邀请到更高的局部域，第II部分，第10节：伽罗瓦模和类域理论

对更高局部域的邀请，第一部分，第一节：高维局部域

Invitation to higher local fields, Part I, section 1: Higher dimensional local fields

介绍了高次局部域的基本概念及其加法群和乘法群上的拓扑。

邀请更高的局部域，第一部分，第五节：加藤的更高的局部类域论

Invitation to higher local fields, Part I, section 5: Kato's higher local class field theory

本文介绍了加藤高级局部类域论的主要内容。

高局部域的邀请，第一部分，第18节：关于单演扩张的分歧理论

Invitation to higher local fields, Part I, section 18: On ramification theory of monogenic extensions

给出了完备离散赋值域的单演扩张的分支理论。与加藤的指挥家的关系进行了讨论。

第一部分第七节：帕申的高级局部类域论

Invitation to higher local fields, Part I, section 7: Parshin's higher local class field theory in characteristic p

本文是对Parshin的高级局部类域论在特征p.

邀请到更高的局部域，第一部分，第8节：希尔伯特符号的显式公式

Invitation to higher local fields, Part I, section 8: Explicit formulas for the Hilbert symbol

这是一个审查的广大地区的显式公式（野生）希尔伯特符号（不仅在一维的情况下，但在高维的情况下，以及）。广泛的bilbiography包括在内。

邀请更高的局部域，第一部分，第10节：显式更高的局部类域论

Invitation to higher local fields, Part I, section 10: Explicit higher local class field theory

利用拓扑K-群、显式符号和Neukirch-Hazewinkel公理化方法的推广，给出了构造高级局部类域论的显式方法.并讨论了存在性定理。

高局部域的邀请，第一部分，第16节：不使用K-群的高类域理论

Invitation to higher local fields, Part I, section 16: Higher class field theory without using K-groups

本文将一维类域理论推广到具有任意不可分p-闭剩余域的完备离散赋值域的交换全分歧p-扩张理论及其应用。

对更高局部域的邀请，第II部分，第4节：Drinfeld模和正特征的局部域

Invitation to higher local fields, Part II, section 4: Drinfeld modules and local fields of positive characteristic

本文综述了Drinfeld模与高维正特征场之间的关系。主要的新结果是某些模形式的消失阶通过部分zeta值的表达。

邀请到更高的局部场，第II部分，第3节：在更高维度的局部域上的布鲁哈特-山雀建筑

Invitation to higher local fields, Part II, section 3: The Bruhat-Tits buildings over higher dimensional local fields

本文介绍了作者在高维局部域上的Bruhat-Tits建筑理论。用一维和二维局部域的PGL（2）和PGL（3）的建筑物来说明该理论。

邀请到更高的局部域，第一部分，第14节：完全离散赋值域的显交换扩张

Invitation to higher local fields, Part I, section 14: Explicit abelian extensions of complete discrete valuation fields

本文给出了构造完备离散赋值域的交换扩张的显式方法。他的方法明确方程的循环扩张的程度p^n，其中包含一个给定的循环扩张的程度p的解释。

邀请到更高的局部域，第II部分，第2节：微分和符号的直接图像的Adelic结构

Invitation to higher local fields, Part II, section 2: Adelic constructions for direct images of differentials and symbols

本文介绍了相对情形下二维情形下微分和符号的直接象的阿德利奇构造。特别是，互惠法律的差异和符号的相对残留的陈述和应用到周群的Gysin映射的建设。

对高局部域的邀请，第一部分，第六节：高局部域的拓扑Milnor K-群

Invitation to higher local fields, Part I, section 6: Topological Milnor K-groups of higher local fields

研究了高局部域K的Milnor K-群上的某些拓扑.这些都与乘法群上的拓扑有关，对显式高等局部类域论有重要意义。本文给出了Milnor K-群模零邻域交的商的结构。

邀请到更高的局部域，第一部分，第13节：绝对非分歧完备离散赋值域的阿贝尔扩张

Invitation to higher local fields, Part I, section 13: Abelian extensions of absolutely unramified complete discrete valuation fields

本文介绍了作者关于具有特征p的任意剩余域的绝对非分歧完备离散赋值域K的循环p-扩张的理论.在这个理论中，从K的特征标群的p-部分到其剩余域上的Witt向量构造了一个同态.

邀请到更高的局部域，第一部分，第4节：混合特征的Hensel离散赋值域的上同调符号

Invitation to higher local fields, Part I, section 4: Cohomological symbol for henselian discrete valuation fields of mixed characteristic

本文简述了Bloch-Kato定理证明的主要步骤，该定理指出范剩余同态K_q（K）/\to ^q（K，\Bbb Z/m（q））是特征为0的Hensel离散赋值域K与正特征的剩余域的同构。

邀请到更高的局部域，第II部分，第5节：等特征二维局部域上代数群的调和分析

Invitation to higher local fields, Part II, section 5: Harmonic analysis on algebraic groups over two-dimensional local fields of equal characteristic

本文介绍作者对泛函二维局部域上代数群的调和分析的方法。对于二维局部域，定义了一个由非紧域上准局部常数复变函数积分算子构成的Hecke代数，并描述了它的性质.

邀请到更高的局部域，第一部分，第17节：高级分歧理论的方法

Invitation to higher local fields, Part I, section 17: An approach to higher ramification theory

本文介绍了作者关于完备离散赋值域的分歧理论，该域具有p-基至多由一个元素组成的剩余域。定义了新的上、下滤子;度为p的循环扩张可以有非整数的分歧断裂。讨论了与互易映射相容的二维局部域滤波的一种改进。

邀请到更高的局部域，第一部分，第15节：关于完备离散赋值域的Milnor K-群的结构

Invitation to higher local fields, Part I, section 15: On the structure of the Milnor K-groups of complete discrete valuation fields

这项工作包含了一个列表的所有已知结果的商过滤的Milnor K-群的一个完整的离散赋值领域的微分模的剩余域。利用指数映射和同伦复形研究了特征为0的弱分歧域与特征为p的剩余域的情形。

对更高局部域的邀请，第II部分，第1节：高维局部域和L函数

Invitation to higher local fields, Part II, section 1: Higher dimensional local fields and L-functions

这项工作介绍了几个第一步，在扩展泰特岩泽的分析方法来定义一个L-函数在更高的维度。为了推广这种方法，作者主张实用的经典黎曼-赫克的做法，他的adelic复合物连同他的推广Krichever的对应。他分析了1维类型的职能，并讨论了性质的格的可扩展类的子空间中的adelic空间相关联的一个除数的代数曲面。

邀请更高的局部域，第一部分，A节：第2节附录

Invitation to higher local fields, Part I, section A: Appendix to Section 2

附录讨论了微分形式和特征p上的Kato上同调群的一些基本定义和性质，并给出了描述正特征p域F的Milnor K-群K_n（F）/p到微分模Ω_F ^n的微分符号的Bloch-Kato-Gabber定理的证明。

邀请到更高的局部域领域，第一部分，第9节：指数映射和显式公式

Invitation to higher local fields, Part I, section 9: Exponential maps and explicit formulas

研究了特征为零的完备离散赋值域的指数同态，它将域的微分形式与Milnor K-群联系起来.显式公式的应用。

邀请更高的局部域，第一部分，第12节：两类完全离散赋值域

Invitation to higher local fields, Part I, section 12: Two types of complete discrete valuation fields

本文将特征为0的完全离散赋值域K与特征为p的剩余域根据微分模的挠率部分的性质分为两类。对于这些类中的每一个，K的Milnor K-群的商滤子对于滤子的所有足够大的成员都被刻画为微分模的商。对于高次局部域，上述结果和高次局部类域论对充分大次域的循环扩张的类型有一定的限制.

高维双有理p-adic Galois截面

Birational p-adic Galois sections in higher dimensions

本文探讨了Koenigsmann的模型理论论证的后果，从证明的双有理p-adic部分猜想曲线的背景下，高维品种超过p-adic局部域。

邀请更高局部域（导言）

Invitation to higher local fields (Introduction)

专著“邀请到更高的局部域“是1999年8月29日至9月5日在明斯特举行的更高的局部域会议的结果。其目的是提供一个介绍更高的局部域（更一般的完整的离散赋值域与任意剩余域），并提供这个理论的主要思想（第一部分），以及讨论几个应用程序和连接到其他领域（第二部分）。作为会议上的演讲的扩展版本，数量增加了。这两部分由K.加藤，一个IHES预印本从1980年，从未出版。我们希望该卷将是对这一主题的有益介绍和指导。1999年11月至2000年8月期间收到了对该卷的来稿，电子出版日期为2000年12月10日。这是数学导论。NT/0012131。其他arXiv参考文献如下：第一部分：第1节：math.NT/0012132，第2节：math.NT/0012133，第A节：math.NT/0012134，第4节：math. NT/0012135，第5节：math. NT/0012136，第6节：math. NT/0012137，第7节：math. NT/0012138，第8节：math.NT/0012139，第9节：math.NT/0012140，10：math.NT/0012141，11：math.NT/0012142，12：math.NT/0012143，13：math.NT/0012144，14：math.NT/0012145，15：math.NT/0012146，16：math. NT/0012…

局部共轭的伽罗瓦截面

Locally conjugate Galois sections

本文研究数域上双曲曲线的平展同伦正合序列截面，证明了局部共轭（密度1赋值集上分解群限制共轭）蕴含整体共轭的局部-整体原理，该结论是核心结果有限覆盖性质的推论。

Galois sections and $p$-adic period mappings

Let $K$ be a number field not containing a CM subfield. For any smooth projective curve $Y/K$ of genus $\geq2$, we prove that the image of the "Selmer" part of Grothendieck's section set inside the $K_v$-rational points $Y(K_v)$ is finite for every finite place $v$. This gives an unconditional verification of a prediction of Grothendieck's section conjecture. In the process of proving our main result, we also refine and extend the method of Lawrence and Venkatesh, with potential consequences for explicit computations.

沿torsor提升Galois截面

Lifting Galois sections along torsors

尖点化猜想是Grothendieck截面猜想的一个结果，它断言：对于特征$0$的双曲生成域$k$上的任何光滑双曲曲线$X$和任何非空Zerkki开$U \subset X$，$π_1 (X, \bar x) \to \mathrm{Gal}_k$的每一个截面都提升到$π_1 (U,\bar x) \to \mathrm{Gal}_k$的一个截面.本文考虑将伽罗瓦区间提升到Mochizuki提出的中间商$ π_1^{cc}(U)$的问题。我们证明了当$k = \mathbb Q$和$D=X\setminus U$是扭子包的并集时，每个Galois部分实际上提升到$ π_1^{cc}(U)$ .证明中的主要工具之一是在$X$上构造环面挠函数$F_D$和$E_D$以及几何解释$ π_1^{cc}(U) \simeq π_1 (F_D)$。

阿贝尔化基本群的Galois截面

Galois sections for abelianized fundamental groups

给定数域$k$上亏格至少为2的光滑射影曲线$X$，Grothendieck截面猜想预言从$X$的有理基本群到$k$的绝对伽罗瓦群的正则投影有截面当且仅当曲线有有理点。我们表明，存在曲线，上面的地图有一个部分在每个完成的$k$，但不超过$k$。在附录中，维克多·弗林给出了亏格2中的明确例子。我们的结果是一个更一般的调查的存在性部分的étale基本群的投影到伽罗瓦群的阿贝尔化的几何部分。本文给出了任意维数和任意完满域上的截面存在的一个判据，并进一步研究了局部域和整体域上曲线的情形。我们还指出了与Colliot-Thélène和Santiago的基本阻塞的关系。

阿贝尔模$p$伽罗瓦表示相容系统的互易律

Reciprocity law for compatible systems of abelian mod $p$ Galois representations

本文的主要结果是一个互惠法，它证明了兼容系统的半单，阿贝尔模$p$表示（任意维）的绝对伽罗瓦群的数域，产生于赫克字符。在最后一节的文件类似物伽罗瓦群的功能领域的这些结果进行了探讨，并提出了一个问题，其答案将需要发展超越理论的特点$p$。

关于Anabel几何中的“截面猜想”

On the "Section Conjecture" in anabelian geometry

设X是域K上亏格>1的光滑射影曲线，域K是在有理数上生成的。格罗滕迪克的阿那贝尔几何中的截面猜想说，从X的算术基本群到K的绝对伽罗瓦群的正则投影的截面（直到共轭）与X的K-有理点一一对应。双有理变体在函数域K（X）的绝对伽罗瓦群代替基本群的情况下，得到类似的对应。本文证明了当K被p-adic数域所取代时，对所有X的双有理截口猜想。它否定了实或p-adic代数数域的两个命题。并给出了几乎任意域上X的K-有理点在双有理背景下诱导的截面的一个纯群论刻画。作为一个biproduct，我们得到伽罗瓦理论的标准，在一个以上的变量的多项式方程的根可解性，并为一个领域是PAC，是大的，或希尔伯特。

关于赖夏特-林德和辛泽尔的路线的评论

Une remarque sur les courbes de Reichardt-Lind et de Schinzel

证明了当X是Schinzel曲线时，X的算术基本群在Q的绝对伽罗瓦群上不存在截面，从而在这个例子中证实了Grothendieck截面猜想的预言. --

关于算术基本群截面的圈类的注记

Remarks on cycle classes of sections of the arithmetic fundamental group

给定域k上的光滑可分离K（pi，1）簇X，我们将一个具有紧支集的环上同调的“圈类”与从X的算术基本群到k的绝对伽罗瓦群的自然映射的任何连续截面相关联.我们讨论了这类曲线在p-adic域上的代数性，并特别推出了Stix定理的一个新证明，根据该定理，只要从X的算术基本群到k的绝对伽罗瓦群的自然映射允许一个截面，则p-adic域k上的曲线X的指数必须是p的幂。最后，贝林森的拓扑基本群的幂零完备化的几何化的一个Etale适应允许我们在合适的上同调群中提升这个循环类。

Grothendieck截猜想中的包

Packets in Grothendieck's Section Conjecture

利用有限联络范畴的伽罗瓦群的截面与具有中性纤维函子的算术基本群的同一性，定义了Grothendieck截面猜想中的“包”，并给出了Grothendieck所预言的“包”的性质.

Mod pq伽罗瓦表示与Serre猜想

Mod pq Galois representations and Serre's conjecture

算术类型的动机和自守形式产生了出现在{ \it兼容族}中的伽罗瓦表示。这些相容族是p-进表示，其中p是变化的。通过减少这样的家庭模p得到兼容的家庭模p表示。虽然出现在这样一个p-adic或mod p家族中的表征是强相关的，但在某种意义上，家族中的每个成员都揭示了动机的新面貌。在怀尔斯最近的著名著作中，利用一对不同特性的伽罗瓦表示是至关重要的。本文研究数域K的绝对伽罗瓦群的一对mod p和mod q表示何时同时由{ \it自守动机}产生：我们在1维（第2节）和2维（第3节：这次假设$K={\mathbb Q}$）情况下这样做。在第3节中，我们制定了一个mod pq版本的塞尔猜想，部分精炼巴里马祖尔和肯里贝特的问题。

Stable free lattices in residually reducible Galois deformations and control theorem of Selmer groups

In this paper, we study the graph of homothety classes of stable free lattices in a two-dimensional representation over a local UFD. This generalizes a classical result of the case where the base ring is a discrete valuation ring due to Serre. As applications, we consider the case when the representation comes from a residually reducible Hida family and we study the control theorem of Selmer groups. These results enable us to know the precise statement of the main conjecture in residually reducible case as we will remark in section 4 and section 5.

关于局部条件下的双有理截口猜想

On the birational section conjecture with local conditions

数域k上双曲曲线X/k的双有理可提升伽罗瓦截面s在X的光滑完备化中产生一个顶点x（s）。我们证明了x（s）是Dirichlet密度为0的一组位置之外的X-积分，或s是尖点的.证明依赖于$GL_2(F_\ell)$ -对X的某个开U的$π_1(U)$的等价物。如果k是全实或全虚二次函数，我们证明了所有的双有理三角形，非尖点伽罗瓦截面来自有理点的预言的阿那贝尔几何的截面猜想。另外，我们还得到了Q域或虚二次域上双曲曲线上有理点的一个强逼近结果。

关于阿贝尔双有理截线

On abelian birational sections

对于域k上的光滑几何不可约簇X，绝对伽罗瓦群G_{k(X)}与G_{\bar k(X)}的换位子群的商投影到G_k上.我们研究了这个投影的截面。我们表明，这样的部分对应于“无限的部门”的基本障碍的Colliot-Thélène和Santiago。如果k是一个数域，并且X的皮卡簇的泰特-沙法列维奇群是有限的，那么这样的截面存在当且仅当基本障碍为零。对于曲线，这个条件也等于存在一次因子。最后，我们表明，基本障碍的消失是不保留的标量的扩展。

The Hopf Galois property in subfield lattices

Hopf Galois theory for finite separable field extensions was introduced by Greither and Pareigis. They showed that all Hopf Galois extensions of degree up to 5 are either Galois or almost classically Galois and they determined the Hopf Galois character of a separable extension according to the Galois group (or the degree) of its Galois closure. In this paper we study degree 6 separable extensions as well as intermediate extensions for degrees 4,5 and 6. We present an example of a non almost classically Galois Hopf Galois extension of the field of rational numbers of the smallest possible degre…

关于双有理Anabel截口猜想

On the birational anabelian section conjecture

假设数域上的椭圆曲线的Shafarevich-Tate群是有限的，我们对双有理Grotendieck反阿贝尔集猜想作了一些观察.证明了数域上曲线的双有理集猜想可归结为椭圆曲线的情形。在这种情况下，我们证明，作为一个结果的斯托尔，一节的确切序列的绝对伽罗瓦群的椭圆曲线在数域上产生从一个合理的点当且仅当诱导部分相应的（几何abelianised）算术基本群的椭圆曲线产生从一个有理点。我们还证明了给定数域上的任何曲线，存在这条曲线的双重覆盖，双有理集猜想成立。

关于整体函数域的阿贝尔化绝对伽罗瓦群

On Abelianized Absolute Galois Group of Global Function Fields

本文的主要目的是把整体函数域$K$的绝对伽罗瓦群的交换部分$\mathcal G^{ab}_{K}$刻画为亲有限群.我们将证明$K$的特征$p$和$K$的类群的非$p$部分由$\mathcal G^{ab}_{K}$决定。反之亦然：作为亲有限群的$\mathcal G_K^{ab}$的同构类型由第一节中引入的常量域$\mathbb F_q$的不变量$d_K$和类群的非$p$ -部分决定。

$p$-adic 域上环面基本群的截面猜想

The section conjecture for the toric fundamental group over $p$-adic fields

本文在 $p$-adic 域上证明了环面基本群的 Grothendieck 截面猜想，并将 Selmer 截面重新解释为环面 Galois 截面。

Galois理论

Galois Theory

本研究是爱丁堡大学2021-2023年本科Galois理论课程讲义，以代数基础知识为前提，讲解域扩张与Galois群理论至基本定理，还包含尺规作图、可解多项式相关证明及有限域分类。

p-进曲线算术基本群的局部截面

Local sections of arithmetic fundamental groups of p-adic curves

本文研究p-进曲线算术基本群的截面，证明其可无条件提升为尖点阿贝尔伽罗瓦群的截面，并由此导出紧化指数为1的结论及截面来自有理点的充要条件。

混合特征奇异格式及其邻近环的Bertini定理

Bertini theorems for singular schemes and nearby cycles in mixed characteristic

本文首先研究了域上某些奇异格式的超平面截面。证明了对数点上一类对数光滑概形的一般超平面截面的对数光滑性的Bertini定理。我们还给出了一个抽象的推广通常的贝尔蒂尼定理光滑。然后，我们应用这一结果的研究超平面截面的正则计划在一个完整的离散赋值环的特征零代数封闭的剩余域。最后，给出了Faltings的一个结果，即在混合特征为Galois上同调的离散赋值环上，可以计算光滑概形的$p$ -adic邻近环.

有限域的伽罗华理论

Galois theory for finite fields

本文阐述了有限域的伽罗华理论，通过描述中间域与次数n的除数之间的对应关系，证明了伽罗华对应定理，并介绍了通用域的伽罗华理论基本定理。

关于与模 $p$ 埃尔米特模形式相关的伽罗瓦表示

On Galois representations associated to mod $p$ Hilbert modular forms

本文研究了与模 $p$ 埃尔米特模形式相关的伽罗瓦表示，提出了关于权重与特征形式关系的猜想，并在实二次域中证明了部分权重一情况下的结果。

典范赋值与双有理截猜想

Canonical Valuations and the Birational Section Conjecture

我们开发了一个“规范$\mathcal{C}$ -亨塞尔赋值”的概念，一类$\mathcal{C}$的域扩张，推广建设的规范亨塞尔赋值的字段。我们使用这一点表明，$p$ -进赋值的有限扩张$F$的$\mathbb{Q}_p$可以完全恢复（或一些不确定性的剩余域）从各种小的等价物的$G_F$，绝对伽罗瓦群的$F$。特别是，它可以完全恢复从最大可解商。我们用它来证明几个版本的双有理部分猜想品种在$p$ -adic领域。

从 pro-p Galois 群恢复 p-adic 赋值

Recovering p-adic valuations from pro-p Galois groups

本文证明与 $\mathbb{Q}$ 具有同构最大 pro-2 Galois 商的域必带剩余域为 $\mathbb{F}_2$ 的 2-henselian 赋值，并据此给出双有理截面猜想强版本的独立证明。

数域上的模阿贝尔簇

Modular abelian varieties over number fields

本文的主要结果是对定义在Galois数域上的阿贝尔簇$B/K$的一个刻画，即Zeta函数$L(B/K;s)$等价于同余子群$Γ_1(N)$的非CM新形式的Zeta函数的乘积.表征涉及端（B）的结构、$B$的伽罗瓦共轭之间的同构以及附着于$B/K$的伽罗瓦上同调类。我们称具有这种性质的簇为强模的。最后一节研究了一类具有四元数乘法的阿贝尔曲面。作为说明的方式，在该文件的一般结果可以应用，我们证明了一些特定的阿贝尔曲面属于该家庭的强模性，我们展示了如何找到非平凡的例子强模品种扭曲，并证明了存在的强模曲面满足某些性质。

算术Chern-Simons理论I

Arithmetic Chern-Simons Theory I

本文将Dijkgraaf和Witten关于2+1维拓扑量子场论的思想应用于算术曲线，即代数数域中整数环的谱。在前三节中，我们定义了伽罗瓦表示空间上的经典Chern-Simons泛函。在第5节中，我们考虑了利用Chern-Simons理论构造L-函数的牵强的可能性。

算术Chern-Simons理论II

Arithmetic Chern-Simons Theory II

我们将Dijkgraaf和Witten关于三维拓扑量子场论的思想应用于算术曲线，即代数数域中整数环的谱。在前三节中，我们定义了伽罗瓦表示空间上的经典Chern-Simons作用。在随后的章节中，我们给出了一小类情况下的计算公式，并指出了一些算术应用。

关于Tchebotarev的GL（n）的一个定理

A Theorem on GL(n) a la Tchebotarev

设$K/F$是数域的有限Galois扩张.众所周知，Tchebotarev密度定理意味着一个不可约的，离散的$p$ -进表示$K$的绝对伽罗瓦群$ρ$确定（直到等价）的特征多项式Frobenius元素Fr $_v$在任何一组素数$K$的$v$度$1$在$F$。在这里，我们证明了一个类似的GL $(n)$，即一个尖形自守表示的GL $(n, {\mathbb A}_K)$ $π$确定的知识，其本地组件的一次素数$F$。事实上，我们证明了一个更强的定理，受到Michael Rapoport和Wei Zhang的问题的启发，在一定程度上放松了伽罗瓦假设。该方法除了使用L-函数的Rankin-Selberg理论和$π$的Hecke根的Luo-Rudnick-Sarnak界之外，还使用了类场论通过伽罗瓦上同调的某些结果。在较早的文献（\cite{Ra2}）中，我们利用基本的Kummer理论得到了素数阶$K/F$圈的扭曲等价的结果.我们利用适当的可解基变换$π_M$，相对于某些辅助的阿贝尔扩张序列$E/F$，与$M$是一个阿贝尔扩张的复合$EK$，并推出$π_M \simeq π'_M$，然后下降到一个同构$K$。一个关键因素的进展，在这里是使用全球泰特对偶和局部全球的结果所产生的类场理论。事实上，我们证明了{ \it isobaric}自守表示，这是类似物的{ \it半单}伽罗瓦表示的主要结…

曲面丛与截面猜想

Surface bundles and the section conjecture

本文提出格罗滕迪克截面猜想的热带类比，构造两个伽罗瓦上同调类 o_1 和 o_2 作为截面与有理点的阻碍，并借助拓扑退化技巧在 p 进域和数域上给出大量满足截面猜想的曲线实例。

正在进行的二项式革命

The Ongoing Binomial Revolution

二项式定理在数学中一直是必不可少的。在一种形式或另一种它是已知的古人，在手中的莱布尼茨，牛顿，欧拉，伽罗瓦，和其他人，它成为一个重要的工具，在代数和分析。事实上，牛顿早期制定了某些二项式级数（见第\ref{newton}）发挥了作用，他后来的工作微积分。从莱布尼茨、伽罗瓦、弗罗贝纽斯和其他许多人的工作中，我们知道它在代数中的重要作用。在本文中，我们快速跟踪的历史二项式定理，二项式级数，和二项式系数，强调他们的决定性作用，在函数域算术。我们还解释反过来如何功能领域的算术是现在导致新的结果在二项式理论通过洞察特征$p$ $L$系列。

奇异整数与分圆域的p-类群

Singular integers and p-class group of cyclotomic fields

设$p$是一个不规则素数。设$K=\Q(ζ)$为$p$ -分圆域。根据Kummer和类域理论，存在度为$p(p-1)$的Galois扩张$S/\Q$，使得$S/K$是度为$[S:K]=p$的循环非分歧扩张.给出了次数为$[M:\Q]=p$的$S$的子域$M$的代数构造，以及素数$p$在扩张$S/K$，$M/\Q$和$S/M$中的素分解和分歧的显式公式.在最后一节中，我们将研究这些结果对Vandiver猜想的影响。这篇文章是在古典代数数论的初级水平。