Generalized Algorithm for Wythoff's Game with Basis Vector $(2^b,2^b)$
Wythoff's Game是Nim的一个变体，玩家可以从每堆石头中取出相同数量的石头，或者进行有效的Nim移动。W. A. Wythoff证明了Wythoff博弈的P-位置集（丢失位置）$C$由$C := \left\{ (\lfloor kϕ\rfloor, \lfloor kϕ^2 \rfloor), (\lfloor kϕ^2 \rfloor, \lfloor kϕ\rfloor) : k \in \mathbb Z_{\geq 0} \right\}$给出。一个开放的Wythoff问题仍然存在，玩家进行有效的尼姆移动或从每堆中删除$kb$石头，其中$b$是一个固定的整数。我们将其表示为$(b,b)$博弈。例如，常规的Wythoff游戏只是$(1,1)$游戏。在2009年，杜赫${ê}$ ne和Gravier证明了一种算法，通过利用两个桩之间的石头模$4$之间的差异的周期性，为$(2,2)$游戏生成P-位置集。我们观察到类似的循环行为的任何$b$，其中$b$是$2$，模$b^2$的权力，并构建一个算法来生成这个游戏的P-位置的集合。让$a$成为$2$的一种力量。我们证明了我们的算法的工作原理，首先表明，它适用于第一个$a^2$条款的$(a,a)$游戏。接下来，我们从$a^2$项构造了$(2a,2a)$博弈的有序多重集，并给出了归纳证明。此外，我们推测，所有的循环游戏需要$a…
2017-02-15 math.CO
A Variant of Wythoff's Game Defined by Hofstadter's G-Sequence
Keimei Gakuin Junior and High School（庆明学园初中和高中）；Kwansei Gakuin University（关西学院大学）
本文研究了Wythoff游戏的一个变种，其终端集包含特定位置，P位置由Wythoff游戏和Hofstadter的G序列定义，并具有两个显著性质。
2026-05-01 math.CO
Using Elementary Techniques to Characterize the Relationship Between Wythoff's Game and the Golden Ratio
本文用初等技巧揭示Wythoff博弈与黄金比例之间的直接联系，并探讨其数列及方法意义。
2023-10-09 math.CO math.HO
Wythoff's Game with a Pass
本文研究威佐夫博弈中允许一次性弃权（过牌）的变体，证明在特定条件下其 P 位置可由原博弈 Grundy 数为 1 的位置刻画，并给出两类博弈获胜位置间的距离上界。
2025-07-04 math.CO
Variants of Wythoff's Games with Different Terminal Sets
Keimei Gakuin Junior and High School（敬明学园初中和高中）；Kwansei Gakuin University（关西学院大学）
本文研究了经典威斯霍夫博弈的变种，通过改变终止集定义，利用斐波那契数列描述P态，无需递归。
2026-05-02 math.CO
A modification of Wythoff's Nim
我们修改Wythoff的游戏，允许一个额外的移动，我们称之为“分裂”，并显示如何的$P$ -位置编码的Tribonacci字。我们分析了任意$k$ -Bonacci单词的字母位置表，并找到了生成Quadribonacci表的$\mathrm{mex}$ -规则。
2019-11-18 math.CO
Wythoff's Nim with Finite Alterations
本文研究威佐夫尼姆游戏在任意有限个位置被指定为P或N位置后的改动形式，证明改动后游戏的P位置集合与平移后的标准威佐夫游戏高度相似，且重叠比例随堆规模增大趋近于1。
2024-08-07 math.CO
A Generalized Diagonal Wythoff Nim
在本文中，我们研究了一族2-堆拿走游戏，我们表示为广义对角Wythoff Nim（GDWN）。故事开始于2桩Nim，其选项集和$P$ -位置分别为$\{\{0,t\}\mid t\in \N\}$和$\{(t,t)\mid t\in \M \}$。如果我们把2堆尼姆加入主- \emph{diagonal} $\{(t,t)\mid t\in \N\}$作为选项，新的游戏是Wythoff尼姆。众所周知，$P$ -这个游戏的位置位于两个'梁'，起源于原点，斜率为$Φ= \frac{1+\sqrt{5}}{2}>1$和$\frac{1}Φ < 1$。因此，我们可以这样想，在从尼姆到威索夫尼姆的过程中，$P$ -位置的集合有\emph{split}，并且落在离主对角线一定距离的地方。这种几何观察促使我们提出下面这个直观的问题。如果我们在Wythoff Nim的博弈中加入一些新的\emph{generalized diagonal}移动，也就是$\{pt, qt\}$形式的移动，其中$0 < p < q$是固定的正整数，而$t > 0$是固定的正整数，那么$P$ -位置集合的这种分裂是否以某种有意义的方式继续下去？答案可能取决于$p$和$q$的具体值吗？我们陈述了三个最弱形式的命题：$\lim_{t\in \N}\frac{b_t}{a_t}$存在，并且等于$Φ$，当且仅当$(p, q)$是…
2010-04-29 math.CO
Variants of Wythoff game with terminal positions or blocking maneuvers
本文利用Walnut软件对Wythoff博弈变种进行自动证明，扩展了现有结果，并提出新的递归和形态化特征化方法。
2025-12-12 cs.DM math.CO
A New Twist on Wythoff's Game
Wythoff's Game是一个两个玩家在两堆瓷砖上交替玩的游戏。在她的回合中，玩家可以从一个堆叠中移除正数的牌，或者从两个堆叠中移除相等的正数的牌。最后一个合法移动的玩家赢得游戏。我们提出并研究了这个游戏的一个新的扩展到两个以上的堆栈，我们称之为Twyst-off，灵感来自Reidemeister移动的纽结理论。从有序的牌堆序列中，玩家可以从两个端堆中的一个移除正数的牌，或者从两个连续的堆中移除相同的正数的牌。每当内部堆栈减少到0时，两个相邻堆栈就会合并。在本文中，我们证明了几个结果的Twyst-off位置，可以赢得第二个球员（这些被称为P-位置）。我们证明了一个存在性和唯一性的结果，使三叠P-位置上的数据的可视化成为可能。这表明许多这样的位置是对称的，就像简单的一般例子（a，a，a）和（a，a+1，a）。主要结果建立紧边界上的三个堆栈的P-位置是不对称的。我们继续证明一个一般的结构结果的立场与任意数量的堆栈。我们还证明了游戏的事实时，允许堆栈的无限大小，包括分类的所有位置，只有无限堆栈序列多达六个堆栈。
2016-06-22 math.CO
Maharaja Nim, Wythoff's Queen meets the Knight
新的组合游戏介绍，其中最相关的是王公尼姆。规则延伸了著名的Wythoff Nim的公平游戏，其中两名球员轮流在一个大棋盘上移动一个国际象棋皇后，试图成为第一个把她放在左下角的人。在这里，除了经典的规则，玩家还可以像国际象棋骑士移动一样移动皇后。我们证明了Maharaja Nim的第二个玩家的获胜位置与Wythoff Nim的获胜位置接近，即它们分别在斜率为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$和$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的直线的有界距离内。对于一个近亲王公尼姆，骑士的跳跃的形式是$(2,3)$和$(3,2)$（而不是$(1,2)$和$(2,1)$），我们也证明了多项式时间复杂性的判定问题的结果，一个给定的位置。
2012-07-03 math.CO
Blocking Wythoff Nim
Wythoff Nim的2人公平游戏在两堆代币上进行。移动包括从其中一堆中删除任何数量的代币，或者从两堆中删除相同数量的代币。获胜者是移除最后一个代币的玩家。我们研究这个游戏的封锁策略，也就是说，对于每一个移动，下一个球员移动之前，前一个球员可以宣布最多一个预定的数量，$k - 1 \ge 0$，禁止的选项。当下一个玩家移动时，任何阻挡动作都会被遗忘，对游戏没有任何进一步的影响。我们解决了这个游戏的$k = 2$和$k = 3$的获胜策略，并支持计算机模拟，状态的渐近“行为”的$P$ -位置为各自的游戏时，$4 \le k \le 20$。
2010-10-27 math.CO math.NT
Ryuo Nim: A Variant of the classical game of Wythoff Nim
作者介绍了广义的尼姆龙生的公平博弈，这是经典的尼姆威托夫博弈的一个变体。在后一种游戏中，两名玩家轮流在大棋盘上移动一个皇后，试图成为第一个将她放在左上角位置$(0,0)$的玩家。对于给定的自然数$p$，我们使用广义的Ryanō，而不是Wythoff Nim中使用的皇后。$p$的广义Ryanho可以水平和垂直移动，只要你想。它也可以从$(x,y)$对角移动到$(x-s,y-t)$，其中$s,t$是非负整数，使得$1 \leq s \leq x, 1 \leq t \leq y \textit{and} s+t \leq p-1$ .当$p$是$3$时，$p$的广义Ryanyo是Ryanyo，即，日本国际象棋的一种升级的棋类。在西洋象棋中，良王结合了车和王的力量。广义的$p$的龙生尼姆在数学上与两堆计数器的尼姆相同，其中玩家可以从任何一堆中取任何数字，并且玩家也可以同时从其中一堆中删除$s$计数器和从另一堆中删除$t$计数器，其中$s+t \leq p-1$和$p$是给定的自然数。$p$的广义龙生Nim的Grundy数由$\bmod(x+y,p) + p(\lfloor \frac{x}{p} \rfloor \oplus \lfloor \frac{y}{p}\rfloor)$给出。作者还研究了$p$的广义Ryanshao Nim与一个通过移动。没有传球移动的$p$的广义龙生尼姆有简…
2017-11-04 math.CO
Relaxed Wythoff has All Beatty Solutions
本文研究三个减法博弈的P-位置何时构成互补Beatty序列对，证明在特定不等式条件下可由Fraenkel递推推出，并构造新博弈使任意互补Beatty序列对均可实现，从而解决2011年BIRS提出的Fraenkel问题。
2023-04-12 math.CO
Computing Remoteness Functions of Moore, Wythoff, and Euclid's games
该研究针对无偏博弈的距离函数$\u211b$，给出了Euclid游戏、广义Wythoff游戏的$\u211b$多项式算法，以及Moore's NIM偶数值的显式公式，并证明其奇数值计算为NP难问题。
2023-11-05 cs.GT math.CO
$(1,2)$-GDWN splits
我们研究了2个无序堆的令牌$(x,y)$的有限非负数的公平拿走游戏。两个玩家根据一定的规则交替从各自的堆中取出至少一个和最多所有的代币，并且当玩家反过来无法移动时游戏终止。我们遵循正常的游戏规则，这意味着不能移动的玩家输了。在Wythoff Nim游戏中，玩家可以从其中一堆中取出任意数量的代币，或者从两堆中取出相同数量的代币。令$ϕ= \frac{1+\sqrt{5}}{2}$和对于所有非负整数$n$，$A_n=\lfloorϕn \rfloor$和$B_n=A_n+n$。Wythoff Nim的P-位置是分别具有$A_n$和$B_n$令牌的所有桩对。我们研究了一个概括的这个游戏称为PDMATHAMT，其中，除了Wythoff尼姆的规则，玩家可以选择从其中一个桩中删除一个积极的令牌数量，并从另一个桩中删除该数量的两倍。我们证明了对于给定的实数$α>1$和$ε> 0$，存在一个无穷扇区$α\le y/x \le α+ε$，其中每个$(x,y)$是一个N-位置，但是对于$1\le y/x <α$和$α+ε< y/x $，存在无穷多个P-位置.这证明了最近一篇论文中的一个猜想。也就是说，邻接的集合在$(1,2)\G$ \emph{splits}中移动Wythoff Nim的斜率$ϕ$ P-位置的梁。我们还提供了一个下界上的较低的渐近密度较低的堆高度的P-位置的Wythoff尼姆的扩展。设…
2012-06-20 math.CO
A new heap game
给定$k\ge 3$堆令牌。这里介绍的2人游戏的移动是从最多$k-1$堆中取出正数的代币，或者从所有$k$堆中删除{ \sl same}正数的代币。我们分析了这种扩展的Wythoff的游戏，并提供了一个多项式时间的战略。
1998-09-15 math.CO
Corner the Empress
Wythoff Nim aka Corner the Lady是一款经典的组合游戏。一个皇后被放在一个无限的棋盘上，两个玩家轮流移动皇后靠近角落。第一个将皇后逼到角落的玩家获胜。如果女王获得了更高的权力，并且能够偏离对角线，会发生什么？在本文中，我们研究了这些游戏中出现的有趣模式。
2022-12-08 math.CO
The $\star$-operator and Invariant Subtraction Games
我们研究2人公平游戏，即所谓的\emph{invariant subtraction games}，给定一组允许的移动，玩家轮流将大棋盘上的一颗棋子移向位置$\boldsymbol 0$。在这里，不变性意味着每个允许的移动在整个棋盘中都是可用的。然后我们定义一个新的博弈，旧博弈的$\star$，通过把除了$\boldsymbol 0$之外的$P$ -位置作为新博弈中的移动。一个这样的游戏是$\W^\star=$（Wythoff Nim）$^\star$，其中移动由具有无理模的互补贝蒂序列定义。本文给出了$\W^\star$的无穷多个$P$ -位置的多项式时间算法. $\star$的重复应用结果是为不变减法游戏的某个子类提供了特别好的性质，\emph{permutation games}，我们在这里介绍。我们还介绍了\emph{ornament games}家族，其$P$ -位置定义了具有有理模的互补Beatty序列-因此与A有关。S. Fraenkel的'变种'老鼠和老鼠游戏-并给出了封闭的形式为这样的游戏的举动。我们还证明了（$k$ -pile Nim）$^{\star\star}$ = $k$ -pile Nim.
2010-09-21 math.CO
On tame, pet, domestic, and miserable impartial games
在正常和吝啬的惯例下玩公平的游戏可能会有很大的不同。然而，也有许多“例外”，正常和悲惨的戏剧非常相似。早在1901年，布顿就注意到尼姆游戏就是这种情况。1976年，康威引入了一个大类的游戏，他称之为驯服游戏。在这里，我们引入一个适当的子类，宠物游戏，和一个适当的超类，家庭游戏。对于这三个类中的每一个，我们提供了一个有效的可验证的表征基于以下属性。这些游戏与第一作者在2007年介绍的另一个重要的驯服游戏子类密切相关，称为悲惨游戏。我们表明，驯服，宠物，和国内的游戏变成悲惨的游戏，他们的定义的“轻微修改”。我们还表明，悲惨的游戏的总和是悲惨的，并找到其他几个类，尊重总和。发达国家的技术使我们能够证明，很多著名的公正的游戏属于上述类别。这样的例子包括所有的减法游戏，这是宠物;游戏欧几里得，这是悲惨的（因此，驯服），以及许多版本的威索夫游戏和尼姆，这可能是悲惨的，宠物，或国内。
2017-05-20 math.CO
2-pile Nim with a Restricted Number of Move-size Imitations
我们研究了2-堆Nim组合博弈的一个变形。像2堆尼姆一样移动，但有以下限制：假设前一个玩家刚刚从较短的一堆中移走了$x>0$代币（如果它们具有相同的高度，则可以移走任何一堆）。如果下一个玩家现在从较大的一堆中移走$x$代币，那么他模仿他的对手。对于预定的自然数$p$，根据游戏规则，任何一个玩家都不允许模仿他的对手超过$p-1$连续移动。我们证明，这个游戏的策略非常类似于Wythoff尼姆的一个变体-一个变体与$p-1$对角线位置上的阻挡动作。事实上，我们给出了一个稍微更一般的结果，在这个结果中，我们放宽了什么是模仿的概念。
2009-06-02 math.CO
A Cellular Automaton for Blocking Queen Games
我们表明，获胜的位置，某种类型的两个玩家的游戏形式有趣的模式，往往藐视分析，但可以计算的元胞自动机。该游戏被称为{ \em Blocking Wythoff Nim}，包括像国际象棋中那样移动皇后，但总是朝向（0，0），并且它可能不会被移动到其他玩家在前一轮指定的任何$k-1$临时“阻挡”位置。当一个玩家通过阻止另一个玩家的所有可能移动而获胜时，游戏结束。$k$的值是定义游戏的参数，获胜位置的模式可能对$k$非常敏感。随着$k$变大，获胜位置的部分模式收敛到独立于$k$的重复出现的混沌模式。大型$k$的模式在许多尺度上显示出前所未有的自组织量，在这里，我们试图描述出现的自组织结构。
2015-06-03 math.CO math.DS
Two-pile and three-pile games of a new variant of Nim known as Halve Nim
Florida Atlantic University（佛罗里达大西洋大学）；University of Pittsburgh at Johnstown（匹兹堡大学约翰斯顿分校）；San Jose State University（圣何塞州立大学）
研究一种名为Halve Nim的Nim变体，允许将一堆硬币替换为其一半数量，确定了所有两堆游戏的P-位置，以及一堆不超过十枚硬币的所有三堆游戏的P-位置。
2026-06-29 math.CO
A random variant of the game of plates and olives
盘子和橄榄的游戏最初是由尼古拉斯库提出的，并对莫尔斯函数子级集的拓扑结构的演变进行了编码。我们考虑这个博弈的一个随机变量。该过程从一个空表开始。有四种不同类型的移动：（1）在桌子上添加一个新盘子，（2）将两个盘子和它们的橄榄合并到一个盘子上，从桌子上删除第二个盘子，（3）在盘子上添加一个橄榄，（4）从盘子中删除一个橄榄。我们表明，橄榄的数量是线性的移动的总数达到无穷大的概率很高。此外，我们证明了橄榄的数量集中在其期望。
2018-03-27 math.CO
A Variant of Game of Sliding Coins
本文提出了滑动硬币博弈的一个变体，引入了向左推硬币的新操作，成功推导出 Grundy 数公式，并通过将两个平凡博弈相加构建出有意义的博弈，从而得出必胜策略。
2025-04-25 math.CO
Sneaky Angel and Devil Game
在本文中，我们介绍了一个不完美的信息变体的天使和魔鬼的游戏，这是首次介绍了在1982年由Berlekamp，康威和盖伊。魔鬼玩家在这个游戏中有一个获胜的策略，但他们提出的主要问题是，如果天使玩家被允许对每一个魔鬼进行两次移动，这种策略是否会改变。这个游戏和许多其他的变体都被考虑过，最初的问题直到2007年才得到解决，当时证明所谓的力量2天使可以获胜。我们的主要定理，定理4，是魔鬼玩家赢得了不完美信息的游戏变体。这概括了在原始的天使与魔鬼游戏中，魔鬼玩家具有获胜策略的结果。
2021-10-11 math.CO
Cops and Robbers: A $\times$-homotopy Invariant Variant
本文引入了'狡猾主动警探与罪犯'变体游戏，证明在反射图中该游戏等同于经典游戏，并展示图的警探数在×-同调等价下保持不变。
2026-03-13 math.CO
Comply subtraction games avoiding arithmetic progressions
公平减法游戏的非负整数已经研究了许多和详细讨论，例如显着的工作赢得方式康威，Berlekamp和盖伊。我们描述如何遵守这些游戏的变化，类似于那些介绍了Holshouser，Reiter，史密斯，Stennician，可以被定义为有其套的获胜位置相同的知名集避免等差数列，如$x+z=2y$，研究了Szerkeres，Erd \H OS和图兰，以及许多其他人，从而探索一个新的领域相结合的想法从组合游戏和组合数论。我们所考虑的集合是贪婪的，也就是说，在我们的例子中：递归地将一个新的非负整数包含到集合中，当且仅当它不与较小的项形成一个三项等差数列。众所周知，这样得到的集合等价于下面的对数线性时间闭表达式：每个获胜位置只包含基数为3的扩展中的数字0和1。事实上，这一套是不可能的一套获胜的立场，一个经典的减法游戏，在某种意义上介绍了最近由杜尚和里戈。因此，我们的减法游戏的服从规则的推广可以被看作是解决新的集合类作为堆游戏的获胜位置。在这方面的$\star$ -运营商不变减法游戏介绍了拉尔森，Hegarty和Fraenkel。我们为我们的游戏定义了一个类似的操作符。我们的服从博弈可以推广到几个维度。在二维空间中，获胜的位置可以用某些贪婪的排列来表示，这些排列避免了等差数列，其中之一是最近由Hegarty引入的;而其他的排列则推广了经典的组合游戏，如Nim和Wythoff Nim。
2012-09-10 math.CO math.NT
Variants of the Gale-Berlekamp Switching Game and their Solutions: Balancing the Rectangle and the Cube
Gale-Berlekamp灯切换游戏是在一个正方形的灯板上进行的。每个灯都有两种状态，开或关。每一行和每一列都有一个开关。转动此开关将改变该行或列上所有灯的状态。游戏的目的是最大限度地减少棋盘上的不平衡，定义为打开的灯和关闭的灯之间的绝对差异。我们研究了一个$m \times n$矩阵与n偶和$m \le n$的游戏的变体。给出了一个构造性的证明，证明了对于任意的$m \times n$矩形矩阵$A$，存在$x \in (\pm 1)^n$和$y \in (\pm 1)^m$，使得$|yAx| \le 2$ .即列和行开关，以将不平衡减少到最多$2$，构建一个完整的Python例程来找到这些开关，并针对随机生成的初始板配置测试运行算法。然后，我们将游戏扩展为三维$n \times n \times n$立方体，具有相应的行、列和层开关。我们定义了一个最小阈值$P_n$，使得对于立方体的所有初始状态，不平衡总是可以减少到最多$P_n$。然后，我们提供了一个存在性证明，$P_2 = 2$和$P_4 = 4$。
2021-08-18 math.CO
From Unequal Chance to a Coin Game Dance: Variants of Penney's Game
我们介绍和分析几种变化的彭尼的游戏，旨在找到一个更公平的游戏。
2020-06-19 math.CO math.HO
When will (game) wars end?
本文分析纸牌游戏“战争”的多种渐近变体，证明当牌数为$n$时其期望终止时间均为$n^2$量级，与经典“赌徒破产”过程一致。
2024-02-29 math.CO
Walker-Breaker games
我们介绍和分析的步行者断路器游戏，制造商断路器游戏的一个变种，其中制造商被约束到选择边的一个给定的图G中的步行或路径，访问尽可能多的顶点的目标尽可能的底层图。
2014-05-07 math.CO
Partisan Combinatorial Game of Edge and Vertex Removal on Graphs
我们考虑三个变种的两个球员之间的党派组合游戏，左和右，发挥无向单图。“左”能够删除顶点（和关联边），而“右”能够删除边。这个类似的公平游戏的自然扩张通过允许一个玩家在另一个玩家不能的小的子图上玩的能力而给了一个玩家明显的优势。我们的最后一个变体通过假设一个移动对一个玩家有效当且仅当另一个玩家在同一个图上有一个有效的移动来消除这个优势。在这种情况下，我们表明，删除顶点的能力是更有利的删除边缘相比。
2021-01-05 math.CO
Games of Nim with Dynamic Restrictions
本文研究两种带动态限制的尼姆游戏变体，分别针对回合相关的移除上限函数和两类不同重量石子的半重量限制，给出了上一玩家获胜位置的公式。
2023-11-30 math.CO
Some extensions of Delete Nim
Nim是一个众所周知的组合游戏，有几个变体，例如，删除Nim和变体删除Nim。在变体删除尼姆中，玩家删除两堆石头中的一堆，并在他/她的回合中分裂另一堆。在本文中，我们讨论了广义的变体删除Nim，它将石头堆的数量概括为三个或更多，除一之外的全部删除Nim，半删除Nim，不超过半删除Nim和单删除Nim。我们研究了这些博弈的输赢条件。
2023-01-30 math.CO
Stotting in positional games
TU Freiberg（弗莱贝格工业大学）；Université Claude Bernard Lyon 1（里昂第一大学）
引入Maker-Breaker和Waiter-Client游戏的变体“stotting”，其中玩家给予对手微小优势，并证明在stotting变体中的获胜策略能导出经典设置中Maker和Waiter的获胜策略，从而修复Beck的猜想。
2026-05-28 math.CO
A Path Variant of the Explorer Director Game on Graphs
The Cooper Union（库珀联盟大学）
本文研究了图上的探索者-导演游戏变种，分析了f_d(G,v)和f_p(G,v)之间的差异，证明了两者可以相差任意大的n。
2026-03-10 math.CO
Graph labeling games
本文提出研究两人图标记博弈的多种新变体，并指出该领域目前几乎空白，为后续研究开辟方向。
2016-09-10 math.CO
A Winning Strategy for the Game of Antonim
安东尼姆游戏是尼姆游戏的一个变种，增加了一个规则，即堆的大小不允许相同。安东尼姆的三堆制胜策略已经解决了。我们将讨论三堆Antonim的解决方案，并将此理论推广到任意数量的堆。
2015-06-01 math.CO
Ramsey games with giants
Erdos和Renyi在1960年证明的随机图理论中的经典结果涉及随机图过程中巨分支出现的阈值。我们考虑这个问题的一个变种，与拉姆齐风味。现在，到达轮序列中的每个随机边必须用R种颜色之一着色。目标可以是在每个颜色类中创建一个巨大的组件，或者在每个颜色中避免它。可以分析此问题的离线或在线设置。在本文中，我们考虑所有这些变量，并提供非平凡的上限和下界，在某些情况下（如在线回避），得到的界限是渐近紧。
2009-08-18 math.CO
Investigations of Impartial Games With a Pass
对组合游戏尼姆及其变体的研究是丰富多样的，但对游戏尼姆与通行证知之甚少。这是尼姆，但每局一次，玩家被允许跳过他们的回合，但这只能在一个非空的堆剩余。在本文中，我们定义了一个新的二元运算的游戏，我们使用它来证明新的性质Nim与通行证，以及游戏是它的推广。最重要的是，我们取得了小的进展，找到$\mathcal{P}$ -位置和最优策略的游戏。
2020-10-20 math.CO
The Combinatorial Game Theory of Rex+
Dalhousie University（达尔豪斯大学）
本文研究了Hex变体游戏Rex+的组合博弈论，通过引入新序关系并给出初步结果，分析了玩家轮流放置任意数量己方棋子以迫使对方连接两边的策略。
2026-06-01 math.CO
Hardness of some variants of the graph coloring game
最近，Bodlaender在1991年提出的一个长期悬而未决的问题得到了回答：图着色游戏是PSPACE完全的。2019年，Andres和Lock提出了图着色游戏的五种变体，并留下了与之相关的PSPACE硬度问题。在本文中，我们证明了这些变种是PSPACE完全的图着色游戏，也为贪婪着色游戏，即使颜色的数量是色数。最后，我们还证明了Charpentier等人在2019年提出的图着色游戏的连通版本是PSPACE完全的。
2019-11-23 cs.CC cs.DM math.CO
Padlock Solitaire: A martingale trick for combinatorial enumeration
我们介绍一个人的游戏，我们称之为挂锁接龙，类似于著名的时钟纸牌游戏。分析这个游戏的变种，我们得到一些经典的组合学结果，包括选票定理和枚举的各种图和超图的生成树的简单证明。
2020-08-29 math.CO
On the Nature and Complexity of an Impartial Two-Player Variant of the Game Lights-Out
本文研究了 Lights-Out 的双人公平博弈变体，目标是在简单图上做出最后一步合法移动，并利用递归算法计算了该游戏在 2 x n 网格图和部分广义 Petersen 图上的 Nimbers。
2024-11-12 cs.CC math.CO
Tipsy cop and drunken robber: a variant of the cop and robber game on graphs
在YouTube视频\url{ https://www.youtube.com/watch?v=Z_mXDvZQ6dU}中，一个中性粒细胞追逐一个随机方向移动的细菌细胞，受此生物学场景的启发，我们在图上展示了一个警察和强盗游戏的变体，称为醉酒警察和醉酒强盗游戏。在这个游戏中，我们把一个喝醉的警察和一个喝醉的强盗放在一个有限连通图$G$的不同顶点上。游戏由独立的动作组成，强盗从他开始的地方移动到相邻的顶点开始游戏，然后警察从她开始的地方移动到相邻的顶点。由于抢劫犯喝醉了，他在图上进行随机游动，而警察喝醉了意味着她的动作有时是随机的，有时是故意的。我们的主要结果给出了在完全图、完全二部图和圈图等高度对称图上，这个博弈经过$m$移动后，抢劫者仍然没有被抓获的概率公式.我们还给出了这些家庭的图之间的警察和强盗的预期相遇时间。最后，我们提出了一种计算这种概率的一般方法，并详细介绍了未来研究的各种方向。
2020-04-01 cs.DM math.CO
On the Complexity of the Misère Version of Three Games Played on Graphs
我们调查的复杂性，找到一个获胜的策略的misère版本的三个游戏上玩的图：两个变种的游戏$\text{NimG}$，介绍了Stockmann在2004年和游戏$\text{Vertex Geography}$的有向和无向图。我们表明，在一般的图，这三个游戏是$\text{PSPACE}$ -硬或完成。对于$\text{NimG}$的一个$\text{PSPACE}$-Hard变体，当$G$是二分图时，我们找到了一个计算有效的时间获胜策略的算法$\mathcal{O}(\sqrt{|V(G)|}.|E(G)|)$.
2015-05-03 cs.DM math.CO
The Normal Play of the Domination Game
本文首次研究控制博弈的正常玩法，证明其在直径为2的图中是PSPACE完全的，利用Sprague-Grundy理论给出了路径与环的胜负条件，并提出了判定路径与环不相交并集胜者的多项式时间算法。
2025-08-12 cs.DM math.CO
A Purely Geometric Variant of the Gale-Berlekamp Switching Game
本文研究 Gale-Berlekamp 切换博弈的平面点集几何变体，证明可通过选择经过至少两点的直线翻转权重符号，使总权重至少达到 n-o(n) 或 n/3，并给出多项式时间算法。
2025-08-18 cs.CG math.CO
On the Computational Complexities of Various Geography Variants
广义地理学是一个在有向图上进行的组合游戏。玩家轮流将一个代币从一个顶点移动到另一个顶点，将代币从一个顶点移开后删除该顶点。无法移动的玩家输。众所周知，在广义地理学中，从给定的位置决定哪个玩家应该获胜的计算复杂性是PSPACE完全的。我们介绍了几个规则的变种，广义地理，我们探讨了计算复杂性，确定赢家的位置，许多由此产生的游戏。在我们的研究结果是一个证明，确定在文献中称为无向游击队地理游戏的赢家是PSPACE完全的，即使被限制在一个二分图。
2021-08-20 cs.CC math.CO
Discrete and Continuous Caching Games
本文研究多重缓存博弈的值与取等条件，分析其离散变体并回答 Pálvölgyi 的问题，同时基于 Alpern 缓存博弈定义并考察连续变体。
2025-08-30 math.CO math.OC
Total Game Coloring of Graphs
考虑了著名的图着色对策的全变式。本文给出了几类图的全对策色数的精确值，并给出了先局者获胜的策略。并给出了对策的总色数与对策的色指数之间的关系。
2012-10-29 cs.DM math.CO
Query Complexity of Mastermind Variants
我们研究的变体的主谋，一个流行的棋盘游戏，其目标是序列重建。在这种二人游戏中，所谓的\textit{codemaker}构造从字母表$\mathcal{A} = \{1,2,\ldots, k\}$中选择的颜色的隐藏序列$H = (h_1, h_2, \ldots, h_n)$（对于所有$i\in\{1,2,\ldots, n\}$，\textit{i.e.,} $h_i\in\mathcal{A}$）。然后游戏依次进行，每个部分由两部分组成：依次是$t$，第二个玩家（\textit{codebreaker}）首先提交一个查询序列$Q_t = (q_1, q_2, \ldots, q_n)$，其中所有$i$都有$q_i\in \mathcal{A}$，第二个玩家收到反馈$Δ(Q_t, H)$，其中$Δ$是两个序列之间的距离的某个商定函数，其中$n$是两个序列之间的距离。当$Q_t = H$出现时，游戏结束，而密码破译者会尽可能地在最少的回合内结束游戏。在整个过程中，我们让$f(n,k)$表示最小的整数，使得密码破译器可以确定$f(n,k)$轮次中的任何$H$。我们证明了三个主要结果：首先，当$H$是已知的$\{1,2,\ldots, n\}$的置换，我们证明了$f(n, n)\ge n - \log\log n$对所有足够大的$n$。第二，我们表明，克努特的Minimax算法识别任…
2017-09-26 cs.DM math.CO
Game-theoretic Interpretation of Intuitionistic Type Theory
我们提出了一个游戏语义的直觉类型论。具体而言，我们提出了类别与家庭的一个新的变种的游戏和战略的外延和内涵的变种的类型论与依赖功能，依赖对，身份类型以及宇宙。我们的游戏和策略概括了现有的游戏和策略的概念，并以直观的方式实现了对依赖类型和宇宙层次的解释。我们相信，这是一个重要的一步，计算和内涵的解释类型论。
2016-10-03 cs.DM cs.LO math.CO
