发表机构
Fujian Normal University; Beihang University（福建师范大学; 北京航空航天大学）
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本文证明了平坦 $n$-环面 Willmore 能量的尖锐下界，并确认 Clifford $n$-环面为唯一极小化子，从而证实 Chen 猜想；但 $n\geq3$ 时该猜想对一般浸入环面不成立。
AI 中文摘要
本文确立了欧氏空间中平坦 $n$-环面的 Willmore 能量 $\mathcal{W}$ 的尖锐下界 $(4n\pi^2)^{n/2}$。在 Möbius 变换下，Clifford $n$-环面 $\mathbb{S}^1\bigl(\sqrt{1/n}\\,\bigr) \times \cdots \times \mathbb{S}^1\bigl(\sqrt{1/n}\\,\bigr) \subset \mathbb{S}^{2n-1} \subset \mathbb{R}^{2n}$ 被证明是达到该下界的唯一极小化子。这也证实了 Chen 对平坦 $n$-环面的猜想。然而，当 $n \geq 3$ 时，我们表明 Chen 猜想对一般浸入 $n$-环面的总平均曲率不成立：Clifford $n$-环面的某些 Möbius 变换会严格减小总平均曲率。
英文摘要
This paper establishes the sharp lower bound $(4nπ^2)^{n/2}$ for the Willmore energy $\mathcal{W}$ of flat $n$-tori in the Euclidean space. Up to Möbius transformations, the Clifford $n$-torus $\mathbb{S}^1\bigl(\sqrt{1/n}\,\bigr) \times \cdots \times \mathbb{S}^1\bigl(\sqrt{1/n}\,\bigr) \subset \mathbb{S}^{2n-1} \subset \mathbb{R}^{2n}$ is shown to be the unique minimizer attaining this bound. This also confirms Chen's conjecture for flat $n$-tori. However, when $n \geq3 $, we show that Chen's conjecture fails on the total mean curvature of general immersed $n$-tori: certain Möbius transformations of the Clifford $n$-torus strictly decrease the total mean curvature.
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