Restricted sumsets and a conjecture of Lev
设A，B，S是阿贝尔群G的有限子集.假设限制和集C={a+b：a在A中，b在B中，a-b不在S中}非空，并且C中的某个c可以写成a+b，其中a在A中，b在B中，至多有m种方式。证明了若G是无挠的或初等阿贝尔的，则|C| \geq |A| + |B| - |S| -m.证明了若G的挠子群是循环的，则|C| \geq |A| + |B| -2 |S| -m.在S={0}的情况下，这提供了一个关于列弗猜想的进展。
2006-10-29 math.CO math.NT
On restricted sumsets over a field
我们考虑域$F$上的限制和集.设\begin{align*}C=\{a_1+\cdots+a_n:a_1\in A_1,\ldots,a_n\in A_n, a_i-a_j\notin S_{ij}\ \text{if}\ i\not=j\},\end{align*}，其中$S_{ij}(1\leqslant i\not=j\leqslant n)$是$F$的具有基数$m$的有限子集，$A_1,\ldots, A_n$是$F$的具有基数$|A_1|=\cdots=|A_n|=k$的有限非空子集.设$p(F)$是$F$的恒等式的加法阶。证明了$|C|\geqslant \min\{p(F),\ \ n(k-1)-mn(n-1)+1\}$若为$p(F)>mn$ .这一结论改进了侯和孙的结果。
2014-02-14 math.CO math.NT
An additive theorem and restricted sumsets
设G是任意具有循环扭子群的可加阿贝尔群，A，B，C是G的基数n>0的有限子集.我们证明了存在A的元素的编号{a_i}_{i=1}^n，B的元素的编号{b_i}_{i=1}^n和C的元素的编号{c_i}_{i=1}^n，使得所有和a_i+b_i+c_i（i=1，. n）是不同的。因此，由Z/NZ的凯莱加法表形成的拉丁立方体的每个子立方体包含拉丁断面。这个加法定理可以通过域中的限制和集得到进一步的推广。
2008-12-04 math.CO math.NT
Additive decompositions of sets with restricted prime factors
我们研究了具有限制素因子的相当一般的集合的和集分解。我们设法处理某些集合，如光滑数，即使它们几乎没有筛顺从性，并得出结论，这些集合不能被写为一个三元和集。这证明了萨尔科齐的一个猜想。我们还清理和锐化现有的结果的和集分解的素数。
2013-09-03 math.CO math.NT
Direct and Inverse Problems for Restricted Signed Sumsets -- II
本文研究受限h重带符号和集的直接与逆问题，在非负整数集合上完全证明了Bhanja等人提出的h≥4情形猜想，从而彻底解决了所有相关猜想。
2025-04-13 math.CO math.NT
The restricted sumsets in finite abelian groups
该研究针对有限阿贝尔群的非空子集，给出了由不同元素构成的k元限制和集的基数下界，为相关数论与组合问题提供了定量结果。
2024-03-06 math.CO math.NT
Restricted Sumsets in Finite Nilpotent Groups
设$A,B$是有限幂零群$G$的两个非空子集.如果$A\not=B$，则限制和集$$A\dotplus B={a+b: a\in A, b\in B, a\neq b} $$的基数至少为$$\min{p(G),|A|+|B|-2},$$，其中$p(G)$表示$|G|$的最小素因子。
2012-08-21 math.CO math.GR math.NT
Multiplicative subgroups are not restricted sumsets
Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）；Institute for Basic Science（韩国基础科学研究院）
研究素域中哪些真乘法子群可表示为特定形式的限制和集，证明\(|H|\geq7\)时不满足，\(|H|\in\{1,3,6\}\)时存在并分类，解决了广义Sárközy猜想限制和集类似问题，扩展细化前人结果。
2026-10-07 math.CO math.NT
On an inverse problem for restricted sumsets
本文研究了限制和集的反问题，在Liu和Sun于2002年给出的下界基础上，确定了当该下界达到时集合A的结构。
2023-05-19 math.CO math.NT
On Snevily's conjecture and restricted sumsets
设G是有限子群全循环的可加阿贝尔群.令A_1，.，A_n（n>1）是G的基数k>0的有限子集，设b_1，…，b_n是G的奇阶两两相异元。我们证明了对每一个正整数m \leq（k-1）/（n-1），有多于（k-1）n-（m+1）n（n-1）/2个集合{a_1，.，a_n}，使得a_1 \in A_1，.，a_n \in A_n，以及对于所有1个\leq i<j \leq n，a_i \not =a_j和ma_i+b_i \not = ma_j+b_j两者（或者ma_i \not =ma_j和a_i+b_i \not =a_j+b_j两者）。这扩展了Dasgupta，Károlyi，Serra和Szegedy关于Snevily猜想的最近结果。本文得到了关于多项式限制和集的更强的结果。
2006-10-29 math.CO math.NT
Direct and Inverse Problems for Restricted Signed Sumsets -- I
本文研究整数加法群中受限h重带符号和集的直接与逆问题，完整证明了Bhanja等人对正整数集合在h≥4时提出的最优大小与结构猜想。
2025-04-12 math.CO math.NT
Judicious partitions for restricted self-sumsets in cyclic groups
本文研究循环群着色中受限自和集的极小极大问题，确定素数情形的精确最小值，并给出一般情形的紧界，结合受限Erdős–Heilbronn现象与块/陪集着色证明最优着色结构。
2025-09-24 math.CO math.NT
Direct and inverse results on restricted signed sumsets in integers
设$G$是一个加法阿贝尔群.设$A=\{a_{0}, a_{1},\ldots, a_{k-1}\}$是$G$的非空有限子集.对于满足$1\leq h\leq k$的正整数$h$，设\[h\hat{}_{\underline{+}}A:=\{Σ_{i=0}^{k-1}λ_{i} a_{i}: (λ_{0},λ_{1}, \ldots, λ_{k-1}) \in \{-1,0,1\}^{k},~Σ_{i=0}^{k-1}|λ_{i}|=h \},\]是$A$的限制符号和集.限制符号和集$h\hat{}_{\underline{+}}A$的直接问题是根据$|A|$求$h\hat{}_{\underline{+}}A$中的最小元素数。$h\hat{}_{\underline{+}}A$的逆问题是确定有限集$A$的结构，其中$|h\hat{}_{\underline{+}}A|$是最小的。在这篇文章中，我们解决了$h\hat{}_{\underline{+}}A$的正问题和反问题的一些情况下，当$A$是一个有限的整数集。在这方面，我们也提出了一些问题，作为对其余案件的解释。
2019-07-31 math.NT
On the minimum size of restricted sumsets in cyclic groups
对于正整数$n$、$m$和$h$，我们令$ρ\hat{\;}(\mathbb{Z}_n, m, h)$表示$n$阶循环群的所有$m$ -子集中$h$ -倍限制和集的最小大小. $ρ\hat{\;}(\mathbb{Z}_n, m, h)$的值在1960年代由Erdens和Heilbronn对$n$和$h=2$的素数值进行了证明; Dias da Silva和Hamidoune在1994年证明了该猜想，并将其推广到任意的$h$，但对$n$是合成的情况知之甚少。在这里，我们展示了所有$n$、$m$和$h$的显式上界;我们的界对于所有已知情况（包括所有$n$、$m$和$h$与$n \leq 40$）都是紧的。我们还提供了由Plagne和Hamidoune，Lladó和Serra所作的解释的反例。
2013-05-14 math.NT
The restricted sumsets in $\mathbb{Z}_n$
令$h\geq 2$为正整数。对于任何子集$\mathcal{A}\subset \mathbb{Z}_n$，令$h^{\wedge}\mathcal{A}$是$\mathbb{Z}_n$的元素的集合，这些元素是$\mathcal{A}$的$h$不同元素的和。本文得到了关于$4^{\wedge}\mathcal{A}$和$5^{\wedge}\mathcal{A}$的一些新结果.例如，我们证明了，如果$|\mathcal{A}|\geq 0.4045n$和$n$是奇数，那么$4^{\wedge}\mathcal{A}=\mathbb{Z}_{n}$ ;在某些条件下，如果$n$是偶数，$|\mathcal{A}|$接近于$n/4$，那么$4^{\wedge}\mathcal{A}=\mathbb{Z}_{n}$。
2018-10-18 math.NT
Large restricted sumsets in general abelian group
设A，B，S是有限阿贝尔群G的三个子集. A和B关于S的限制和集定义为A \wedge^{S} B= {a+b：a在A中，b在B中，a-b不在S中}.设L_S= max_{z in G}| {（x，y）：x，y in G，x+y=z and x-y in S}|.鸽子洞原理的一个简单应用表明，|A| + |B| > |G| +L_S蕴涵A \wedge^S B=G.然后我们证明如果|A| + |B| = |G| +L_S，则|A \wedge^S B|>= |G| -2 |S|。我们还刻画了集合（A，B，S）的三元组，使得|A| + |B| = |G| +L_S，|A \wedge^S B| = |G| -2 |S|。此外，在这种情况下，我们还提供了集合G \setminus（A \wedge^S B）的结构。
2013-05-10 math.NT
Open problems about sumsets in finite abelian groups: minimum sizes and critical numbers
对于给定的有限阿贝尔群的正整数$h$和子集$A$，我们用$hA$，$h \hat{\;} A$和$h_{\pm}A$分别表示$A$的$h$ -折叠和集，限制和带符号和集.在这里，我们回顾了一些已知的和尚未知道的关于这三种类型的和集的最小尺寸，以及它们相应的临界数。特别是，我们讨论了几个新的开放的正问题和反问题。
2017-05-15 math.NT
Problems in additive number theory, VI: Sizes of sumsets
本文探讨整数及有序阿贝尔群有限子集的和集与受限和集的基数可能取值问题。
2025-03-07 math.GR math.NT
Some direct and inverse problems for the Restricted Signed sumset in set of integers
该研究针对整数集合的受限h重符号和集的正逆问题，证明了h=4时相关猜想成立，还在集合约束下证明了任意h的正逆定理，并验证了猜想对等差数列成立。
2024-03-06 math.NT
Critical Pairs for Mixed Restricted Sumsets in Prime Fields
Guangzhou University（广州大学）；Guangdong University of Foreign Studies（广东外语外贸大学）
本文对素数域中混合受限和集达到最小可能大小的集合对进行了完全分类，主要贡献在于内部区间情形，证明了临界性迫使集合为公共端点等差数列，并处理了特殊仿射轨道及删除模式。
2026-09-22 math.NT
On two new kinds of restricted sumsets
设$A_1,\ldots,A_n$是可加阿贝尔群$G$的有限子集，其上有$|A_1|=\cdots=|A_n|\ge2$ .对于第二作者最近提出的两类新的限制和集$$L(A_1,\ldots,A_n)=\{a_1+\cdots+a_n:\ a_1\in A_1,\ldots,a_n\in A_n,\ \text{and}\ a_i\not=a_{i+1} \ \text{for}\ 1\le i<n\}$$和$$C(A_1,\ldots,A_n)=\{a_1+\cdots+a_n:\ a_i\in A_i\ (1\le i\le n),\ \text{and}\ a_i\not=a_{i+1} \ \text{for}\ 1\le i<n,\ \text{and}\ a_n\not=a_1\}$$，当$G$是域的加群时，我们用多项式方法得到了$|L(A_1,\ldots,A_n)|$和$|C(A_1,\ldots,A_n)|$的下界.此外，当$G$是无挠和$A_1=\cdots=A_n$，我们完全确定时，$|L(A_1,\ldots,A_n)|$或$|C(A_1,\ldots,A_n)|$达到其下限。
2022-10-21 math.GR math.NT
On two questions about restricted sumsets in finite abelian groups
设$G$是有限阶交换群$n$，$h$是正整数. $G$的子集$A$被称为{ \em weakly $h$ -incomplete}，如果不是$G$的每个元素都可以被写为$A$的$h$不同元素的和;特别地，如果$A$不包含加为零的$h$不同元素，则$A$被称为{ \em weakly $h$ -zero-sum-free}。研究了$G$中弱$h$ -不完全集和弱$h$ -零和自由集的最大尺寸，分别记为$C_h(G)$和$Z_h(G)$.其中我们的结果如下：（i）如果$G$是奇数阶的，且$(n-1)/2 \leq h \leq n-2$，则$C_h(G)=Z_h(G)=h+1$，除非$G$是初等阿贝尔3-群，且$h=n-3$ ;（ii）如果$G$是初等阿贝尔2-群，且$n/2 \leq h \leq n-2$，则$C_h(G)=Z_h(G)=h+2$，除非$h=n-4$ .
2016-07-19 math.NT
On restricted sumsets with bounded degree relations
该研究在有限域素数域的限制和集问题中，证实了Lev关于匹配关系下限制和集下界的猜想（当两集合大小和不超过(1-ε)p且p足够大时），方法可推广到有界度关系，还构造了新的匹配关系下的和集上界例子，揭示了与经典Erdős–Heilbronn问题的差异。
2025-09-04 math.CO math.NT
Critical Restricted Sumsets at the Boundary $\lvert A\rvert+\lvert B\rvert=p$
School of Mathematics and Statistics, Guangdong University of Foreign Studies（广东外语外贸大学数学与统计学院）；School of Mathematical Sciences, South China Normal University（华南师范大学数学科学学院）
本文分类了满足 $|A|+|B|=p$ 且 $|A\RS B|=p-2$ 的临界受限和集，给出显式模型和等价类计数，并构造反例反驳边界下方的逆命题。
2026-09-15 math.CO math.NT
Properties of two dimensional sets with small sumset
设$A, B\subseteq \mathbb{R}^2$是有限的非空子集，$s\geq 2$是整数，$h_1(A,B)$表示存在$2t$（不一定是不同的）平行线$\ell_1,...,\ell_{t},\ell'_1,...,\ell'_{t}$的最小数$t$，其中有$A\subseteq \bigcup_{i=1}^{t}\ell_i$和$B\subseteq\bigcup_{i=1}^{t}\ell'_i$。假设$h_1(A,B)\geq s$。然后我们证明：（a）如果$||A|-|B||\leq s$和$|A|+|B|\geq 4s^2-6s+3$，则$$|A+B|\geq (2-\frac 1 s)(|A|+|B|)-2s+1;$$（b）如果$|A|\geq |B|+s$和$|B|\geq 2s^2-{7/2}s+{3/2}$，则$$|A+B|\geq |A|+(3-\frac 2 s)|B|-s;$$（c）如果$|A|\geq {1/2}s(s-1)|B|+s$和$|A|> {1/8}(2s-1)^2|B|-{1/4}(2s-1)+\frac{(s-1)^2}{2(|B|-2)}$或$|B|\geq \frac{2s+4}{3}$，则$$|A+B|\geq |A|+s(|B|-1).$$这将Freiman $2^d$ -定理的二维情形扩展到不同的集合$A$和$B$，并且…
2007-10-16 math.CO math.NT
Infinite Families of Counterexamples to a Conjecture of Liu and Qian and a Refined Inverse Theorem for Restricted Sumsets in $\mathbb{Z}_p$
School of Mathematics and Statistics, Liaoning University（辽宁大学数学与统计学院）
本文针对Liu和Qian关于$\mathbb{Z}_p$中受限和集临界对的猜想，在边界情形给出反例，并在$|A|+|B|\le p-1$假设下证明改进的逆定理。
2026-09-14 math.NT math.RA
Set addition in boxes and the Freiman-Bilu theorem
我们证明了，如果A是Z^d中一个盒子的一个大子集，维数为L_1 >= L_2 >=. >= L_d，它们都是合理的大，则|A + A|> 2^{d/48} |A|。结合Chang的Freiman定理的定量化版本，我们证明了关于小和集的集合的一个结构结果。如果A是一组整数，|A + A| <= K |A|，则存在维数d << log K的级数P，使得|A \cap P|>= \exp（-K^C）max（|A|，|P|）。这与Freiman和Bilu的一个定理密切相关，但在某些方面定量更强。[10月14日]我暂时撤回了这篇论文，因为陶和我已经意识到，通过应用压缩（和Brunn-Minkowski定理），可以得出一个更强的结果。这一观察的灵感来自一份文件的Bollobas和领导人，我们以前不知道的。在某个时候，这篇论文将被恢复，以证明如果A是包含{0，1}^d的R^d的子集，则|A + A|>= 2^{d/48} |A|，可能（可能）是独立的兴趣。不久之后，陶和我的联合文件也将面世。]
2005-10-14 math.CO math.NT
Polynomial configurations in the primes
Bergelson-Leibman定理指出，如果P_1，...，P_k是具有整系数的整系数多项式，则正上密度的整数的任何子集都包含多项式配置x+P_1（m），.，x+P_k（m），其中x，m为整数。这个定理的各种推广是已知的。Wooley和Ziegler证明了变量m实际上可以取为素数减1，Tao和Ziegler证明了Bergelson-Leibman定理适用于正相对上密度的素数子集。在这里，我们证明了后两个结果的混合，即在陶-齐格勒定理的步骤m可以被限制到素数集减1。
2012-10-17 math.CO math.NT
Equidistribution of high-rank polynomials with variables restricted to subsets of $\mathbb{F}_p$
设$p$是素数，$S$是$\mathbb{F}_p$的非空子集。推广了Green和Tao关于有限域上高秩多项式的等分布的结果，证明了如果$P: \mathbb{F}_p^n \rightarrow \mathbb{F}_p$是一个多项式，并且它对$S^n$的限制不取近似相同频率的每个值，则存在一个在$S^n$上为零的多项式$P_0: \mathbb{F}_p^n \rightarrow \mathbb{F}_p$，使得该多项式$P-P_0$的秩有界.我们的论证使用了两个黑盒：具有高划分秩的张量具有高解析秩，具有高本质划分秩的张量具有高不相交划分秩。
2022-09-11 math.CO math.NT
Geometric lifting and Freiman's $3k-4$ theorem in compact connected abelian groups
The Ohio State University（俄亥俄州立大学）
本文提出几何提升方法，在紧致连通阿贝尔群中证明Freiman $3k-4$定理的类比，并建立最优投影定理，解决Christ-Iliopoulou问题，推广至流行和集与Tao卷积不等式。
2026-09-24 math.CA math.CO math.GR
A robust version of Freiman's $3k-4$ Theorem and applications
我们证明了一个强大的版本的Freiman的$3k - 4$定理的限制和集$A+_ΓB$，适用于倍常数时，最多$\tfrac{3+\sqrt{5}}{2}$在一般情况下，最多$3$在特殊情况下，当$A = -B$。作为应用，我们得到了强大的结果与其他类型的假设流行的总和，和结构定理集满足几乎相等的离散和连续版本的Riesz-Sobolev不等式。
2020-03-01 math.CO math.NT
A proof of the Freiman-Lev conjecture
School of Mathematics and Statistics, Anhui Normal University（安徽师范大学数学与统计学院）
本文解决了弗雷曼-莱夫猜想中$a_{k-2}\geqslant 2k-4$且$a_{k-1}\geqslant 2k-2$的最终难题，完成了该著名受限和集相关猜想的完整证明。
2026-08-27 math.NT
Restricted set addition in finite abelian groups
Indian Institute of Technology Bhilai（印度理工学院比莱分校）
研究有限阿贝尔群中限制h重和集何时等于整个群，给出了当|A|≥αn时h^∧A=G的充分条件，其中α_h是多项式3^{h-2}x^{h-1}+x-1的唯一正根，并证明了常数1/3在最小素因子为3时最优。
2026-05-23 math.CO math.GR math.NT
Freiman's $(3k-4)$-like results for subset and subsequence sums
本文受 Freiman $3k-4$ 定理启发，利用 $h$ 重和集与限制和集表示，证明了子集和与子序列和集合的相关结构定理，并推广至广义形式，同时为 Nathanson 等人的已有结果提供了新证明。
2024-02-10 math.NT
