AI 中文总结
本文研究了无限 $B+B$ 和集在交换群中的密度条件，证明了在特定条件下存在无限子集 $B$ 使得 $t+B+B\subset A$，并展示了该结果的最优性和逆向蕴含不成立的反例。
AI 中文摘要
受最近关于大子集中的无限和集 $B+B=\{b_1+b_2:b_1,b_2\in B\}$ 的结果 \cite{charamaras_kousek_mountakis_radic2025BBingroups} 以及 Owings \cite[Problem E2494]{Owing_problems} 关于 $B+B$ 在两种颜色下的分区正则性问题的启发，我们证明了以下定理。设 $(G,+)$ 是一个可数交换群，其中子群 $\{g+g\colon g\in G\}$ 有有限阶数，且双倍映射 $D: g\mapsto g+g$ 有有限核。令 $\Phi=(\Phi_N)_{N}$ 是 $G$ 中的任意 Folner 序列，$\Phi/2=(D^{-1}(\Phi_N))_{N}$。然后，如果 $A\subset G$ 满足 $d_{\Phi}(A)+d_{\Phi/2}(A)>1$，则存在一个无限子集 $B\subset G$ 和某个 $t\in G$，使得 $t+B+B\subset A$。我们证明了这一结果意味着 \cite{charamaras_kousek_mountakis_radic2025BBingroups} 的主要定理，并构造了一个例子说明逆向蕴含不成立。此外，我们证明了我们的主要定理在强意义上是最佳的。即，对于任何具有上述假设的可数交换群 $(G,+)$，存在一个 Folner 序列 $\Phi$ 和一个子集 $A\subset G$，使得 $d_{\Phi}(A)+d_{\Phi/2}(A)=1$，但不存在无限子集 $B\subset G$ 和 $t\in G$ 使得 $t+B+B\subset A$。最后，我们将我们主要结果在整数设置中的最优性与 Owings 的问题联系起来，并提出了一些其他相关考虑。
英文摘要
Motivated by recent results \cite{charamaras_kousek_mountakis_radic2025BBingroups} on infinite sumsets of the form $B+B=\{b_1+b_2:b_1,b_2\in B\}$ in large subsets of abelian groups, and an old problem of Owings \cite[Problem E2494]{Owing_problems} about the partition regularity of $B+B$ in $2$ colours, we show the following theorem. Let $(G,+)$ be a countable abelian group such that the subgroup $\{g+g\colon g\in G\}$ has finite index and the doubling map $D: g\mapsto g+g$ has finite kernel. Let also $Φ=(Φ_N)_{N}$ be any Folner sequence in $G$ and $Φ/2=(D^{-1}(Φ_N))_{N}$. Then, if $A\subset G$ is such that $d_Φ(A)+d_{Φ/2}(A)>1$, there is an infinite set $B\subset G$ and some $t\in G$ for which $t+B+B\subset A$. We prove that this result implies the main theorem in \cite{charamaras_kousek_mountakis_radic2025BBingroups}, and construct an example to show the reverse implication does not hold. Moreover, we show that our main theorem is optimal in a strong sense. Namely, for any countable abelian group $(G,+)$ with the aforementioned assumptions -- which are necessary -- there exists a Folner sequence $Φ$ and a set $A\subset G$ so that $d_Φ(A)+d_{Φ/2}(A)=1$, but there is no infinite set $B\subset G$ and $t\in G$ for which $t+B+B\subset A$.
Comments16 pages. Previous obsolete material replaced by a short appendix
