A finite algebra $\bA=\alg{A;\cF}$ is \emph{dualizable} if there exists a discrete topological relational structure $\BA=\alg{A;\cG;\cT}$, compatible with $\cF$, such that the canonical evaluation map $e\_{\bB}\colon \bB\to \Hom( \Hom(\bB,\bA),\BA)$ is an isomorphism for every $\bB$ in the quasivariety generated by $\bA$. Here, $e\_{\bB}$ is defined by $e\_{\bB}(x)(f)=f(x)$ for all $x\in B$ and all $f\in \Hom(\bB,\bA)$.
We prove that, given a finite congruence-modular Abelian algebra $\bA$, the set of all relations compatible with $\bA$, up to a certain arity, \emph{entails} the whole set of all relations compatible with $\bA$. By using a classical compactness result, we infer that $\bA$ is dualizable. Moreover we can choose a dualizing alter-ego with only relations of arity $\le 1+α^3$, where $α$ is the largest exponent of a prime in the prime decomposition of $\card{A}$.
This improves Kearnes and Szendrei result that modules are dualizable, and Bentz and Mayr's result that finite modules with constants are dualizable. This also solves a problem stated by Bentz and Mayr in 2013.
Reflexivity and dualizability in categorified linear algebra
上完全线性范畴$\mathcal C$的“线性对偶”是所有上连续线性函子$\mathcal C \to \mathrm{Vect}$的范畴。我们研究了当一个上完全线性范畴是自反的（等价于它的双重对偶）或可对偶的（与它的对偶的配对伴随着相应的配对）。我们的主要结果是，范畴的余模的可数维余结合余代数总是自反的，但（没有任何维数假设）dualizable当且仅当它有足够的射影，这很少发生。在此过程中，我们证明了栈$X$上的拟相干层范畴$\mathrm{Qcoh}(X)$是不可对偶的，如果$X$是正特征的半单代数群的分类栈，或者如果$X$是包含正维数的闭投射子概型的概型，但是如果$X$是仿射概型与虚线性约化群的商，则是可对偶的。最后，我们证明了具有可数指标偏序集的仿射ind-方案的张量性（一种Tannakian对偶）。
Abelian extensions of five-dimensional solvable Leibniz algebras
V.I.Romanovskiy Institute of Mathematics Uzbekistan Academy of Sciences（乌兹别克斯坦科学院 V.I.罗曼诺夫斯基数学研究所）；National University of Uzbekistan named after Mirzo Ulugbek（米尔佐·乌鲁伯格乌兹别克斯坦国立大学）
在“A note on generalized Clifford algebras and representations”（Caenepeel，S.; Van Oystaeyen，F.，Comm. Algebra 17（1989）no.1，93- 102.）广义Clifford代数是通过Clifford表示引入的;它们对应于有限群（阿贝尔群）的射影表示，比如说$G$，使得相应的扭群环具有最小中心。后者则转化为这样的事实，即相应的2-上循环允许最小（无！）射线类别的数量，并且这迫使以适当的方式将$G$分解为循环分量，参见图10。Zmud，M.，辛几何和有限阿贝尔群的射影表示，（俄文）Mat. Sb.（N.S.）87（129）（1972），3- 17.在这篇小论文中，我将提供一种方法来表示一个阿贝尔群克利福德代数使用一个矩阵，然后给出一种方法来计算是否中心是平凡的。
这是第一个草案的一套讲稿制定了一半的研讨会上的两种方法的概念“阿贝尔”，即那些泛代数，和范畴论。关于泛代数观点的那一半在这里讨论。所有材料均改编自以下来源：1。Congruence Modular Varieties的Commutator Theory，Ralph Freese和Ralph McKenzie。2.同余模代数中的几何方法。3.第一次约会《同余模变体：交换子理论及其应用》（Congruence Modular Varieties：Commutator Theory and Its Uses），拉尔夫·麦肯齐（Ralph McKenzie）和约翰·斯诺（John Snow）著
Abelian complex structures on solvable Lie algebras
利用某些仿射李代数$\frak a \frak f \frak f (A)$得到了允许交换复结构的实李代数的一个特征，其中$A$是一个交换代数.这些仿射李代数是$\frak a \frak f \frak f (\Bbb C)$的自然推广，相应的李群是复仿射流形。证明了所有具有交换复结构的4维李代数都是这类仿射李代数的中心扩张。
Non-Existence of Abelian KS-Algebras in $M_n(\mathbb{C})$ for $n \geq 3$
Institute of Mathematics, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；School of Mathematical Sciences, University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学数学科学学院）
