素数域中混合受限和集的临界对
Critical Pairs for Mixed Restricted Sumsets in Prime Fields
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中文总结 AI 辅助
本文对素数域中混合受限和集达到最小可能大小的集合对进行了完全分类，主要贡献在于内部区间情形，证明了临界性迫使集合为公共端点等差数列，并处理了特殊仿射轨道及删除模式。
中文摘要 AI 辅助
设 $p$ 为奇素数，$A,B\subseteq\mathbb{F}_p$ 为非空且不同的集合，且 $|A|\ge |B|$。我们给出了使得混合受限和集 $A\mathbin{\widehat+} B=\{x+y:x\in A,\\ y\in B,\\ x\ne y\}$ 的大小为 $\min\{p,|A|+|B|-2\}$ 的集合对的完全分类。主要的新贡献涉及内部区间 $|A|+|B|\le p-1$。对于 $|B|\ge3$ 且 $|A|-|B|\ge3$，临界性迫使 $A$ 和 $B$ 为公共端点等差数列，除了一个具有 $(p,|A|,|B|)=(13,7,4)$ 的单一公共仿射轨道。对于 $|A|-|B|\in\{1,2\}$，临界性本身迫使 $B\subsetneq A$，之后受限自和集决定了删除模式。连同其余情况，这给出了完全分类。
英文摘要
Let $p$ be an odd prime and let $A,B\subseteq\mathbb{F}_p$ be nonempty and distinct, with $|A|\ge |B|$. We give a complete classification of the pairs for which the mixed restricted sumset $A\mathbin{\widehat+} B=\{x+y:x\in A,\ y\in B,\ x\ne y\}$ has size $\min\{p,|A|+|B|-2\}$. The main new contribution concerns the interior range $|A|+|B|\le p-1$. For $|B|\ge3$ and $|A|-|B|\ge3$, criticality forces $A$ and $B$ to be common-endpoint arithmetic progressions, apart from a single common affine orbit with $(p,|A|,|B|)=(13,7,4)$. For $|A|-|B|\in\{1,2\}$, criticality itself forces $B\subsetneq A$, after which the restricted self-sum determines the deletion patterns. Together with the remaining cases, this yields the complete classification.
发表机构
- Guangzhou University（广州大学）
- Guangdong University of Foreign Studies（广东外语外贸大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
