Italian domination in rooted product graphs
本文给出了根积图的意大利控制数的封闭公式。作为研究的一个特例，我们推导出相应的公式冠图，我们提供了另一种证明，计算的意大利控制数的问题是NP-困难的。
2020-06-03 math.CO
Domination related parameters in rooted product graphs
一个图$G$的顶点集$S$是$G$中的控制集，如果$S$之外的每个顶点都与至少一个属于$S$的顶点相邻。$G$的控制参数与满足某些控制性质的图的顶点集以及$G$的顶点上的其它条件有关。在这里，我们研究了几个控制相关的参数在根积图。
2013-01-14 math.CO
Domination polynomial of lexicographic product of specific graphs
设$G$是阶为$n$的单图. $G$的控制多项式是多项式$D(G,λ)=\sum_{i=0}^{n} d(G,i) λ^{i}$，其中$d(G,i)$是大小为$i$的$G$的控制集的数目。考虑了两个特殊图的字典序积，研究了它们的控制多项式。
2015-11-25 math.CO
Domination related parameters in the generalized lexicographic product of graphs
本文研究了图的广义字典序积（简称GLP）中与控制有关的参数（其中包括全控制数、限制控制数、全限制控制数、成对控制数、外连通控制数和全外连通控制数）.我们证明了，对于图的每一个GLP，存在几个含有这些参数的等式链。推广了两个图的标准字典序积的一些已知结果。我们还得到了图的良好$μ$ -控制GLP的结果，其中$μ$代表上述控制参数中的任何一个。特别地，当$μ$是控制数或全控制数时，给出了图的良好$μ$ -控制GLP的一个刻画.
2020-07-26 math.CO
Product throttling for power domination
定义了图的乘积功率节流数，研究了图的功率控制的乘积节流问题。图的控制数是图的积幂节流数的上界。它建立了这两个参数是相同的某些家庭，包括道路，圈，完全图，单位区间图，和网格图（在平面上，圆柱，环面）。图的产品功率节流数是小于的控制数的家庭也展出。对具有极高或极低乘积功率节流数的图进行了刻画，并建立了乘积功率节流数的界。
2020-12-03 math.CO
An Improved Bound for Upper Domination of Cartesian Products of Graphs
本文证明了Brešar提出的一个问题：对任意图$G$和$H$，$Γ(G\square H)\geΓ(G)Γ(H)+ \min\{|V(G)|-Γ(G),|V(H)|-Γ(H)\}$，其中$Γ(G)$表示$G$的上控制数.
2017-03-17 math.CO
Roman domination in Cartesian product graphs and strong product graphs
图$G$的顶点集$S$是$G$的控制集，如果$S$之外的每个顶点都与属于$S$的至少一个顶点相邻。$G$的控制集的最小基数称为$G$的控制数。一个映射$f : V \rightarrow \{0, 1, 2\}$是图$G$上的罗马控制函数，如果对于每个具有$f(v) = 0$的顶点$v$，存在一个与$v$相邻的顶点$u$，使得$f(u) = 2$。罗马控制函数的权由$f(V) =\sum_{u\in V}f(u)$给出。$G$上罗马控制函数的最小权称为$G$的罗马控制数。本文研究了笛卡儿积图和强积图的罗马控制数。更确切地说，我们研究了乘积图的罗马控制数与因子的罗马控制数之间的关系。
2011-11-15 math.CO
The Secure Domination Number of Cartesian Products of Small Graphs with Paths and Cycles
确定了两个小图与路或圈的笛卡儿积的安全控制数，以及Mobius梯图的安全控制数。在此之前的工作，在所有的情况下，安全控制数已被确定，证明要么是平凡的，或已来自下界建立考虑不同形式的控制。然而，后一种模式的证明是不适用于大多数图，包括那些考虑在这里。因此，这项工作代表了第一次尝试，以确定安全控制数通过安全控制本身的性质，预计这些方法可能会被用来确定在未来的进一步结果。
2021-11-15 math.CO
Domination and Upper Domination of Direct Product Graphs
若$x-y$与$n$互质，则$\mathbb{Z} /n \mathbb{Z}$的酉Cayley图（记为$X_{\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}}$）有顶点$0,1, \dots, n-1$，且$x$与$y$相邻.我们提出的结果的紧性的已知不等式$γ(X_{\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}})\leq γ_t(X_{\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}})\leq g(n)$，其中$γ$和$γ_t$表示控制数和总控制数，分别和$g$是算术函数称为Jacobsthal的功能。特别是，我们构造整数$n$与任意多个不同的素因子，使$γ(X_{\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}})\leqγ_t(X_{\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}})\leq g(n)-1$。推广了Mekietan的工作，给出了完全图直积控制数的下界。我们还提出了一个简单的猜想的确切值的直积的平衡，完全多部图的上控制数，并证明了在某些情况下的猜想。我们以一些开放的问题结束。
2018-06-28 math.CO
Connected domination game: predomination, Staller-start game, and lexicographic products
连接控制博弈是最近由Borowiecki，Fiedorowicz和Sidorowicz作为控制博弈的另一种变体引入的。规则基本上是相同的，除了在游戏的所有阶段，所玩的顶点集必须连接。我们从他们的论文中回答了一个问题，关于在游戏中支配者/拖延者开始游戏的移动次数之间的关系。本文还研究了连通对策控制数与直径的关系，给出了连通对策控制数小的图。我们确定了字典序积图的值，并考虑了顶点的控制对连通对策控制数的影响。
2019-03-13 math.CO
Italian Domination of Cartesian Products of Directed Cycles
在顶点集为$V(G)$的（di）图$G$上的意大利控制函数是一个函数$f: V(G) \to \{0, 1, 2\}$，使得每个顶点$v \in V(G)$，使得$f(v) = 0$有一个（in）邻居赋值为2或两个（in）邻居赋值为1。完成了有向圈的笛卡儿积的意大利控制数的研究。
2020-11-02 math.CO
Double domination in lexicographic product graphs
在图$G$中，一个顶点支配它自己和它的邻居。一个子集$S\subseteq V(G)$称为$G$的双支配集，如果$S$支配$G$的每个顶点至少两次。$G$的所有双控制集的最小基数是双控制数。利用因子图$G$和$H$的不变量，得到了字典序积图$G\circ H$的双控制数的紧界和闭公式.
2020-08-01 math.CO
Power domination and zero forcing
电力控制数是电力网络监控中的一个重要问题，其确定是电力网络监控中的一个重要问题。幂控制数的上界可以通过构造得到。几类图的幂控制数的下界是已知的，但它们通常来自于每个图族的特定性质，并且这些方法不具有推广性。本文利用幂控制数与迫零数之间的关系，得到了幂控制数的第一个一般下界。我们应用这个界得到了图的张量积的幂控制和字典序积的迫零数的结果。我们还建立了图的张量积和笛卡儿积的迫零数的结果。
2017-02-22 math.CO
Maker-Breaker domination game played on corona products of graphs
本文研究了在图的冠积上进行制作者-打破者支配游戏，确定了相关支配数并给出了界限。
2024-09-30 math.CO
On total domination in the Cartesian product of graphs
Ho在[A note on the total dominance number，Util.Math. 77（2008）97- 100]中证明了任意两个没有孤立点的图的笛卡儿积的总控制数至少是它们的总控制数之积的一半。本文推广了Lu和Hou在[图与$K_2$或$C_n$的笛卡儿积的全控制，Util. Math.83（2010）313- 322]，通过表征图对$G$和$H$，其中$γ_t(G\Box H)=\frac{1}{2}γ_t(G) γ_t(H)\,$，无论何时$γ_t(H)=2$。此外，我们还得到了一类具有$γ_t(G_n)=2n$的图$G_n$，它们渐近地逼近$γ_t(G_n\Box G_n)\ge \frac{1}{2}γ_t(G_n)^2$中的等式.
2016-12-28 math.CO
Graphs which satisfy a Vizing-like bound for power domination of Cartesian products
权力支配是一个两步的观察过程，用于监测电力网络，可以被视为支配和零强迫的组合。给定一个图$G$，一个子集$S\subseteq V(G)$，它可以观察到$G$的所有顶点使用这个过程被称为$G$的一个功率控制集，和$G$的功率控制数，$γ_P(G)$，是在一个功率控制集中的顶点的最小数目。我们在图的顶点上引入一种新的划分，从而给出了幂控制数的一个下界。我们还考虑了两个图的笛卡儿积$G \Box H$的幂控制数，并证明了某些图满足关于幂控制数的类Vizing界。特别地，我们证明了对于任意两棵树$T_1$和$T_2$，$γ_P(T_1)γ_P(T_2) \leq γ_P(T_1 \Box T_2)$ .
2022-09-08 math.CO
Some new results on domination roots of a graph
设$G$是阶为$n$的单图. $G$的控制多项式是多项式$D(G,λ)=\sum_{i=0}^{n} d(G,i) λ^{i}$，其中$d(G,i)$是大小为$i$的$G$的控制集的数目。$D(G,λ)$的每一个根称为$G$的控制根。本文给出了控制多项式不含非零实根的图族。我们观察到这些图具有正实部的复控制根。然后，我们考虑了两个图的字典序积，得到了这类积的控制多项式的一个公式。利用这一积，我们构造了一族控制根在所有$\mathbb{C}$中稠密的图。
2012-10-11 math.CO
Rainbow domination in the lexicographic product of graphs
设k是正整数，f是V（G）到{1，2，3，.，k}。函数f称为G的k-彩虹控制函数，只要u是G的顶点使得f（u）是空集，则对{1，2，3，.，k}存在u的近邻x使得f（x）包含r。G的k-彩虹控制数是G的k-彩虹控制函数所指定的子集的基数的最小和（在G的所有顶点上）。G的k-彩虹控制数是G与k阶完全图的笛卡儿积的普通控制数。本文主要研究了图的字典积的2-彩虹控制数，并证明了这个数的精确下界和上界。实际上，我们证明了G与H的字典积的2-彩虹控制数的精确值，除了当H的2-彩虹控制数为3且存在H的最小2-彩虹控制函数使得H中的某个顶点被赋予标号{1，2}的情况。
2013-03-13 math.CO
From Italian domination in lexicographic product graphs to w-domination in graphs
本文证明了字典序积图$G\circ H$的意大利控制数可以用$G\circ H$的五个不同的控制参数来表示。这些参数可以在以下统一的方法下定义，该方法包括几个众所周知的支配参数的定义并引入新的支配参数。令$N(v)$表示$v\in V(G)$的开邻域，并且令$w=(w_0,w_1, \dots,w_l)$是非负整数的向量，使得$ w_0\ge 1$。我们说一个函数$f: V(G)\longrightarrow \{0,1,\dots ,l\}$是$w$ -支配函数，如果对每个顶点$v$有$f(N(v))=\sum_{u\in N(v)}f(u)\ge w_i$，$f(v)=i$ . $f$的权重定义为$ω(f)=\sum_{v\in V(G)} f(v)$。$G$的$w$ -控制数，记为$γ_{w}(G)$，是$G$上所有$w$ -控制函数中的最小权.如果我们在需要时对$G$的最小度施加限制，则在这种方法下，我们可以定义例如控制数、总控制数、$k$ -控制数、$k$ -元组控制数、$k$-元组总控制数、意大利控制数、总意大利控制数和$\{k\}$ -控制数。具体来说，我们表明，$γ_{I}(G\circ H)=γ_{w}(G)$，其中$w\in \{2\}\times\{0,1,2\}^{l}$和$l\in \{2,3\}$。关于等式是否对$w_0,\dots,w_l$的特定值成立…
2021-05-11 math.CO
A Proof of the Grundy domination strong product conjecture
单图$G = (V,E)$的Grundy控制数是最长的唯一顶点序列$S = (v_1, \ldots, v_k)$，$v_i \in V$的长度，它满足每个$i \in [k]$的性质$N[v_i] \setminus \cup_{j=1}^{i-1}N[v_j] \neq \emptyset$。这里，是$N(v) = \{u : uv \in E\}$和$N[v] = N(v) \cup \{v\}$。本文证明了最近关于两个图的强积的Grundy控制数的一个猜想。然后，我们讨论了这个结果与图的强积的迫零数的关系。
2023-01-12 math.CO
Protection of graphs with emphasis on Cartesian product graphs
本文研究了图的弱罗马控制数和安全控制数。特别是，我们得到这两个参数的一般界限，作为研究的结果，我们得到新的Nordhaus-Gaddum型不等式涉及安全控制和弱罗马控制。此外，还考虑了笛卡儿积图的特殊情况。
2020-08-01 math.CO
Roman $\{2\}$-domination in graphs and graph products
对于$n$阶的图$G=(V,E)$，罗马$\{2\}$ -支配函数$f:V\rightarrow\{0,1,2\}$具有这样的性质：对于具有$f(v)=0$的每个顶点$v\in V$，要么$v$邻近于在$f$下被赋予$2$的顶点，要么$v$邻近于在$f$下被赋予$1$的至少两个顶点.本文对所有具有Roman $\{2\}$ -控制数的图进行了分类，并给出了属于集合$\{2,3,4,n-2,n-1,n\}$的图的分类.此外，我们还得到了一些图运算的Roman $\{2\}$ -控制数的结果.
2020-08-04 math.CO
Operations on Fuzzy Incidence Graphs and Strong Incidence Domination
模糊关联图（FIG）模型的真实世界中的问题时，有一个额外的属性的顶点-边关系有效。本文讨论了Fuzzy关联图的运算。探讨了图的连接、笛卡儿积、张量积和合成。本文主要研究强模糊关联图。利用强关联控制（SID）的思想，研究了运算中的强关联控制数（SIDN）。研究了从这些操作中得到的图形的基本性质。对于笛卡尔积和张量积，确定了两个SFIG乘积的控制数的界。对具有强连接和强合成的图形进行了研究。在研究中还考虑了完全模糊关联图（CFIGs）和具有有效对的FIGs。
2022-10-25 math.CO
On Grundy total domination number in product graphs
图$G$的顶点的最长序列$(v_1,\ldots,v_k)$是$G$的Grundy全控制序列，如果对所有$i$，有$N(v_i) \setminus \bigcup_{j=1}^{i-1}N(v_j)\not=\emptyset$ .序列的长度$k$称为$G$的Grundy全控制数，记为$γ_{gr}^{t}(G)$。本文研究了四种标准积图的Grundy全控制数。对于直积，我们证明了$γ_{gr}^t(G\times H) \geq γ_{gr}^t(G)γ_{gr}^t(H)$，猜想等式总是成立，并在几种特殊情况下证明了猜想。对于字典序积，我们用因子的相关不变量来表示$γ_{gr}^t(G\circ H)$，并给出了它的一些显式公式，对于强积，我们证明了$γ_{gr}^t(G \boxtimes H)$的下界以及路和圈的积的上界.对于笛卡儿积，我们证明了当因子是路或圈时，Grundy全控制数的上下界。
2017-12-23 math.CO
On domination of Cartesian product of directed cycles
设$γ(C_m\Box C_n)$是有向圈$C_m$和$C_n$的笛卡儿积对$m,n\geq2$的控制数.刘和，刘和。[ ]、[ ]确定了$m \leq 6$时以及$m$和$n$ $\equiv 0$ $(mod\: 3)$时的$γ(C_m\Box C_n)$值。在这篇文章中，我们给，在一般情况下，值的$γ(C_m\Box C_n)$时，$m\equiv 2$ $(mod\: 3)$和提高已知的下限为其余的情况下。我们还证明了$m$ $\equiv 0$ $(mod\: 3)$出现在\cite{}中的情形的简化公式是错误的
2012-05-24 math.CO
On extremal results of multiplicative Zagreb indices of trees with given distance $k$-domination number
图$G$的第一乘性Zagreb指标$Π_1$是每个顶点度的平方的乘积，而第二乘性Zagreb指标$Π_2$是邻顶点对的度的乘积。本文给出了具有给定距离$k$ -控制数的树的$Π_1$的精确下界和$Π_2$的精确上界，并刻画了达到该界的树.
2019-06-28 math.CO
On the super domination number of lexicographic product graphs
图$G$的顶点$v$的邻域是$G$中与$v$相邻的所有顶点的集合$N(v)$。对于$D\subseteq V(G)$，我们定义$\overline{D}=V(G)\setminus D$。一个集合$D\subseteq V(G)$称为超控制集，如果对每个顶点$u\in \overline{D}$，存在$v\in D$使得$N(v)\cap \overline{D}=\{u\}$ . $G$的超控制数是$G$中所有超控制集的最小基数。本文利用字典序乘积图的因子图的不变量，得到了字典序乘积图的超控制数的闭公式和紧界。作为研究的结果，我们证明了寻找图的超控制数的问题是NP-Hard的。
2017-03-17 math.CO
Power domination in cubic graphs and Cartesian products
功率控制问题的重点是寻找相位测量单元（PMU）的最佳位置来监控电力网络。在图的上下文中，图$G$的幂控制数，表示为$γ_P(G)$，是根据特定的观察规则集观察图中每个顶点所需的最小顶点数。在\cite{ZKC_cubic}中，Zhao等人证明了：如果$G$是$n$阶的连通无爪三次图，则$γ_P(G) \leq n/4$ .本文证明了：如果$G$是$n$阶的无爪无钻石三次图，则有$γ_P(G) \le n/6$，并且这个界是尖锐的.我们还提供了新的界限$γ_P(G \Box H)$，其中$G\Box H$是图$G$和$H$的笛卡尔积。在$G$和$H$是幂控制数和控制数相等的树的特殊情况下，证明了类Vizing不等式成立和$γ_P(G \Box H) \ge γ_P(G)γ_P(H)$成立.
2022-09-08 math.CO
Perfect domination, Roman domination and perfect Roman domination in lexicographic product graphs
本文研究字典序乘积图的完美控制数、罗马控制数和完美罗马控制数，给出前两者的闭式公式，为完美罗马控制数提供界限及达到条件，并刻画完美罗马图。
2022-04-26 cs.DM math.CO
Total $k$-domination in Cartesian product of complete graphs
设$G=(V,E)$是一个有限无向图. $V$中的顶点的集合$S$被称为全$k$ -支配的，如果$V$中的每个顶点至少与$S$中的$k$顶点相邻。全$k$ -控制数，$γ_{kt}(G)$，是$G$中全$k$ -控制集的最小基数.本文研究了两个完全图的笛卡儿积的$k$ -控制数，它是两个图的笛卡儿积的$k$ -控制数的一个下界.得到了两个完全图的笛卡儿积的$k$ -控制数的新的上下界.特别地，我们得到了阶至少为$n$的图$G,H$的$\displaystyle\liminf_{n\to\infty}\frac{γ_{kt}(G\Box H)}{n}\leq 2\,\left(\left\lceil\frac{k}{2}\right\rceil^{-1}+\left\lfloor\frac{k+4}{2}\right\rfloor^{-1}\right)^{-1}$.我们还证明了当且仅当$k$是偶数时，等式才成立。当$G,H$都同构于具有$n$顶点的完全图$K_n$时，等式成立。进一步，我们得到了两个任意阶的完全图的笛卡儿积的全$2$ -控制数的封闭公式.此外，我们还证明了对于$k=3$，上述不等式可改进为$\displaystyle\liminf_{n\to\infty} γ_{3t}(K_n\Box K_n)/n \leq 11/5$ .
2022-05-10 math.CO
Tightness of Paired and Upper Domination Inequalities for Direct Product Graphs
图$G$中的顶点集$D$称为控制图，如果$G$的每个顶点都在$D$中或与$D$的一个顶点相邻. $G$的成对控制数$γ_{\mathrm{pr}}(G)$是其导出子图允许完美匹配的控制集的最小尺寸，上控制数$Γ(G)$是最小控制集的最大尺寸.本文研究了图积为直积$\times$的两个关于控制参数的乘法不等式的尖锐性.我们表明，对于每一个正常数$c$，存在图$G$和$H$的任意大直径，使$γ_{\mathrm{pr}}(G \times H) \leq cγ_{\mathrm{pr}}(G)γ_{\mathrm{pr}}(H)$，从而回答了一个问题的拉尔以及两个问题的Paulraja和Sampath Kumar。然后，我们研究当这个不等式与$c = \frac{1}{2}$，特别是证明它持有时，$G$和$H$是树。最后，我们证明了不等式$Γ(G \times H) \geq Γ(G) Γ(H)$，由于Brešar，Klavžar和Rall，是紧的。
2020-08-10 math.CO
Revisiting the outer-weakly convex domination number in graph products
Sree Narayana College（斯里纳拉亚纳学院）；Mahatma Gandhi College（甘地大学）；University of San Jose - Recoletos（圣何塞-雷科莱托斯大学）；Visayas State University（维萨亚斯州立大学）
本文研究了图积中外弱凸支配数的计算，分析了Cartesian、strong和lexicographic积下的图结构，并探讨了重要组合发现。
2026-04-24 math.CO
Directed Domination in Oriented Graphs
有向图$D$中的有向控制集是$V$的顶点的集合$S$，使得每个顶点$u \in V(D) \setminus S$在$S$中具有相邻的顶点$v$，其中$v$指向$u$。$D$的有向控制数，记作$γ(D)$，是$D$中有向控制集的最小基数。图$G$的有向控制数，记为$Γ_d(G)$，它是$G$的所有方向$D$上的最大有向控制数$γ(D)$。完全图的有向控制数最早是由埃尔德什[Math.Gaz.47（1963），220- 222]研究的，尽管是以伪装的形式。我们将这个概念推广到所有图的定向控制。如果$α$表示图$G$的独立数，我们证明了如果$G$是二部图，我们证明了$Γ_d(G) = α$。给出了有向控制数的几个上下界。
2010-10-12 math.CO
Domination in direct products of complete graphs
令$X_{n}$表示$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$的酉Cayley图。我们继续研究的情况下，不等式$γ_t(X_n) \le g(n)$是严格的，其中$γ_t$表示的总控制数，$g$是算术函数称为Jacobsthal的功能。最好的是目前已知的在这个方向上是一个建设的Burcroff它给出了一个家庭的$n$与任意多个素因子，满足$γ_t(X_n) \le g(n)-2$。我们提出了一个新的解释的问题，它允许我们使用最近的结果计算Jacobsthal的函数构造$n$与任意多个素因子，满足$γ_t(X_n) \le g(n)-16$。我们还提出了新的下界的完全图的直积的控制数，这反过来又使我们能够得到新的渐近下界的$γ(X_n)$，其中$γ$表示的控制数。最后，解决了Defant和Iyer的一个问题，对所有满足$γ(G) = t+2$的图$G = \prod_{i=1}^t K_{n_i}$进行了完全分类.
2019-08-07 math.CO
A general lower bound for the domination number of cylindrical graphs
本文提出了路与圈的笛卡尔积控制数的一个下界，在圈长为5的倍数时紧致，并改进了此前已知的最佳自然下界。
2018-11-05 math.CO
A Greedy Partition Lemma for Directed Domination
有向图$D$中的有向控制集是$V$的顶点的集合$S$，使得每个顶点$u \in V(D) \setminus S$在$S$中具有相邻的顶点$v$，其中$v$指向$u$。$D$的有向控制数，记作$γ(D)$，是$D$中有向控制集的最小基数。图$G$的有向控制数，记为$Γ_d(G)$，它是在$G$的所有方向$D$上的最大有向控制数$γ(D)$。完全图的有向控制数最早是由埃尔德什[Math.Gaz.47（1963），220- 222]研究的，尽管是以伪装的形式。本文证明了有向图的有向控制的一个贪婪划分引理。应用这个引理，我们得到了有向控制数的界。特别地，如果$α$表示图$G$的独立数，我们证明了$α\le Γ_d(G) \le α(1+2\ln(n/α))$。
2010-10-12 math.CO
Perfect Italian Domination Number of Graphs
本文给出了任意两个图的笛卡儿积的完美意大利控制数的一个上界，并得到了某些特殊图的笛卡儿积的完美意大利控制数的精确值。证明了对任意两个正整数$a$，$b$，存在图$G$和$G$的诱导子图$H$，使得$γ_I^p(G) = a$和$γ_I^p(H) = b$ .得到了图$G$的完美意大利控制数与罗马控制数及完美控制数之间的关系，并解决了相应的实现问题.利用图的完美控制数，我们还得到了图的Mycielskian的完美意大利控制数。还包括与这些参数有关的一些公开问题。
2021-11-14 math.CO
On extremal multiplicative Zagreb indices of trees with given domination number
对于图$G$，第一乘法Zagreb指标$\prod_1$等于顶点度数的平方的乘积，并且第二乘法Zagreb指标$\prod_2$等于邻顶点对的度数的乘积的乘积。（乘法）萨格勒布指数一直是计算化学中大量研究的焦点，可以追溯到1972年的古特曼和特里纳伊斯蒂奇。本文研究了任意控制数下的乘性Zagreb指数。给出了$\prod_1(G)$和$\prod_2(G)$的精确上、下界.此外，还对相应的极图进行了刻画.
2016-11-18 math.CO
On $k$-limited domination: complexity and Cartesian products
University of Maribor（马里博尔大学）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理与力学研究所）
本文证明对于每个固定整数 $k\ge 2$，判定图是否存在大小不超过 $\ell$ 的 $k$-限制定支配集是 NP-完全的，并系统研究了笛卡尔积中的 $k$-限制定支配，给出了上下界及精确值。
2026-10-02 math.CO
Domination Parameters of the Unitary Cayley Graph of $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$的酉凯莱图，记作$X_n$，是$\{0,\dots,n-1\}$上的图，其中顶点$a$和$b$相邻当且仅当$\gcd(a-b,n) = 1$。我们回答了Defant和Iyer的一个问题，通过构造一族无穷多个整数$n$使得$γ_t(X_n) \leq g(n) - 2$，其中$γ_t$表示全控制数，$g$表示Jacobsthal函数。我们确定了完全图的某些直积的不可约数，控制数和下独立数，并给出了这些参数的界。我们提供了上界的大小的无冗余集的平衡，完全的多部图的直积是渐近正确的整数有界最小素因子的酉凯莱图。
2018-11-21 math.CO
On $(t,r)$ broadcast domination of directed graphs
图$G$的控制集是指图中每一条边的至少一个端点所在的顶点集。$G$的控制数是$G$的最小控制集的阶。$(t,r)$广播支配是支配的推广，其中一组广播顶点发出强度为$t$的信号，当它们穿过每条边时，强度减1，并且我们要求图中的每个顶点从其广播邻居集合接收至少$r$的累积信号。本文将$(t,r)$广播控制的研究推广到有向图。我们的主要结果探讨了区间的值，通过考虑有向$(t,r)$广播控制数的所有方向的图$G$。特别是，我们证明了在$r=1$和$(t,r) = (2,2)$的情况下，对于这个区间中的每一个整数值，存在一个定向$\vec{G}$的$G$有定向$(t,r)$广播支配数等于该值。我们还研究了有限格图、星形图、无限格图和无限三角格图上的有向$(t,r)$广播控制。最后提出了今后研究的方向。
2021-05-24 math.CO
Dominating sequences in grid-like and toroidal graphs
图$G$的不同顶点的最长序列$S$，使得$S$的每个顶点支配某个不被其前面的顶点支配的顶点，称为Grundy支配序列; $S$的长度是$G$的Grundy支配数。本文研究了四种标准图积：笛卡尔积、字典积、直积和强积的Grundy控制数。对于每一个乘积，我们给出了Grundy控制数的一个下界，它对字典序乘积是精确的，对强乘积是精确的.在大多数情况下，精确的Grundy控制数是由路和/或圈的乘积确定的。
2016-07-01 math.CO
A New Lower Bound for the Domination Number of Complete Cylindrical Grid Graphs
我们使用一个动态规划算法建立一个下界上的控制数的形式$C_n\square P_m$，即一个周期$C_n$和路径$P_m$的笛卡儿积的完全格图，$m$和$n$足够大。
2022-07-28 math.CO
A Note on Integer Domination of Cartesian Product Graphs
给定一个图$G$，支配集$D$是一组顶点，使得$G$中的任何顶点在$D$中至少有一个邻居（或可能是它自己）。一个${k}$ -支配多重集$D_k$是一个顶点的多重集，使得$G$中的任何顶点在重数下都至少有来自$D_k$中闭邻域的$k$顶点。本文利用Clark和Suen（2000）提出的方法和二元矩阵的性质，证明了图$G,H$和笛卡儿积图$G \Box H$的最小${k}$ -支配多集的一个“Vizing式”不等式。具体地说，我们用$γ_{k}(G)$表示最小${k}$支配集的大小，证明了$γ_{k}(G) γ_{k}(H) \leq 2k γ_{k}(G \Box H)$ .
2012-09-09 math.CO
Domination polynomial of clique cover product of graphs
设$G$是阶为$n$的简单图。$G$的控制多项式是多项式$D(G, x)=\sum_{i=1}^n d(G,i) x^i$，其中$d(G,i)$是大小为$i$的$G$的控制集的数目。对于两个图$G$和$H$，设$\mathcal{C} = \{C_1,C_2, \cdots, C_k\}$是$G$和$U\subseteq V(H)$的团覆盖。我们考虑由$G$得到的团覆盖积，记为$G^\mathcal{C} \star H^U$：对于每个团$C_i \in \mathcal{C}$，添加图$H$的一个副本，并将$C_i$的每个顶点连接到$U$的每个顶点.证明了团覆盖积$G^\mathcal{C} \star H^{V(H)}$或简称$G^\mathcal{C} \star H$的控制多项式为\[ D(G^\mathcal{C} \star H,x)=\prod_{i=1}^k\Big [\big((1+x)^{n_i}-1\big)(1+x)^{|V(H)|}+D(H,x)\Big], \]，其中每个团$C_i \in \mathcal{C}$都有$n_i$个顶点.作为结果，我们研究了某些图族的$\mathcal{D}$ -等价类。此外，我们还完整地描述了友谊图的$\mathcal{D}$ -等价类的聚合$n$副本的长度为3的循环图与一个共同的顶点。
2016-05-08 math.CO
The 2-rainbow domination number of Cartesian product of cycles
本文研究了两个圈的笛卡尔积的2-彩虹控制数，给出了若干无穷族的精确值，并证明了所有其他情况的上界与下界。
2024-09-27 math.CO
The Italian domination numbers of some products of directed cycles
定义了一个有向图$D$上的意大利控制函数为函数$f : V(D) \rightarrow \{0, 1, 2\}$，使得每个顶点$v \in V(D)$和$f(v) = 0$至少有两个内邻居被分配给$f$下的$1$或一个内邻居被分配给$w$和$f(w) = 2$ .本文确定了某些有向圈积的Italian控制数的精确值。
2020-08-23 cs.DM math.CO
Note on Nordhaus-Gaddum problems for power domination
所有图的幂控制数的Nordhaus-Gaddum上界和下界是由已知的控制数的界和例子得出的。本文对具有图及其补图必连通性质的图的幂控制数的上和界进行了改进。对于这些图，我们的界是紧的，也明显优于相应的控制数的界。对于具有某些性质的图，我们还改进了幂控制数的乘积上界。
2016-10-10 math.CO
On the super domination number of graphs
图$G$的一个顶点$v$的开邻域是由$G$中与$v$相邻的所有顶点组成的集合$N(v)$。对于$D\subseteq V(G)$，我们定义了$\overline{D}=V(G)\setminus D$。一个集合$D\subseteq V(G)$称为$G$的超支配集，如果对每个顶点$u\in \overline{D}$，存在$v\in D$使得$N(v)\cap \overline{D}=\{u\}$ . $G$的超控制数是$G$中所有超控制集的最小基数。利用$G$的几个不变量，得到了$G$的超控制数的闭公式和紧界.此外，还考虑了冠积图和笛卡儿积图的特殊情况。
2018-04-23 math.CO
On the weak Roman domination number of lexicographic product graphs
一个图$G=(V,E)$的顶点$v$被称为关于一个函数$f: V \longrightarrow \{0,1,2\}$是不设防的，如果对于每个与$v$相邻的顶点$u$，有$f(v)=0$和$f(u)=0$。我们称函数$f$为弱罗马控制函数，如果对于每个$v$，使得$f(v)=0$，存在一个与$v$相邻的顶点$u$，使得$f(u)\in \{1,2\}$和由$f'(v)=1$，$f'(u)=f(u)-1$和$f'(z)=f(z)$定义的函数$f': V \longrightarrow \{0,1,2\}$，对于每个$z\in V \setminus\{u,v\}$，没有不设防的顶点。$f$的重量为$w(f)=\sum_{v\in V(G) }f(v)$。图$G$的弱罗马控制数，记作$γ_r(G)$，是$G$上所有弱罗马控制函数中的最小权。Henning和Hedetniemi [Discrete Math.266（2003）239-251]表明，计算$γ_r(G)$的问题是NP难的，即使限制在二分图或弦图上。这表明找到$γ_r(G)$的特殊类的图或获得良好的界限，这个不变。本文利用因子图的不变量，得到了字典序积图的弱罗马控制数的封闭公式和紧界。
2018-03-19 math.CO
The Domination Number of $C_n\square P_m$ for $n\equiv 2\pmod{5}$
本文利用动态规划算法建立了$C_n\square P_m$形式的完全圆柱格图的控制数的一个新的下界，即当$n\equiv 2\pmod{5}$时，路与圈的笛卡儿积，并建立了一个与下界相等的新的上界，从而计算了这些图的精确控制数.
2022-07-29 math.CO
Independent domination versus packing in subcubic graphs
本文在次立方图中证明独立控制数至多为 packing 数的三倍，从而加强了 Henning 等人关于控制数受 packing 数与最大度之积限制的一般性结论。
2023-07-11 math.CO
Super Domination: Graph Classes, Products and Enumeration
支配集问题是组合优化中最著名的问题之一。其定义如下。对于给定的简单图$G=(V,E)$，$G$的控制集是一个子集$S\subseteq V$，使得$ V \setminus S$中的每个顶点至少与$S$中的一个顶点相邻.此外，DSP的问题是找到一个最小尺寸的控制集和相应的最小尺寸，PDMATHAMN的控制数。在这篇文章中，我们研究了DSP的一个变体，即超支配集问题（SDSP），它在过去几年中引起了人们的广泛关注。一个控制集$S$称为$G$的超控制集，如果对每个顶点$u\in \overline{S}=V \setminus S$，存在一个$v\in S$使得$N(v)\cap \overline{S}=\{u\}$ .类似地，SDSP是寻找一个最小尺寸的超控制集，以及相应的最小尺寸，$G$的超控制数。DSP和SDSP的决策变体都被证明是$\mathcal{NP}$ -硬的。在本文中，我们提出了紧界的超控制数的邻域电晕产品，PDMATHAMV-胶合，和Hajós和两个图。此外，我们提出了无限的家庭达到我们的界限图。最后，我们给出了某些图类的最小超控制集的确切个数。特别地，圈的超支配集的数量具有相当令人惊讶的性质，因为它在基于$n\mod4$的集合$\{4,n,2n,\frac{5n^2-10n}{8}\}$的值之间变化。
2022-10-31 math.CO
Total and paired domination numbers of toroidal meshes
设$G$是一个没有孤立点的图。$G$的全控制数是能控制$G$中所有顶点的最小顶点数，而$G$的成对控制数是诱导子图包含完美匹配的控制集中的最小顶点数.本文确定了环面网格的全控制数和成对控制数，即，对任意$n\ge 3$和$m\in\{3,4\}$，给出了两个循环$C_n$和$C_m$的笛卡儿积，并给出了$n, m\ge 5$的上界.
2011-09-19 math.CO
