The Cauchy-Davenport Theorem for Finite Groups
柯西-达文波特定理指出，对于Z/pZ的任何两个非空子集A和B，我们有|A+B|>= min{p，|A| + |B| -1}，其中A+B：={a+b（mod p）|a in A，b in B}。我们将这个结果从Z/pZ推广到任意有限群（包括非阿贝尔群）。2006年初的这一结果与Gyula Karolyi 2005年的结果无关。
2012-02-08 math.CO
The Davenport constant of a box
给定一个可加的可写交换群$G$和一个集合$X\subseteq G$，用$\mathscr{B}(X)$表示$X$上的零和序列幺半群，用$\mathsf{D}(X)$表示$\mathscr{B}(X)$的Davenport常数，即正整数$n$的上确界，对于该上确界，存在$\mathscr{B}(X)$的序列$x_1 \cdots x_n$，使得对于$\{1, \ldots, n\}$的每个非空真子集$I$，$\sum_{i \in I} x_i \ne 0$.在本文中，我们主要研究当$G$是$\mathbb{Z}$的幂并且$X$是一个盒子（即，$G$的间隔的乘积）。一些混合集（例如，群与盒的乘积），并得到了一些逆结果。
2015-02-16 math.CO math.NT
Multi-wise and constrained fully weighted Davenport constants and interactions with coding theory
我们考虑有限交换群的两类加权零和常数。对于有限阿贝尔群$( G , + )$、权重集合$W \subset \mathbb{Z}$和整数参数$m$，具有权重$W$的逐$m$达文波特常数是最小整数$n$，使得长度为$n$的$G$上的每个序列至少具有具有权重为$W$的$m$不相交零子和。并且，对于整数参数$d$，具有权重$W$的$d$约束达文波特常数是最小的$n$，使得长度为$n$的$G$上的每个序列具有大小至多为$d$的权重$W$的零子和。首先，我们建立了这两种类型的常数和几个基本的和一般的结果之间的联系。然后，对于初等$p$ -群，建立了我们的常数与线性码的参数以及某些射影空间中帽集的基数之间的联系，得到了关于这些常数值的各种显式结果.
2015-05-21 cs.IT math.CO math.IT
On the Davenport constant and on the structure of extremal zero-sum free sequences
设具有$1 < n_1 \t ... \t n_r$的$G = C_{n_1} \oplus ... \oplus C_{n_r}$是一个有限阿贝尔群$\mathsf d^* (G) = n_1 + ... + n_r - r$，$\mathsf d (G)$表示$G$上零和自由序列的最大长度.然后是$\mathsf d (G) \ge \mathsf d^* (G)$，人们一直认为等式对$G = C_n^r$成立。我们发现，等式不适用于$C_2 \oplus C_{2n}^r$，其中$n \ge 3$是奇数和$r \ge 4$。这给出了$C_{2n}^r$上的极值零和自由序列的结构的新信息。
2010-09-29 math.CO math.NT
On the Davenport constant and group algebras
对于有限阿贝尔群$G$和$G$的分裂域$K$，令$d(G, K)$表示最大整数$l \in \N$，对于该最大整数，存在$G$上的序列$S = g_1 \cdot ... \cdot g_l$，使得对于所有$a_1, ..., a_l \in K^{\times}$，$(X^{g_1} - a_1) \cdot ... \cdot (X^{g_l} - a_l) \ne 0 \in K[G]$。如果$D(G)$表示$G$的达文波特常数，则存在简单的不等式$D(G)-1 \le d (G, K)$。平等适用于各种群体，以及W. Gao等人指出，平等适用于所有群体。我们提供了更多的群，其中等式成立，但我们也给出了第一个例子的群体$G$，其中$D(G) -1 < d(G, K)$持有。我们要以实际行动证明这一点。
2010-12-29 math.CO math.NT
The universal zero-sum invariant and weighted zero-sum for infinite abelian groups II
School of Mathematical Sciences, Tiangong University（天津理工大学数学科学学院）
本文分类了使得经典Davenport常数可由最小零和序列集表示的有限阿贝尔群，并研究了加权Davenport常数与核覆盖紧致性之间的关系。
2026-07-03 math.CO math.NT
Remarks on a generalization of the Davenport constant
本文研究了达文波特常数的推广。对于有限阿贝尔群$G$和正整数$k$，令$D_k(G)$表示最小的$\ell$，使得$G$上长度至少为$\ell$的每个序列具有$k$不相交的非空零和序列。对于一般的$G$，在已有结果的基础上，研究了这些不变量的上、下界，证明了序列$(D_k(G))_{k\in\mathbb{N}}$最终是一个带差等差数列$\exp(G)$，并讨论了由此引起的几个问题.对于初等2-群，详细研究了$D_k(G)$;特别是，确定了秩为4和5的群的精确值（对于秩至多为3的群，它们是已知的）。
2010-08-04 math.AC math.CO math.NT
Short Zero-Sum Sequences Over Abelian $p$-Groups of Large Exponent
设$G$是指数为$n$的有限阿贝尔群.令$η(G)$表示最小整数$\ell$，使得长度至少为$\ell$的$G$上的每个序列具有长度至多为$n$的零和子序列。当$G$是一个$p$ -群，其Davenport常数至多为$2n-1$时，我们确定了$η(G)$的精确值.这证实了Schmid和Zhuang在2010年提出的一个猜想中的一个等式。
2016-08-18 math.CO math.NT
A variant of Tao's method with application to restricted sumsets
本文发展了Terence Tao的调和分析方法，并将其应用于限制和集。著名的柯西-达文波特定理断言，如果$A$和$B$是$Z/pZ$的非空子集，且$p$是素数，则$|A+B|\ge min{p,|A|+|B|-1}$，其中$A+B={a+b: a\in A, b\in B}$。在2005年，陶泰伦（英语：Terence Tao）通过将测不准原理的一种新形式应用于傅里叶变换，给出了柯西-达文波特定理的调和分析证明。我们修改陶的方法，使它可以用来证明以下扩展的Erdos-Heilbronn猜想：如果$A,B,S$是$Z/pZ$的非空子集，$p$是一个素数，那么$|{a+b: a\in A, b\in B, a-b not\in S}|\ge min {p,|A|+|B|-2|S|-1}$。
2008-11-28 math.CO math.NT
Cauchy-Davenport type inequalities, I
设$\mathbb G = (G, +)$是一个群（可以是阿贝尔群，也可以不是阿贝尔群）。给定$X, Y \subseteq G$，我们用$\langle Y \rangle$表示由$Y$生成的$\mathbb G$的子半群，如果是$|Y| \ge 2$，我们设$$γ(Y) := \sup_{y_0 \in Y} \inf_{y_0 \ne y \in Y} {\rm ord}(y - y_0)$$，否则设$γ(Y) := |Y|$。我们证明了如果$\langle Y \rangle$是交换的，$Y$是非空的，并且$X+2Y \neq X + Y + y$对于某些$y \in Y$，则$$ |X+Y| \ge |X|+\min(γ(Y), |Y| - 1). $$实际上，这是从一个更一般的结果得到的，它改进了作者以前关于可消半群中和集的工作，并且得到了各种加法定理的全面推广，在某些情况下得到了相当大的加强，特别是包括Chowla-Pillai定理（关于有限循环群中的和集）和Hamidoune-Shatrowsky定理的阿贝尔群的特殊化。
2016-05-04 math.CO math.GR math.NT
The Davenport constant of balls and boxes
Sorbonne Université（索邦大学）；Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；CNRS, IMJ-PRG（法国国家科学研究中心，IMJ-PRG）；École polytechnique（巴黎综合理工学院）；Institut polytechnique de Paris（巴黎理工学院）
本文研究离散欧几里得球的 Davenport 常数，针对二维和三维整数格给出结果，并应用于盒子（整数区间乘积）的 Davenport 常数估计。
2026-10-12 math.CO math.NT
Disproving Conjectures on the Davenport and Narkiewicz Constants
School of Mathematical Sciences Tiangong University（天津工业大学数学科学学院）
本文否证了关于 Davenport 常数上界的长期猜想，证明对任意固定秩 r≥8，Davenport 常数与经典下界之差可任意大，推翻了过去数十年的普遍信念。
2026-11-03 math.CO math.NT
On the inverse problem of the $k$-th Davenport constants for groups of rank $2$
本文研究秩为2的有限阿贝尔群的k次Davenport常数的逆问题，刻画长度为D_k(G)且不能划分为k+1个非平凡零和子序列的零和序列的结构。
2025-03-27 math.CO math.NT
Davenport Constants of Finite Abelian Groups
Southwest Jiaotong University（西南交通大学）；Sun Yat-sen University（中山大学）
本文针对有限阿贝尔群的达文波特常数问题，证明了其新的上界，改进了经典结果，并揭示了几乎所有有限阿贝尔群的达文波特常数与 $\mathsf D^*(G)$ 渐近等价，同时分析了两者差值的密度性质。
2026-10-14 math.CO
The Weighted Davenport constant of a group and a related extremal problem II
对于具有$\exp(G)=n$和整数$k\ge 2$的有限阿贝尔群$G$，Balachandran和Mazumdar \cite{BM}引入了极值函数$\fD_G(k)$，该函数被定义为$\min\{|A|: \emptyset \neq A\subseteq[1,n-1]\textrm{\ with\ }D_A(G)\le k\}$（如果没有这样的$A$，则为$\infty$），其中$D_A(G)$表示群$G$的$A$加权达文波特常数。当$G=\bF_p$（对于$p$素数）时，用$\fD(p,k)$表示$\fD_G(k)$，已知（\cite{BM}），对于每个$k\ge 2$和$p$足够大，$p^{1/k}-1\le \fD(p,k)\le O_k(p\log p)^{1/k}$成立，对于$k=2,4$，我们有更清晰的界$\fD(p,k)\le O(p^{1/k})$。此外，还证实了$\fD(p,k)=Θ(p^{1/k})$ .在这篇短文中，我们证明了$\fD(p,k)\le 4^{k^2}p^{1/k}$充分大素数$p$。
2019-12-16 math.CO
The $\{1,s\}$-weighted Davenport constant in $C_n^k$
设$G$是有限交换群，且令$\varnothing \neq A \subset \mathbb Z$ . $G$的$A$加权达文波特常数是最小的正整数${\sf D}_A(G)$，使得$G$上的每个序列$x_1 \boldsymbol{\cdot} {\dots} \boldsymbol{\cdot} x_{{\sf D}_A(G)}$具有非空子序列$(x_{j_i})_i$，使得对于某些$\varepsilon_1, \varepsilon_2, {\dots}, \varepsilon_t \in A$，${\varepsilon_1} x_{j_1} + {\varepsilon_2} x_{j_2} + {\dots} + {\varepsilon_t} x_{j_t} = 0$。本文给出了${\sf D}_{\{1,s\}}(C_n^k)$的上界和下界，其中$C_n$表示阶为$n$，$s^2 \equiv 1 \pmod n$和$s \not\equiv \pm1 \pmod n$的循环群.这些界限在某些“小”情况下变得尖锐。
2021-07-16 math.CO math.GR math.NT
The small Davenport constant of $H_{27}\times C_3^r$
本文证明非交换群 $H_{27}$ 与循环群 $C_3^r$ 的直积的小 Davenport 常数为 $2r+6$，方法结合群代数仿射系数恒等式与非正交图分解，统一且无需枚举。
2026-09-18 math.CO math.GR
The Weighted Davenport Constant of a group and a related extremal problem
对于一个有限阿贝尔群$G$和一个非空子集$A\subset [1,\exp(G)-1]$，$G$相对于集合$A$的加权达文波特常数，记为$D_A(G)$，是最小正整数$k$，满足以下条件：给定一个任意的$G$序列$(x_1,\ldots,x_k)$，存在一个非空子序列$(x_{i_1},\ldots,x_{i_t})$和$a_{j}\in A$，使得$\sum_{j=1}^t a_jx_{i_j}=0$。在本文中，我们提出并研究了一个自然的新极值问题，产生于$D_A(G)$的研究：对于一个整数$k\ge 2$，确定$\fD_G(k):=\min\{|A|: D_A(G)\le k\}$（如果提出的问题是有意义的）。事实证明，对于$k$“不太小”，这是一个适定性问题，最有趣的情况之一发生在$G=\Z_p$，循环群的素数阶，我们获得附近的最佳界限为所有$k$（足够大的素数$p$），和渐近紧（常数）界为$k=2,4$。
2018-07-11 math.CO
The universal zero-sum invariant and weighted zero-sum for infinite abelian groups
本文研究阿贝尔群的泛零和不变量，证明多数群存在极小零和序列真子集使对应不变量等于达文波特常数，引入带权泛不变量，得到无限阿贝尔群加权达文波特常数有限的充要条件并建立其与群有限陪集覆盖的联系。
2024-10-10 math.CO math.NT
The small Davenport constant of the Heisenberg group of order 125
研究阶为125的海森堡群的小Davenport常数，通过明确无积为一序列得出下界，利用积为一准则、加法组合学等将问题简化并经搜索验证得出上界\(\mathsf{d}(H_{125}) = 12\)，解决了该领域的一个未决问题。
2026-07-17 math.CO
An algebraic approach towards a conjecture on the Davenport constant
本文通过代数方法证明了有限p-群的Davenport常数猜想，并修正了d(G)的上界，证明特定群中D(G)=d(G)+1。
2025-11-23 math.CO
The main zero-sum constants over $D_{2n} \times C_2$
设$C_2$是$2$阶循环群，$D_{2n}$是$2n$阶二面体群，其中$n$是偶数.本文给出了$D_{2n} \times C_2$上的一些零和常数，即小Davenport常数、Gao常数、$η$ -常数和Erd \H os-Ginzburg-Ziv常数的精确值.作为结果，我们证明了Gao和Zhuang-Gao的猜想。这是第一个具体的结果对零和问题的一个家庭的非阿贝尔群体的秩大于$2$。
2021-07-16 math.CO math.NT
Direct zero-sum problems for certain groups of rank three
我们确定的确切值的$η$ -常数和multiwise达文波特常数的有限阿贝尔群的秩三具有形式$G \simeq C_2 \oplus C_{n_2} \oplus C_{n_3}$与$2 \mid n_2 \mid n_3$。此外，在$n_2/2$具有性质D或$n_2 = n_3$的假设下，我们确定了这些群的Erdens-Ginzburg-Ziv常数.
2019-07-26 math.CO math.GR math.NT
The geometry of intersecting codes and applications to additive combinatorics and factorization theory
本文通过建立非退化相交码与射影空间中点集的几何对应，改进其长度界并构造短相交码，进而利用编码理论与Davenport常数的联系，给出加权2-wise Davenport常数的新渐近界，并应用于代数整数环的因子分解问题。
2024-06-06 cs.IT math.CO math.IT
Zero-sum Subsequences of Length kq over Finite Abelian p-Groups
对于有限阿贝尔群$G$和正整数$k$，令$s_{k}(G)$表示最小整数$\ell\in\mathbb{N}$，使得长度为$|S|\geq\ell$的$G$的元素的任何序列$S$具有长度为$k$的零和子序列。著名的Erdens-Ginzburg-Ziv定理确定了循环群$C_{n}$的$s_{n}(C_{n})=2n-1$，而Reiher在2007年证明了$s_{n}(C_{n}^{2})=4n-3$。本文证明了对于指数为$\exp(G)=q$的$p$ -群$G$，当$k\geq d$，其中$d=\Big\lceil\frac{D(G)}{q}\Big\rceil$和$p$是满足$p\ge2d+3\Big\lceil\frac{D(G)}{2q}\Big\rceil-3$的素数，其中$D(G)$是有限阿贝尔群$G$的Davenport常数时，上界$s_{kq}(G)\le(k+2d-2)q+3D(G)-3$是存在的.这是$k$和$d$中正确的增长顺序。作为推论，我们证明了$s_{kq}(C_{q}^{d})=(k+d)q-d$无论何时$k\geq p+d$和$2p\geq7d-3$，解决了高、韩、彭、孙猜想$s_{k\exp(G)}(G)=k\exp(G)+D(G)-1$无论何时$k\exp(G)\geq D(G)$ .我们还得到了一个一般的界$s_{kn}(C_{n}^{d})\l…
2015-03-24 math.CO math.NT
A twelve-term exclusion for the small Davenport constant of $E_2\times C_3^r$
本文证明在 $E_2\times C_3^r$ 上长度为 $2r+11$ 的无乘积一序列不能含恰好 $2r-1$ 个中心项，从而排除十二个非中心项的临界层，结合相对矩准则与穷举检查，但未确定小 Davenport 常数的精确值。
2026-09-22 math.CO math.GR
Note on a Conjecture of Graham
格雷厄姆的一个旧猜想指出，如果$n$是一个素数，并且$S$是循环群$C_n$中的$n$项的序列，使得所有（非平凡的）零和序列具有相同的长度，则$S$必须包含最多两个不同的项。1976年，Erdés和Szemeredi给出了充分大素数$n$猜想的证明。然而，证明是足够复杂的小素数的细节从来没有制定出来。无论是在埃尔德什和Szemeredi的文件，并在后来的调查埃尔德什和格雷厄姆，复杂的证明感到遗憾。最近，Gao，Hamidoune和Wang利用Savchev和Chen最近证明的$C_n$中长长度零和自由序列的结构定理，给出了一个新的证明，甚至对非素数$n$也有效。然而，因为这是一个相当复杂的结果，他们不相信这是简单的证明所寻求的Erdjs，格雷厄姆和Szemeredi。本文仅利用柯西-达文波特定理和鸽子洞原理对原猜想给出了一个简短的证明，因此可能是一个简单的证明。用Devos-Goddyn-Mohar定理代替Cauchy-Davenport定理，我们得到了非素情形的另一种证明，尽管不那么简单。此外，我们的方法产生了一个详尽的列表，详细说明了$S$的精确结构，并适用于任意有限阿贝尔群，虽然唯一的非循环群，这是非平凡的是$C_2\oplus C_{2m}$。
2009-03-18 math.CO math.NT
Matchings and product growth in modular abelian independence groups
Clayton State University（克莱顿州立大学）；Long Island University（长岛大学）
该研究统一了群有限子集与域扩张有限维子空间的两种匹配理论，引入独立群概念，推导模阿贝尔独立群的匹配准则，并得到推广Cauchy–Davenport定理的乘积增长界。
2026-09-22 math.CO math.NT
Generalization of some weighted zero-sum theorems and related Extremal sequence
设$G$是指数为$n$的有限阿贝尔群，$A$是$[1,n-1]$的非空子集.具有权重$A$的$G$的达文波特常数（由$D_A(G)$表示）被定义为最小正整数$\ell$，使得长度为$\ell$的$G$上的任何序列具有非空的$A$加权零和子序列。类似地，组合不变量$E_{A}(G)$被定义为最小正整数$\ell$，使得长度为$\ell$的$G$上的任何序列具有长度为$|G|$的$A$加权零和子序列。在本文中，我们确定了$D_A(\mathbb{Z}_n)$的精确值，对于$n$的某些特定值，其中$A$是$\mathbb{Z}_n^*$中所有立方体的集合。我们还确定了在这种情况下，相关的极值序列的结构。
2022-02-01 math.CO math.NT
On minimal product-one sequences of maximal length over the non-abelian group of order $pq$
本文刻画了阶为$pq$的非阿贝尔群$C_q \rtimes C_p$上所有长度为$2q$的极小乘积一序列，并将结果应用于研究该群上乘积一序列幺半群的$k$次弹性及相关集合的并集。
2025-09-29 math.CO math.GR math.NT
The fourth generalized Davenport constant of $C_5^3$
Stockholm University（斯德哥尔摩大学）
本文证明$C_5^3$的第四类广义达文波特常数$D_4(C_5^3)=30$，得出$k \geq 2$时$D_k(C_5^3)=5k+10$，该结论通过计算机辅助穷举搜索完成，补充了两个相关验证值。
2026-09-07 cs.DM math.CO
A Variant of Harborth Constant
设$G$是有限可加阿贝尔群.对于给定的正整数$k$，$k$ -Harborth常数$g^k(G)$被定义为最小的正整数$t$，使得给定大小为$t$的$G$的元素的集合$S$，存在大小为$k$的零和子集。我们找到$g^k(G)$的精确值，或者某些群的这个常数的上下界上界。
2022-09-29 math.CO math.NT
Variants of the Erdős distinct sums problem and variance method
本文推广了Erdős不同和问题，研究整数格点序列上对称多项式在限定大小子序列上的非零取值互异性，通过方差方法得到了坐标取值范围M的下界。
2024-02-01 math.CO math.NT
On a classical zero-sum invariant II: Disproof of a long-standing conjecture
University of Graz（格拉茨大学）；Tiangong University（天津工业大学）；Nankai University（南开大学）
本文推翻 Gao 于 2000 年提出的关于零和自由序列不变量 $\nu(G)$ 等于小 Davenport 常数减一的猜想，通过构造反例证明该猜想并非普遍成立。
2026-10-28 math.CO math.NT
Marton's Conjecture in abelian groups with bounded torsion
本研究证明了带有限挠率的任意阿贝尔群中具多项式界的Freiman--Ruzsa型定理，完全证实了Marton猜想，给出了满足和集增长条件的子集的子群陪集覆盖界，论证基于F₂ⁿ情形论证的变体。
2024-05-20 math.CO math.NT
Bohr topology and difference sets for some abelian groups
对于固定素数$p$，$\mathbb F_{p}$表示具有$p$元素的域，$\mathbb F_{p}^ω$表示可数直和$\bigoplus_{n=1}^{\infty} \mathbb F_{p}$。将$\mathbb F_{p}^ω$看作可数交换群，构造了一个具有正上Banach密度的集$A\subseteq \mathbb F_{p}^ω$，而差集$A-A:=\{a-b:a,b\in A\}$不包含任何$c\in \mathbb F_{p}^ω$的Bohr邻域.对于$p=2$，我们得到一个更强的结论：$A-A$不包含一个$g+(B-B)$形式的集合，其中$B$是分段联会的。这种建设否定回答了以下问题的几个作者提出的变种：如果$A\subseteq \mathbb Z$有积极的上Banach密度，必须$A-A$包含玻尔邻域的一些$n\in \mathbb Z$？我们还构造了集合$S, A\subseteq \mathbb F_{p}^ω$，使得$S$在$\mathbb F_{p}^ω$的Bohr拓扑中是稠密的，$A$有正的上Banach密度，$A+S$不是分片Bohr.对于$p=2$，我们证明了$S$的每一个平移都是一个拓扑递归集，并且$A+S$不是分片并合的。这些结构回答了作者提出的一个问题的一个变体。
2017-11-06 math.CO math.DS math.NT
Limiting shapes for a non-abelian sandpile growth model and related cellular automata
我们提出了一个非阿贝尔变体的阿贝尔沙堆生长模型（ASGM），其中一些没有平行的ASGM的限制形状的结果。我们的极限形状之一是八角形。在我们的模型中，质量从原点通过张沙堆模型中的倾倒规则传播。以前，已经获得了几个极限形状的结果为ASGM使用阿贝尔和单调性作为主要工具。由于这两个属性对我们的模型都失败了，我们使用了一种新的证明技术：在我们的主要证明中，我们引入了几个元胞自动机来模仿我们的增长模型。
2010-08-23 math.CO math.PR
Bohr sets in sumsets I: Compact abelian groups
该研究在紧阿贝尔群框架下，证明满足自然假设的连续自同态作用下的和集存在Bohr集，推广了经典定理，并给出整数划分相关变体结果，推进了Katznelson与Ruzsa的公开问题研究。
2025-09-02 math.CO math.DS math.NT
Geometric lifting and Freiman's $3k-4$ theorem in compact connected abelian groups
The Ohio State University（俄亥俄州立大学）
本文提出几何提升方法，在紧致连通阿贝尔群中证明Freiman $3k-4$定理的类比，并建立最优投影定理，解决Christ-Iliopoulou问题，推广至流行和集与Tao卷积不等式。
2026-09-24 math.CA math.CO math.GR
General duality for abelian-group-valued statistical-mechanics models
我们介绍了一般类的统计力学模型，在阿贝尔群，其中包括自旋和规范模型，有序和无序的值。该模型由一组"变量“和一组"相互作用”描述。吉布斯因子与每个变量和每个相互作用相关联。我们在这门课中引入了系统的对偶变换。对偶交换相互作用项中的高（低）耦合映射为单体项中的低（高）耦合。我们的想法是，我们的系统类扩展了克拉默斯和瓦尼尔的经典程序，将随机性纳入相互作用模式。我们介绍并研究了一些物理例子：随机高斯模型、随机Potts-like模型和离散标量QED的随机变体。我们简短地描述对偶性对每个例子的影响。
2003-08-25 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech hep-lat
