边界 $\lvert A\rvert+\lvert B\rvert=p$ 处的临界受限和集
Critical Restricted Sumsets at the Boundary $\lvert A\rvert+\lvert B\rvert=p$
浏览论文内容
中文总结 AI 辅助
本文分类了满足 $|A|+|B|=p$ 且 $|A\RS B|=p-2$ 的临界受限和集，给出显式模型和等价类计数，并构造反例反驳边界下方的逆命题。
中文摘要 AI 辅助
设 $p$ 为奇素数，记 $A\RS B=\{a+b:a\in A,\\ b\in B,\\ a\ne b\}$。我们分类所有满足 $|A|+|B|=p$、$|A|>|B|=\ell\ge1$ 且 $|A\RS B|=p-2$ 的集合对 $A,B\subseteq\Fp$。将两个缺失和归一化为 $\{0,1\}$ 后，我们恰好得到 $\ell+1$ 个显式模型。该分类强制 $B\subseteq A$，并在固定 $p,\ell$ 时，得到恰好 $\binom p2(\ell+1)$ 个有序对，以及在同时仿射变换下 $1+\lfloor\ell/2\rfloor$ 个等价类。我们确定任一个集合何时为算术级数，并计算精确的差集基数。对于 $\ell\ge3$ 且 $p\ge4\ell-5$，基数 $|B-B|$ 在固定 $p,\ell$ 时决定等价类。证明使用穿孔平移和循环分量计数。我们还在 $\mathbb F_{13}$ 中展示了一个临界对，其大小差距为三且 $|A|+|B|=p-2$，这反驳了边界下方的一个提出的逆命题。
英文摘要
Let $p$ be an odd prime, and write $A\RS B=\{a+b:a\in A,\ b\in B,\ a\ne b\}$. We classify all pairs $A,B\subseteq\Fp$ satisfying $|A|+|B|=p$, $|A|>|B|=\ell\ge1$, and $|A\RS B|=p-2$. After normalizing the two missing sums to $\{0,1\}$, we obtain exactly $\ell+1$ explicit models. The classification forces $B\subseteq A$ and yields, for fixed $p,\ell$, exactly $\binom p2(\ell+1)$ ordered pairs and $1+\lfloor\ell/2\rfloor$ equivalence classes under simultaneous affine transformations. We determine when either set is an arithmetic progression and compute exact difference-set cardinalities. For $\ell\ge3$ and $p\ge4\ell-5$, the cardinality $|B-B|$ determines the equivalence class at fixed $p,\ell$. The proof uses punctured translates and cyclic component counting. We also exhibit a critical pair in $\mathbb F_{13}$, with size gap three and $|A|+|B|=p-2$, that contradicts a proposed inverse statement below the boundary.
发表机构
- School of Mathematics and Statistics, Guangdong University of Foreign Studies（广东外语外贸大学数学与统计学院）
- School of Mathematical Sciences, South China Normal University（华南师范大学数学科学学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
