Sprague-Grundy Value for Common Divisor Nim
本文针对任意正整数参数 $m$，求解 Common Divisor Nim$_m$（CDN$_m$）的 Sprague-Grundy 值。
2023-12-09 math.CO
Variants of Wythoff's game translating its P-positions
我们引入了一个限制的Wythoff的游戏，我们称之为F-Wythoff，其中条目的整数比不得改变，如果相同数量的令牌从两个桩。我们证明了F-Wythoff博弈的P-位置是由Wythoff博弈的P-位置通过在每个项上加1得到的位置。我们描述了分布的Sprague-Grundy值，特别是，概括了两个属性的分布的位置，有Sprague-Grundy值k，对于一个给定的k，Wythoff的游戏的变体。我们分析了misere的F-Wythoff，并表明正常和misere版本的不同，正是在这些位置上有Sprague-Grundy值0，和1通过交换。我们研究两个进一步的变种F-Wythoff，一个限制和一个扩展，保持其P-位置。我们基于P-位置的翻译现象提出了两个普遍性的问题。
2012-03-23 math.CO
On the Sprague-Grundy function of Exact $k$-Nim
摩尔对{\sc Nim}游戏的推广如下。令$n$和$k$是两个整数，使得$1 \leq k \leq n$。给定$n$堆代币，两个玩家交替移动，从至少一个且至多$k$堆中移除代币。走到最后一步的玩家获胜。Moore在1910年解决了这个博弈，Jenkyns和Mayberry在1980年给出了一个Sprague-Grundy函数的显式公式，但仅适用于$n = k+1$。我们引入{\sc Nim}的另一个推广，称为{\sc精确$k$-Nim}，其中每次移动都精确地减少$k$堆。在$2k \geq n$情形下，我们给出了{\sc Exact $k$-Nim}的Sprague-Grundy函数的一个显式公式.在$n=2k$的情况下，我们的公式与Jenkyns和Mayberry的公式惊人地相似。
2017-01-17 math.CO
Sprague-Grundy Function of Matroids and Related Hypergraphs
我们考虑一个推广的经典游戏$NIM$称为超图$NIM$。给定一个在$n$石头堆的地面集合$V = \{1, \ldots, n\}$上的超图$\cH$，两个玩家交替选择一个超边$H \in \cH$和严格减少所有堆$i\in H$。走到最后一步的玩家就是赢家。本文对几类超图给出了描述超图$NIM$的Sprague-Grundy函数的显式公式。特别是我们刻画了所有的$2$ -一致超图（即图）和所有拟阵的公式工程。我们证明了所有的自对偶拟阵都包含在这个类中。
2019-03-19 math.CO
On the Sprague-Grundy function of compound games
经典的{ \sc Nim}游戏可以自然地扩展到任意的超图$\cH \subseteq 2^V \setminus \{\emptyset\}$上，其顶点$V = \{1, \ldots, n\}$对应于一堆石头。通过一次移动，玩家选择$\cH$的边$H$，并任意减少所有的桩$i \in H$。在1901年布顿解决了经典的{ \sc尼姆}为其中$\cH = \{\{1\}, \ldots, \{n\}\}$。在1910年摩尔介绍并解决了一个更一般的游戏$k$ -{ \sc尼姆}，其中$\cH = \{H \subseteq V \mid |H| \leq k\}$，其中$1 \leq k < n$。在1980年，Jenkyns和Mayberry得到了摩尔{ \sc Nim}在$k+1 = n$情形下的Sprague-Grundy函数的显式公式。最近的研究表明，同样的公式适用于一大类超图。本文研究了这类超图的组合性质，得到了相应超图{ \sc Nim}对策的合取复合和选择复合的Sprague-Grundy函数的显式表达式.
2019-03-19 math.CO
Two variants of Wythoff's game preserving its P-positions
我们提出了两个变种的Wythoff的游戏。第一个游戏是Wythoff游戏的一个限制，其中如果两个条目不相等，则不允许从较小的一堆中移除代币。第二个游戏是Wythoff游戏的扩展，通过相邻移动获得，允许玩家从较小的一堆中取出k个代币，并从另一堆中取出l个代币，前提是l < k。我们表明，这两个游戏保持Wythoff的游戏的P-位置。这解决了Duchene、Fraenkel、Nowakowski和Rigo提出的一个问题。我们给出的公式，这些位置的Sprague-Grundy值为1。我们还证明了关于Sprague-Grundy函数的几个结果。
2012-03-07 math.CO
Extended Sprague-Grundy theory for locally finite games, and applications to random game-trees
为纪念埃尔文·伯利坎普（1940-2019），约翰·康威（1937-2020）和理查德·盖伊（1916-2020）而收集的论文。斯普拉格-格伦迪无圈有限对策理论由塞德里克·史密斯和阿维耶兹里·弗伦克尔及其合著者推广到一般的有限对策。我们观察到，用于对有限对策进行分类的同一框架也涵盖了局部有限对策的情况（即，任何位置都只有100个选项的对策）。特别地，任何局部有限对策都等价于某个有限对策。然后，我们研究的情况下，一个游戏的有向图是随机选择的，并给出了一个高尔顿-沃森分支过程的树。后代分布的自然家庭显示出令人惊讶的广泛行为。这种设置显示了组合对策论和概率论思想之间的良好相互作用。
2021-07-18 math.CO
On the Sprague-Grundy Function of Tetris Extensions of Proper {\sc Nim}
给定一个在基集$I = \{1, \ldots, n\}$上的超图$\cH \subseteq 2^I \setminus \{\emptyset\}$，我们给每个$i \in I$分配一个非负整数$x_i$，也就是一堆$x_i$记号，并考虑经典游戏{ \sc Nim}的以下推广：两个玩家轮流。在一步棋中，牌手选择任意一条边$H \in \cH$并减少所有的牌$i \in H$。走完步的玩家输了。我们称所得到的游戏超图为{ \sc Nim}。当$\cH=2^I \setminus\{I,\emptyset\}$是$I$的所有真子集的族时，这样的博弈被称为真{ \sc Nim}。Jenkyns和Mayberry \cite{JM80}描述了这些游戏的Sprague-Grundy（简称SG）功能。本文引入了超图{ \sc Nim}的Tetris扩张，得到了当$n\geq 3$ .令人惊讶的是，$n=2$的情况要复杂得多。对于这种情况，我们只给出几个部分结果和图解。
2018-03-30 math.CO
Some results on LCTR, an impartial game on partitions
本文研究分拆公平博弈 LCTR，运用 Sprague-Grundy 定理证明其 SG 值不超过 2，刻画多类无限分拆族，并给出 O(n) 动态规划算法。
2022-07-11 math.CO
The game Max-Welter
在韦尔特的游戏中，在一个半无限长的方格上，每个方格最多只能有一个硬币，每个方格编号为$0, 1, 2, \ldots$，两个玩家轮流将一枚硬币移到左边的一个空方格。跳过其他硬币是合法的。首先不能移动的玩家输了。我们研究了韦尔特博弈的一个变体，我们称之为Max-Welter，在这个变体中，玩家只允许把硬币移到最右边。我们解决了获胜策略，并描述了Sprague-Grundy值为1的位置。我们提出了两个定理分类的一些特殊情况下，计算的Sprague-Grundy值的大小$k$的位置变得更容易通过考虑另一个位置的大小$k-1$。我们建立了两个结果的周期性的Sprague-Grundy值。然后，我们表明，游戏最大Welter被归类在一个适当的子类，Gurvich呼吁强烈悲惨的驯服游戏。
2013-11-12 math.CO
Nim on Integer Partitions and Hyperrectangles
本文研究尼姆游戏的两个变体 PNim 和 RNim，分别以整数分拆和超矩形为操作对象，给出了 PNim 的 Sprague-Grundy 值上界及值为 1 的刻画、RNim 的完整公式，并完成二者在 Conway-Gurvich-Ho 层级中的分类。
2025-06-05 math.CO
Nimber-Preserving Reductions and Homomorphic Sprague-Grundy Game Encodings
Plymouth State（普利茅斯州立大学）；USC（南加州大学）
Nimbers的概念，也就是Grundy值或nim值是组合博弈论的基础。Nimbers提供了一个完整的刻画的战略互动之间的公平游戏在他们的析取和以及获胜。在本文中，我们发起了一个研究的平衡游戏之间的保持敏捷的减少。这些减少增强了传统的组合游戏的计算特征的可赢性保持减少。我们证明了广义地理是完整的自然类，$\cal{I}^P$，多项式短的公正规则集下保持敏捷的减少，一个属性，我们称为Sprague-Grundy完成。相反，我们还表明，不是每一个PSPACE完全规则在$\cal{I}^P$是Sprague-Grundy完全的$\cal{I}^P$。通过将每一个公平的博弈都看作是它的号码的编码，我们的技术结果建立了以下引人注目的密码学启发的同态定理：尽管$\cal{I}^P$的Number计算是PSPACE完全的，但对于任何一对博弈$G_1$，存在一个多项式时间算法来构造一个素数博弈$\cal{I}^P$的$G_2$（即不能写成和的游戏）$\cal{I}^P$的$H$，满足：nimber（$H$）= nimber（$G_1$）$\oplus$ nimber（$G_2$）。
2022-02-23 cs.AI cs.CC cs.DM
Sprague-Grundy values and complexity for LCTR
本文研究无偏组合博弈 LCTR，通过镜像策略和结构性分析，将 Sprague-Grundy 值的计算复杂度从 O(n) 改进到 O(log n)，并分析了相关复杂度度量。
2023-11-17 cs.CC math.CO
On Aperiodic Subtraction Games with Bounded Nim Sequence
减法游戏是一类公平的组合游戏，其位置对应于非负整数，其移动对应于从当前位置减去一组固定数字中的一个。尽管减法游戏很容易定义，但事实证明它很难分析.特别是，很少有一般的结果，他们的Sprague-Grundy值是已知的。在本文中，我们构建了一个减法游戏的例子，其序列的Sprague-Grundy值是三元和非周期性的，我们开发了一个理论，可能会导致我们的建设推广。
2014-07-10 math.CO
When are translations of P-positions of Wythoff's game P-positions?
我们研究了{ \sc Wythoff}对策是否存在其$¶$ -位置的变体的问题，除了有限的数目，通过给每个$¶$ -位置添加一个常数$k$，从{ \sc Wythoff}对策的$¶$ -位置获得。我们解决了这个问题，通过引入一类$\{\W_k\}_{k \geq 0}$的变种{ \sc Wythoff}的游戏中，对于任何固定的$k \geq 0$，$¶$ -位置的$\W_k$形式的集合$\{(i,i) | 0 \leq i < k\}\cup \{(\lfloor ϕn \rfloor + k, \lfloor ϕ^2 n \rfloor + k) | n\ge 0\}$，其中$ϕ$是黄金分割率。然后，我们分析一类$\{\T_k\}_{k \geq 0}$的变种{ \sc Wythoff}的游戏，其成员共享相同的$¶$ -位置集$\{(0,0)\}\cup \{(\lfloor ϕn \rfloor + 1, \lfloor ϕ^2 n \rfloor + 1) | n \geq 0 \}$。我们建立了这两个家庭的Sprague-Grundy函数的几个结果。在此过程中，我们展示了一系列具有不同规则集的游戏，这些规则集共享同一组$¶$ -位置。
2014-03-11 math.CO
A restriction of Euclid
欧几里得是一个著名的两人公平组合博弈。欧几里德中的一个位置是一对正整数，玩家通过从另一个整数中减去一个整数的正整数倍数来交替移动，而不会使结果为负。走到最后一步的玩家获胜。有一个变化的欧几里德由于格罗斯曼在游戏停止时，两个主菜是平等的。我们研究了一个进一步的变化，我们称之为M-欧几里德，其中游戏停止时，主菜之一是正整数倍的其他。我们解决了M-欧几里德的Sprague-Grundy函数，并比较了三个游戏的Sprague-Grundy函数。
2012-02-21 math.CO
On the Sprague-Grundy values of games with a pass
University of Tsukuba College of Informatics（筑波大学信息学学院）；Keimei Gakuin Junior and Senior High School（启明学园初等部及高等部）；Osaka Metropolitan University（大阪公立大学）；Waseda University（早稻田大学）；Gifu University（岐阜大学）
本文研究带过牌的无偏博弈析取复合，建立 SG 值同态，将满足一步博弈条件的分量复合转化为带过牌的 nim 局面，从而给出必胜策略判定时间上界，并应用于巧克力博弈的 SG 值计算。
2025-11-09 math.CO
Two Games on Arithmetic Functions: SALIQUANT and NONTOTIENT
本文研究基于算术函数的两个无偏博弈 SALIQUANT 和 NONTOTIENT，获得数论引理、基本定理及关于 Sprague-Grundy 值最终密度的猜想，并计算特定值。
2023-09-03 math.CO math.NT
Combinatorial Analysis of a Subtraction Game on Graphs
我们定义了一个两个球员的组合游戏中，球员轮流轮流，每一轮包括删除一个顶点的图，连同所有的边缘包含这样的顶点。如果任何顶点被玩家的移动孤立，那么它也会被删除。当另一个玩家没有可用的移动时，一个玩家赢得游戏。我们研究这个游戏在不同的观点：通过寻找特定的战略，某些家庭的图形，通过使用图形的自同构群的属性，通过编写一个程序来看看Sprague-Grundy数，并通过研究游戏时，随机图。当分析在路径上玩的Grim时，使用Sprague-Grundy函数，我们发现了一个关于八进制游戏的悬而未决的问题。
2016-08-01 math.CO
Coin Turning Games on Partially Ordered Sets
Okayama University（冈山大学）；Wakayama University（和歌山大学）
本文研究了部分序集上的硬币翻转游戏，确定了序理想游戏的Sprague-Grundy函数，并与交替符号矩阵相关联。
2026-02-14 math.CO
Ryuo Nim: A Variant of the classical game of Wythoff Nim
作者介绍了广义的尼姆龙生的公平博弈，这是经典的尼姆威托夫博弈的一个变体。在后一种游戏中，两名玩家轮流在大棋盘上移动一个皇后，试图成为第一个将她放在左上角位置$(0,0)$的玩家。对于给定的自然数$p$，我们使用广义的Ryanō，而不是Wythoff Nim中使用的皇后。$p$的广义Ryanho可以水平和垂直移动，只要你想。它也可以从$(x,y)$对角移动到$(x-s,y-t)$，其中$s,t$是非负整数，使得$1 \leq s \leq x, 1 \leq t \leq y \textit{and} s+t \leq p-1$ .当$p$是$3$时，$p$的广义Ryanyo是Ryanyo，即，日本国际象棋的一种升级的棋类。在西洋象棋中，良王结合了车和王的力量。广义的$p$的龙生尼姆在数学上与两堆计数器的尼姆相同，其中玩家可以从任何一堆中取任何数字，并且玩家也可以同时从其中一堆中删除$s$计数器和从另一堆中删除$t$计数器，其中$s+t \leq p-1$和$p$是给定的自然数。$p$的广义龙生Nim的Grundy数由$\bmod(x+y,p) + p(\lfloor \frac{x}{p} \rfloor \oplus \lfloor \frac{y}{p}\rfloor)$给出。作者还研究了$p$的广义Ryanshao Nim与一个通过移动。没有传球移动的$p$的广义龙生尼姆有简…
2017-11-04 math.CO
Node-Kayles on Trees
Faculty of Science at Sriracha, Kasetsart University（泰国农业大学诗里拉查理学院）
本文研究了树和由树连接形成的图的 Grundy 值序列，推导了显式公式和递推关系，并证明了这些序列的周期性。
2025-12-30 math.CO
Mixed-Radix Nim
我们提出了外卖游戏，其Sprague-Grundy函数由混合基$β$中堆大小的Nim和给出。设$Δ_β$为此类博弈的集合。给出了$Δ_β$的极小值存在的充要条件，以及$Δ_β$的极大值的递归构造.
2019-01-08 math.CO
A Variant of Wythoff's Game Defined by Hofstadter's G-Sequence
Keimei Gakuin Junior and High School（庆明学园初中和高中）；Kwansei Gakuin University（关西学院大学）
本文研究了Wythoff游戏的一个变种，其终端集包含特定位置，P位置由Wythoff游戏和Hofstadter的G序列定义，并具有两个显著性质。
2026-05-01 math.CO
Some i-Mark games
令$S$是正整数的集合，并且令$D$是大于$1$的整数的集合。$i$-Mark $(S,D)$是一款由Sopena（2016）推出的公平组合游戏，使用一堆代币进行游戏。在每一轮中，玩家可以从牌堆中减去$s \in S$，或者如果牌堆的大小可以被$d$整除，则可以将牌堆的大小除以$d \in D$。Sopena部分分析了使用$S=[1, t-1]$和$D=\{d\}$的$d \not\equiv 1 \pmod t$游戏，但留下了$d \equiv 1 \pmod t$的案例。我们通过计算$i$的Sprague-Grundy函数-Mark $([1,t-1],\{d\})$ for $d \equiv 1 \pmod t$，for all $t,d \geq 2$来解决这个问题。我们还计算了所有$k$的$i$-Mark $(\{2\},\{2k + 1\})$的Sprague-Grundy函数，并表明它表现出类似的行为。最后，根据索佩纳的建议，看看游戏与$|D|>1$，我们得出了一些部分结果的游戏$i$-马克$(\{1\}, \{2, 3\})$，其Sprague-Grundy函数似乎表现不稳定，并没有显示任何干净的模式。我们证明，每个值$0,1,2$发生无限经常在其SG序列，连续出现之间的最大间隙长度。
2021-06-30 cs.DM math.CO
Wythoff's Game with a Pass
本文研究威佐夫博弈中允许一次性弃权（过牌）的变体，证明在特定条件下其 P 位置可由原博弈 Grundy 数为 1 的位置刻画，并给出两类博弈获胜位置间的距离上界。
2025-07-04 math.CO
Computing Remoteness Functions of Moore, Wythoff, and Euclid's games
该研究针对无偏博弈的距离函数$\u211b$，给出了Euclid游戏、广义Wythoff游戏的$\u211b$多项式算法，以及Moore's NIM偶数值的显式公式，并证明其奇数值计算为NP难问题。
2023-11-05 cs.GT math.CO
The Game of Cycles with Sources Allowed
本文引入允许节点为源的“带源的循环游戏”变体，并利用Sprague-Grundy理论全面分析了该规则变化对线图等简单游戏最优对局结果的巨大影响。
2023-09-12 math.CO
A convergence technique for the game i-Mark
本文提出一种收敛技术，为 $|D|>1$ 的 i-Mark 游戏提供 Sprague-Grundy 序列的多项式时间算法，并证明适用于所有 i-Mark$(\{1\},\{d_1,d_2\})$ 情形。
2025-03-29 cs.DM math.CO
Game values of arithmetic functions
数论中的算术函数与组合对策论中的Sprague-Grundy函数相吻合。我们研究了由标准算术函数，如欧几里德除法，除数，除数和互素数及其否定数诱导的各种二人博弈。
2021-07-03 cs.DM math.CO math.NT
Partition games
Univ Lyon, Université Lyon 1, LIRIS UMR CNRS 5205（里昂第一大学）；Instituto de Matemáticas, UNAM Juriquilla（墨西哥国立自治大学数学研究所）；National University of Singapore（新加坡国立大学）
本文研究了2人分割游戏，探讨了其Sprague-Grundy序列的周期性特征，并提出了一种计算测试条件以解决更多游戏。
2020-05-15 cs.DM math.CO
An Aperiodic Subtraction Game of Nim-dimension Two
在最近的arXiv手稿福克斯研究无限减法游戏有限（三元）和非周期性的斯普拉格-格伦迪函数。在这里，我们提供了一个具有给定属性的博弈的基本示例，即由减法集$\{F_{2n+1}-1\}$给出的博弈，其中$F_i$是第$i$个斐波那契数，并且其中$n$的范围超过正整数。我们对nim维的定义反映了博弈产生的2的幂分量的精确数量; nim值的组是4阶的，所以维数是2（在经典定义中，这个维数应该是1）。感谢卡洛斯·桑托斯对这个问题的启发性讨论。
2015-03-25 math.CO
Winning the War by (Strategically) Losing Battles: Settling the Complexity of Grundy-Values in Undirected Geography
Plymouth State（普利茅斯州立大学）；USC（南加州大学）
我们解决了两个长期存在的复杂性理论问题-开放自1981年和1993年-在组合博弈论（CGT）。我们证明了Grundy值（a.k.a.无向地理的nim-value或nimber）是PSPACE完全计算的。这与1993年无向地理是多项式时间可解的结果形成了鲜明的对比。通过提炼到一个简单的减少，我们的证明进一步建立了一个二分法定理，提供了一个“相变到棘手”的Grundy值计算，其特点是最大程度的四：无向地理的Grundy值在任何程度的三个图形是多项式时间可计算的，但在程度四个图形，即使是平面和二分的PSPACE-硬。此外，我们展示了，第一次，如何构建无向地理实例与Grundy值$\ast n$和大小多项式n。我们加强了1981年的结果表明，听话的党派游戏的总和是PSPACE完全在两个基本方面。首先，由于无向地理是一个公正的规则，我们扩展的硬度和公正的游戏，一个严格的子集的党派。其次，1981年的结构不是从自然规则中构建的，而是使用了大量定制的短深度游戏位置。我们使用两个无向地理位置的和来创建硬实例。我们的结果也有计算的影响Sprague-Grundy理论（20世纪30年代），这表明，任何两个公平的游戏的析取和的Grundy值可以计算-在多项式时间-从他们的Grundy值。相反，我们证明，假设PSPACE $\neq$ P，没有一般的多项式时间的方法来总结两个多项式时间可解的公平游戏，以有…
2021-06-03 cs.AI cs.CC cs.DM
The Closed Geodetic Game: algorithms and strategies
Université Clermont Auvergne（克莱蒙奥弗涅大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；Mines de Saint-Étienne（圣艾蒂安国立高等矿业学校）；Clermont-Auvergne-INP（克莱蒙奥弗涅理工学院）；LIMOS（极限与优化实验室）；INRAE（法国国家农业、食品和环境研究所）；Laboratoire G-SCOP（G-SCOP实验室）；CNRS, Univ. Grenoble Alpes（法国国家科学研究中心，格勒诺布尔阿尔卑斯大学）；Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本古里安大学）；Indian Institute of Technology Dharwad（印度理工学院达瓦德分校）；Polytechnic University (Kyaing Tong)（桂开工科大学）
本文研究封闭测地游戏，刻画了路径、环等图类的Sprague-Grundy值，给出笛卡尔积图的结果关系，并提供仙人掌图与块图中计算该值的多项式时间算法。
2026-08-05 cs.DM math.CO
Computer analysis of Sprouts with nimbers
Sprouts是一款双人拓扑游戏，由John Conway和Michael Paterson于1967年在剑桥大学发明。游戏以p点开始，最多以3 p-1步结束。第一个不能玩的玩家输了。p点博弈的复杂性非常高，以至于最好的手检证明只能显示7点博弈的赢家是谁，而之前最好的计算机分析达到了p=11。我们已经编写了一个计算机程序，主要使用了两个新思想。nimber（也称为Sprague-Grundy数）允许我们计算独立的子博弈;当探索对策树的一部分似乎太困难时，我们可以手动强制程序搜索其他地方。由于这些改进，我们达到了p=32。33点的比赛结果还不知道，但最大的计算值是47点的比赛！所有的计算值都支持Sprouts猜想：当且仅当p是3、4或5模6时，第一个参与者有获胜策略。我们还使用了一个检查算法来减少证明哪个玩家是赢家所需的位置数量。现在可以在合理的时间内手动检查所有游戏，直到p=11。
2010-08-13 math.CO
The Normal Play of the Domination Game
本文首次研究控制博弈的正常玩法，证明其在直径为2的图中是PSPACE完全的，利用Sprague-Grundy理论给出了路径与环的胜负条件，并提出了判定路径与环不相交并集胜者的多项式时间算法。
2025-08-12 cs.DM math.CO
Multiplicative Modular Nim (MuM)
本文提出了 Nim 的乘法模变体 MuM，通过 mumber 值和模乘法结合规则建立了完整的非加性组合博弈理论，并利用中国剩余定理处理复合模数，将其扩展至有限域以辅助 AES S-box 代数教学。
2025-07-05 cs.DM math.CO
On remoteness functions of k-NIM with k+1 piles in normal and in misère versions
本文研究了$k+1$堆$k$-NIM游戏的常规版与逆向版，针对$k=n-1$的情况提出了确定Smith remoteness函数的简单显式规则，并给出了适用于逆向版的例外情况分类及显式公式。
2023-11-22 math.CO
