Extended circular nim
Toyo University（东洋大学）；Waseda University（早稻田大学）；Osaka Metropolitan University（大阪公立大学）
本文研究了扩展圆形尼姆游戏，提出了一种新的游戏规则，并给出了堆数不超过八时的获胜策略判定公式。
2026-01-31 math.CO
Slow $k$-Nim
给定$n$牌堆和一个正整数$k \leq n$，我们研究了以下两个公平组合博弈Nim $^1_{n, \leq k}$和Nim $^1_{n, =k}$ .在第一个（resp。第二）游戏，玩家通过一步棋选择至少$1$和至多（分别地）$1$和$1$。精确地）$k$非空堆，并从这些堆中的每一个中移除一个令牌。对于每个游戏的正常和misère版本，我们计算$n = k = 2$和$n = k+1 = 3$情况下的Sprague-Grundy函数。对于博弈Nim $^1_{n, \leq k}$，我们也刻画了它在$n \leq k+2$和$n = k+3 \leq 6$情形下的P-位置。
2015-08-24 math.CO
Wythoff's Nim with Finite Alterations
本文研究威佐夫尼姆游戏在任意有限个位置被指定为P或N位置后的改动形式，证明改动后游戏的P位置集合与平移后的标准威佐夫游戏高度相似，且重叠比例随堆规模增大趋近于1。
2024-08-07 math.CO
Digraph Yama Nim
本文研究两堆Nim变体Yama Nim的获胜策略与SG值，提出其推广形式Digraph Yama Nim，证明该推广游戏的胜者判定问题即使在二分有向无环图下仍是PSPACE完全的，同时给出了部分可解情形。
2025-10-03 math.CO
On the Sprague-Grundy function of Exact $k$-Nim
摩尔对{\sc Nim}游戏的推广如下。令$n$和$k$是两个整数，使得$1 \leq k \leq n$。给定$n$堆代币，两个玩家交替移动，从至少一个且至多$k$堆中移除代币。走到最后一步的玩家获胜。Moore在1910年解决了这个博弈，Jenkyns和Mayberry在1980年给出了一个Sprague-Grundy函数的显式公式，但仅适用于$n = k+1$。我们引入{\sc Nim}的另一个推广，称为{\sc精确$k$-Nim}，其中每次移动都精确地减少$k$堆。在$2k \geq n$情形下，我们给出了{\sc Exact $k$-Nim}的Sprague-Grundy函数的一个显式公式.在$n=2k$的情况下，我们的公式与Jenkyns和Mayberry的公式惊人地相似。
2017-01-17 math.CO
Josephus Nim
本文研究一种两堆尼姆变体，揭示其先手必败局面与约瑟夫斯问题最后剩余编号之间的对应关系，并推广到格伦迪数与删除编号的关联。
2023-12-05 math.CO
Sharing Nim and Enumeration of Nim Characteristics
在本文中，我们介绍并研究了尼姆（共享尼姆）游戏的一个变体，玩家可以从一堆中删除或转移对象到另一堆。唯一的限制是，玩家不能将物体从一堆较大的尺寸转移到一堆较小的尺寸。我们还发现了新的方法来枚举Nim和共享Nim的特性，包括零Nim位置的数量。
2020-08-03 cs.GT math.CO
How far can Nim in disguise be stretched?
尼姆游戏中的一步棋是从一堆代币中取出任意正数的代币。假设我们增加了从所有的牌堆中共同取出非负数的牌的移动类。完整地回答了在不改变nim获胜策略的前提下，类中哪些步可以加入的问题。结果适用于其他组合游戏无界Sprague-Grundy函数值。我们制定了两个削弱的条件的概念nim-sum 0证明的结果。
1998-09-16 math.CO
Nim Fractals
我们用两种不同的方式来列举尼姆博弈中的P-位置。在一系列的序列中，我们通过一堆中计数器的最大数量来枚举它们。在另一系列序列中，我们通过计数器的总数来枚举它们。我们表明，尼姆的游戏可以被看作是一个元胞自动机，计数器的总数除以2可以被认为是一个世代，其中P-位置出生。我们证明了计数器总数计数的三堆Nim序列是一个著名的基于Ulam-Warburton元胞自动机的牙签序列。我们介绍了10个新的序列。
2014-05-23 math.CO
More about Exact Slow $k$-Nim
给定$n$堆代币和正整数$k \leq n$，游戏Nim $^1_{n, =k}$的精确慢$k$ -Nim如下进行。两名球员交替移动。在每一步中，一名玩家准确地选择$k$非空堆，并从每个堆中移除一个代币。轮到该走棋但没有走棋的玩家输（如果玩的是正常版本的游戏，如果玩的是悲惨版本的游戏则赢）。在Integers 20（2020）1-19中，Gurvich等人给出了Nim $^1_{4, =2}$的Sprague-Grundy函数的显式公式，包括其正常和misére版本。在这里，我们推广了这个结果，并获得了一个显式的P-位置的正常版本的Nim $^1_{5, =2}$和Nim $^1_{6, =2}$。
2021-02-06 math.CO
A Variant $β$-Wythoff Nim on Beatty's Theorem
我们给出了两堆外卖游戏的简短规则，满足一对互补的同质Beatty序列连同$(0,0)$一起构成一个完整的$P$ -位置集。
2011-03-18 math.CO
Restricted Nim with a Pass
本文研究了带通行证的限制Nim。在本研究中考虑的限制性尼姆游戏中，两个游戏者轮流从石头堆中取出石头。在每个回合中，当石头的数量为m时，每个玩家被允许从m个石头堆中移除至少一个石头，并且最多移除m/2个石头的天花板。游戏的标准规则被修改为允许一次性传球，即在游戏中最多只能使用一次传球，而不是从终端位置。一旦一个传球被任何一个球员使用，它就不再可用。众所周知，在经典的尼姆游戏中，传球的引入改变了游戏的基本结构，显著增加了游戏的复杂性。在这项研究中考虑的限制尼姆，传球移动被发现有一个最小的影响。限制尼姆的格伦迪数和有通行证的限制尼姆的格伦迪数之间有一个简单的关系，其中桩的数目可以是任何自然数。因此，作者解决了组合对策论中一个长期存在的悬而未决的问题：在游戏中引入传球会在多大程度上影响其行为。我们开发的游戏似乎是Nim的第一个变体，当不允许传球时完全可解，并且在引入传球移动后仍然完全可解。
2022-05-24 math.CO
On Remoteness Functions of Exact Slow $k$-NIM with $k+1$ Piles
本文研究具有k+1堆的精确慢速k-NIM（其中2 ≤ k = n-1），计算Smith遥远度函数以确定P-位置，并证明保留最大奇数堆或最小偶数堆并减少其余堆的简单策略对双方均最优。
2023-04-13 math.CO
NIM with Cash: A Concrete Approach
设A是自然数的有限子集，n是自然数。设NIM（A; n）是两个玩家的游戏，其中玩家交替从一堆$n$石头中移除$a\in A$石头;第一个不能移动的玩家输了。这个游戏已经被彻底研究过了。我们讨论NIM的一个变体，其中参与人1和参与人2分别以d和e美元开始。当一个玩家从一堆石头中取出一颗石头时，他会失去一美元。第一个不能移动的玩家输了，但这现在可以发生在两个原因：（1）剩余的石头数量小于min（A），（2）玩家有小于min（A）美元。这场比赛导致更有趣的胜利条件比常规NIM。我们研究这个游戏的一般性质。然后，我们得到并证明了集合A={1，L}和$A={1，L，L+1}的获胜条件。
2019-11-02 math.CO
Partizan Serial Nim
本文提出对抗串行尼姆（PARTIZAN-SERIAL-NIM）规则集，证明其局面结果在m≥2时不依赖于m，给出O(n²)与O(n)时间的结果计算算法，且证明其局面原子权重为整数。
2026-08-31 math.CO
On the Sprague-Grundy Function of Tetris Extensions of Proper {\sc Nim}
给定一个在基集$I = \{1, \ldots, n\}$上的超图$\cH \subseteq 2^I \setminus \{\emptyset\}$，我们给每个$i \in I$分配一个非负整数$x_i$，也就是一堆$x_i$记号，并考虑经典游戏{ \sc Nim}的以下推广：两个玩家轮流。在一步棋中，牌手选择任意一条边$H \in \cH$并减少所有的牌$i \in H$。走完步的玩家输了。我们称所得到的游戏超图为{ \sc Nim}。当$\cH=2^I \setminus\{I,\emptyset\}$是$I$的所有真子集的族时，这样的博弈被称为真{ \sc Nim}。Jenkyns和Mayberry \cite{JM80}描述了这些游戏的Sprague-Grundy（简称SG）功能。本文引入了超图{ \sc Nim}的Tetris扩张，得到了当$n\geq 3$ .令人惊讶的是，$n=2$的情况要复杂得多。对于这种情况，我们只给出几个部分结果和图解。
2018-03-30 math.CO
A Generalized Diagonal Wythoff Nim
在本文中，我们研究了一族2-堆拿走游戏，我们表示为广义对角Wythoff Nim（GDWN）。故事开始于2桩Nim，其选项集和$P$ -位置分别为$\{\{0,t\}\mid t\in \N\}$和$\{(t,t)\mid t\in \M \}$。如果我们把2堆尼姆加入主- \emph{diagonal} $\{(t,t)\mid t\in \N\}$作为选项，新的游戏是Wythoff尼姆。众所周知，$P$ -这个游戏的位置位于两个'梁'，起源于原点，斜率为$Φ= \frac{1+\sqrt{5}}{2}>1$和$\frac{1}Φ < 1$。因此，我们可以这样想，在从尼姆到威索夫尼姆的过程中，$P$ -位置的集合有\emph{split}，并且落在离主对角线一定距离的地方。这种几何观察促使我们提出下面这个直观的问题。如果我们在Wythoff Nim的博弈中加入一些新的\emph{generalized diagonal}移动，也就是$\{pt, qt\}$形式的移动，其中$0 < p < q$是固定的正整数，而$t > 0$是固定的正整数，那么$P$ -位置集合的这种分裂是否以某种有意义的方式继续下去？答案可能取决于$p$和$q$的具体值吗？我们陈述了三个最弱形式的命题：$\lim_{t\in \N}\frac{b_t}{a_t}$存在，并且等于$Φ$，当且仅当$(p, q)$是…
2010-04-29 math.CO
$(1,2)$-GDWN splits
我们研究了2个无序堆的令牌$(x,y)$的有限非负数的公平拿走游戏。两个玩家根据一定的规则交替从各自的堆中取出至少一个和最多所有的代币，并且当玩家反过来无法移动时游戏终止。我们遵循正常的游戏规则，这意味着不能移动的玩家输了。在Wythoff Nim游戏中，玩家可以从其中一堆中取出任意数量的代币，或者从两堆中取出相同数量的代币。令$ϕ= \frac{1+\sqrt{5}}{2}$和对于所有非负整数$n$，$A_n=\lfloorϕn \rfloor$和$B_n=A_n+n$。Wythoff Nim的P-位置是分别具有$A_n$和$B_n$令牌的所有桩对。我们研究了一个概括的这个游戏称为PDMATHAMT，其中，除了Wythoff尼姆的规则，玩家可以选择从其中一个桩中删除一个积极的令牌数量，并从另一个桩中删除该数量的两倍。我们证明了对于给定的实数$α>1$和$ε> 0$，存在一个无穷扇区$α\le y/x \le α+ε$，其中每个$(x,y)$是一个N-位置，但是对于$1\le y/x <α$和$α+ε< y/x $，存在无穷多个P-位置.这证明了最近一篇论文中的一个猜想。也就是说，邻接的集合在$(1,2)\G$ \emph{splits}中移动Wythoff Nim的斜率$ϕ$ P-位置的梁。我们还提供了一个下界上的较低的渐近密度较低的堆高度的P-位置的Wythoff尼姆的扩展。设…
2012-06-20 math.CO
The Arithmetic-Periodicity of \textsc{cut} for $\mathcal{C}=\{1,2c\}$
\textsc{cut}是一类在有限数量的有限堆令牌上进行的划分游戏。\textsc{cut}的每个版本都由割集$\mathcal{C}\subseteq\mathbb{N}$指定。合法移动包括选择一个桩并将其划分为$d+1$非空桩，其中$d\in\mathcal{C}$。没有代币从游戏中移除。结果表明，任何具有$c\geq 2$的$\mathcal{C}=\{1,2c\}$的nim集都是算术周期的，这回答了\cite{par}的一个公开问题。关键的一步是证明$\mathcal{C}=\{1,6\}$的\textsc{cut}的nim-集和$\mathcal{C}=\{1,2c\}, c\geq 4$的\textsc{cut}的nim-集之间存在对应关系。该结果很容易推广到$\mathcal{C} = \{1, 2c_1, 2c_2, 2c_3, ...\}$的情况，其中$c_1,c_2, ... \geq 2$。
2022-03-04 math.CO
Scoring Nim
Graduate School of Humanities and Sciences, Nara Women’s University（奈良女子大学人文科学研究科）；Division of Natural Sciences, Nara Women’s University（奈良女子大学自然科学部）
本文提出一种具有评分机制的尼姆变种，扩展了传统尼姆游戏的两种玩法，并分析了其理论属性和基本策略。
2026-03-08 math.CO
Sprague-Grundy Function of Matroids and Related Hypergraphs
我们考虑一个推广的经典游戏$NIM$称为超图$NIM$。给定一个在$n$石头堆的地面集合$V = \{1, \ldots, n\}$上的超图$\cH$，两个玩家交替选择一个超边$H \in \cH$和严格减少所有堆$i\in H$。走到最后一步的玩家就是赢家。本文对几类超图给出了描述超图$NIM$的Sprague-Grundy函数的显式公式。特别是我们刻画了所有的$2$ -一致超图（即图）和所有拟阵的公式工程。我们证明了所有的自对偶拟阵都包含在这个类中。
2019-03-19 math.CO
On the Sprague-Grundy function of compound games
经典的{ \sc Nim}游戏可以自然地扩展到任意的超图$\cH \subseteq 2^V \setminus \{\emptyset\}$上，其顶点$V = \{1, \ldots, n\}$对应于一堆石头。通过一次移动，玩家选择$\cH$的边$H$，并任意减少所有的桩$i \in H$。在1901年布顿解决了经典的{ \sc尼姆}为其中$\cH = \{\{1\}, \ldots, \{n\}\}$。在1910年摩尔介绍并解决了一个更一般的游戏$k$ -{ \sc尼姆}，其中$\cH = \{H \subseteq V \mid |H| \leq k\}$，其中$1 \leq k < n$。在1980年，Jenkyns和Mayberry得到了摩尔{ \sc Nim}在$k+1 = n$情形下的Sprague-Grundy函数的显式公式。最近的研究表明，同样的公式适用于一大类超图。本文研究了这类超图的组合性质，得到了相应超图{ \sc Nim}对策的合取复合和选择复合的Sprague-Grundy函数的显式表达式.
2019-03-19 math.CO
Blocking Wythoff Nim
Wythoff Nim的2人公平游戏在两堆代币上进行。移动包括从其中一堆中删除任何数量的代币，或者从两堆中删除相同数量的代币。获胜者是移除最后一个代币的玩家。我们研究这个游戏的封锁策略，也就是说，对于每一个移动，下一个球员移动之前，前一个球员可以宣布最多一个预定的数量，$k - 1 \ge 0$，禁止的选项。当下一个玩家移动时，任何阻挡动作都会被遗忘，对游戏没有任何进一步的影响。我们解决了这个游戏的$k = 2$和$k = 3$的获胜策略，并支持计算机模拟，状态的渐近“行为”的$P$ -位置为各自的游戏时，$4 \le k \le 20$。
2010-10-27 math.CO math.NT
Nim on hypercubes
普通Nim博弈在组合对策论领域有着悠久的历史。尼姆的普通博弈的解已经知道很多年了，并适用于许多其他的组合博弈的解。尼姆被扩展到图，取一个固定的图，在给定的顶点上有一个棋子，并将正整数权重分配给对应于尼姆普通游戏中的一堆石头的边。玩家交替地从游戏棋子穿过事件边缘，在移动时从边缘移除重量。本文在单位权情形下完全解决了超立方体上的Nim问题。我们简要地讨论了任意权的情况下，其关系到已知的结果。
2012-08-27 math.CO
$\mathcal{P}$ Play in Candy Nim
糖果尼姆（Candy Nim）是尼姆的一个变种，游戏中两名玩家都要在尼姆的游戏中拿走最后一颗糖果，同时增加了一个次要目标，即尽可能多地拿走糖果。我们给出了第一个和第二个玩家在3堆$\mathcal{P}$位置上获得的糖果数量的界限，以及可证明为此类游戏的某些家族的最优策略。我们还展示了如何构建一个游戏的$N$糖果，使失败者采取最大可能数量的糖果和绑定的糖果数量的赢家可以采取在任意$\mathcal{P}$位置与$N$总糖果。
2018-05-18 math.CO
Ryuo Nim: A Variant of the classical game of Wythoff Nim
作者介绍了广义的尼姆龙生的公平博弈，这是经典的尼姆威托夫博弈的一个变体。在后一种游戏中，两名玩家轮流在大棋盘上移动一个皇后，试图成为第一个将她放在左上角位置$(0,0)$的玩家。对于给定的自然数$p$，我们使用广义的Ryanō，而不是Wythoff Nim中使用的皇后。$p$的广义Ryanho可以水平和垂直移动，只要你想。它也可以从$(x,y)$对角移动到$(x-s,y-t)$，其中$s,t$是非负整数，使得$1 \leq s \leq x, 1 \leq t \leq y \textit{and} s+t \leq p-1$ .当$p$是$3$时，$p$的广义Ryanyo是Ryanyo，即，日本国际象棋的一种升级的棋类。在西洋象棋中，良王结合了车和王的力量。广义的$p$的龙生尼姆在数学上与两堆计数器的尼姆相同，其中玩家可以从任何一堆中取任何数字，并且玩家也可以同时从其中一堆中删除$s$计数器和从另一堆中删除$t$计数器，其中$s+t \leq p-1$和$p$是给定的自然数。$p$的广义龙生Nim的Grundy数由$\bmod(x+y,p) + p(\lfloor \frac{x}{p} \rfloor \oplus \lfloor \frac{y}{p}\rfloor)$给出。作者还研究了$p$的广义Ryanshao Nim与一个通过移动。没有传球移动的$p$的广义龙生尼姆有简…
2017-11-04 math.CO
On remoteness functions of k-NIM with k+1 piles in normal and in misère versions
本文研究了$k+1$堆$k$-NIM游戏的常规版与逆向版，针对$k=n-1$的情况提出了确定Smith remoteness函数的简单显式规则，并给出了适用于逆向版的例外情况分类及显式公式。
2023-11-22 math.CO
Investigations of Impartial Games With a Pass
对组合游戏尼姆及其变体的研究是丰富多样的，但对游戏尼姆与通行证知之甚少。这是尼姆，但每局一次，玩家被允许跳过他们的回合，但这只能在一个非空的堆剩余。在本文中，我们定义了一个新的二元运算的游戏，我们使用它来证明新的性质Nim与通行证，以及游戏是它的推广。最重要的是，我们取得了小的进展，找到$\mathcal{P}$ -位置和最优策略的游戏。
2020-10-20 math.CO
Tetris Hypergraphs and Combinations of Impartial Games
Sprague-Grundy（SG）理论将公平博弈的和归结为经典的$NIM$博弈。本文推广了和的概念，并引入了$\cH$ -任意超图$\cH$的公平对策组合.特别是，我们介绍了游戏$NIM_\cH$，这是$\cH$ -单桩$NIM$游戏的组合。一个公平的游戏被称为SG减少，如果它的SG值减少的每一步。推广SG理论，将SG减对策的$\cH$ -组合约化为$NIM_\cH$ .如果$NIM_\cH$是SG递减的，我们称$\cH$为Tetris超图。给出了超图是俄罗斯方块的几个必要条件和几个充分条件。
2017-01-11 math.CO
Sprague-Grundy Function of Symmetric Hypergraphs
我们考虑一个推广的经典游戏$NIM$称为超图$NIM$。给定一个在$n$石头堆的地面集合$V = \{1, \ldots, n\}$上的超图$\cH$，两个玩家交替选择一个超边$H \in \cH$和严格减少所有堆$i\in H$。走到最后一步的玩家就是赢家。最近的研究表明，对于许多超图类，相应对策的Sprague-Grundy函数由最初由Jenkyns和Mayberry（1980）引入的公式给出。在本文中，我们刻画对称超图的Sprague-Grundy函数由相同的公式描述。
2018-04-01 math.CO
Two Dimensional Subtraction -- Transfer Games
Rutgers University（罗格斯大学）；Mahidol University International College（玛希隆大学国际学院）
本文推广了Tamás Lengyel的结果与猜想，证明了一类二维减法-转移游戏的nim值具有周期性，并计算了多种情况下的精确周期，同时提出了新的周期性概念。
2026-05-22 math.CO
The $\star$-operator and Invariant Subtraction Games
我们研究2人公平游戏，即所谓的\emph{invariant subtraction games}，给定一组允许的移动，玩家轮流将大棋盘上的一颗棋子移向位置$\boldsymbol 0$。在这里，不变性意味着每个允许的移动在整个棋盘中都是可用的。然后我们定义一个新的博弈，旧博弈的$\star$，通过把除了$\boldsymbol 0$之外的$P$ -位置作为新博弈中的移动。一个这样的游戏是$\W^\star=$（Wythoff Nim）$^\star$，其中移动由具有无理模的互补贝蒂序列定义。本文给出了$\W^\star$的无穷多个$P$ -位置的多项式时间算法. $\star$的重复应用结果是为不变减法游戏的某个子类提供了特别好的性质，\emph{permutation games}，我们在这里介绍。我们还介绍了\emph{ornament games}家族，其$P$ -位置定义了具有有理模的互补Beatty序列-因此与A有关。S. Fraenkel的'变种'老鼠和老鼠游戏-并给出了封闭的形式为这样的游戏的举动。我们还证明了（$k$ -pile Nim）$^{\star\star}$ = $k$ -pile Nim.
2010-09-21 math.CO
Games of Nim with Dynamic Restrictions
本文研究两种带动态限制的尼姆游戏变体，分别针对回合相关的移除上限函数和两类不同重量石子的半重量限制，给出了上一玩家获胜位置的公式。
2023-11-30 math.CO
A Subtraction Nim with a Pass
IEOR, IIT Bombay（印度理工学院孟买分校工业工程与运筹学系）；University of Tuskuba（筑波大学）；Keimei Gakuin Junior and High School（启明学院初中及高中）
本文研究带一次传递规则的减法尼姆游戏，证明其格鲁恩迪数仍满足逆mex性质，且传递规则不影响游戏复杂性。
2026-05-14 math.CO
Generalized Algorithm for Wythoff's Game with Basis Vector $(2^b,2^b)$
Wythoff's Game是Nim的一个变体，玩家可以从每堆石头中取出相同数量的石头，或者进行有效的Nim移动。W. A. Wythoff证明了Wythoff博弈的P-位置集（丢失位置）$C$由$C := \left\{ (\lfloor kϕ\rfloor, \lfloor kϕ^2 \rfloor), (\lfloor kϕ^2 \rfloor, \lfloor kϕ\rfloor) : k \in \mathbb Z_{\geq 0} \right\}$给出。一个开放的Wythoff问题仍然存在，玩家进行有效的尼姆移动或从每堆中删除$kb$石头，其中$b$是一个固定的整数。我们将其表示为$(b,b)$博弈。例如，常规的Wythoff游戏只是$(1,1)$游戏。在2009年，杜赫${ê}$ ne和Gravier证明了一种算法，通过利用两个桩之间的石头模$4$之间的差异的周期性，为$(2,2)$游戏生成P-位置集。我们观察到类似的循环行为的任何$b$，其中$b$是$2$，模$b^2$的权力，并构建一个算法来生成这个游戏的P-位置的集合。让$a$成为$2$的一种力量。我们证明了我们的算法的工作原理，首先表明，它适用于第一个$a^2$条款的$(a,a)$游戏。接下来，我们从$a^2$项构造了$(2a,2a)$博弈的有序多重集，并给出了归纳证明。此外，我们推测，所有的循环游戏需要$a…
2017-02-15 math.CO
3 dimensional Wythoff Nim
本文提出使用三堆石子的 Wythoff Nim 新推广，证明其 P-positions 具有有限差分性质并产生正整数划分，同时猜想其逼近斜率由 5 次代数数描述的半线。
2024-12-24 math.CO math.DS math.NT
Experimental Study of the Game Exact Nim(5, 2)
本文通过理论与计算实验研究 Exact Nim(5,2) 的 P-局面，并探究其与 Moore 尼姆 nim(6,≤2) 已知 P-局面之间的密切关系。
2023-11-30 cs.GT math.CO
Removing $m$ from $m$-pile Divisor Nim
本文证明除数尼姆游戏中SG值受最小堆大小约束，改进周期界并推导公共周期，提出两个关于SG上界和周期的猜想。
2026-10-07 cs.DM math.CO
Combinatorial Games with a Pass: A dynamical systems approach
通过将组合博弈视为动力系统，我们能够解决组合对策论中一个长期悬而未决的问题，即引入“传球”移动到博弈中如何影响其行为。我们考虑两个著名的组合游戏，3-堆尼姆和3-行Chomp。在Nim的例子中，我们观察到传球的引入极大地改变了游戏的底层结构，使其变得更加复杂，而对于Chomp，传球移动的影响相对较小。我们展示了如何通过将这些游戏重新描述为可由动态递归关系描述的动力系统来理解这些结果。从这些递归关系中，我们能够识别出这些“传球游戏”和最近引入的一类“一般（扰动）游戏”之间的潜在结构联系。“这种联系，加上（非严格的）数值稳定性分析，使人们能够理解和预测传球对比赛的影响。
2012-04-14 math.CO math.DS
On the Sprague-Grundy values of games with a pass
University of Tsukuba College of Informatics（筑波大学信息学学院）；Keimei Gakuin Junior and Senior High School（启明学园初等部及高等部）；Osaka Metropolitan University（大阪公立大学）；Waseda University（早稻田大学）；Gifu University（岐阜大学）
本文研究带过牌的无偏博弈析取复合，建立 SG 值同态，将满足一步博弈条件的分量复合转化为带过牌的 nim 局面，从而给出必胜策略判定时间上界，并应用于巧克力博弈的 SG 值计算。
2025-11-09 math.CO
