Index and nullity of a family of harmonic tori in the sphere
Rui Pacheco
本文研究了从双环面到双球面的真空解的$(E)$ -指数和$(E)$ -零性。
In this note we investigate the $(E)$-index and the $(E)$-nullity of vacuum solutions from the two-torus into the two sphere.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Minimal tori with low nullity
极小子流形$M\subset S^{n}$的零度是面积泛函的第二变分的零空间的维度。该空间包含作为子空间的周围空间的刚性运动群$SO(n+1)$的效果，模保持$M$的那些运动，其维数是$M$的Killing零值$kn(M)$。在$S^{3}$中的2维环面$M$的情况下，有一个额外的自然定义的2维子空间;刚性运动和这个空间的作用之和的维数是自然零值$nnt(M)$。本文将研究自然零度小于8的$S^{3}$中的极小环面。我们构建最小的沉浸平面$R^{2}$在$S^{3}$包含所有可能的例子环面与$nnt(M)<8$。我们证明了Lawson和Hsiang的具有$kn(M)=5$的例子也具有$nnt(M)=5$，并且证明了如果有$nnt(M)\le6$，则$M$的等距群不是平凡的.
The Morse Index, Nullity and Jacobi Fields of Constant-Curvature Minimal 2-Spheres in Complex Projective Spaces
该研究确定了高斯曲率为常数的极小浸入S²→ℂPᴺ的Morse指数与法零化度公式，还得到其全测地延拓至ℂPᴺ的对应公式，明确了法Jacobi核的相关性质。
Index and nullity of proper biharmonic maps in spheres
本文研究真双调和映射的第二变分，计算若干已知例子的精确指数与零化度，证明非紧情形下一族映射的紧支集变分严格稳定性，并引入等变变分指数与零化度。
We prove that the Lawson surface $ξ_{g,1}$ in Lawson's original notation, which has genus $g$ and can be viewed as a desingularization of two orthogonal great two-spheres in the round three-sphere ${\mathbb{S}}^3$, has index $2g+3$ and nullity $6$ for any genus $g\ge2$. In particular $ξ_{g,1}$ has no exceptional Jacobi fields, which means that it cannot `flap its wings' at the linearized level and is $C^1$-isolated.
Complete minimal submanifolds with nullity in Euclidean spheres
本文研究了欧氏球面中任意点处相对零度指数至少为$m-2$的$m$维完备极小子流形.这些是哈维和劳森意义上的朴素子流形\cite{harvey}，最初由布莱恩特\cite{br}研究。对于任何维数和余维数，有大量的不完全的例子，充分描述了由Dajczer和Florit \cite{DF2}在一类曲面，称为椭圆，其中椭圆的曲率一定秩序是一个圆的任何一点。在完备性假设下，证明了任何子流形要么是全测地的，要么是三维的。在后一种情况下，有很多例子，甚至是紧凑的例子。在流形上Omori-Yau最大值原理成立的温和假设下，我们给出了欧几里得空间中子流形的局部参数化描述，给出了子流形在$1$ -迷向曲面上的完备刻画.这些是极小曲面，其标准曲率椭圆在任何点都是圆。对于这些曲面，存在一个Weierstrass类型表示，它生成所有的单连通曲面。
Index and nullity of minimal surface doublings, I
本文研究了极圈两球面极小曲面倍增的索引和空度，证明其具有特定的数学性质并展示了其孤立性。
Morse index of constant mean curvature tori of revolution in the 3-sphere
我们计算了三维单位球面中常中曲率回转环面的Morse指数和零度的下界。特别地，所有这样的环面具有至少为5的指数，其中指数相对于表面的凸起的数量至少线性地增长，并且这样的环面的指数可以是任意大的。
Index of Embedded Networks in the Sphere
本文计算了球面中平稳嵌入网络的Morse指标和零度，关键定理将整个网络的指标与小网络及新定义的Dirichlet-to-Neumann映射关联，并证明了$\mathbb{S}^2$中平稳三重结点网络特征值的性质。
We investigate complete minimal submanifolds $f\colon M^3\to\Hy^n$ in hyperbolic space with index of relative nullity at least one at any point. The case when the ambient space is either the Euclidean space or the round sphere was already studied in \cite{dksv1} and \cite{dksv2}, respectively. If the scalar curvature is bounded from below we conclude that the submanifold has to be either totally geodesic or a generalized cone over a complete minimal surface lying in an equidistant submanifold of $\Hy^n$.
The index of cubic focal manifolds
研究等参超曲面在球体中的三次可定向焦点流形的指标和空隙，发现指标等于欧几里得空间维数，空隙由球体 Killing 向量场的正交部分决定。
Index and nullity of minimal surfaces via representation theory
本文提出一种基于表示论的方法，仅利用拓扑与对称群计算嵌入极小曲面的Morse指标与零化度，并应用于自由边界极小曲面及Lawson曲面，结果不依赖具体构造。
The Nullity of a Family of Proper Biharmonic Maps via Elliptic Curves
研究从平坦二维环面到二维球面的一族恰当双调和映射的零度猜想，通过揭示谱几何与算术几何联系，构造椭圆曲线同构转化问题，确定莫德尔 - 韦伊群，证实猜想并得出该族映射零度为5的结论。
In this paper, we investigate geometric conditions for isometric immersions with positive index of relative nullity to be cylinders. There is an abundance of noncylindrical $n$-dimensional minimal submanifolds with index of relative nullity $n-2$, fully described by Dajczer and Florit \cite{DF2} in terms of a certain class of elliptic surfaces. Opposed to this, we prove that nonminimal $n$-dimensional submanifolds in space forms of any codimension are locally cylinders provided that they carry a totally geodesic distribution of rank $n-2\geq2,$ which is contained in the relative nullity distri…
The Morse index of constant curvature 2-spheres
计算了标准N-球面中所有具有常Gauss曲率的浸入极小2-球面的Morse指标和零化度，并给出了以Boruvka球面为链的R^7中结合锥的稳定性指标界。
The second variation of 2-spheres in the 2n-sphere
本文证明了标准2n-球面中线性满的 branched 极小2-球面的 Morse 指标和零化度的尖锐界，并推广到全迷向曲面。
Families of conformal tori of revolution in the 3-sphere
对所有正整数n，我们在有n个凸的三维球面上构造了一个单参数共形旋转环面族。这些环面产生的达布变换恒定的中曲率环面，但没有恒定的中曲率的3球。
Biharmonic tori in spheres
我们认为适当的双调和平坦环面与恒定的中曲率（CMC）的领域，并找到充要条件，某些矩形环面和正方形环面承认充分CMC适当的双调和浸入$\mathbb{S}^n$，以及这些浸入的显式表达。
Willmore tori in the 4-sphere with nontrivial normal bundle
我们将具有非平凡法丛的四维球面上的Willmore环面刻画为椭圆曲线在复射影空间中的Twistor投影或欧氏四维空间中的倒置极小环面（具有平面端点）.
Bifurcation of constant mean curvature tori in Euclidean spheres
利用分歧理论证明了在欧氏球面中存在无穷序列等距嵌入的环面，这些环面具有常数中曲率（CMC），并且在某些CMC Clifford环面处不等距全等.
Flows of constant mean curvature tori in the 3-sphere: The equivariant case
本文给出了三维球面中常中曲率环面的变形。证明了3-球面中等变常数中曲率环面的模空间是连通的，并对其中的极小环面、嵌入环面和Alexandrov嵌入环面进行了分类.我们得出一个不稳定的结果。
We construct eternal mean curvature flows of tori in perturbations of the standard unit sphere $\Bbb{S}^3$. This has applications to the study of the Morse homologies of area functionals over the space of embedded tori in $\Bbb{S}^3$.
We show that the extrinsic diameter of immersed flat tori in the 3-sphere is $π$ under a certain topological condition for the projection of their asymptotic curves with respect to the Hopf fibration.
We show that the of 2-lobed Delaunay tori are stable as constrained Willmore surfaces in the 3-sphere.
Existence of embedded minimal tori in three-spheres with positive Ricci curvature
该研究通过证明三维球面嵌入环面与球面空间面积泛函的强Morse不等式，得出正Ricci曲率三维球面至少含4个嵌入极小环面、崎岖度量下至少9个的结论，证明基于Simon-Smith min-max理论的重数一性定理。
Morse index of minimal products of minimal submanifolds in spheres
该研究针对球面极小子流形的Clifford型极小乘积，证明其由拉普拉斯第一特征函数浸入的充要条件，给出Morse指数与零化度估计，并得到Clifford极小子流形的对应精确值。
Equivariant constrained Willmore tori in the 3-sphere
本文研究了三维球面上的等变约束Willmore环面。这些环面承认一个1参数群的莫比乌斯对称性和临界点的Willmore能量下的共形变化。证明了等变环面的谱曲线是由$\mathbb C$的双重覆盖给出的，并通过谱曲线的亏格g对等变约束Willmore环面进行了分类.在这种情况下，谱亏格满足$g \leq 3.$
Constrained Willmore Tori in the 4--Sphere
我们证明了2-环面到共形4-球面的约束Willmore浸入是“有限型“的，即具有有限亏格的谱曲线，或者是“全纯型”的，即它是超共形的或具有平面端点的欧氏极小的.这意味着，所有受约束的Willmore环面在4-球可以构造，而明确的方法，复杂的代数几何。证明使用四元数全纯几何结合可积系统的方法类似于希钦的方法来研究调和环面的3球。
Embedded constant mean curvature tori in the three-sphere
证明了三维球面中任意常中曲率环面都是轴对称的，并利用这一点对任意给定的中曲率环面给出了一个完整的分类.
Mean-convex Alexandrov embedded constant mean curvature tori in the 3-sphere
在圆单位球面上引入了有限型常中曲率（\cmc \hspace{-5pt}）柱谱曲线的模空间.利用可积系统和几何分析技术相结合的方法，明确地确定了平均凸Alexandrov嵌入柱的谱曲线子集。我们证明了这些柱面是旋转曲面。因此，所有平均凸亚历山德罗夫嵌入{ \sc{cmc} }环面的3-球是表面的革命。
Index of bipolar surfaces to Otsuki tori
本文研究了 Otsuki 环面经 Lawson 双极曲面构造法得到的 $\mathbb S^4$ 中极小环面，给出了当参数接近 $\sqrt 2/2$ 时其 Morse 指标与零化数的上下界，并提出了数值辅助猜想。
Constrained Willmore and CMC tori in the 3-sphere
约束Willmore曲面是Willmore泛函在共形变分下的临界点。如[5]所示，可以将任何共形浸入约束Willmore环面f与紧致黎曼曲面ε相关联，使得f可以根据ε上的代数数据重建。约束Willmore环面的特别有趣的例子是在三维空间型中具有恒定中曲率（CMC）的环面。在[14]和[16]中表明，这些环面的谱曲线是超椭圆的。本文在较弱的条件下证明了三维球面中的约束Willmore环面f是三维空间型中的CMC环面，如果它的谱曲线具有CMC谱曲线的结构.
Hamiltonian stationary Lagrangian tori contained in a hypersphere
克利福德环面是三维球面上的环面。齐次环面是Clifford环面的简单推广，Clifford环面仍处于三维球面中。有一种方法可以使用霍普夫纤维化在三维球体中构造环面。本文明确地构造了复欧氏平面中超球面所包含的所有哈密顿定常拉格朗日环面。然后证明它们是齐次环面。对于建设，平坦的四元数连接的哈密顿定常拉格朗日环面被认为是一个相关的家庭，他们使用的谱曲线。
Spectral properties of a family of minimal tori of revolution in five-dimensional sphere
Laplace-Beltrami算子的正规化特征值$Λ_i(M,g)$可以被认为是固定曲面$M$上所有黎曼度量$g$空间上的泛函。在最近的几篇论文中，给出了极值度量的几个明确的例子。这些度量由表面在$\mathbb{S}^3$或$\mathbb{S}^4$中的最小浸入引起。本文给出了一类由$\mathbb{S}^5$中极小浸入引起的极值度量。
Biharmonic maps from tori into a 2-sphere
双调和映射是调和映射的推广。Eells和Wood关于曲面间调和映射的一个著名结果表明，在Brower度为$\pm 1$的同伦映射类中，不存在从环面到球面的调和映射（无论选择何种度量）.如果知道在那个同伦类映射中是否存在任何双调和映射，那将是很有趣的。本文给出了环面到球面的双调和映射的分类，其中环面具有平坦度量或一类非平坦度量，而球面具有标准度量.结果表明，在从环面到球面的映射大族中，不存在次数为$\pm 1$的真双调和映射。
Extending work of Kapouleas and Yang, for any integers $N \geq 2$, $k, \ell \geq 1$, and $m$ sufficiently large, we apply gluing methods to construct in the round $3$-sphere a closed embedded minimal surface that has genus $k\ell m^2(N-1)+1$ and is invariant under a $D_{km} \times D_{\ell m}$ subgroup of $O(4)$, where $D_n$ is the dihedral group of order $2n$. Each such surface resembles the union of $N$ nested topological tori, all small perturbations of a single Clifford torus $\mathbb{T}$, that have been connected by $k\ell m^2 (N-1)$ small catenoidal tunnels, with $k \ell m^2$ tunnels join…
In this paper we give an explicit parametrisation of the moduli space of equivariant harmonic maps from a 2-torus to the 3-sphere. As Hitchin proved, a harmonic map of a 2-torus is described by its spectral data, which consists of a hyperelliptic curve together with a pair of differentials and a line bundle. The space of spectral data is naturally a fibre bundle over the space of spectral curves. For homogeneous tori the space of spectral curves is a disc and the bundle is trivial. For tori with a one-dimensional invariance group, we enumerate the path connected components of the space of spec…
Minimal surfaces in the 3-sphere by desingularizing intersecting Clifford tori
对于每一个整数$k \geq 2$，我们应用胶合方法来构造嵌入在圆形$3$ -球面中的极小曲面序列。我们产生两种类型的序列，所有desingularizing交叉克利福德环面的集合。第一种类型的序列收敛于沿这两个圆以最大对称性相交的$k$ Clifford环面的集合。在每一个圆附近，在重新缩放后，序列在紧子集上平滑地收敛到$k$阶的Karcher-Scherk塔。第二类序列对一组相同的$k$ Clifford环面进行去奇异化，并补充一个与原始两个相交圆等距的Clifford环面，使得后者环面沿着一对不相交的正交圆与前一个$k$环面正交相交，在这对正交圆附近，相应的重新缩放序列收敛到单周期Scherk曲面。第一种类型的简单例子类似于Choe和Soret \cite{CS}通过不同方法构造的曲面，其中每个圆去奇异化的手柄数量相同。有很多新的例子，它们更复杂，并且两个圆的手柄数量不同。第二种类型的例子也是新的。
Embedded constant mean curvature tori in hemispheres of Berger spheres
本文证明在特定参数条件下Berger球面开半球内存在嵌入常平均曲率环面，推翻了Fernández和Mira的猜想，结果由生成式AI获得并验证。
Jacobi fields along harmonic 2-spheres in ${\bf C}P^2$ are integrable
证明了从2-球面到复射影平面的调和映射上的任何Jacobi场都是可积的（即，与通过谐波映射的平滑变化相切）。这为这个可积性问题提供了为数不多的已知答案之一，这个问题是在几何和分析的不同背景下提出的。它意味着雅可比场形成从$S^2$到${\bf C}P^2$的调和映射流形的每个分量的切丛，从而给出任何这样的调和映射的零性;它也与从3-流形到${\bf C}P^2$的弱调和$E$ -极小化映射在奇点附近的行为以及从任何流形到${\bf C}P^2$的这种映射的奇异集的结构有关。
Minimal isometric immersions of flat n-tori into spheres
该研究修正了Bryant关于平坦环面极小等距浸入的有理判据，证明n≥3时该判据仅为充分条件，推导了无理性度上界，构造了非齐次例子并建立了变形定理。
We consider generalized Hodge-Laplace operators $αd δ+ βδd$ for $α, β> 0$ on $p$-forms on compact Riemannian manifolds. In the case of flat tori and round spheres of different radii, we explicitly calculate the spectrum of these operators. Furthermore, we investigate under which circumstances they are isospectral.
This paper is devoted to the study of minimal immersions of flat $n$-tori into spheres, especially those immersed by the first eigenfunctions (such immersion is called $λ_1$-minimal immersion), which also play important roles in spectral geometry. It is known that there are only two non-congruent $λ_1$-minimal $2$-tori in spheres, which are both flat. For higher dimensional case, the Clifford $n$-torus in $\mathbb{S}^{2n-1}$ might be the only known example in the literature. In this paper, by discussing the general construction of homogeneous minimal flat $n$-tori in spheres, we construct many…
On the index of minimal 2-tori in the 4-sphere
本文研究球面中极小2维环面的Morse指数问题，证明了4维球面中极小2维环面指数下界为6及等号成立条件，还给出Hopf微分消失的n维球面中极小2维环面的指数下界与紧例。
A new bound on the Morse index of constant mean curvature tori of revolution in $\mathbb{S}^3$
本文通过计算Jacobi算子的显式负特征值，给出了三球面$\mathbb{S}^3$中常中曲率旋转环面Morse指数的一个新的下界.
Constrained Willmore Tori and Elastic Curves in 2-Dimensional Space Forms
本文考虑了三维球面中两类特殊的约束Willmore环面。第一类是由上半平面（被视为双曲平面）中的闭合弹性曲线围绕x轴的旋转给出的。第二个是封闭约束弹性曲线的原像，即，具有封闭面积约束的弹性曲线，在圆2-球面上的Hopf纤维化。我们证明了所有的共形型都可以等距地浸入到S^3中作为约束Willmore（Hopf）环面，并且用Weierstrass椭圆函数写出H^2和S^2中的所有约束弹性曲线。此外，我们确定的封闭条件的曲线和计算Willmore能源和共形型的结果环面。
The study of minimal surfaces has a long history, due to the important applications. Given a fixed boundary, one wants to minimise the surface area: this can be used, for example, to minimise the area of the roof of a building. Similarly, looking for constant mean curvature (CMC) provides us with many interesting applications in physics: one of the easiest examples are soap bubbles. In this work however we occupy ourselves with minimal and constant mean curvature surfaces in the three-dimensional sphere $S^3$ and its dual space $Σ^3$. In Chapter 1 we give a brief overview of the tools of Riema…
Equivariant maps between sphere bundles over tori and KO-degree
本文给出了环面上球面丛之间的一类等变映射的不存在性结果。证明中使用了等变KO度的概念。作为Seiberg-Witten理论的一个应用，对于具有不定交形式的连通闭定向自旋4-流形，我们得到了第二贝蒂数在第一上同调群和由Albanese映射导出的KO-理论中的某些映射上的一个新的由签名和由四重上积确定的非负整数确定的界.
Existence of 5 minimal tori in 3-spheres of positive Ricci curvature
本研究针对B. White关于黎曼3维球面至少含5个嵌入极小环面的猜想，结合极小极大理论与平均曲率流思路，证明了正Ricci曲率3维球面中该猜想成立。
Doubling Constant Mean Curvature Tori in the 3-Sphere
三维球面中的Clifford环面是一类单参数的二维平坦、常中曲率（CMC）曲面。本文证明了新的，拓扑非平凡的CMC表面类似于一对相邻的Clifford环面连接在一个由至少两个点的小悬链线桥组成的子格，可以通过微扰PDE方法构造。也就是说，我们可以通过在每个子格点的邻域中粘贴一个重新标度的悬链面来创建一个近似解;然后我们可以证明这个近似子流形存在一个满足CMC条件的扰动。
Minimal tori in five-dimensional sphere in $C^3$
研究了$C^3$中一类特殊的五维球面曲面。这类极小环面的浸入方程被证明可以简化为方程$u_{z\bar z}=e^u-e^{-2u}$，它是可积的逆散射方法。构造了带间隙的最小环面。
Integral affine structures on spheres and torus fibrations of Calabi-Yau toric hypersurfaces II
本文是我们的论文math.AG/0205321的继续，其中我们建立了Calabi-Yau环面超曲面的环面纤维化的组合模型。这一部分讨论了模型环面纤维化与超曲面的复几何和凯勒几何之间的联系。
Willmore surfaces and Hopf tori in homogeneous 3-manifolds
本文在齐次三维流形中定义了Willmore泛函，通过第一变分公式和Simons型积分不等式，分类了Berger球面中的Willmore曲面，并给出了常外曲率闭曲面的积分不等式，刻画了Hopf环面。
The Existence of Non-Equivariant Gromov Tori
本文针对n≥3时平坦环面嵌入球面的问题，证明存在非等变嵌入格罗莫夫环面，给出该问题的否定答案，推进了最优曲率界相关研究。
Uniqueness of embedded minimal Lagrangian tori in $\mathbb{CP}^2$
本文证明复射影平面中任意嵌入极小拉格朗日环面必全等于克利福德环面，方法为利用五维球面归一化水平提升构造两点函数。
Spheres under a Cauchy-Riemann inequality in $E(κ,τ)$, and non-CMC Hopf tori
本文证明在齐性空间 $E(\kappa,\tau)$ 中，球面浸入满足单侧 Cauchy-Riemann 型不等式即可推出平均曲率为常数，并构造了 Berger 球面上的非-CMC Hopf 环面反例，同时给出闭曲面为环面的判别条件。
There are not so many kinds of surface of revolution whose cut locus structure have been determined, although the cut locus structures of very familiar surfaces of revolution (in Euclidean space) such as ellipsoids, 2-sheeted hyperboloids, paraboloids, and tori are now known. Except for tori, the known cut locus structures are very simple, i.e., a single point or an arc. In this article, a new family {M_n}_n of 2-spheres of revolution with simple cut locus structure is introduced. This family is also new in the sense that the number of points on each meridian which assume a local minimum or ma…
Harmonic tori and their spectral data
本文介绍了有限型调和环面的构造和分类的一种方法，即通过多项式Killing场的环。为了保持讨论的重点，第一节完全致力于非共形调和环面的2球。第二部分总结了作者最近关于复Grassmannian的多重调和映射的工作。
A remark on the Heat Equation and minimal Morse Functions on Tori and Spheres
设（M，g）是一个齐次的紧致连通黎曼流形，即M中的每对点p，q都有等距邻域.本文是理解对于每个“通用”初始条件f0，热方程的解是这样的，对于足够大的t，f（.，t）是最小Morse函数，即，一个Morse函数，其临界点的总数是M上可能的最小值。在本文中，我们表明，这是真实的平面环面和圆形领域的所有维度。
Euclidean minimal tori with planar ends and elliptic solitons
一个平面端点的欧氏极小环面在共形3-球面$S^3=\R^3\cup \{\infty\}$中产生一个浸入的Willmore环面。给出了这样得到的Willmore环面类的谱理论特征，即它是具有可约谱曲线的Willmore环面类。这种类型的谱曲线必然是椭圆KP孤子谱曲线的两倍。最简单的可能的例子最小环面与平面结束有关的1-间隙Lamé潜力，最简单的非平凡代数几何KdV潜力。如果允许平移周期，黎曼的“阶梯”极小曲面作为与1-间隙Lamé势相关的其他例子出现。
Harmonic maps and Kaluza-Klein metrics on spheres
本文研究了黎曼流形上向量场的调和性，将其看作到具有黎曼度量族的切丛的映射。得到了曲面和常范数向量场的几何和拓扑刚性条件，并证明了双环面上的存在性。给出球面上共形、二次和Killing向量场的分类。最后，扩大了在切丛上考虑的度量类，允许新的向量场成为调和的。
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