Floer Cohomology and Geometric Composition of Lagrangian Correspondences
Katrin Wehrheim, Chris T. Woodward
我们证明了在精确和单调的设置下的几何组成的拉格朗日对应的Floer上同调的同构。
We prove an isomorphism of Floer cohomologies under geometric composition of Lagrangian correspondences in exact and monotone settings.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Floer cohomology of torus fibers and real lagrangians in Fano toric manifolds
在这篇文章中，我们考虑的Floer上同调（$\Z_2$系数）之间的环面纤维和Fano环面流形的实拉格朗日。我们首先研究了Floer上同调的定义条件，然后基于复曲面流形的多胞形给出了Floer复形的组合描述。证明了若定义了Floer上同调，且环面纤维的Floer上同调不为零，则环面纤维对的Floer上同调不为零.我们利用这个结果来发展一些应用程序的不可约性和最小数目的交点下的Hamilton合痕。
Floer cohomology of Dehn twists along real Lagrangian spheres
研究了具有反辛对合的辛流形中Dehn扭沿实拉格朗日球的Floer上同调。证明了在Floer群中存在一个区别元，它是由对合诱导的自同构的一个不动点。我们的证明方法是基于马克吴的配边和Floer理论的考虑。
Connections on equivariant Hamiltonian Floer cohomology
我们构造了关于$S^1$ -等变Hamilton Floer上同调的联系，这些联系关于某些形式参数是可区分的.
Quilted Floer Cohomology
我们推广拉格朗日弗洛尔上同调的拉格朗日对应序列。对于由拉格朗日对应的几何组成相关的序列，我们建立了Floer上同调的同构。我们给出应用程序的计算弗洛尔上同调，拉格朗日对应的可扩展性，和转移的几何组成下的可扩展性。
Periodic Floer homology and Seiberg-Witten Floer cohomology
各种Seiberg-Witten Floer上同调是为一个封闭的定向3-流形定义的;如果它是一个面积保持曲面自同构的映射环面，它有一个相关的周期弗洛尔同调，如Michael Hutchings所定义的。我们构造了Seiberg-Witten Floer上同调和相应的周期弗洛尔同调之间的同构，并描述了一些直接的结果.
The Maslov class of Lagrangian tori and quantum products in Floer cohomology
利用Floer上同调证明了Audin的一个猜想的单调版本：C^n中单调拉格朗日环面的最小Maslov数为2。我们的方法是基于研究的量子上积的Floer上同调，特别是行为的哦的谱序列就这个产品。作为进一步的应用，我们证明了存在的全纯磁盘的边界上的拉格朗日以及新的结果拉格朗日相交。
A long exact sequence for symplectic Floer cohomology
长正合序列描述了两个拉格朗日子流形的Floer上同调如何变化，如果其中一个通过应用Dehn扭曲进行修改。我们在最简单的情况下给出一个证明（没有冒泡）。该文件包含了一定数量的材料，可能是独立的准确序列的兴趣：特别是，第1章涵盖了“辛皮卡德-莱夫谢茨理论”的一些细节，第2章包含了一般的TQFT设置Floer上同调。
Higher-rank instanton cohomology and the quilted Atiyah-Floer conjecture
给定一个第一贝蒂数为正的闭连通定向三维流形，我们可以定义一个瞬子弗洛尔群和一个绗缝拉格朗日弗洛尔群。绗缝Atiyah-Floer猜想指出这些上同调群是同构的。我们启动一个程序来证明这个猜想。
Floer cohomology of immersed Lagrangian spheres in smoothings of $A_N$ surfaces
本文计算了A_N曲面光滑化的C^3的仿射辛子流形中某些浸入拉格朗日球的系数为Z/2的自Floer上同调。浸入的球体是精确的和分级的。此外，它们满足一个正性假设，允许我们计算弗洛尔上同调如下：给定辅助数据S^2上的莫尔斯函数和一个依赖于时间的殆复结构，弗洛尔上链复形是莫尔斯复形加上拉格朗日球的每个自交点的两个生成元。Floer微分是通过计算Morse流线和全纯带的组合来定义的。使用莱夫谢茨纤维化允许我们明确计算所有的全纯带和描述的Floer微分。对于大多数浸没的球体，Floer微分为零（系数为Z/2）。
Localization for involutions in Floer cohomology
本文研究了辛流形M中一对拉格朗日子流形的Lagrange Floer上同调。假设M带有一个保两个子流形的辛对合。在各种拓扑假设下，证明了M中Floer上同调群的一个局部化定理，该定理包含M中Floer上同调群及其不动点集的一个Smith型不等式.辛Khovanov上同调的两个应用。
Wrapped Floer cohomology and Lagrangian correspondences
我们研究了Liouville流形之间的拉格朗日对应关系，并构造了包裹类之间的函子。研究自然提出了比较乘积流形的两个版本的包裹类范畴的问题，我们证明了在包裹Floer上同调水平上的拟同构。为了证明这些函子从拉格朗日对应构造的可表示性，我们介绍了包装下的拉格朗日对应的几何组成，作为新的类的对象在包装类，我们证明代表函子通过建立一个规范的同构绗缝版本的包装Floer上同调几何组成。
Quasimap Floer cohomology and varying symplectic quotients
我们使用准映射Floer上同调的辛变换来解决复曲面矩纤维的可扩展性的几个难题。例如，我们（i）提出了一个紧凑的Hamilton环面行动包含一个{ \em开}子集的不可位移轨道和余维4奇异集，部分回答了McDuff的问题，和（ii）确定可扩展性的大部分的时刻纤维的辛椭球。
Floer's chain complexes for Lagrangian submanifolds in symplectic manifolds with concave ends
闭辛流形中的拉格朗日子流形的Floer链复形是由拉格朗日子流形的交点生成的，其微分计数具有拉格朗日边界条件的伪全纯带.本文提出了凹端辛流形中拉格朗日子流形的Floer链复形。
The absolute gradings on embedded contact homology and Seiberg-Witten Floer cohomology
设Y是闭连通切触3-流形。Taubes在“嵌入接触同调与Seiberg-Witten Floer上同调I-V”系列论文中定义了Y的嵌入接触同调（ECH）与其Seiberg-Witten Floer上同调之间的同构。Y的ECH和Y的Seiberg-Witten Floer上同调都允许定向二平面场的同伦类的绝对分次。我们表明，Taubes的同构保持这些分级。为了做到这一点，我们证明了另一个结果有关的预期尺寸的任何组件的Seiberg-Witten模空间在一个完整的连接辛协边的ECH指数相应的同调类。
Floer homology of Lagrangians in clean intersection
考虑一对满足单调性假设的闭拉格朗日子流形的弗洛尔同调。如果拉格朗日函数相交干净，我们描述两个谱序列，这有助于计算它们的弗洛尔同调。谱序列使用弗洛尔同调的Morse-Bott版本构造。我们给出了一个完整的治疗的理论，包括取向。
Equivariant Lagrangian Floer cohomology via semi-global Kuranishi structures
利用Kuranishi扰动理论的一个简化版本，我们称之为半全局Kuranishi结构，我们给出了一对在有限辛群作用下固定的拉格朗日子流形的等变Lagrange Floer上同调的定义，并满足一定的简化假设.
The equivariant pair-of-pants product in fixed point Floer cohomology
辛自同构的Floer上同调与其平方的Floer上同调通过裤子对积联系起来。对于正合辛自同构，我们引入了该乘积的等变形式，并利用它证明了Floer上同调群之间秩的Smith型不等式。在额外的拓扑假设下，同样的不等式先前由亨德里克斯使用不同的策略证明。
Anchored Lagrangian submanifolds and their Floer theory
引入（分次）锚定拉格朗日子流形的概念，并利用它来研究Floer链复形的滤子。然后，我们得到一个锚定版本的拉格朗日弗洛尔同调和它的（更高）产品结构。它们与更标准的非锚定版本有些不同。本文讨论的锚定版本更自然地与拉格朗日-弗洛尔理论的变分图像有关，因此也与谱不变量有关。我们还讨论了拉格朗日子流形的合理性及其拉格朗日Floer上同调的系数环的约化。
Non-displaceable Lagrangian submanifolds and Floer cohomology with non-unitary line bundle
我们证明了在许多例子中，拉格朗日子流形的Hamilton合痕的不可约性可以通过具有非酉线丛的拉格朗日Floer上同调来证明。例子包括复曲面Fano流形中的所有单调拉格朗日环面纤维（Entov和Polterovich也通过辛拟态理论证明了这一点），一些非单调拉格朗日环面纤维。我们还将Oh和作者关于Lagrange环面纤维的Floer上同调的计算结果推广到所有环面Fano流形的情况，去掉了以前工作中的凸性假设。
Floer Cohomology of Certain pseudo-Anosov Maps
本文计算了亏格为$g>1$的曲面$Σ$的映射类群中某些元素的Floer上同调，这些元素是沿$Σ$中某些环的正、负dehn扭曲的合成.计算覆盖了一类伪Anasov映射。
Lagrangian Floer homology of the Clifford torus and real projective space in odd dimensions
计算了（RP^n，T^n）的弗洛尔同调，其中n为奇数.
A Floer-Gysin exact sequence for Lagrangian submanifolds
在本文中，我们建立了一个Floer理论模拟的经典Gysin长正合列的代数拓扑的圆丛。我们研究这个序列的代数和函子性质，并推导出应用程序的计算拉格朗日弗洛尔同调以及问题的拓扑结构的拉格朗日子流形。
Embedded contact homology and Seiberg-Witten Floer cohomology I
这是五篇论文中的第一篇，它们构造了一个具有给定接触1-形式的紧致3-流形的嵌入接触同调和Seiberg-Witten Floer上同调之间的同构。本文介绍了建设中涉及的内容。
A Leray-Serre spectral sequence for Lagrangian Floer theory
我们认为辛纤维化在Guillemin-Lerman-Sternberg，并推导出一个谱序列来计算Floer上同调的某些纤维拉格朗日坐在一个紧凑的辛纤维化小单调纤维和合理的基础。我们证明了如果纤维拉格朗日量的场系数的Floer上同调为零，则总拉格朗日量的场系数的Floer上同调也为零。我们给出了一个应用到某些非环面纤维的Gelfand-Cetlin系统在旗流形，并证明了他们的Floer上同调为零。
The Z-graded symplectic Floer cohomology of monotone Lagrangian sub-manifolds
定义了一个整数分次辛Floer上同调和一个Fintushel-Stern型谱序列，它们是单调Lagrange子流形和正合同位素的新的不变量. Z-分次辛Floer上同调是通常的Z_Sigma（L）-分次Floer-Oh上同调的积分提升。证明了谱序列的Kunneth公式及其上的环结构，并通过谱序列由Lagrange子流形的上同调环结构导出了Z_Sigma（L）-分次Floer上同调环结构.利用Z-分次辛Floer上同调，我们给出了嵌入拉格朗日量的H_∞能量e_H（L）、拉格朗日量L的收敛谱序列的最小辛作用量σ（L）、最小Maslov指数σ（L）$ and the smallest integer k(L, phi$之间的一些相互交织的关系.
Floer homotopy theory and degenerate Lagrangian intersections
通过Lagrangian Floer上同调中的Steenrod平方给出Lagrangian对交点数下界，结合Morse同调理论（Conley指数理论）计算作用滤波的关联余格，同时利用量子帽积证明下界。
Immersed Lagrangian Floer cohomology via pearly trajectories
通过对非嵌入点指数满足一定正性条件的分次精确拉格朗日浸入的珍珠轨道计数，定义了$\mathbb Z_2$ -系数上的拉格朗日Floer上同调，并证明了它是拉格朗日浸入在Hamilton变形下的不变量.我们还证明了它与文献[4]中定义的拉格朗日Floer上同调的Hamilton扰动形式自然同构。作为应用，我们证明了这种拉格朗日量在$\mathbb C^n$中的非嵌入点数不小于其贝蒂数之和.
Log Floer cohomology for oriented log symplectic surfaces
本文针对在低维子流形上退化的对数辛 Poisson 结构，在可定向曲面上定义对数 Floer 上同调，证明其同痕不变性及单拉格朗日情形下与对数德拉姆上同调的同构。
Functors and Computations in Floer homology with Applications Part II
本文的结果涉及到用生成函数计算Floer上同调。第一部分证明了由Lisa Traynor引入的Floer上同调与生成函数上同调之间的同构。第二部分证明了余切丛的Floer上同调（在第一部分的意义下）与基的闭路空间的上同调同构。这有许多后果，其中一些是在第一部分（GAFA，地理。anal.第9卷（1999）985-1033），其他将在即将发表的论文中介绍。在这篇论文中的结果已经宣布（与证据的迹象）在一次谈话中ICM 94在Z{ü}rich。到错别字，这是从2003年修订版。
Floer theory and reduced cohomology on open manifolds
本文在几何有界辛流形上，通过连续及下半连续穷竭函数构造Hamiltonian Floer复形，并利用约化上同调与非阿基米德分析建立局部化Floer理论，应用于周期轨道存在性与可置换性。
Gauged Floer theory of toric moment fibers
本文研究了Frauenfelder规范Lagrange Floer上同调的小区域极限。由此产生的上同调理论，我们称之为拟映射弗洛尔上同调，是一个障碍，拉格朗日在辛商的可拓性。我们使用的理论来重现的结果，aya-Oh-Ohta-Ono和Cho-Oh的不一定法诺复曲面品种的力矩纤维的非可伸缩性，并将其结果扩展到复曲面orbifolds，没有虚拟的基本链。最后我们描述了商中Floer上同调的一个几何关系。
Anti-symplectic involution and Floer cohomology
本文主要研究边界位于\emph{real}拉格朗日子流形上的伪全纯圆盘的模空间的定向，即辛流形上反辛对合$τ$的不动点集。引入了反辛对合$τ$的相对自旋结构$τ$的概念，研究了对合$τ$模空间上的取向的性质.我们也将其应用于实拉格朗日子流形的拉格朗日Floer理论的研究。特别地，我们研究了辛流形的$τ$ -不动点集的无障碍性，特别证明了它在Calabi-Yau流形上的无障碍性.同时我们还计算了$Λ_{0,nov}^{\Z}$上的$\R P^{2n+1}$的Floer上同调，给出了其Floer上同调与经典上同调不同构的一个例子.本文研究了辛流形的平方对角线的Floer上同调，从而在完全一般性的情况下严格构造了辛流形的量子Massey积.
Parameterized Lagrangian Floer homotopy
本文在正合设定下构造了以马斯洛夫数据模空间为参数的拉格朗日弗洛尔同伦型谱，旨在为余切丛管道连接中的退化拉格朗日交截提供更强下界。
Distinguished bases in the wrapped Floer cohomology of tropical Lagrangian surfaces
本文通过构造 $(\mathbb{C}^*)^2$ 中的特殊拉格朗日热带曲面，控制全纯圆盘渐近行为，进而确定环绕弗洛尔上同调环及其镜像曲线上函数的特异基。
Floer homology of Lagrangian submanifolds
这是Suugaku 63（2011），no. 1，43-66（MR 2790665）中一篇日文文章的翻译，是作者与Y. G哦H Ohta和K.小野它还包含了一些解释，它的关系（同调）镜像对称。
Sheaf Quantization of Lagrangians and Floer cohomology
给定$T^*N$中的一个正合拉格朗日子流形$L$，我们想在$N\times {\mathbb R} $上的导出范畴中构造一个层复形，使得它的奇异支集$SS({\mathcal F}^\bullet_L)$等于$\widehat L$，即在$L$上构造的锥。它的存在在2011年的\cite{Viterbo-ISTST}中被陈述，并有一个证明的草图，然而其中包含一个缺口（在这里通过纠正修复）。一个完整的证明后不久，提供了由吉列尔莫（\cite{Guillermou}）通过一个完全不同的方法，特别是吉列尔莫的方法不使用弗洛尔理论。这里提供的证明，如最初计划的那样，基于Floer同源性。除了构造层复形外，我们还证明了量子化的层上同调的过滤形式与Floer上同调的过滤形式是一致的，即$FH^*(N\times ]-\infty, λ[, {\mathcal F}^\bullet_L)\simeq FH^*(L;0_N;λ)$，它们的乘积结构也是一致的.
Open strings, Lagrangian conductors and Floer functor
在辛流形的拉格朗日导体范畴到开弦的有界链复形的同伦范畴中引入了一个反变函子，称为Floer函子.后两类定义为所有的辛流形，而Floer函子定义为半正流形，无论是封闭的或凸的无穷远。然后，我们证明，当第一陈类的辛流形消失，拉格朗日球定义拉格朗日导体，使特别是他们的积分Floer上同调定义良好。这需要引入由辛域论给出的奇异殆复结构。
Lagrangian Floer homology on symplectic blow ups
我们展示了如何计算拉格朗日弗洛尔同调的拉格朗日子流形的适当的变换的一点爆破，仅在信息的基础流形。作为一个例子，我们给出了Clifford环面的本征变换的（CP^2，ω）的一点爆破中拉格朗日量子同调的另一种计算方法.
A Lagrangian Piunikhin-Salamon-Schwarz morphism and two comparison homomorphisms in Floer homology
在这篇文章中，我们解决两个问题。首先，我们探讨在何种程度上的技术Piunikhin，Salamon和Schwarz在[PSS 96]可以结转到拉格朗日弗洛尔同调。在[PSS 96]中建立了Hamilton弗洛尔同调与奇异同调之间的同构.相反，拉格朗日弗洛尔同调一般不同构于拉格朗日子流形的奇异同调。根据最小Maslov数，在一定程度上构造了拉格朗日弗洛尔同调与奇异同调之间的两个同态.在度，这两个地图的定义，我们证明他们是同构。实例表明，这一说法是犀利的。其次，我们构造了拉格朗日同调与哈密顿同调之间的两个比较同态弗洛尔同调。它们不受度的限制，并且被证明是由拉格朗日子流形到周围辛流形的包含映射所诱导的奇异同调中的同态的自然类似.
A note on partial quasi-morphisms and products in Lagrangian Floer homology in cotangent bundles
利用余法边界条件下拉格朗日弗洛尔同调的谱不变量，在余切丛的Hamilton同同态群上定义了部分拟态射，其中缺少与PSS同构相容的积和同调交积.
Invariance of immersed Floer cohomology under Lagrangian surgery
该研究证明了浸入拉格朗日膜的弗洛尔上同调在特定条件下对拉格朗日手术具有不变性，并推广了相关势不变性结果。
Equivariant Lagrangian Floer homology via multiplicative flow trees
本文通过在Floer复形上构造并利用$A_\infty$-模结构，提供了等变拉格朗日Floer同调群的构造方法。
Poisson geometry, monoidal Fukaya categories, and commutative Floer cohomology rings
本文建立Poisson几何与Fukaya范畴之间的联系，以辛群胚解释幺半Fukaya结构及其对辛叶子范畴的作用，并据此说明部分Lagrangian Floer上同调环交换的原因。
Floer cohomology in the mirror of the projective plane and a binodal cubic curve
本文构造了一族Landau-Ginzburg镜像到射影平面的拉格朗日子流形，该平面以一条双节三次曲线为反正则因子。这些对象在镜像对称下对应于扭曲层O（1）的幂，因此它们的弗洛尔上同调群形成同构于齐次坐标环的代数。一个有趣的特点是存在一个奇异环面纤维的镜子，其中的拉格朗日部分。Floer上同调的代数结构是通过计算Lefschetz纤维化的截面来计算的。我们的结果与Abouzaid-Gross-Siebert提出的热带模拟一致。讨论了反正则因子的分量的补的镜像的推广。
Quantum cohomology and Floer invariants of semiprojective toric manifolds
该研究利用Floer理论分析带多交换$\mathbb{C}^*$-作用的辛流形不变量，证明量子上同调与哈密顿Floer上同调的滤过关系，拓展至等变情形并给出半射影环面流形在Fano、CY情形下两类上同调的显式表示。
Invariance of Immersed Floer cohomology under Maslov flows
研究证明在紧致有理辛流形中浸入Lagrangian Floer上同调在Maslov流下不变，并给出其不变时间的下界，修正了Joyce的猜想部分。
Equivalence of the pearly tree immersed Lagrangian Floer theory and the Hamiltonian immersed Lagrangian Floer theory
本文证明珍珠树圆盘定义的浸入式 Lagrangian Floer 理论与 Weinstein 邻域内局部 Hamiltonian 流所定义理论等价，推广了 Alston-Bao 的结果。
Fixed point Floer cohomology of disjoint Dehn twists on a w+-monotone manifold with rational symplectic form
本文显式描述了 w+-单调有理辛流形中不相交 Lagrangian 球面 Dehn 扭曲的 Floer 上同调，通过计数半带条在单调辛流形中定义并证明了一类不动点 Floer 上同调的消失性，计划借此为 Seidel 长正合序列提供新的几何证明。
Holomorphic disc, spin structures and Floer cohomology of the Clifford torus
我们在$\CP^n$中计算了Clifford环面的Bott-Morse Floer上同调，其中包含了所有可能的自旋结构.已知每个自旋结构决定了全纯圆盘的模空间的一个取向，并根据Clifford环面的自旋结构的变化分析了取向的变化.此外，我们分类所有的全纯圆盘的边界躺在Clifford环面通过建立一个Maslov指数公式，这样的磁盘。结果表明，在奇维空间中存在两种自旋结构，它们给出Clifford环面的非零Floer上同调，而在偶维空间中只有一种自旋结构。当Floer上同调非零时，它同构于环面的奇异上同调（以Novikov环作为其系数）。作为推论，我们证明了任何哈密尔顿变形的Clifford环面与它相交至少在$2^n$不同的交点，当交叉是横向的。我们还计算了平坦线丛的Clifford环面的Floer上同调，并使用镜像对称计算验证了Hori的预测。
Floer cohomology of Platonic Lagrangians
我们分析全纯光盘拉格朗日SU（2）-轨道在一个家庭的拟齐次三倍SL（2，C），以前研究的埃文斯-Lekili，介绍几种技术，应适用于更广泛的类齐次拉格朗日。通过研究闭开映射，我们对这些拉格朗日量的自Floer上同调进行了严格的限制，然后使用Biran-Cornea pearl复形计算。
Floer homology on the universal cover, a proof of Audin's conjecture and other constraints on Lagrangian submanifolds
本文建立了单调拉格朗日子流形的弗洛尔同调的一个新形式，并应用它证明了Audin猜想的一个推广形式：若$L$是一个非球面流形，且在${\bf C^{n}}$中有一个单调拉格朗日嵌入，则它的Maslov数等于$2$ .我们还证明了最大Maslov数的单调拉格朗日子流形$L\subset M$在Hamilton合痕可置换的假设下的拓扑的其他结果。
Floer cohomology and disc instantons of Lagrangian torus fibers in Fano toric manifolds
本文首先给出了任意紧环面流形的拉格朗日环面纤维上的{\it all}全纯圆盘（"圆盘瞬子"）的一个显式描述，并证明了它们的Fredholm正则性.利用这一点，我们计算了Fano复曲面流形的Lagrangian环面纤维的Fooaya-Oh-Ohta-Ono（FOOO）阻塞链和Floer上同调。特别是针对形式参数$T^{2π} = e^{-1}$，我们的计算验证了FOOO的阻塞（共）链对应于镜像对称对应下的Landau-Ginzburg超势的民间传说，也验证了K. Hori关于Fano环面流形的Lagrange环面纤维的Floer上同调。后者指出，所有纤维的Floer上同调（对于参数值$T^{2π} = e^{-1}$）消失，除了在有限数量，复曲面流形的欧拉示性数，动量多面体中的基点是朗道-金兹伯格镜像到复曲面流形的超势的临界点。在后一种情况下，我们还证明了相应纤维的Floer上同调同构于其奇异上同调。我们还介绍了拉格朗日子流形的Floer上同调的限制版本，这是一个先验的更灵活的定义一般，我们称之为{\it适应Floer上同调}。然后证明了Fano复曲面流形的任何非奇异环面纤维的适应Floer上同调是定义良好的，在Hamilton合痕下不变，并且同构于纤维的Bott-Morse Floer上同调.
Equivariant Floer cohomology for contactomorphisms of quotient spaces
本文研究接触流形商空间的可序性，通过等变接触Floer上同调理论发展非线性Maslov指数，并利用映射锥检测与判别点的交叉，以处理定义映射锥的非规范性。
Floer cohomology of real Lagrangians in the Fermat quintic threefold
设X是三次费马五次曲线。实解集L构成X的一个拉格朗日子流形。将X的齐次坐标乘以不同的五次单位根得到X的自同构; L在这些自同构下的像定义了一个由625个不同的拉格朗日子流形组成的族，称为实拉格朗日。在本文中，我们试图计算所有对这些拉格朗日之间的Floer上同调。我们能够完成大部分计算，但有几种情况我们不能做。其基本思想是显式地描述一些低能模空间，然后利用这些知识计算Floer上同调的标准谱序列在E_2页上的微分。事实证明，这通常足以完全计算上同调。几种技术的发展，以帮助描述这些低能量模空间，包括公式的马斯洛夫指数，公式的障碍丛，以及一种方法，涉及全纯条和光盘全纯球。拉格朗日量的真实性质对于这些技术的发展至关重要。
Lagrangian Floer theory over integers: spherically positive symplectic manifolds
本文研究了$\Z$或$\Z_2$上的Lagrangian Floer理论.在适当的环境辛流形假设下，我们证明了\cite{fooo-book}中的LagrangianFloer理论可以在$\Z_2$系数上展开，并且当拉格朗日子流形是相对自旋的时，可以在$\Z$系数上展开.用于建设的主要技术工具的概念层的群体，分层和兼容性的正常锥适用于Kuranishi结构的模空间的伪全纯光盘。
Lagrangian Floer theory, from geometry to algebra and back again
本文综述 Floer 理论从解决 Arnold 猜想到 Fukaya 范畴代数结构，再到基于镜像对称的族 Floer 上同调几何的发展脉络。
Lagrangian Floer theory on compact toric manifolds II : Bulk deformations
这是一个延续的第一部分在一系列的文件拉格朗日弗洛尔理论复曲面流形。利用Floer上同调的环境圈的变形，我们称之为体积变形，我们发现了一个连续的不可位移的拉格朗日纤维的一些紧凑的环面流形。我们还提供了一种方法，找到所有的纤维与非零Floer上同调的体积变形在任意紧凑的复曲面流形，我们称之为体积平衡拉格朗日纤维。
Twisted Sectors for Lagrangian Floer Theory on Symplectic Orbifolds
本文引入二面体扭转扇区，以在辛轨形上构造 Lagrangian Floer 理论，并探讨相关问题。
Lagrangians, SO(3)-instantons and the Atiyah-Floer Conjecture
建立了一个适用于可容许SO（3）-丛的Atiyah-Floer猜想.
Singularities of Lagrangian Immersions and its Applications in Lagrangian Floer Theory
本文研究了到曲面笛卡尔积中的拉格朗日浸入的奇点，证明通过 Hamiltonian 同痕可将其局部表示为折叠点和有限多个尖点，并应用于比较相关的拉格朗日 Floer 复形与拼凑 Floer 复形。
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