Restricted sumsets and a conjecture of Lev
设A，B，S是阿贝尔群G的有限子集.假设限制和集C={a+b：a在A中，b在B中，a-b不在S中}非空，并且C中的某个c可以写成a+b，其中a在A中，b在B中，至多有m种方式。证明了若G是无挠的或初等阿贝尔的，则|C| \geq |A| + |B| - |S| -m.证明了若G的挠子群是循环的，则|C| \geq |A| + |B| -2 |S| -m.在S={0}的情况下，这提供了一个关于列弗猜想的进展。
2006-10-29 math.CO math.NT
On restricted sumsets over a field
我们考虑域$F$上的限制和集.设\begin{align*}C=\{a_1+\cdots+a_n:a_1\in A_1,\ldots,a_n\in A_n, a_i-a_j\notin S_{ij}\ \text{if}\ i\not=j\},\end{align*}，其中$S_{ij}(1\leqslant i\not=j\leqslant n)$是$F$的具有基数$m$的有限子集，$A_1,\ldots, A_n$是$F$的具有基数$|A_1|=\cdots=|A_n|=k$的有限非空子集.设$p(F)$是$F$的恒等式的加法阶。证明了$|C|\geqslant \min\{p(F),\ \ n(k-1)-mn(n-1)+1\}$若为$p(F)>mn$ .这一结论改进了侯和孙的结果。
2014-02-14 math.CO math.NT
An additive theorem and restricted sumsets
设G是任意具有循环扭子群的可加阿贝尔群，A，B，C是G的基数n>0的有限子集.我们证明了存在A的元素的编号{a_i}_{i=1}^n，B的元素的编号{b_i}_{i=1}^n和C的元素的编号{c_i}_{i=1}^n，使得所有和a_i+b_i+c_i（i=1，. n）是不同的。因此，由Z/NZ的凯莱加法表形成的拉丁立方体的每个子立方体包含拉丁断面。这个加法定理可以通过域中的限制和集得到进一步的推广。
2008-12-04 math.CO math.NT
Additive decompositions of sets with restricted prime factors
我们研究了具有限制素因子的相当一般的集合的和集分解。我们设法处理某些集合，如光滑数，即使它们几乎没有筛顺从性，并得出结论，这些集合不能被写为一个三元和集。这证明了萨尔科齐的一个猜想。我们还清理和锐化现有的结果的和集分解的素数。
2013-09-03 math.CO math.NT
Direct and Inverse Problems for Restricted Signed Sumsets -- II
本文研究受限h重带符号和集的直接与逆问题，在非负整数集合上完全证明了Bhanja等人提出的h≥4情形猜想，从而彻底解决了所有相关猜想。
2025-04-13 math.CO math.NT
Restricted Sumsets in Finite Nilpotent Groups
设$A,B$是有限幂零群$G$的两个非空子集.如果$A\not=B$，则限制和集$$A\dotplus B={a+b: a\in A, b\in B, a\neq b} $$的基数至少为$$\min{p(G),|A|+|B|-2},$$，其中$p(G)$表示$|G|$的最小素因子。
2012-08-21 math.CO math.GR math.NT
Discrete sumsets with one large summand
本文研究离散阿贝尔群中至少一个加数具有正上Banach密度的和集问题，通过建立离散与紧致阿贝尔群中和集及卷积水平集之间的强对应关系，改进了前人结论，且证明避免了保测动力学和非标准分析，适用于任意基数的离散阿贝尔群。
2025-07-14 math.CO math.NT
Multiplicative subgroups are not restricted sumsets
Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）；Institute for Basic Science（韩国基础科学研究院）
研究素域中哪些真乘法子群可表示为特定形式的限制和集，证明\(|H|\geq7\)时不满足，\(|H|\in\{1,3,6\}\)时存在并分类，解决了广义Sárközy猜想限制和集类似问题，扩展细化前人结果。
2026-10-07 math.CO math.NT
A variant of Tao's method with application to restricted sumsets
本文发展了Terence Tao的调和分析方法，并将其应用于限制和集。著名的柯西-达文波特定理断言，如果$A$和$B$是$Z/pZ$的非空子集，且$p$是素数，则$|A+B|\ge min{p,|A|+|B|-1}$，其中$A+B={a+b: a\in A, b\in B}$。在2005年，陶泰伦（英语：Terence Tao）通过将测不准原理的一种新形式应用于傅里叶变换，给出了柯西-达文波特定理的调和分析证明。我们修改陶的方法，使它可以用来证明以下扩展的Erdos-Heilbronn猜想：如果$A,B,S$是$Z/pZ$的非空子集，$p$是一个素数，那么$|{a+b: a\in A, b\in B, a-b not\in S}|\ge min {p,|A|+|B|-2|S|-1}$。
2008-11-28 math.CO math.NT
On an inverse problem for restricted sumsets
本文研究了限制和集的反问题，在Liu和Sun于2002年给出的下界基础上，确定了当该下界达到时集合A的结构。
2023-05-19 math.CO math.NT
Optimal Bounds on the Growth of Iterated Sumsets in Abelian Semigroups
本文为阿贝尔半群有限子集的迭代和集增长给出最优上界，证明源自Macaulay定理的界可达，构造基于多项式代数中的单项式理想及其通过Gröbner基的形变。
2023-10-16 math.AC math.CO math.NT
Generalizations of Khovanskii's theorems on growth of sumsets in abelian semigroups
我们表明，如果$P$是一个晶格多面体中的非负orthant的$\R^k$和$χ$是一个着色的格子点的orthant，使颜色$χ(a+b)$只取决于颜色$χ(a)$和$χ(b)$，那么在膨胀$P$的$nP$的格子点的颜色数是为大$n$由多项式（或，合理的$P$，由拟多项式）。这统一了Ehrhart和Macdonald关于多面体中格点的一个经典结果和Khovanski \u关于半群中和集的一个结果.我们还证明了Khovanski \u定理的多元推广的加强。另一个结果Khovanski \u的声明，图像的大小有限集后，$n$应用程序的映射从一个有限家庭的相互交换映射是大$n$的多项式。我们给出了这个定理的多元推广的组合证明。
2007-06-07 math.CO math.NT
Sumsets of sequences in abelian groups and flags in field extensions
对于具有子集$A$和$B$的有限阿贝尔群$G$，和集$AB$是$\{ab \mid a\in A, b \in B\}$。加法组合学中的一个基本问题是根据$A$和$B$的基数找到$AB$的基数的下界。这篇文章解决了阿贝尔群中的序列和域扩张中的标志的类似问题。对于正整数$n$，令$[n]$表示集合$\{0,\dots,n-1\}$。对于基数为$n$的有限阿贝尔群$G$和序$G = \{1=v_0,\dots,v_{n-1}\}$，关联由\[ T(i,j) = \min\big\{k \in [n] \mid \{v_0,\dots,v_i\}\{v_0,\dots,v_j\} \subseteq \{v_0,\dots,v_k\}\big\}. \]定义的函数$T \colon [n] \times [n] \rightarrow [n]$在自然偏序下，当$\{1=v_0,\dots,v_{n-1}\}$在基数为$n$的有限阿贝尔群的序上时，什么函数$T$是最小的？我们也对度$n$域扩张提出类似的问题。当$n < 18$，$n$是素数幂，或$n$是$2$不同素数的乘积时，我们明确地对所有极小$T$进行分类.当$n$不为上述分类时，我们显式地构造了其相关函数$T$不包含在上述分类中的阿贝尔群的序。我们还关联到一个多面体编码$T$的数据排序。
2022-07-21 math.CO math.NT
On Snevily's conjecture and restricted sumsets
设G是有限子群全循环的可加阿贝尔群.令A_1，.，A_n（n>1）是G的基数k>0的有限子集，设b_1，…，b_n是G的奇阶两两相异元。我们证明了对每一个正整数m \leq（k-1）/（n-1），有多于（k-1）n-（m+1）n（n-1）/2个集合{a_1，.，a_n}，使得a_1 \in A_1，.，a_n \in A_n，以及对于所有1个\leq i<j \leq n，a_i \not =a_j和ma_i+b_i \not = ma_j+b_j两者（或者ma_i \not =ma_j和a_i+b_i \not =a_j+b_j两者）。这扩展了Dasgupta，Károlyi，Serra和Szegedy关于Snevily猜想的最近结果。本文得到了关于多项式限制和集的更强的结果。
2006-10-29 math.CO math.NT
Direct and Inverse Problems for Restricted Signed Sumsets -- I
本文研究整数加法群中受限h重带符号和集的直接与逆问题，完整证明了Bhanja等人对正整数集合在h≥4时提出的最优大小与结构猜想。
2025-04-12 math.CO math.NT
Monochromatic Sumsets in Countable Colourings of Abelian Groups
本文针对不含4阶元素的阿贝尔群，构造可数着色以避免任何二元集合产生单色和集，肯定回答了 Fernández-Bretón 等人的问题。
2024-07-04 math.CO
Equidistribution in 2-Nilpotent Polish Groups and triple restricted sumsets
Institute of Mathematics École Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL)（洛桑联邦理工学院数学研究所）；Institute of Mathematics University of Bonn（波恩大学数学研究所）
本文研究2-幂零局部紧波兰群的等分布定理，证明了在任意可数离散阿贝尔群中，正密度子集存在三重受限和集。
2026-03-17 math.CO math.DS
Judicious partitions for restricted self-sumsets in cyclic groups
本文研究循环群着色中受限自和集的极小极大问题，确定素数情形的精确最小值，并给出一般情形的紧界，结合受限Erdős–Heilbronn现象与块/陪集着色证明最优着色结构。
2025-09-24 math.CO math.NT
Extended inverse results for restricted h-fold sumset in integers
本文研究整数有限集的限制 h 重和集逆问题，将 h=2、3、4 的已有结果推广到任意 h≥3，并刻画特定和集基数下集合 A 的全部可能结构。
2025-05-12 math.CO
Small asymmetric sumsets in elementary abelian 2-groups
设A和B是初等交换2-群G的子集，它们都不包含在真子群的陪集中.将Hennecart和Plagne的结果推广到可能不同的和项上，我们证明了，如果|A+B| < |A| + |B|，则A+B=G，或者G中A+B的补数包含在指数至少为8的子群的陪集中，由此|A+B|至少为7/8 |G|。我们表明条件的遏制是严格的，并建立一个完善的情况下，A和B的大小有显着不同。
2011-11-10 math.CO
Bounds on the cardinality of restricted sumsets in $\mathbb{Z}_{p}$
在本文中，我们提出了一个程序，它允许将一个子集$A$的$\mathbb{Z}_{p}$到一个集$ A'$，使$ |2\hspace{0.15cm}\widehat{} A'|\leq|2\hspace{0.15cm}\widehat{} A | $，其中$2\hspace{0.15cm}\widehat{} A$被定义为集$\left\{a+b:a\neq b,\;a,b\in A\right\}$。从这个结果中，我们得到了$ |2\hspace{0.15cm}\widehat{} A| $的一些下界。最后，我们给出了一些有关的问题，我们有等式$|2\hspace{0.15cm}\widehat{} A|=2|A|-1$的集合$A\subset \mathbb{Z}_{p}$。
2018-03-26 math.CO
An inverse theorem: when the measure of the sumset is the sum of the measures in a locally compact abelian group
对满足m（A+B）=m（A）+m（B）的局部紧阿贝尔群的子集对（A，B）进行分类，其中m是Haar测度.这推广了M. Kneser在G是紧连通的附加假设下对这类对进行了分类。我们的证明结合了Kneser的证明和D. Grynkiewicz，他对满足以下条件的阿贝尔群的子集对（A，B）进行了分类|A+B| = |A| + |B|，其中|A|是A的基数。
2013-07-27 math.CO
Bohr sets in sumsets I: Compact abelian groups
该研究在紧阿贝尔群框架下，证明满足自然假设的连续自同态作用下的和集存在Bohr集，推广了经典定理，并给出整数划分相关变体结果，推进了Katznelson与Ruzsa的公开问题研究。
2025-09-02 math.CO math.DS math.NT
Lattice point sumsets and asymptotic approximate groups
Polynom Research；Charles University Faculty of Mathematics and Physics Department of Algebra（查理大学数学物理学院代数系）
该研究针对由格及阿贝尔群半线性子集产生的渐近近似群建立新定量界，通过结合Khovanskii和集定理与Rogers、Zong覆盖数界的方法完成，为相关数学问题提供了新的定量分析工具。
2026-08-04 math.CO math.GR math.NT
A generalization of sumsets modulo a prime
设$A$是阿贝尔群$G$中的集合。对于整数$h,r \geq 1$，广义$h$折叠和集，记为$h^{(r)}A$，是$A$的$h$元素的和的集合，其中每个元素在和中出现的次数最多为$r$次.如果已知$|h^{(r)}A|$的$G=\mathbb{Z}$下界，以及$|h^{(r)}A|$最小的整数集的结构。本文推广了这一结果，当$G=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$为素数$p$时，给出了$|h^{(r)}A|$的一个下界，并对$\mathbb{Z}$中的正问题和反问题给出了新的证明.
2015-03-31 math.CO math.NT
New lower bounds for cardinalities of higher dimensional difference sets and sumsets
令$d \geq 4$是自然数，并且令$A$是$\mathbb{R}^d$的有限非空子集，使得$A$不包含在超平面的平移中。在这种情况下，我们表明，\[ |A-A| \geq \bigg(2d - 2 + \frac{1}{d-1} \bigg) |A| - O_{d}(|A|^{1- δ}), \]的一些绝对常数$δ>0$，只依赖于$d$。这提供了一个尖锐的主项，因此回答了Ruzsa和Stanchescu的问题，直到$O_{d}(|A|^{1- δ})$错误项。我们还证明了$\mathbb{R}^d$中限制型差集和非对称和集的新的下界。
2022-11-30 math.CO math.NT
Random Cayley graphs and random sumsets
该研究证明有限阿贝尔群存在特殊结构子集族，由此改进了稀疏随机凯莱图等的独立数、非和集最小规模的界，并得到稀疏随机子集和集算术级数最大长度的紧界。
2025-09-02 math.CO math.NT
Semicontinuity of structure for small sumsets in compact abelian groups
研究了紧交换群$G$的子集对$A, B$，其中和集$A+B:=\{a+b: a\in A, b\in B\}$很小.设$m$和$m_{*}$分别是$G$上的Haar测度和内Haar测度.给定$\varepsilon>0$，我们对满足$m(A), m(B)>\varepsilon$和$m_{*}(A+B)\leq m(A)+m(B)+δ$的$G$的Haar可测子集的所有对$A,B$进行分类，其中$δ=δ(\varepsilon)>0$很小。我们还研究的情况下，$δ$流行的和集$A+_δB:=\{t\in G: m(A\cap (t-B))>δ\}$是小的。我们证明了，对于所有的$\varepsilon>0$，有一个$δ>0$，使得如果$A$和$B$是一个紧凑的阿贝尔群$G$的子集有$m(A), m(B)>\varepsilon$和$m(A+_δB)\leq m(A)+m(B)+δ$，那么有集$S, T\subseteq G$，使得$m(A\triangle S)+m(B\triangle T)<\varepsilon$和$m(S+T)\leq m(S)+m(T)$。呼吁已知的结果，后者的不平等产生强大的结构信息$S$和$T$，因此$A$和$B$。
2019-11-27 math.CO math.GR
Number of sets with small sumset and the clique number of random Cayley graphs
设$G$是$n$阶的有限阿贝尔群.对于$G$的任何子集$B$与$B=-B$，Cayley图$G_B$是顶点集$G$上的图，其中$ij$是边当且仅当$i-j\in B.$本·格林证明，当$G$是有限域$Z/pZ$上的向量空间时，则存在Cayley图，该图既不包含完全子图，也不包含大小大于$clog nloglog n,$的独立集，其中$c$是绝对常数。在这篇文章中，我们观察到，他的论点的修改表明，对于一个任意的有限交换群的顺序$n$，有一个凯莱图既不包含一个完整的子图，也不包含一个独立的集的大小超过$c(omega^3(n)log omega(n) +log nloglog n)$，其中$c$是一个绝对常数和$omega(n)$表示的数量不同的素因子的$n$。
2009-05-20 math.CO math.NT
A Structure Theorem for Small Sumsets in Nonabelian Groups
设G是任意有限群，S和T是两个子集，使得|S| >1，|T| >1，且|TS| < |T| + |S| < |G|-1。证明了若|S| < |G|-4 |G| ^{1/2}+1则S是等比数列或存在非平凡子群H使得|HS| < |S| + |H|或|SH| < |S| + |H| .这推广到非交换情形，推广了阿贝尔群的经典结果.当我们去掉假设|S| < |G| -4 |G| ^{1/2}+1时，我们证明了上述特征的反例的存在，其结构被精确地描述。
2012-03-03 math.CO math.NT
Relative sizes of iterated sumsets
本文解决 Nathanson 提出的问题，证明对任意给定置换，可构造整数有限子集使其各重和集大小按指定顺序排列，并将结果推广到任意无限阿贝尔群及含等式约束的情形。
2025-01-06 math.CO
Random Cayley sum hypergraphs and $k$-fold sumsets
Yonsei University（延世大学）；KAIST（韩国科学技术院）；Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院）
本文研究有限阿贝尔群中$k$重和集的阈值，给出随机Cayley和超图独立数的新上界，从而改进并推广了Alon-Pham及Balogh等人的结果。
2026-10-07 math.CO math.NT
Critical Numbers for Restricted Sumsets: Rigidity and Collapse in Finite Abelian Groups
South China University of Technology（华南理工大学）；Guangzhou University（广州大学）
本文研究了有限阿贝尔群中受限和集的临界数，揭示了偶数阶群的刚性特征与奇数阶群的崩溃现象，并解决了代数编码理论中的一个猜想。
2026-02-11 math.CO
Infinite unrestricted sumsets in subsets of abelian groups with large density
本文研究大密度可数阿贝尔群子集中无限无限制和集的存在性，给出上密度下界并刻画相应Følner序列，同时证明下界的最优性。
2026-10-28 math.CO math.DS
A superadditivity and submultiplicativity property for cardinalities of sumsets
对于有限整数集$A_1, A_2 ... A_n$，我们研究了$n$ -折叠和集$A_1+... +A_n$与$n-1$ -折叠和集$A_1+... +A_{i-1}+A_{i+1}+... A_n$的基数.我们证明了这些量的超可加性和次乘法性质。我们还研究的情况下，除了元素被限制到一个附加图之间的集合。
2007-07-18 math.AC math.CO
On restricted sumsets with bounded degree relations
该研究在有限域素数域的限制和集问题中，证实了Lev关于匹配关系下限制和集下界的猜想（当两集合大小和不超过(1-ε)p且p足够大时），方法可推广到有界度关系，还构造了新的匹配关系下的和集上界例子，揭示了与经典Erdős–Heilbronn问题的差异。
2025-09-04 math.CO math.NT
Critical Restricted Sumsets at the Boundary $\lvert A\rvert+\lvert B\rvert=p$
School of Mathematics and Statistics, Guangdong University of Foreign Studies（广东外语外贸大学数学与统计学院）；School of Mathematical Sciences, South China Normal University（华南师范大学数学科学学院）
本文分类了满足 $|A|+|B|=p$ 且 $|A\RS B|=p-2$ 的临界受限和集，给出显式模型和等价类计数，并构造反例反驳边界下方的逆命题。
2026-09-15 math.CO math.NT
Sets with few differences in abelian groups
设$(G, +)$是一个阿贝尔群.在2004年，Eliahou和Kervaire发现了和集$A+A$的最小可能基数的显式公式，其中$A \subseteq G$具有固定的基数$r$。相反，我们考虑差集$A-A$的最小可能基数，它总是大于或等于$A+A$的最小可能基数，并且可以严格大于。我们猜想这个量的一个公式，并证明了猜想的情况下，$G$是一个循环群或有限域上的向量空间。这解决了Bajnok和Matzke关于符号和集的一个猜想。
2017-03-29 math.CO
Khovanskii's theorem and effective results on sumset structure
一个显着的定理，由于Khovanskii断言，任何有限子集$A$的阿贝尔群，基数的$h$倍和集$hA$增长像一个多项式的所有足够大的$h$。目前，既不了解多项式，也不了解什么是足够大的手段。在本文中，我们得到了一个有效的版本的Khovanskii定理的任何$A \subset \mathbb{Z}^d$的凸包是一个单纯形，以前，这样的结果只适用于$d=1$。我们的方法提供的信息不仅是基数的$hA$，而且它的结构，我们证明了两个有效的定理描述$hA$作为一个集：一个回答最近提出的问题由格兰维尔和沙坎，其他Brion型公式，提供了一个紧凑的描述$hA$的所有大$h$。作为我们的方法的进一步说明，我们推导出一个完全明确的公式$|hA|$时，$A \subset \mathbb{Z}^d$组成的$d+2$点。
2021-12-22 math.CO math.NT
Small subsets with large sumset: Beyond the Cauchy--Davenport bound
对于一个阿贝尔群$G$的子集$A$，给定其大小$|A|$，其加倍$κ=|A+A|/|A|$，和一个参数$s$，这是小的相比，$|A|$，我们研究的最大和集$A+A'$的大小，可以保证为一个子集$A$的大小最多$s$。我们表明，一个子集$A'\subseteq A$的大小在最$s$可以找到，使$|A+A'| = Ω(\min(κ^{1/3},s)|A|)$。因此，一个和集显着大于柯西-达文波特界可以保证由一个有界大小的子集，假设加倍$κ$是大的。建立在相同的想法，我们解决了一个猜想Bollobás，领导人和Tiba的子集$A,B$的$\mathbb{Z}_p$的大小最多$αp$为一个适当的常数$α>0$，只需要三个元素$b_1,b_2,b_3\in B$保证$|A+\{b_1,b_2,b_3\}|\ge |A|+|B|-1$。允许使用更大的子集$A'$，我们表明，为集$A$有界加倍，只需要一个子集$A'$与$o(|A|)$元素，以保证$A+A'=A+A$。我们还解决了另一个猜想和问题提出的Bollobás，领导人和Tiba的高维类似物和集的和集不能饱和的有界大小的子集。
2022-10-13 math.CO math.NT
The structure of sets with cube-avoiding sumsets
本文研究有限阿贝尔群中避立方和集的稠密子集结构，证明其本质上具有与 n 无关的有界维数，揭示了和集避开特定结构时集合的刚性特征。
2024-11-21 math.CO math.NT
Linear Algebraic Method and the Erdős-Heilbronn Conjecture
Imperial College London（帝国理工学院）
本文通过发展Das的线性代数方法，给出了受限和集的Alon-Nathanson-Ruzsa定理的新初等证明，从而证明了埃罗什-海林浓猜想。
2026-05-19 math.CO math.RA
On the number of sets with small sumset
本文研究阿贝尔群中具有小和集的子集数量，通过改进的容器型定理给出精确上界，并证明随机小和集几乎包含在小算术级数中，从而改进 Campos 等人的结果并几乎解决 Alon 等人的猜想。
2025-04-13 math.CO math.NT
Finer control on relative sizes of iterated sumsets
本文研究无限交换群中迭代和集的基数差，证明可构造有限集 $A,B$ 使各阶差值任意指定，并探讨其最小基数与直径。
2025-06-06 math.CO
Iterated sumsets and Hilbert functions
设A是阿贝尔群（G，+）的有限子集.设h $\ge$ 2为整数。如果|A| $\ge$ 2和h重迭代和集hA = A + $\times$ $\times$ $\times$ + A的基数|hA|已知，那么关于|（h -- 1）A|和|（h + 1）A|?已知的是|（h -- 1）A| $\ge$ |hA|（h--1）/h，Pl{ü} nnnecke不等式的一个结果。在这里，我们用一种新的方法改进了这个界限。也就是说，我们用标准分次代数的Hilbert函数对序列|hA| h $\ge$ 0进行建模。然后，我们应用麦考利1927年关于希尔伯特函数增长的定理，更具体地说，是它的一个最近的浓缩版本。|（h -- 1）A| $\ge$ $θ$（x，h）|hA|（h--1）/h对于某个因子$θ$（x，h）> 1，其中x是与|hA|紧密相连的实数。此外，我们表明，$θ$（x，h）渐近地趋向于e $\approx$ 2.718作为|A|的增长和h位于一个适当的范围内变化与|A|。
2020-09-07 math.AC math.CO math.NT
Sumsets with a minimum number of distinct terms
本文研究限制至少 r 个不同项的广义和集 h^(≥r)A，给出其在 Z_m 上最小大小的上界，并在 Z 与 Z_p 上证明精确下界及等号集合的刻画。
2025-01-10 math.CO math.NT
The typical approximate structure of sets with bounded sumset
令$A_1$和$A_2$是基数$s_2\geq s_1 = Ω(s_2)$的第一个$n$整数的随机选择的子集，使得它们的和集$A_1+A_2$具有大小$m$。我们证明了渐近几乎必然$A_1$和$A_2$几乎完全包含在算术级数$P_1$和$P_2$中，具有相同的公差和基数近似$s_i m/(s_1+s_2)$。我们还证明了一个计数定理，这样的集合对在任意阿贝尔群。结果适用于$s_i = ω(\log^3 n)$和$s_1+s_2 \leq m = o(s_2/\log^3 n)$。我们的主要工具是一个不对称版本的超图容器的方法，最近使用的坎波斯证明类似的结果在特殊情况下$A=B$。
2023-01-30 math.CO math.NT math.PR
Sharp density conditions for infinite $B+B$ sumsets in abelian groups
Mathematics Institute, University of Warwick（华威大学数学研究所）
本文研究了无限 $B+B$ 和集在交换群中的密度条件，证明了在特定条件下存在无限子集 $B$ 使得 $t+B+B\subset A$，并展示了该结果的最优性和逆向蕴含不成立的反例。
2026-08-11 math.CO math.DS
Bohr sets in sumsets II: countable abelian groups
本文研究可数阿贝尔群中三重和集的 Bohr 集存在性，证明三类正密度与有限划分情形下的定量结果，并推广和加强多项已知定理。
2023-06-07 math.CO math.DS
When Do Restricted Sumsets Cover a Finite Abelian Group?
School of Mathematics, Southwest Jiaotong University（西南交通大学数学学院）；School of Mathematical Sciences, University of Electronic Science and Technology of China（电子科技大学数学科学学院）
该研究针对有限阿贝尔群的受限和集覆盖问题，证明奇阶群的尖锐大阶阈值，解决相关极限阈值问题，还将结果应用于MDS椭圆码，改进半尺度猜想并得到精确尺度界。
2026-10-14 math.CO
Large sumsets from medium-sized subsets
经典的Cauchy-Davenport不等式给出了${\mathbb Z}_p$的两个子集之和的大小的一个下界，其中${\mathbb Z}_p$是素数.我们在本文中的主要目的是证明一个相当大的加强这个不等式，我们只需要少量的点，从每个两个子集时，形成的总和。我们的结果之一是，有一个绝对常数$c>0$，使得如果$A$和$B$是${\mathbb Z}_p$与$|A|=|B|=n\le p/3$的子集，那么有子集$A'\subset A$和$B'\subset B$与$|A'|=|B'|\le c \sqrt{n}$，使得$|A'+B'|\ge 2n-1$。事实上，我们表明，人们可以采取任何大小喜欢：只要$c_1$和$c_2$满足$c_1c_2 \ge cn$，那么我们可以选择$|A'|=c_1$和$|B'|=c_2$。我们证明了一般交换群的相关结果。
2022-06-19 math.CO
Settling the Optimal Exponent Relating Sumsets and Difference Sets
Tencent Hunyuan（腾讯混元）；Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
该研究解决了阿贝尔群有限子集的和差不等式中指数最优性的公开问题，构造集族证明第一个不等式的指数1/2最优，相关工作借助AI智能体Hyra完成。
2026-07-30 math.CO
Sumsets and entropy revisited
Mathematical Institute（数学研究所）；University of California, San Diego (UCSD)（加利福尼亚大学圣地亚哥分校）；Math Sciences Building（数学科学楼）
本文进一步发展了熵加倍理论，并给出了三个应用：Pálvölgyi 和 Zhelezov 关于小加倍子集“偏斜维数”结果的新证明、第二作者关于小加倍子集维数结果的新证明与改进，以及证明 F₂ 上的多项式 Freiman-Ruzsa 猜想蕴含 Z 上的（弱）多项式 Freiman-Ruzsa 猜想。
2026-06-01 math.CO math.NT
Geometric lifting and Freiman's $3k-4$ theorem in compact connected abelian groups
The Ohio State University（俄亥俄州立大学）
本文提出几何提升方法，在紧致连通阿贝尔群中证明Freiman $3k-4$定理的类比，并建立最优投影定理，解决Christ-Iliopoulou问题，推广至流行和集与Tao卷积不等式。
2026-09-24 math.CA math.CO math.GR
