Kazuyuki Enomoto, Yoshihisa Kitagawa, Masaaki Umehara
We show that the extrinsic diameter of immersed flat tori in the 3-sphere is $π$ under a certain topological condition for the projection of their asymptotic curves with respect to the Hopf fibration.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Alexandrov immersed minimal tori in S^3
我们证明了任何极小环面在$S^3$这是亚历山德罗夫浸入必须是旋转对称的。一个类似的结果适用于常中曲率的曲面。
Clifford structures, bilegendrian surfaces, and extrinsic curvature
本文用Clifford代数建立统一框架，将黎曼与半黎曼3-流形中的常外曲率浸入曲面对应于酉丛中的双勒让德曲面，并完整分类了3-球面单位切丛中的完备与紧致浸入双勒让德曲面。
The Willmore Conjecture for immersed tori with small curvature integral
Willmore猜想指出任何2-环面浸入平坦欧几里得空间的F：T^2 -> R^n满足$\int_{T^2} H^2\geq 2π^2$。我们在高斯曲率的L^p范数足够小的条件下证明了它。
Normal curvature of immersed tori of dimension at most $18$
该研究证明维数不超过18的浸入n维环面在单位球中存在点满足法曲率平方的球面积分下界，回答了Petrunin的问题，采用标量曲率障碍与共形拉普拉斯论证完成证明。
Twisted embeddings of tori have small extrinsic systole
研究证明了环面在三维空间中的扭结嵌入必须包含小直径的非收缩环路，探讨了系数不等式。
Extrinsically Immersed Symplectic Symmetric Spaces
设$(V, \Om)$是一个辛向量空间，$ϕ: M \ra V$是一个辛浸入。证明了$ϕ(M) \subset V$是（局部）外辛对称空间（e.s.s.s.）在\cite{CGRS}的意义上，当且仅当$ϕ$的第第二基本型是并行的。此外，我们表明，任何对称空间，它承认作为一个es.s.s.s.也允许{ \em full}这样的沉浸，即，使得$ϕ(M)$不包含在$V$的适当仿射子空间中，并且这种浸入直到仿射等价是唯一的。此外，我们表明，任何外在的辛浸入的$M$因素，通过充分的周围空间的辛约化。特别地，这表明，完全浸没的特征在于具有最小尺寸的环境空间$V$。
On quasicomplete $k$-surfaces in $3$-dimensional space-forms
本文引入拟完备性概念，证明在三维空间形式中常正外在曲率且满足 k>Max(0,-c) 的拟完备浸入曲面必为测地球面，从而完成该类曲面的完整分类。
We prove that every smoothly immersed 2-torus of $\mathbb{R}^4$ can be approximated, in the C0-sense, by immersed polyhedral Lagrangian tori. In the case of a smoothly immersed (resp. embedded) Lagrangian torus of $\mathbb{R}^4$, the surface can be approximated in the C1-sense by immersed (resp. embedded) polyhedral Lagrangian tori. Similar statements are proved for isotropic 2-tori of $\mathbb{R}^{2n}$.
A frame energy for immersed tori and applications to regular homotopy classes
研究了二维环面上活动标架在欧氏$3\leq m$维空间中的Dirichelet能量。这个功能，称为框架能量，是自然地联系到Willmore能源的沉浸和共形结构的抽象的基础表面。作为第一个结果，建立了Willmore猜想型下界：即对于每个浸入$\R^m$，$m\geq 3$及其上的任意活动标架架的环面，标架能量至少为$2π^2$，且等当且仅当$m\geq 4$，浸入为标准Clifford环面（直到旋转和膨胀），标架为平坦环面.在发现隐守恒律后，证明了框架能量临界点的光滑性，作为应用，给出了$\R^3$中浸入环面正则同伦类中框架能量的极小化问题.
Gromov's tori are optimal
本文证明大维数欧氏球中浸入 n-环面的法曲率存在最优界，从而表明 Gromov 环面在该意义下达到最优。
The quaternionic KP hierarchy and conformally immersed 2-tori in the 4-sphere
四元数KP族是在KP族方程和解的标准构造中通过用四元数替换复数而获得的p.d.e的可积族;它等价于通常称为Davey-Stewartson II族的方程。本文研究了它与HP ^[1]中的四元数全纯2-环面理论（等价于S^4中的共形浸入2-环面）的关系。在描述了KP解的Sato-Segal-Wilson构造之后，（特别是有限型的解决方案）结转到这个四元数设置，我们比较了三个不同的概念“谱曲线”：QKP谱曲线，它产生于一个代数的交换微分算子;相关Dirac算子的（非正规化）Floquet乘子谱曲线;以及S^4中的共形2-环面的曲线参数化达布变换（在Bohle、Leschke、Pedit和Pinkall的意义下）。后两者被示出为QKP光谱曲线的图像，其不需要是平滑的。此外，这是一个奇异化的QKP谱曲线，而不是归一化的Floquet乘子曲线，这决定了分类的共形浸入2环面的有限谱属。
Bifurcations of Clifford tori in ellipsoids
证明了在2-环面作用下不变的3维椭球包含无穷多个不同的浸入极小环面，这些环面在偏心率的稠密集上从体积最大的2-环面轨道分岔，并在圆作用下保持不变。
Complete surfaces with positive extrinsic curvature in product spaces
我们证明了每一个完整的连接浸没表面与积极的外在曲率$K$在$H^2\times R$必须适当地嵌入，同胚到一个领域或一个平面，在后者的情况下，研究的行为结束。然后，我们把注意力集中在具有正的常外曲率的曲面（$K-$曲面）上。我们建立了$S^2\times R$和$H^2\times R$中唯一完整的$K-$曲面是旋转球面。以下是实现这一目标的关键步骤。首先得到了一般环境空间$M^2\times R$中具有切片边界的紧致$K-$曲面的高度估计。然后得到了紧$K-$曲面（和H- $surfaces) in $ H ^2 \times R$）的距离估计.最后构造了一个孤立零点为负指数的二次型。
The space of Lorentzian flat tori in anti-de Sitter 3-space
本文描述了从Lorentz平面$L^2$到三维anti-de Sitter空间的等距浸入空间，并解决了M. Dajczer和K. 1981年的Nomizu。由上述结果，我们还得到了等距浸入反de Sitter空间中的洛伦兹平坦环面空间用满足某些相容条件的双曲平面中具有波前奇点的闭曲线对的描述.
Let $M$ be a simply connected homogeneous three-manifold with isometry group of dimension $4$, and let $Σ$ be any compact surface of genus zero immersed in $M$ whose mean, extrinsic and Gauss curvatures satisfy a smooth elliptic relation $Φ(H,K_e,K)=0$. In this paper we prove that $Σ$ is a sphere of revolution, provided that the unique inextendible rotational surface $S$ in $M$ that satisfies this equation and touches its rotation axis orthogonally has bounded second fundamental form. In particular, we prove that: (i) any elliptic Weingarten sphere immersed in $\mathbb{H}^2\times \mathbb{R}$ i…
Constrained Willmore and CMC tori in the 3-sphere
约束Willmore曲面是Willmore泛函在共形变分下的临界点。如[5]所示，可以将任何共形浸入约束Willmore环面f与紧致黎曼曲面ε相关联，使得f可以根据ε上的代数数据重建。约束Willmore环面的特别有趣的例子是在三维空间型中具有恒定中曲率（CMC）的环面。在[14]和[16]中表明，这些环面的谱曲线是超椭圆的。本文在较弱的条件下证明了三维球面中的约束Willmore环面f是三维空间型中的CMC环面，如果它的谱曲线具有CMC谱曲线的结构.
A theorem by Almgren establishes that any minimal $2$-sphere immersed in $\mathbb{S}^3$ is a totally geodesic equator. In this paper we give a purely geometric extension of Almgren's result, by showing that any immersed, real analytic $2$-sphere in $\mathbb{S}^3$ that is saddle, i.e., of non-positive extrinsic curvature, must be an equator of $\mathbb{S}^3$. We remark that, contrary to Almgren's theorem, no geometric PDE is imposed on the surface. The result is not true for $C^{\infty}$ spheres.
Constrained Willmore Tori and Elastic Curves in 2-Dimensional Space Forms
本文考虑了三维球面中两类特殊的约束Willmore环面。第一类是由上半平面（被视为双曲平面）中的闭合弹性曲线围绕x轴的旋转给出的。第二个是封闭约束弹性曲线的原像，即，具有封闭面积约束的弹性曲线，在圆2-球面上的Hopf纤维化。我们证明了所有的共形型都可以等距地浸入到S^3中作为约束Willmore（Hopf）环面，并且用Weierstrass椭圆函数写出H^2和S^2中的所有约束弹性曲线。此外，我们确定的封闭条件的曲线和计算Willmore能源和共形型的结果环面。
On the Existence of Minimal Tori in $S^3$ of Arbitrary Spectral Genus
在三维球面上线性满的极小环面具有一个自然不变的g，称为谱亏格，这是由希钦引入的。我们表明，对于每个g>0，有可数多个真正的g维家庭的最小浸入环面谱亏格g（其中两个维度只是重新参数化的环面）。每一个家庭映射从一个固定的环面的矩形共形型。
Willmore surfaces and Hopf tori in homogeneous 3-manifolds
本文在齐次三维流形中定义了Willmore泛函，通过第一变分公式和Simons型积分不等式，分类了Berger球面中的Willmore曲面，并给出了常外曲率闭曲面的积分不等式，刻画了Hopf环面。
In [15] Labourie develops a theory of immersed surfaces of prescribed extrinsic curvature which has since found widespread applications in hyperbolic geometry, general relativity, Teichmüller theory, and so on. In this chapter, we present a quaternionic reformulation of these ideas. This yields simpler proofs of the main results whilst pointing towards the higher-dimensional generalisation studied by the author in [25].
On the Willmore energy of flat $n$-tori in $\mathbb{R}^N$ and Chen's conjecture for $n$-tori
本文证明了平坦 $n$-环面 Willmore 能量的尖锐下界，并确认 Clifford $n$-环面为唯一极小化子，从而证实 Chen 猜想；但 $n\geq3$ 时该猜想对一般浸入环面不成立。
Generalized Lawson tori and Klein bottles
利用Takahashi定理，我们提出了一种方法来扩展已知的极小环面族。作为一个例子，著名的两参数族的Lawson τ-曲面，包括环面和克莱因瓶扩展到三参数族的环面和克莱因瓶最低限度地沉浸在球。研究了这些曲面上度量的极值谱性质。这些度量包括i）环面上第一个非平凡特征值的度量极值，即Clifford环面上的度量和等边环面上的度量，以及ii）克莱因瓶上第一个非平凡特征值的度量极大。
Minimal isometric immersions of flat n-tori into spheres
该研究修正了Bryant关于平坦环面极小等距浸入的有理判据，证明n≥3时该判据仅为充分条件，推导了无理性度上界，构造了非齐次例子并建立了变形定理。
This paper is devoted to the study of minimal immersions of flat $n$-tori into spheres, especially those immersed by the first eigenfunctions (such immersion is called $λ_1$-minimal immersion), which also play important roles in spectral geometry. It is known that there are only two non-congruent $λ_1$-minimal $2$-tori in spheres, which are both flat. For higher dimensional case, the Clifford $n$-torus in $\mathbb{S}^{2n-1}$ might be the only known example in the literature. In this paper, by discussing the general construction of homogeneous minimal flat $n$-tori in spheres, we construct many…
Diameter and focal radius of submanifolds
本文刻画了单连通空间形式中浸入子流形外在直径与焦点半径比值达最小值2的情况，证明其本质为圆球或Veronese嵌入，结合坂本分类与舒尔弓引理，还讨论了开放问题及与格罗莫夫等人工作的关系。
In this paper, we obtain several new intrinsic and extrinsic differential sphere theorems via Ricci flow. For intrinsic case, we show that a closed simply connected $n(\ge 4)$-dimensional Riemannian manifold $M$ is diffeomorphic to $S^n$ if one of the following conditions holds pointwisely: $$ (i)\ R_0>\left(1-\frac{24(\sqrt{10}-3)}{n(n-1)}\right)K_{max};\quad \ (ii)\ \frac{Ric^{[4]}}{4(n-1)}>\left(1-\frac{6(\sqrt{10}-3)}{n-1}\right)K_{max}.$$ Here $K_{max}$, $Ric^{[k]}$ and $R_0$ stand for the maximal sectional curvature, the $k$-th weak Ricci curvature and the normalized scalar curvature. Fo…
Spheres under a Cauchy-Riemann inequality in $E(κ,τ)$, and non-CMC Hopf tori
本文证明在齐性空间 $E(\kappa,\tau)$ 中，球面浸入满足单侧 Cauchy-Riemann 型不等式即可推出平均曲率为常数，并构造了 Berger 球面上的非-CMC Hopf 环面反例，同时给出闭曲面为环面的判别条件。
On Higher-Order Geometric Refinements of Classical Covariance Asymptotics: An Approach via Intrinsic and Extrinsic Information Geometry
本文提出一种基于内禀和外禀信息几何的高阶几何细化方法，改进了经典Fisher信息渐近性对协方差的描述，引入了修正项以提高估计效率。
Let $M$ be a Riemannian 3-manifold of nonnegative Ricci curvature, Ric $\geq 0.$ We suppose that $M$ is conformally flat and simply connected or more generally that it admits a conformal immersion into the standard 3-sphere. Let $Σ$ be a compact connected and orientable surface immersed in $M$ which is a stable constant mean curvature (CMC) surface or an index one minimal surface. We prove that $Σ$ is homeomorphic either to a sphere or to a torus. Moreover, in case $Σ$ is homeomorphic to a torus, then it is embedded, minimal, conformal to a flat square torus and Ric$(N)=0$ where $N$ is a unit …
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