Sprague-Grundy Value for Common Divisor Nim
本文针对任意正整数参数 $m$，求解 Common Divisor Nim$_m$（CDN$_m$）的 Sprague-Grundy 值。
2023-12-09 math.CO
On the Sprague-Grundy function of Exact $k$-Nim
摩尔对{\sc Nim}游戏的推广如下。令$n$和$k$是两个整数，使得$1 \leq k \leq n$。给定$n$堆代币，两个玩家交替移动，从至少一个且至多$k$堆中移除代币。走到最后一步的玩家获胜。Moore在1910年解决了这个博弈，Jenkyns和Mayberry在1980年给出了一个Sprague-Grundy函数的显式公式，但仅适用于$n = k+1$。我们引入{\sc Nim}的另一个推广，称为{\sc精确$k$-Nim}，其中每次移动都精确地减少$k$堆。在$2k \geq n$情形下，我们给出了{\sc Exact $k$-Nim}的Sprague-Grundy函数的一个显式公式.在$n=2k$的情况下，我们的公式与Jenkyns和Mayberry的公式惊人地相似。
2017-01-17 math.CO
Sprague-Grundy Function of Matroids and Related Hypergraphs
我们考虑一个推广的经典游戏$NIM$称为超图$NIM$。给定一个在$n$石头堆的地面集合$V = \{1, \ldots, n\}$上的超图$\cH$，两个玩家交替选择一个超边$H \in \cH$和严格减少所有堆$i\in H$。走到最后一步的玩家就是赢家。本文对几类超图给出了描述超图$NIM$的Sprague-Grundy函数的显式公式。特别是我们刻画了所有的$2$ -一致超图（即图）和所有拟阵的公式工程。我们证明了所有的自对偶拟阵都包含在这个类中。
2019-03-19 math.CO
On the Sprague-Grundy function of compound games
经典的{ \sc Nim}游戏可以自然地扩展到任意的超图$\cH \subseteq 2^V \setminus \{\emptyset\}$上，其顶点$V = \{1, \ldots, n\}$对应于一堆石头。通过一次移动，玩家选择$\cH$的边$H$，并任意减少所有的桩$i \in H$。在1901年布顿解决了经典的{ \sc尼姆}为其中$\cH = \{\{1\}, \ldots, \{n\}\}$。在1910年摩尔介绍并解决了一个更一般的游戏$k$ -{ \sc尼姆}，其中$\cH = \{H \subseteq V \mid |H| \leq k\}$，其中$1 \leq k < n$。在1980年，Jenkyns和Mayberry得到了摩尔{ \sc Nim}在$k+1 = n$情形下的Sprague-Grundy函数的显式公式。最近的研究表明，同样的公式适用于一大类超图。本文研究了这类超图的组合性质，得到了相应超图{ \sc Nim}对策的合取复合和选择复合的Sprague-Grundy函数的显式表达式.
2019-03-19 math.CO
Extended Sprague-Grundy theory for locally finite games, and applications to random game-trees
为纪念埃尔文·伯利坎普（1940-2019），约翰·康威（1937-2020）和理查德·盖伊（1916-2020）而收集的论文。斯普拉格-格伦迪无圈有限对策理论由塞德里克·史密斯和阿维耶兹里·弗伦克尔及其合著者推广到一般的有限对策。我们观察到，用于对有限对策进行分类的同一框架也涵盖了局部有限对策的情况（即，任何位置都只有100个选项的对策）。特别地，任何局部有限对策都等价于某个有限对策。然后，我们研究的情况下，一个游戏的有向图是随机选择的，并给出了一个高尔顿-沃森分支过程的树。后代分布的自然家庭显示出令人惊讶的广泛行为。这种设置显示了组合对策论和概率论思想之间的良好相互作用。
2021-07-18 math.CO
On the Sprague-Grundy Function of Tetris Extensions of Proper {\sc Nim}
给定一个在基集$I = \{1, \ldots, n\}$上的超图$\cH \subseteq 2^I \setminus \{\emptyset\}$，我们给每个$i \in I$分配一个非负整数$x_i$，也就是一堆$x_i$记号，并考虑经典游戏{ \sc Nim}的以下推广：两个玩家轮流。在一步棋中，牌手选择任意一条边$H \in \cH$并减少所有的牌$i \in H$。走完步的玩家输了。我们称所得到的游戏超图为{ \sc Nim}。当$\cH=2^I \setminus\{I,\emptyset\}$是$I$的所有真子集的族时，这样的博弈被称为真{ \sc Nim}。Jenkyns和Mayberry \cite{JM80}描述了这些游戏的Sprague-Grundy（简称SG）功能。本文引入了超图{ \sc Nim}的Tetris扩张，得到了当$n\geq 3$ .令人惊讶的是，$n=2$的情况要复杂得多。对于这种情况，我们只给出几个部分结果和图解。
2018-03-30 math.CO
Some results on LCTR, an impartial game on partitions
本文研究分拆公平博弈 LCTR，运用 Sprague-Grundy 定理证明其 SG 值不超过 2，刻画多类无限分拆族，并给出 O(n) 动态规划算法。
2022-07-11 math.CO
Grundy values of Fibonacci nim
在这篇文章中，我们研究了流行的斐波那契尼姆游戏的Grundy值。获胜策略，即理解Grundy值为0的位置，自1963年Whinihan以来就被人们所知。本文推广了Whinihan的分析，计算了Grundy值不超过3的所有位置。此外，我们表明，当我们删除的斐波那契数（其中有Grundy值0），Grundy值的起始位置增加，我们给上，下界的增长率。
2015-05-19 math.CO
Variants of Wythoff's game translating its P-positions
我们引入了一个限制的Wythoff的游戏，我们称之为F-Wythoff，其中条目的整数比不得改变，如果相同数量的令牌从两个桩。我们证明了F-Wythoff博弈的P-位置是由Wythoff博弈的P-位置通过在每个项上加1得到的位置。我们描述了分布的Sprague-Grundy值，特别是，概括了两个属性的分布的位置，有Sprague-Grundy值k，对于一个给定的k，Wythoff的游戏的变体。我们分析了misere的F-Wythoff，并表明正常和misere版本的不同，正是在这些位置上有Sprague-Grundy值0，和1通过交换。我们研究两个进一步的变种F-Wythoff，一个限制和一个扩展，保持其P-位置。我们基于P-位置的翻译现象提出了两个普遍性的问题。
2012-03-23 math.CO
The game Max-Welter
在韦尔特的游戏中，在一个半无限长的方格上，每个方格最多只能有一个硬币，每个方格编号为$0, 1, 2, \ldots$，两个玩家轮流将一枚硬币移到左边的一个空方格。跳过其他硬币是合法的。首先不能移动的玩家输了。我们研究了韦尔特博弈的一个变体，我们称之为Max-Welter，在这个变体中，玩家只允许把硬币移到最右边。我们解决了获胜策略，并描述了Sprague-Grundy值为1的位置。我们提出了两个定理分类的一些特殊情况下，计算的Sprague-Grundy值的大小$k$的位置变得更容易通过考虑另一个位置的大小$k-1$。我们建立了两个结果的周期性的Sprague-Grundy值。然后，我们表明，游戏最大Welter被归类在一个适当的子类，Gurvich呼吁强烈悲惨的驯服游戏。
2013-11-12 math.CO
Nim on Integer Partitions and Hyperrectangles
本文研究尼姆游戏的两个变体 PNim 和 RNim，分别以整数分拆和超矩形为操作对象，给出了 PNim 的 Sprague-Grundy 值上界及值为 1 的刻画、RNim 的完整公式，并完成二者在 Conway-Gurvich-Ho 层级中的分类。
2025-06-05 math.CO
Nimber-Preserving Reductions and Homomorphic Sprague-Grundy Game Encodings
Plymouth State（普利茅斯州立大学）；USC（南加州大学）
Nimbers的概念，也就是Grundy值或nim值是组合博弈论的基础。Nimbers提供了一个完整的刻画的战略互动之间的公平游戏在他们的析取和以及获胜。在本文中，我们发起了一个研究的平衡游戏之间的保持敏捷的减少。这些减少增强了传统的组合游戏的计算特征的可赢性保持减少。我们证明了广义地理是完整的自然类，$\cal{I}^P$，多项式短的公正规则集下保持敏捷的减少，一个属性，我们称为Sprague-Grundy完成。相反，我们还表明，不是每一个PSPACE完全规则在$\cal{I}^P$是Sprague-Grundy完全的$\cal{I}^P$。通过将每一个公平的博弈都看作是它的号码的编码，我们的技术结果建立了以下引人注目的密码学启发的同态定理：尽管$\cal{I}^P$的Number计算是PSPACE完全的，但对于任何一对博弈$G_1$，存在一个多项式时间算法来构造一个素数博弈$\cal{I}^P$的$G_2$（即不能写成和的游戏）$\cal{I}^P$的$H$，满足：nimber（$H$）= nimber（$G_1$）$\oplus$ nimber（$G_2$）。
2022-02-23 cs.AI cs.CC cs.DM
Sprague-Grundy values and complexity for LCTR
本文研究无偏组合博弈 LCTR，通过镜像策略和结构性分析，将 Sprague-Grundy 值的计算复杂度从 O(n) 改进到 O(log n)，并分析了相关复杂度度量。
2023-11-17 cs.CC math.CO
On Aperiodic Subtraction Games with Bounded Nim Sequence
减法游戏是一类公平的组合游戏，其位置对应于非负整数，其移动对应于从当前位置减去一组固定数字中的一个。尽管减法游戏很容易定义，但事实证明它很难分析.特别是，很少有一般的结果，他们的Sprague-Grundy值是已知的。在本文中，我们构建了一个减法游戏的例子，其序列的Sprague-Grundy值是三元和非周期性的，我们开发了一个理论，可能会导致我们的建设推广。
2014-07-10 math.CO
Three-pile Sharing Nim and the quadratic time winning strategy
我们研究了一个3堆尼姆的变体，其中移动包括从一个堆中取出令牌，而不是删除，在一个较小的堆上加满，前提是移动后目标堆没有比源堆更多的令牌。我们发现了一种情况，其中每个列的二维数组的Sprague-Grundy值是一个回文。我们建立了一个公式，P-位置的获胜移动可以计算在二次时间。我们证明了一个公式的位置的Sprague-Grundy值为1和估计的分布，这些位置的nim值为g。我们讨论了似有界的nim序列的周期性。
2016-05-11 math.CO
Fractal Sequences and Restricted Nim
公平博弈G的格伦迪数是唯一尼姆堆的大小等于G。我们介绍了一个新的变种尼姆，限制尼姆，它限制了数量的石头，球员可以从一个堆的大小方面删除堆。某些类的限制尼姆被发现产生序列的Grundy数与自相似的分形结构。C. Kimberling，我们得到了这些“分形序列”的新的特征，并给出了这些序列和某些上三角阵列之间的双射。作为一个特殊情况，我们得到了串行尼姆游戏，其中尼姆堆是从左到右排列的，玩家只能在最左边的非空堆中移动。
2004-09-21 math.CO
Two variants of Wythoff's game preserving its P-positions
我们提出了两个变种的Wythoff的游戏。第一个游戏是Wythoff游戏的一个限制，其中如果两个条目不相等，则不允许从较小的一堆中移除代币。第二个游戏是Wythoff游戏的扩展，通过相邻移动获得，允许玩家从较小的一堆中取出k个代币，并从另一堆中取出l个代币，前提是l < k。我们表明，这两个游戏保持Wythoff的游戏的P-位置。这解决了Duchene、Fraenkel、Nowakowski和Rigo提出的一个问题。我们给出的公式，这些位置的Sprague-Grundy值为1。我们还证明了关于Sprague-Grundy函数的几个结果。
2012-03-07 math.CO
Mixed-Radix Nim
我们提出了外卖游戏，其Sprague-Grundy函数由混合基$β$中堆大小的Nim和给出。设$Δ_β$为此类博弈的集合。给出了$Δ_β$的极小值存在的充要条件，以及$Δ_β$的极大值的递归构造.
2019-01-08 math.CO
On the Sprague-Grundy values of games with a pass
University of Tsukuba College of Informatics（筑波大学信息学学院）；Keimei Gakuin Junior and Senior High School（启明学园初等部及高等部）；Osaka Metropolitan University（大阪公立大学）；Waseda University（早稻田大学）；Gifu University（岐阜大学）
本文研究带过牌的无偏博弈析取复合，建立 SG 值同态，将满足一步博弈条件的分量复合转化为带过牌的 nim 局面，从而给出必胜策略判定时间上界，并应用于巧克力博弈的 SG 值计算。
2025-11-09 math.CO
Two Games on Arithmetic Functions: SALIQUANT and NONTOTIENT
本文研究基于算术函数的两个无偏博弈 SALIQUANT 和 NONTOTIENT，获得数论引理、基本定理及关于 Sprague-Grundy 值最终密度的猜想，并计算特定值。
2023-09-03 math.CO math.NT
Combinatorial Analysis of a Subtraction Game on Graphs
我们定义了一个两个球员的组合游戏中，球员轮流轮流，每一轮包括删除一个顶点的图，连同所有的边缘包含这样的顶点。如果任何顶点被玩家的移动孤立，那么它也会被删除。当另一个玩家没有可用的移动时，一个玩家赢得游戏。我们研究这个游戏在不同的观点：通过寻找特定的战略，某些家庭的图形，通过使用图形的自同构群的属性，通过编写一个程序来看看Sprague-Grundy数，并通过研究游戏时，随机图。当分析在路径上玩的Grim时，使用Sprague-Grundy函数，我们发现了一个关于八进制游戏的悬而未决的问题。
2016-08-01 math.CO
How far can Nim in disguise be stretched?
尼姆游戏中的一步棋是从一堆代币中取出任意正数的代币。假设我们增加了从所有的牌堆中共同取出非负数的牌的移动类。完整地回答了在不改变nim获胜策略的前提下，类中哪些步可以加入的问题。结果适用于其他组合游戏无界Sprague-Grundy函数值。我们制定了两个削弱的条件的概念nim-sum 0证明的结果。
1998-09-16 math.CO
Nim on the Complete Graph
图上的尼姆游戏是在《尼姆论图I》中引入的，并在福山雅彦的《尼姆论图II》中扩展。他的论文详细计算格兰迪数的图形在特定情况下。我们推广了这些结果，并引入了偶数周期的策略。本文研究了一类更一般的图，限制边的重量。我们提供了结构性的条件，在这些条件下，存在着一种获胜的策略。这就产生了完全图的解。
2010-10-07 math.CO
Node-Kayles on Trees
Faculty of Science at Sriracha, Kasetsart University（泰国农业大学诗里拉查理学院）
本文研究了树和由树连接形成的图的 Grundy 值序列，推导了显式公式和递推关系，并证明了这些序列的周期性。
2025-12-30 math.CO
Slow $k$-Nim
给定$n$牌堆和一个正整数$k \leq n$，我们研究了以下两个公平组合博弈Nim $^1_{n, \leq k}$和Nim $^1_{n, =k}$ .在第一个（resp。第二）游戏，玩家通过一步棋选择至少$1$和至多（分别地）$1$和$1$。精确地）$k$非空堆，并从这些堆中的每一个中移除一个令牌。对于每个游戏的正常和misère版本，我们计算$n = k = 2$和$n = k+1 = 3$情况下的Sprague-Grundy函数。对于博弈Nim $^1_{n, \leq k}$，我们也刻画了它在$n \leq k+2$和$n = k+3 \leq 6$情形下的P-位置。
2015-08-24 math.CO
Tree and Tripod Nim
本文提出尼姆游戏的新变体树尼姆及其特例三脚架尼姆，证明其P位置与Grundy值的分布性质，并借助序列复合游戏中的数组给出部分分析及周期猜想。
2024-01-15 math.CO
Restricted Nim with a Pass
本文研究了带通行证的限制Nim。在本研究中考虑的限制性尼姆游戏中，两个游戏者轮流从石头堆中取出石头。在每个回合中，当石头的数量为m时，每个玩家被允许从m个石头堆中移除至少一个石头，并且最多移除m/2个石头的天花板。游戏的标准规则被修改为允许一次性传球，即在游戏中最多只能使用一次传球，而不是从终端位置。一旦一个传球被任何一个球员使用，它就不再可用。众所周知，在经典的尼姆游戏中，传球的引入改变了游戏的基本结构，显著增加了游戏的复杂性。在这项研究中考虑的限制尼姆，传球移动被发现有一个最小的影响。限制尼姆的格伦迪数和有通行证的限制尼姆的格伦迪数之间有一个简单的关系，其中桩的数目可以是任何自然数。因此，作者解决了组合对策论中一个长期存在的悬而未决的问题：在游戏中引入传球会在多大程度上影响其行为。我们开发的游戏似乎是Nim的第一个变体，当不允许传球时完全可解，并且在引入传球移动后仍然完全可解。
2022-05-24 math.CO
A Subtraction Nim with a Pass
IEOR, IIT Bombay（印度理工学院孟买分校工业工程与运筹学系）；University of Tuskuba（筑波大学）；Keimei Gakuin Junior and High School（启明学院初中及高中）
本文研究带一次传递规则的减法尼姆游戏，证明其格鲁恩迪数仍满足逆mex性质，且传递规则不影响游戏复杂性。
2026-05-14 math.CO
An Aperiodic Subtraction Game of Nim-dimension Two
在最近的arXiv手稿福克斯研究无限减法游戏有限（三元）和非周期性的斯普拉格-格伦迪函数。在这里，我们提供了一个具有给定属性的博弈的基本示例，即由减法集$\{F_{2n+1}-1\}$给出的博弈，其中$F_i$是第$i$个斐波那契数，并且其中$n$的范围超过正整数。我们对nim维的定义反映了博弈产生的2的幂分量的精确数量; nim值的组是4阶的，所以维数是2（在经典定义中，这个维数应该是1）。感谢卡洛斯·桑托斯对这个问题的启发性讨论。
2015-03-25 math.CO
Some i-Mark games
令$S$是正整数的集合，并且令$D$是大于$1$的整数的集合。$i$-Mark $(S,D)$是一款由Sopena（2016）推出的公平组合游戏，使用一堆代币进行游戏。在每一轮中，玩家可以从牌堆中减去$s \in S$，或者如果牌堆的大小可以被$d$整除，则可以将牌堆的大小除以$d \in D$。Sopena部分分析了使用$S=[1, t-1]$和$D=\{d\}$的$d \not\equiv 1 \pmod t$游戏，但留下了$d \equiv 1 \pmod t$的案例。我们通过计算$i$的Sprague-Grundy函数-Mark $([1,t-1],\{d\})$ for $d \equiv 1 \pmod t$，for all $t,d \geq 2$来解决这个问题。我们还计算了所有$k$的$i$-Mark $(\{2\},\{2k + 1\})$的Sprague-Grundy函数，并表明它表现出类似的行为。最后，根据索佩纳的建议，看看游戏与$|D|>1$，我们得出了一些部分结果的游戏$i$-马克$(\{1\}, \{2, 3\})$，其Sprague-Grundy函数似乎表现不稳定，并没有显示任何干净的模式。我们证明，每个值$0,1,2$发生无限经常在其SG序列，连续出现之间的最大间隙长度。
2021-06-30 cs.DM math.CO
Tetris Hypergraphs and Combinations of Impartial Games
Sprague-Grundy（SG）理论将公平博弈的和归结为经典的$NIM$博弈。本文推广了和的概念，并引入了$\cH$ -任意超图$\cH$的公平对策组合.特别是，我们介绍了游戏$NIM_\cH$，这是$\cH$ -单桩$NIM$游戏的组合。一个公平的游戏被称为SG减少，如果它的SG值减少的每一步。推广SG理论，将SG减对策的$\cH$ -组合约化为$NIM_\cH$ .如果$NIM_\cH$是SG递减的，我们称$\cH$为Tetris超图。给出了超图是俄罗斯方块的几个必要条件和几个充分条件。
2017-01-11 math.CO
Ryuo Nim: A Variant of the classical game of Wythoff Nim
作者介绍了广义的尼姆龙生的公平博弈，这是经典的尼姆威托夫博弈的一个变体。在后一种游戏中，两名玩家轮流在大棋盘上移动一个皇后，试图成为第一个将她放在左上角位置$(0,0)$的玩家。对于给定的自然数$p$，我们使用广义的Ryanō，而不是Wythoff Nim中使用的皇后。$p$的广义Ryanho可以水平和垂直移动，只要你想。它也可以从$(x,y)$对角移动到$(x-s,y-t)$，其中$s,t$是非负整数，使得$1 \leq s \leq x, 1 \leq t \leq y \textit{and} s+t \leq p-1$ .当$p$是$3$时，$p$的广义Ryanyo是Ryanyo，即，日本国际象棋的一种升级的棋类。在西洋象棋中，良王结合了车和王的力量。广义的$p$的龙生尼姆在数学上与两堆计数器的尼姆相同，其中玩家可以从任何一堆中取任何数字，并且玩家也可以同时从其中一堆中删除$s$计数器和从另一堆中删除$t$计数器，其中$s+t \leq p-1$和$p$是给定的自然数。$p$的广义龙生Nim的Grundy数由$\bmod(x+y,p) + p(\lfloor \frac{x}{p} \rfloor \oplus \lfloor \frac{y}{p}\rfloor)$给出。作者还研究了$p$的广义Ryanshao Nim与一个通过移动。没有传球移动的$p$的广义龙生尼姆有简…
2017-11-04 math.CO
Impartial Triangular Chocolate Bar Games
巧克力棒游戏是尼姆游戏的变种，其目标是让你的对手只剩下巧克力棒中唯一苦涩的部分。长方形巧克力棒游戏是经典的多堆尼姆游戏的一种稍微伪装的形式。在这项工作中，我们研究了三角形巧克力棒游戏的数学结构，其中三角形巧克力棒可以在三个方向上切割。在三角形巧克力棒游戏中，当且仅当$x \oplus y \oplus z = 0$时，位置是$\mathcal{P}$ -位置，其中数字$x,y,z$代表巧克力棒可以在每个方向上被切割的最大次数。此外，位置$(x,y,z)$的Grundy数并不总是等于$x \oplus y \oplus z $，并且不知道Grundy数的通用公式。因此，三角形巧克力棒游戏的数学结构与经典的尼姆游戏不同。
2017-11-14 math.CO
Maximum Nim and Josephus Problem
本文证明了以 f(x)=floor(x/k) 为规则函数的最大尼姆的格伦迪数与每隔 k 个数移除一个的约瑟夫问题之间存在简单关系。
2024-03-28 math.CO
Tasty Chocolate Games
ENS de Lyon（里昂高等师范学校）；Toyo University（东洋大学）
本文研究巧克力游戏这一尼姆游戏的推广，证明“美味条件”可作为多种形状巧克力棒的斯普莱格-格伦迪值由各维度尺寸尼姆和给出的条件。
2026-08-19 math.CO
Some results on split sum of impartial games
本文针对带通过的Nim游戏这一组合游戏难题，扩展拆分和的应用，明确其与经典析取和的等价情形，推广Grundy值并揭示其在拆分和下的不同性质，为公平游戏研究提供新结果。
2026-08-17 math.CO
What happens when we add impartial loopy games and impartial entailing games?
本文在Sprague-Grundy理论基础上，进一步研究无偏循环博弈与无偏蕴含博弈之和，揭示了循环局面与蕴含局面相加所呈现的部分代数结构。
2024-03-31 math.CO
Winning strategies for aperiodic subtraction games
我们提供了一个获胜的策略总和MARK-t的游戏，一个公正的游戏上发挥的非负整数，其中每一步由1和t-1之间的整数减法，或除以t，四舍五入，必要时。我们的算法计算任意n的Sprague-Grundy值在二次时间。这解决了Aviezri Fraenkel提出的一个问题。此外，我们刻画了在misère对策中的P-位置和N-位置。
2011-08-09 math.CO
A convergence technique for the game i-Mark
本文提出一种收敛技术，为 $|D|>1$ 的 i-Mark 游戏提供 Sprague-Grundy 序列的多项式时间算法，并证明适用于所有 i-Mark$(\{1\},\{d_1,d_2\})$ 情形。
2025-03-29 cs.DM math.CO
Game values of arithmetic functions
数论中的算术函数与组合对策论中的Sprague-Grundy函数相吻合。我们研究了由标准算术函数，如欧几里德除法，除数，除数和互素数及其否定数诱导的各种二人博弈。
2021-07-03 cs.DM math.CO math.NT
Nim heaps in the Game of Cycles: the parity conjecture fails on trees
University of Southern California（南加州大学）
本文研究循环博弈中的尼姆堆，证明树上的奇偶性猜想不成立，最小反例有15个顶点，还分析了蜘蛛树的Grundy值，给出相关公式与算法，提出非负整数是否均为树的Grundy值的问题。
2026-10-14 cs.DM math.CO
Partition games
Univ Lyon, Université Lyon 1, LIRIS UMR CNRS 5205（里昂第一大学）；Instituto de Matemáticas, UNAM Juriquilla（墨西哥国立自治大学数学研究所）；National University of Singapore（新加坡国立大学）
本文研究了2人分割游戏，探讨了其Sprague-Grundy序列的周期性特征，并提出了一种计算测试条件以解决更多游戏。
2020-05-15 cs.DM math.CO
Winning the War by (Strategically) Losing Battles: Settling the Complexity of Grundy-Values in Undirected Geography
Plymouth State（普利茅斯州立大学）；USC（南加州大学）
我们解决了两个长期存在的复杂性理论问题-开放自1981年和1993年-在组合博弈论（CGT）。我们证明了Grundy值（a.k.a.无向地理的nim-value或nimber）是PSPACE完全计算的。这与1993年无向地理是多项式时间可解的结果形成了鲜明的对比。通过提炼到一个简单的减少，我们的证明进一步建立了一个二分法定理，提供了一个“相变到棘手”的Grundy值计算，其特点是最大程度的四：无向地理的Grundy值在任何程度的三个图形是多项式时间可计算的，但在程度四个图形，即使是平面和二分的PSPACE-硬。此外，我们展示了，第一次，如何构建无向地理实例与Grundy值$\ast n$和大小多项式n。我们加强了1981年的结果表明，听话的党派游戏的总和是PSPACE完全在两个基本方面。首先，由于无向地理是一个公正的规则，我们扩展的硬度和公正的游戏，一个严格的子集的党派。其次，1981年的结构不是从自然规则中构建的，而是使用了大量定制的短深度游戏位置。我们使用两个无向地理位置的和来创建硬实例。我们的结果也有计算的影响Sprague-Grundy理论（20世纪30年代），这表明，任何两个公平的游戏的析取和的Grundy值可以计算-在多项式时间-从他们的Grundy值。相反，我们证明，假设PSPACE $\neq$ P，没有一般的多项式时间的方法来总结两个多项式时间可解的公平游戏，以有…
2021-06-03 cs.AI cs.CC cs.DM
Multi-Dimensional Chocolate and Nim with a Pass
巧克力棒游戏是CHOMP游戏的变体。三维巧克力条包括一组尺寸为1 X 1 X 1的立方体盒，其中苦味立方体盒位于列的底部位置（0，0）处。对于非负整数u、w，使得u < x且w 1 < z，在位置（u，w）处的列的高度是min（F（u，w），y）+1，其中F是单调增函数。我们将该巧克力棒表示为CB（F，x，y，z）。每个玩家依次在水平或垂直的平面上沿着凹槽切割酒吧，并吃掉碎片。玩家谁设法离开对手与单一苦立方框是赢家。在这项研究中，函数F，使得CB（F，x，y，z）的Sprague-Grundy值是xxor yxor z的特点。我们已经发表了关于三维巧克力游戏的研究。本文研究了一个多维巧克力博弈，其中维数大于3，并将其应用于Nim中的传球问题。我们修改了游戏的标准规则，允许一次性传球，也就是说，一个传球动作在游戏中最多只能使用一次，而不是从终端位置。一旦一个传球被任何一个球员使用，它就不再可用。众所周知，在经典的尼姆游戏中，传球的引入改变了游戏的基本结构，显著增加了游戏的复杂性。一个多维的巧克力游戏可以显示一个视角的复杂性的游戏尼姆与通行证。因此，作者在组合对策论中解决了一个长期悬而未决的问题。作者提出这篇论文，因为他们的发现似乎是重要的。在作者看来，巧克力游戏和尼姆传球之间的关系很快就会成为一个重要的研究课题。
2022-07-19 math.CO
Subtraction Division Games
减法-除法游戏是一个两人组合游戏，有三个参数：一个集合S，一个集合D和一个数字n。这个游戏从n开始，是一场说数字1的比赛。每个玩家在他们的回合中，可以将S中的某些s的总和移动到n-s，或者将D中的某些d的总和移动到\lceil \frac{n}{d} \rceil（即减去s或除以d并取整）。本文详细研究了当|S| = |D| = 1时的对策的Sprague-Grundy序列。对于这些游戏中的一大类，序列中的模式允许对所有获胜位置进行表征。本文还证明了，对于同一个大类，这些序列是自动的。在这个过程中，一个大家庭的递归，完全确定他们的行为被构造。
2012-06-01 math.CO
On Remoteness Functions of Exact Slow $k$-NIM with $k+1$ Piles
本文研究具有k+1堆的精确慢速k-NIM（其中2 ≤ k = n-1），计算Smith遥远度函数以确定P-位置，并证明保留最大奇数堆或最小偶数堆并减少其余堆的简单策略对双方均最优。
2023-04-13 math.CO
Multiplicative Modular Nim (MuM)
本文提出了 Nim 的乘法模变体 MuM，通过 mumber 值和模乘法结合规则建立了完整的非加性组合博弈理论，并利用中国剩余定理处理复合模数，将其扩展至有限域以辅助 AES S-box 代数教学。
2025-07-05 cs.DM math.CO
Experimental Study of the Game Exact Nim(5, 2)
本文通过理论与计算实验研究 Exact Nim(5,2) 的 P-局面，并探究其与 Moore 尼姆 nim(6,≤2) 已知 P-局面之间的密切关系。
2023-11-30 cs.GT math.CO
When are translations of P-positions of Wythoff's game P-positions?
我们研究了{ \sc Wythoff}对策是否存在其$¶$ -位置的变体的问题，除了有限的数目，通过给每个$¶$ -位置添加一个常数$k$，从{ \sc Wythoff}对策的$¶$ -位置获得。我们解决了这个问题，通过引入一类$\{\W_k\}_{k \geq 0}$的变种{ \sc Wythoff}的游戏中，对于任何固定的$k \geq 0$，$¶$ -位置的$\W_k$形式的集合$\{(i,i) | 0 \leq i < k\}\cup \{(\lfloor ϕn \rfloor + k, \lfloor ϕ^2 n \rfloor + k) | n\ge 0\}$，其中$ϕ$是黄金分割率。然后，我们分析一类$\{\T_k\}_{k \geq 0}$的变种{ \sc Wythoff}的游戏，其成员共享相同的$¶$ -位置集$\{(0,0)\}\cup \{(\lfloor ϕn \rfloor + 1, \lfloor ϕ^2 n \rfloor + 1) | n \geq 0 \}$。我们建立了这两个家庭的Sprague-Grundy函数的几个结果。在此过程中，我们展示了一系列具有不同规则集的游戏，这些规则集共享同一组$¶$ -位置。
2014-03-11 math.CO
Impartial games with entailing moves
组合对策论也被称为“加法对策论”，每当分析涉及独立的对策成分的总和。这样的{ \em析取和}调用游戏之间的比较，这允许抽象值被分配给它们。然而，存在具有{ \em需要移动}的规则集，其打破交替游戏公理和/或限制其他玩家在析取和分量内的选项。这些情况在文献中通过诸如{ \sc nimstring}（经典儿童游戏{ \sc dots \& boxes}的正常游戏变体）和{ \sc top~ enables}（Berlekamp Conway和Guy的经典作品Winning Ways中引入的优雅规则）的规则来举例说明。这样的规则集不属于既定的正常游戏理论的范围。在这里，我们公理化正常发挥通过两个新的终止游戏，$\infty$（左胜）和$\overline\infty$（右胜），和一个更一般的理论实现。我们定义了{ \em仿射公平}，它扩展了经典的公平游戏，我们分析了他们的代数扩展建立的Sprague-Grundy理论，伴随着最小排除规则。给出了{ \sc nimstring}和{ \sc top~ entries}的解来说明理论。
2021-01-27 cs.DM math.CO
On remoteness functions of k-NIM with k+1 piles in normal and in misère versions
本文研究了$k+1$堆$k$-NIM游戏的常规版与逆向版，针对$k=n-1$的情况提出了确定Smith remoteness函数的简单显式规则，并给出了适用于逆向版的例外情况分类及显式公式。
2023-11-22 math.CO
Lattice point methods for combinatorial games
我们编码任意有限公平组合游戏的有理凸多面体的格点。由这些\emph{lattice games}提供的编码对于八进制游戏特别有效，我们将其推广到\emph{squarefree games}。这些还包括自然环境中的所有堆游戏，其中正常游戏的Sprague-Grundy定理以几何形式表现出来。我们提供了一个算法来计算正常的播放策略。格子游戏的设置自然允许mis 'ere play，其中0被宣布为失败的位置。格子博弈也允许更大的有限位置集被宣布失败的情况。获胜位置集的生成函数为格游戏的策略提供了数据结构。我们猜想每个格对策都有一个\emph{rational strategy}：一个其获胜位置的有理生成函数。此外，我们猜想，每个格游戏有一个\emph{affine stratification}：一个分区的一组获胜的位置到一个有限的不相交的并有限生成模仿射半群。
2009-08-24 math.AC math.CO
Algebraic games - Playing with groups and rings
在下面的公平组合博弈中，两个参与者交替走棋：给定一个可交换生成的阿贝尔群$A$，一步棋包括选择一些非零元素$a \in A$。然后，游戏继续进行商群$A/ \langle a \rangle$。证明了在正常博弈规则下，第二个局中人有获胜策略当且仅当$A$是正方形，即对于某个交换群$B$，$A$同构于$B \times B$.在米泽尔游戏规则下，只需要对基本阿贝尔群做一些小的修改就可以描述获胜的情况。我们还计算了$2$生成的阿贝尔群的数目，即Sprague-Grundy值。一个类似的游戏可以用任意的代数结构来玩。研究了非交换群和交换环的一些例子，如$R[X]$，其中$R$是主理想整环.
2017-05-04 math.CO math.GR math.RA
Computing Remoteness Functions of Moore, Wythoff, and Euclid's games
该研究针对无偏博弈的距离函数$\u211b$，给出了Euclid游戏、广义Wythoff游戏的$\u211b$多项式算法，以及Moore's NIM偶数值的显式公式，并证明其奇数值计算为NP难问题。
2023-11-05 cs.GT math.CO
