乘法子群不是限制和集
Multiplicative subgroups are not restricted sumsets
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中文总结 AI 辅助
研究素域中哪些真乘法子群可表示为特定形式的限制和集，证明\(|H|\geq7\)时不满足，\(|H|\in\{1,3,6\}\)时存在并分类，解决了广义Sárközy猜想限制和集类似问题，扩展细化前人结果。
中文摘要 AI 辅助
我们确切地确定了素域的哪些真乘法子群可以表示为\(A\mathbin{\widehat{+}} A=\{a + a':a,a'\in A,a\neq a'\}\)形式的限制和集。我们证明，当\(|H|\geq7\)时，真乘法子群\(H\leq\mathbb{F}_p^*\)不能满足\(H = A\mathbin{\widehat{+}} A\)，且这个阈值是精确的。实际上，当\(|H|\in\{1,3,6\}\)时这种分解才存在，我们对这些特殊情况下的所有分解进行了分类。这给出了素域上广义Sárközy猜想的限制和集类似问题的精确、完整解答，显著扩展和细化了Shkredov和Yip之前的结果。
英文摘要
We determine exactly which proper multiplicative subgroups of a prime field can be represented as a restricted sumset of the form $A\mathbin{\widehat{+}} A=\{a+a':a,a'\in A,\ a\ne a'\}$. We prove that a proper multiplicative subgroup $H\le\mathbb F_p^*$ cannot satisfy $H=A\mathbin{\widehat{+}} A$ whenever $|H|\ge7$, and that this threshold is sharp. In fact, such a decomposition exists precisely when $|H|\in\{1,3,6\}$, and we classify all decompositions in these exceptional cases. This gives a sharp, complete resolution of the restricted-sumset analogue of the generalized Sárközy conjecture over prime fields. This significantly extends and refines previous results of Shkredov and Yip.
发表机构
- Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）
- Institute for Basic Science（韩国基础科学研究院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
