凡界，并确立了全控制博弈数的下界，丰富了图论博弈领域的相关结论。
2026-08-24 math.CO
A proof of the 3/4 conjecture for the total domination game
本文描述了支配者的一个策略，使得对于$n$顶点上的每个图$G$，在最多$3/4n$移动的时间内完成全支配对策，而没有任何孤立的顶点或边，从而证实了Henning，Klav{Einar}和Rall关于全支配对策的3/4-猜想.
2022-12-16 math.CO
On Rall's $1/2$-conjecture on the domination game
关于控制对策的$1/2$ -猜想断言，如果$G$是可迹图，则$G$的对策控制数$γ_g(G)$至多为$\left\lceil \frac{n(G)}{2} \right\rceil$ .如果$γ_g(G) = \left\lceil \frac{n(G)}{2} \right\rceil$成立，则可追踪图是$1/2$ -图.证明了所谓的带帽圈是$1/2$ -图，单圈图满足$1/2$ -猜想.另外几个家庭的图，支持的猜想，确定和计算机实验相关的猜想描述。
2020-06-04 math.CO
A Counterexample to an Eternal Domination Conjecture
Epoch AI；University of North Florida（北佛罗里达大学）
通过构造243个顶点的图，证明其永恒支配数与支配数相等但小于theta数，否证了Gamma-Theta猜想。
2026-09-11 math.CO
On Grundy and b-chromatic number of some families of graphs: a comparative study
本文比较研究图的 Grundy 数与 b-色数，构造二者背离的图序列，并证明若干图族中 Grundy 数可由 b-色数的函数控制，从而验证相关猜想。
2020-12-18 math.CO
A new approach on locally checkable problems
本文提出一个新框架，扩展了有界树宽图局部可检查问题的已有结果，证明了双罗马支配和Grundy支配等问题可多项式时间求解，并利用固定幂图性质扩大了可解问题家族。
2020-12-29 cs.DM math.CO
On the Integer Domination Root Conjecture
Yazd University（亚兹德大学）；NEXIVERIFY
本文针对整数支配根猜想，构造了阶数为33的反例图G₃₃，证明其支配多项式在x=-4处存在整数根，揭示了转移矩阵与S-单位分支抵消的结构机制。
2026-08-04 math.CO
Conjecture of TxGraffiti: Independence, domination, and matchings
TxGraxlet是一个自动化的图形化程序，以图形化不等式的形式产生图论图形。自2017年以来，第二作者编写和维护的这个程序受到了以前自动化编程程序的成功的启发，包括Fajtlowicz的GRAFFITI和DeLaViña的GRAFFITI.pc。在本文中，我们证明和推广的TxGraffic生成的几个图形时，提示猜想的\emph{independence number}，\emph{domination number}，和\emph{matching number}（和推广这些图形不变量）。此外，在一些情况下，我们还表明，这些图不变量的建议的不等式是尖锐的。
2021-04-02 math.CO
Progress towards the 1/2-Conjecture for the domination game
支配博弈是在图$G$上由两个玩家Dominator和Staller进行的，他们交替选择顶点，直到图$G$中的每个顶点都包含在所选顶点集的闭邻域中。统治者的目标是在尽可能少的移动中达到这种状态，而Staller希望游戏持续尽可能长的时间。证明了若$G$有$n$顶点且最小度至少为2，则Dominator有策略在$10n/17+1/17$步内完成$G$上的控制对策，从而推进了Bujt{á}s，Iršiand Klavžar的一个猜想.
2023-02-07 math.CO
The ratio of domination and independent domination numbers on trees
设$γ(G)$和$i(G)$分别为$G$的控制数和独立控制数. 1977年，Hedetniemi和Mitchell开始比较$i(G)$和$γ(G)$，最近Rad和Republmann提出了一个猜想，即$i(G)/ γ(G) \leq Δ(G)/2$，其中$Δ(G)$是$G$的最大度。本文证明了关于树的猜想，并给出了图达到尖界的证明。
2016-10-05 math.CO
$1/2$-conjectures on the domination game and claw-free graphs
设$γ_g(G)$是图$G$的博弈控制数. Rall证明了如果$G$是一个可追踪图，那么$γ_g(G) \le \left\lceil \frac{1}{2}n(G)\right\rceil$。我们的主要结果验证了关于线图类的猜想。此外，本文还提出了猜想：若$δ(G) \geq 2$，则$γ_g(G) \leq \left\lceil \frac{1}{2}n(G) \right\rceil$ .我们证明了这两个定理对无爪三次图都成立。进一步证明了最小度至少为$2$的无爪图类的上界$γ_g(G) \le \left\lceil \frac{11}{20} \, n(G) \right\rceil$.计算机实验支持新的猜想和清晰度的例子。
2020-10-27 math.CO
Domination versus edge domination
我们提出了一个猜想：具有$Δ\geq 1$的$Δ$ -正则图$G$的控制数$γ(G)$总是至多是它的边控制数$γ_e(G)$，它与它的线图的控制数一致.我们证明了一般$Δ\geq 1$的$γ(G)\leq \left(1+\frac{2(Δ-1)}{Δ2^Δ}\right)γ_e(G)$和$Δ=3$的$γ(G)\leq \left(\frac{7}{6}-\frac{1}{204}\right)γ_e(G)$。此外，我们验证了我们的猜想立方无爪图。
2019-07-07 math.CO
Analysis of Odd/odd vertex removal games on special graphs
我们分析了P. Ottaway提出的奇/奇顶点移除博弈。我们证明了每个二部图的Grundy值仅取决于图中边数的奇偶性，这是K的一个猜想的推广。谢尔顿我们还回答了一个问题，最初提出的谢尔顿和奥特韦的存在图的每一个Grundy值。我们证明，情况确实如此。
2013-04-30 math.CO
Averaging $2$-Rainbow Domination and Roman Domination
对于图$G$，设$γ_{r2}(G)$和$γ_R(G)$分别表示图的$2$ -彩虹控制数和罗马控制数. Fujita和Furuya（Difference between 2-rainbow dominance and Roman dominance in graphs，Discrete Applied Mathematics 161（2013）806-812）证明了$γ_{r2}(G)+γ_R(G)\leq \frac{6}{4}n(G)$对于阶为$n(G)$至少为$3$的连通图$G$。此外，他们证明了$γ_{r2}(G)+γ_R(G)\leq \frac{4}{3}n(G)$的连通图$G$的最小度至少$2$是不同于$C_5$。我们刻画了所有极图的不等式，并证明了它们的猜想。
2015-07-17 math.CO
A note on the independent domination number versus the domination number in bipartite graphs
设$γ(G)$和$i(G)$分别为$G$的控制数和独立控制数. Rad和Republmann提出了一个猜想，即对于任何图$G$，其中$Δ(G)$是它的最大度，都有$i(G)/ γ(G) \leq Δ(G)/2$（参见\cite{5}：N.J. Rad，L.关于图的独立控制数的一个注记。161（2013）3087 - 3089）。在这项工作中，我们验证了二部图的猜想。给出了几类达到极值界的图和含有比值大于$Δ(G)/2$的奇圈的图。
2016-07-06 math.CO
Domination number in block designs
设$G=(V,E)$是一个简单的连通图.一个顶点集$S\subseteq V$称为支配集，如果$V\setminus S$中的任何顶点都与$S$中的至少一个顶点相邻。$G$的控制数$γ(G)$是所有这样的集合中的最小基数。本文得到了关于组合设计关联图的控制数的一些结果。特别是，我们证明了一个猜想，并反驳了另一个猜想在最近的一篇论文由戈德堡，Rajendraprasad和马修。我们还证明了第三个猜想，由同一作者的块传递对称设计。
2016-03-24 math.CO
A proof of the 3/5-conjecture in the domination game
支配博弈是由两个参与者Dominator和Staller进行的优化博弈，他们交替选择图$G$中的顶点。如果一个顶点已被选中或与选中的顶点相邻，则该顶点被称为支配顶点。每个选定的顶点必须严格增加其选择时的支配顶点的数量，一旦$G$中的每个顶点都是支配的，游戏就结束了。统治者的目标是保持游戏尽可能短，而Staller试图实现相反的。本文证明了Kinnersley，West和Zamani提出的关于$n$顶点上的图$G$，Dominator有一个最多用$3n/5$步结束博弈的策略.
2023-02-02 math.CO
Another conjecture of TxGraffiti concerning zero forcing and domination in graphs
本文证明了TxGraffiti人工智能程序生成的猜想，即连通、三次且无爪图的零强迫数$Z(G)$不超过控制数$γ(G)$加2，并给出了达到该界的图的完整刻画，改进了已知上界。
2024-11-18 math.CO
Bounding the k-rainbow total domination number
最近，$k$ -彩虹全控制的概念被引入到图$G$中，其动机是希望将计算广义棱柱$G \Box K_k$的全控制数的问题简化为$G$上的整数标号问题。在本文中，我们进一步证明了标记方法的有用性，根据全控制数，彩虹控制数和彩虹全控制数以及通常的控制数给出了彩虹全控制数的界限，其中后者给出了Goddard和Henning（2018）结果的推广。我们建立了彩虹支配和彩虹全支配的Vizing样结果。通过对彩虹全控制的一个Vizing猜想的陈述，对Vizing猜想在二部图的情形下提出了一个不同的观点.
2020-03-20 math.CO
A 50-Vertex Cubic Counterexample to the Domination-versus-Edge-Domination Conjecture
本文通过一个50顶点三次图反例，证明Baste等人关于正则图支配数不超过边支配数的猜想不成立，并给出精确计算与验证。
2026-09-11 math.CO
Independent transversal domination number of a graph
设$G=(V, E)$是一个图。一个集合$S\subseteq V(G)$是$G$的{ \it支配集}，如果$V\setminus S$中的每个顶点都与$S$的一个顶点相邻。$G$的{ \it控制数}，记为$γ(G)$，是$G$的最小控制集的基数。此外，如果控制集$S$与$G$的每个最大独立集相交，则它是$G$的{ \it独立横截控制集}。$G$的{ \it独立横截控制数}记为$γ_{it}(G)$，是$G$的最小独立横截控制集的基数. 2012年，Hamid开创了图的独立横控制的研究，并提出了以下两个猜想：猜想1。若$G$是$n$上的非完全连通图，则有$γ_{it}(G)\leq\lceil\frac{n}{2}\rceil$ .猜想2.如果G是连通二部图，则$γ_{it}(G)$是$γ(G)$或$γ(G)+1$。我们证明了猜想1一般不成立。最近，猜想2被Ahangar，Samodivkin，Yero部分验证为真。在这里，我们证明了猜想2的全部陈述。此外，我们还给出了Hamid定理的一个正确的版本.最后，我们回答了Martínez，Almira和Yero提出的一个关于图的独立横截全控制的问题。
2017-04-20 math.CO
On a Vizing-type integer domination conjecture
给定一个简单图$G$，$G$中的支配集是一个顶点$S$的集合，使得每个不在$S$中的顶点都有一个邻居。用$γ(G)$表示$G$的控制数，它是$G$的任何最小控制集的大小。对于任何整数$k\ge 1$，函数$f : V (G) \rightarrow \{0, 1, . . ., k\}$称为\emph{$\{k\}$-dominating function}，如果它的函数值在任何封闭邻域上的和至少是$k$。$\{k\}$ -支配函数的权是它在所有顶点上的值之和。定义$G$的$\{k\}$ -控制数$γ_{\{k\}}(G)$为所有$\{k\}$ -控制函数的最小权. Brešar，Henning和Klavžar（关于图中的整数支配和Vizing类问题。\emph{Taiwanese J. Math.} {10（5）}（2006）pp. 1317--1328）询问是否存在整数$k\ge 2$使得$γ_{\{k\}}(G\square H)\ge γ(G)γ(H)$。在本注记中，我们使用罗马$\{2\}$ -支配数，Chellali，Haynes，Hedetniemi和McRae的$γ_{R2}$（罗马$\{2\}$ -支配数。\emph{Discrete Applied Mathematics} {204}（2016）pp.（第22至28段）证明了若$G$是无爪图，$H$是任意图，则…
2020-07-08 math.CO
General upper bound on the game domination number
证明了对于任何不含孤立点的$n$ -顶点图，其对策控制数至多为$3n/5$.最近几年证明了这个猜想对几类图都成立，包括森林类和最小度至少为2的图类。在这里，我们证明了稍大的上界$5n/8$是有效的每一个孤立的自由图。
2020-01-31 math.CO
On independent domination in direct products
在\cite{nr-1996} Nowakowski和Rall列出了一系列涉及几种不同图形产品的图解。特别地，他们证明了$i(G\times H) \ge i(G)i(H)$，其中$i(G)$是$G$的独立控制数，而$G\times H$是图$G$和$H$的直积。我们证明了这个猜想是错误的，事实上，我们构造了一对图，其中$\min\{i(G), i(H)\} - i(G\times H)$是任意大的。当$G$为路或圈时，我们也给出了$i(G\times K_n)$的精确值.
2022-03-23 math.CO
The 2-Domination Number and the Upper Median Degree: A Proof of Graffiti.pc Conjecture 387
本文证明非空有限简单图的2-控制数上界为n - m(G) + 1，解决了Graffiti.pc猜想387，且无需原猜想的连通性假设，证明依赖补图与多项式族工具。
2026-07-31 math.CO
Progress Towards the Total Domination Game $\frac{3}{4}$-Conjecture
在本文中，我们继续研究图中的全控制对策[Graphs Combin. 31（5）（2015），1453- 1462]，其中玩家Dominator和Staller交替地选择$G$的顶点。每个顶点的选择必须严格增加完全支配的顶点数，其中一个顶点完全支配另一个顶点，如果它们是邻居。该过程最终产生$G$的全支配集$S$，其中每个顶点完全被$S$中的顶点支配。Dominator希望最小化所选顶点的数量，而Staller希望最大化它。$G$的游戏总控制数$γ_{\rm tg}(G)$是Dominator开始游戏时所选顶点的数量，并且两个玩家都最优地玩。Henning，Klavžar和Rall [Combinatorica，to appear]发布了$\frac{3}{4}$ -Game Total Domination Conjecture，该猜想指出，如果$G$是$n$顶点上的图，其中每个组件至少包含三个顶点，则$γ_{\rm tg}(G) \le \frac{3}{4}n$。本文证明了这一猜想在一类图$G$上的存在性，这类图满足两个条件：$G$中相邻顶点的度和至少为$4$，以及$G$中没有两个度为$1$的顶点相距$4$.特别地，我们证明了通过采用一个贪婪策略，支配者可以完成在一个图的最小度至少$2$在最多$3n/4$移动的总控制游戏。
2015-12-09 math.CO
The Paired Domination Number of Cubic Graphs
设G是一个没有孤立点的简单无向图。图G的一个成对控制集是一个能导出一个具有完美匹配的子图的控制集。图G的成对控制数γpr（G）是它的最小成对控制集的大小。Goddard和Henning证明了除Petersen图外，对于δ（G）{\geq }为3的图G，γpr（G）{\leq } 4 n/7成立.本文对三次图证明了这个猜想。
2020-11-25 math.CO
An upper bound for the $k$-power domination number in $r$-uniform hypergraphs
在图的研究工作的基础上，Chang和Adelsel在超图中引入了$k$ -幂控制，并证明了$k$-一致超图在$n$顶点上的$k$ -幂控制数的上界为$\frac{n}{r+k}$ .这个上界被证明是正确的简单图（$r=2$），并进一步证明，只有一族超图，称为鱿鱼超图，达到这个上界。本文证明了这个猜想对具有$r=3$或$4$的超图是成立的，但通过一个反例证明了这个猜想对具有$r\geq 7$的超图是错误的.此外，我们表明，鱿鱼超图不是唯一的超图，达到原来的上界。最后证明了$r\geq 3$的一个新的上界.
2022-06-02 math.CO
The domination polynomial of powers of paths and cycles
本文将Alikhani和Peng关于图支配序列单峰性的猜想，从Beaton和Brown已验证的路和环，进一步推广至路与环的任意幂。
2024-08-22 math.CO
The annihilation number does not bound the 2-domination number from the above
图$G$的$2$ -控制数$γ_2(G)$是一个集合$S\subseteq V(G)$的最小基数，使得来自$V(G)\setminus S$的每个顶点至少与$S$中的两个顶点相邻.湮灭数$a(G)$是最大整数$k$，使得$G$的非减度序列的第一个$k$项的和至多是其边的数目。证明了$γ_2(G) \leq a(G) +1$对所有连通图$G$成立.这个猜想在以前被证实，特别是对于最小度的图$3$、树和块图。本文通过证明$2$ -控制数可以任意大于湮灭数来反驳这一猜想。在积极的一面，我们证明了一个大子类的二部，连接仙人掌的约束范围，从而推广了Jakovac的结果[离散应用。数学。260（2019）178- 187]。
2019-04-27 math.CO
Domination in 3-tournaments
一个3-竞赛图是一个完全的3-一致超图，其中每条边都有一个特殊的顶点作为它的尾。顶点集$X$支配$T$，如果不在$X$中的每个顶点都包含在其尾部在$X$中的边中。$T$的支配数是这样的$X$的最小尺寸。Gyárfás推广了关于通常（图）竞赛图的著名结果，证明了存在具有任意大控制数的3-竞赛图，并且如果任意四个顶点诱导两个具有相同尾的三元组，则情况并非如此。在这个简短的说明中，我们解决了这两个问题，证明了第一个猜想，并反驳了第二个。
2016-02-04 math.CO
Relating the total domination number and the annihilation number for quasi-trees and some composite graphs
图$G$的全控制数$γ_{t}(G)$是最小集合$D\subseteq V(G)$的基数，使得$G$的每个顶点在$D$中都有邻居。$G$的湮灭数$a(G)$是使得$G$中存在$k$个不同顶点且度和最多为$m(G)$的最大整数$k$。证明了$γ_{t}(G)\leq a(G)+1$对每个非平凡连通图$G$成立.该猜想已被证明的最低程度至少$3$，树，某些树状图，块图，仙人掌图的图。在本文的主要结果中，证明了该猜想对拟树也成立。该猜想也验证了一些图的结构，包括双射图，Mycielskians，和新引入的普遍识别图。
2022-04-23 math.CO
Domination and Upper Domination of Direct Product Graphs
若$x-y$与$n$互质，则$\mathbb{Z} /n \mathbb{Z}$的酉Cayley图（记为$X_{\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}}$）有顶点$0,1, \dots, n-1$，且$x$与$y$相邻.我们提出的结果的紧性的已知不等式$γ(X_{\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}})\leq γ_t(X_{\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}})\leq g(n)$，其中$γ$和$γ_t$表示控制数和总控制数，分别和$g$是算术函数称为Jacobsthal的功能。特别是，我们构造整数$n$与任意多个不同的素因子，使$γ(X_{\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}})\leqγ_t(X_{\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}})\leq g(n)-1$。推广了Mekietan的工作，给出了完全图直积控制数的下界。我们还提出了一个简单的猜想的确切值的直积的平衡，完全多部图的上控制数，并证明了在某些情况下的猜想。我们以一些开放的问题结束。
2018-06-28 math.CO
The domination number of the graph defined by two levels of the $n$-cube, II
将一个$n$-元集的所有$k$ -元子集和$\ell$ -元子集$(k>\ell )$看作二分图的顶点.如果相应的$\ell$元素集是相应的$k$元素集的子集，则两个顶点相邻。令$G_{k,\ell}$表示该图。$G_{k,1}$的控制数由Badakhshian，Katona和Tuza精确确定.在那里还提出了一个关于$G_{k,2}$的控制数的渐近值（$n$趋于无穷大）的猜想。在这里，我们证明了猜想，确定控制数$γ(G_{k,2})={k+3\over 2(k-1)(k+1)}n^2+o(n^2)$的渐近值。
2020-02-01 math.CO
New Upper Bounds on the Distance Domination Numbers of Grids
在1992年的PhD论文Chang确定了一种有效的方法来支配$m \times n$网格图，并证明他的构造给出了相对较大网格的最有效支配集。在2011年，Gonçalves、Pinlou、Rao和Rassé证明了Chang的猜想，建立了网格控制数的闭公式。2013年3月，Fata，Smith和Sundaram通过将Chang的控制集构造推广到$k$-距离控制集，建立了格图的$k$-距离控制数的上界。本文改进了Fata，Smith和Sundaram关于网格的$k$-距离控制数的上界.
2014-10-15 math.CO
Disproof of a conjecture on the minimum spectral radius and the domination number
本文否定了Liu, Li和Xie关于奇数n下具有特定控制数图集中最小谱半径极小化图的猜想，并完全确定了该情形下唯一的极小化图。
2023-07-28 math.CO
