Small subsets with large sumset: Beyond the Cauchy--Davenport bound
对于一个阿贝尔群$G$的子集$A$，给定其大小$|A|$，其加倍$κ=|A+A|/|A|$，和一个参数$s$，这是小的相比，$|A|$，我们研究的最大和集$A+A'$的大小，可以保证为一个子集$A$的大小最多$s$。我们表明，一个子集$A'\subseteq A$的大小在最$s$可以找到，使$|A+A'| = Ω(\min(κ^{1/3},s)|A|)$。因此，一个和集显着大于柯西-达文波特界可以保证由一个有界大小的子集，假设加倍$κ$是大的。建立在相同的想法，我们解决了一个猜想Bollobás，领导人和Tiba的子集$A,B$的$\mathbb{Z}_p$的大小最多$αp$为一个适当的常数$α>0$，只需要三个元素$b_1,b_2,b_3\in B$保证$|A+\{b_1,b_2,b_3\}|\ge |A|+|B|-1$。允许使用更大的子集$A'$，我们表明，为集$A$有界加倍，只需要一个子集$A'$与$o(|A|)$元素，以保证$A+A'=A+A$。我们还解决了另一个猜想和问题提出的Bollobás，领导人和Tiba的高维类似物和集的和集不能饱和的有界大小的子集。
2022-10-13 math.CO math.NT
Cauchy-Davenport type inequalities, I
设$\mathbb G = (G, +)$是一个群（可以是阿贝尔群，也可以不是阿贝尔群）。给定$X, Y \subseteq G$，我们用$\langle Y \rangle$表示由$Y$生成的$\mathbb G$的子半群，如果是$|Y| \ge 2$，我们设$$γ(Y) := \sup_{y_0 \in Y} \inf_{y_0 \ne y \in Y} {\rm ord}(y - y_0)$$，否则设$γ(Y) := |Y|$。我们证明了如果$\langle Y \rangle$是交换的，$Y$是非空的，并且$X+2Y \neq X + Y + y$对于某些$y \in Y$，则$$ |X+Y| \ge |X|+\min(γ(Y), |Y| - 1). $$实际上，这是从一个更一般的结果得到的，它改进了作者以前关于可消半群中和集的工作，并且得到了各种加法定理的全面推广，在某些情况下得到了相当大的加强，特别是包括Chowla-Pillai定理（关于有限循环群中的和集）和Hamidoune-Shatrowsky定理的阿贝尔群的特殊化。
2016-05-04 math.CO math.GR math.NT
A Uniform Proof for the Small Davenport Constant of the Exponent-$p$ Heisenberg Group
针对指数为p的海森堡群H_{p^3}，通过阶值增长定理等工具证明其小达文波特常数𝖽(H_{p^3})=3p-3，给出了上界与下界的统一证明。
2026-08-20 math.CO
Large sumsets from small subsets
在本文中，我们开始研究一个新的机构的问题，在添加剂组合。基本的柯西-达文波特定理给出了一个下界的大小和集A+B的子集的循环群Zp的秩序p（p素数），这只是一个例子，一个大家庭的结果。我们在本文中的目的是调查会发生什么，如果我们限制一个集合的元素，我们可以用来形成总和的数量。下面是我们要回答的问题：给定两个子集A和B，B是否有一个大小有界的子集C，使得A+C很大，甚至可能与A+B的大小相当？特别是，我们能接近柯西-达文波特定理的下界吗？我们的主要结果表明，相当令人惊讶的是，在许多情况下，它是可能的，不仅是一个渐近版本的通常的和集界，但甚至确切的界限本身。
2022-05-12 math.CO
The small Davenport constant of the Heisenberg group of order 125
研究阶为125的海森堡群的小Davenport常数，通过明确无积为一序列得出下界，利用积为一准则、加法组合学等将问题简化并经搜索验证得出上界\(\mathsf{d}(H_{125}) = 12\)，解决了该领域的一个未决问题。
2026-07-17 math.CO
A variant of Tao's method with application to restricted sumsets
本文发展了Terence Tao的调和分析方法，并将其应用于限制和集。著名的柯西-达文波特定理断言，如果$A$和$B$是$Z/pZ$的非空子集，且$p$是素数，则$|A+B|\ge min{p,|A|+|B|-1}$，其中$A+B={a+b: a\in A, b\in B}$。在2005年，陶泰伦（英语：Terence Tao）通过将测不准原理的一种新形式应用于傅里叶变换，给出了柯西-达文波特定理的调和分析证明。我们修改陶的方法，使它可以用来证明以下扩展的Erdos-Heilbronn猜想：如果$A,B,S$是$Z/pZ$的非空子集，$p$是一个素数，那么$|{a+b: a\in A, b\in B, a-b not\in S}|\ge min {p,|A|+|B|-2|S|-1}$。
2008-11-28 math.CO math.NT
On the Inverse Erdos-Heilbronn Problem for Restricted Set Addition in Finite Groups
本文综述了可加组合学中Cauchy-Davenport定理和Erdos-Heilbronn问题的正问题和反问题的结果。本文提出了一个关于非交换群中Erdos-Heilbronn逆问题的公开猜想。我们延长逆迪亚斯达席尔瓦-Hamidoune定理Z/nZ，其中n是复合的，我们推广到nonabel群的结果。
2013-10-04 math.CO
The inverse Erdos-Heilbronn Problem for restricted set addition in finite groups
本文综述了可加组合学中Cauchy-Davenport定理和Erdos-Heilbronn问题的正问题和反问题的结果。证明了Dias da Silva-Hamidoune在Z/pZ中的一个逆定理的一个轻微的推广，并给出了一个关于非交换群中Erdos-Heilbronn逆问题的公开猜想的一个反例.
2013-09-26 math.CO
Spectrally Perron Polynomials and the Cauchy-Ostrovsky Theorem
本文简化了Cauchy和Ostrovsky定理的表述，并用组合非负矩阵理论给出了每个定理的证明。我们还表明，每个简单的充分条件在每个语句也是必要的，在其各自的情况下。此外，我们引入了光谱Perron多项式的概念，并提出了一个问题，呼吁广泛的数学观众。
2016-11-01 math.CO
Note on a Conjecture of Graham
格雷厄姆的一个旧猜想指出，如果$n$是一个素数，并且$S$是循环群$C_n$中的$n$项的序列，使得所有（非平凡的）零和序列具有相同的长度，则$S$必须包含最多两个不同的项。1976年，Erdés和Szemeredi给出了充分大素数$n$猜想的证明。然而，证明是足够复杂的小素数的细节从来没有制定出来。无论是在埃尔德什和Szemeredi的文件，并在后来的调查埃尔德什和格雷厄姆，复杂的证明感到遗憾。最近，Gao，Hamidoune和Wang利用Savchev和Chen最近证明的$C_n$中长长度零和自由序列的结构定理，给出了一个新的证明，甚至对非素数$n$也有效。然而，因为这是一个相当复杂的结果，他们不相信这是简单的证明所寻求的Erdjs，格雷厄姆和Szemeredi。本文仅利用柯西-达文波特定理和鸽子洞原理对原猜想给出了一个简短的证明，因此可能是一个简单的证明。用Devos-Goddyn-Mohar定理代替Cauchy-Davenport定理，我们得到了非素情形的另一种证明，尽管不那么简单。此外，我们的方法产生了一个详尽的列表，详细说明了$S$的精确结构，并适用于任意有限阿贝尔群，虽然唯一的非循环群，这是非平凡的是$C_2\oplus C_{2m}$。
2009-03-18 math.CO math.NT
On Bass' conjecture of the small Davenport constant
本文证明在 $s$ 对 $n$ 的每个素因子 $q$ 模阶均为 $m$ 的条件下，Bass 关于群 $G_{m,n}$ 小 Davenport 常数的猜想成立，并刻画极值无乘积为一序列。
2025-02-19 math.CO math.NT
The small Davenport constant of $E_2\times C_3^r$ for $0\le r\le3$
本文证明了对 $0\le r\le3$，额外特殊群 $E_2$ 与 $C_3^r$ 的直积的小 Davenport 常数为 $2r+10$，通过辛空间中的有限命题和压缩论证给出上界，并留下 $r\ge4$ 的开放问题。
2026-09-30 math.CO math.GR
Linear Algebraic Method and the Erdős-Heilbronn Conjecture
Imperial College London（帝国理工学院）
本文通过发展Das的线性代数方法，给出了受限和集的Alon-Nathanson-Ruzsa定理的新初等证明，从而证明了埃罗什-海林浓猜想。
2026-05-19 math.CO math.RA
Large sumsets from medium-sized subsets
经典的Cauchy-Davenport不等式给出了${\mathbb Z}_p$的两个子集之和的大小的一个下界，其中${\mathbb Z}_p$是素数.我们在本文中的主要目的是证明一个相当大的加强这个不等式，我们只需要少量的点，从每个两个子集时，形成的总和。我们的结果之一是，有一个绝对常数$c>0$，使得如果$A$和$B$是${\mathbb Z}_p$与$|A|=|B|=n\le p/3$的子集，那么有子集$A'\subset A$和$B'\subset B$与$|A'|=|B'|\le c \sqrt{n}$，使得$|A'+B'|\ge 2n-1$。事实上，我们表明，人们可以采取任何大小喜欢：只要$c_1$和$c_2$满足$c_1c_2 \ge cn$，那么我们可以选择$|A'|=c_1$和$|B'|=c_2$。我们证明了一般交换群的相关结果。
2022-06-19 math.CO
A weighted generalization of Gao's n+D-1 Theorem
设$G$表示阶为$n$、Davenport常数为$D$的有限阿贝尔群，并设$m= n+D-1$ .令$x=(x_1, ..., x_m)\in G^m$是具有由$x_m$获得的最大重复$\ell$的序列，并将$r=\min(D,\ell)$。设$w=(w_1, ..., w_{m-r})\in \Z^{m-r}.$，则存在$n$ -子集$I\subset [1,m-r]$和注入$f: I\mapsto [1,m]$，使得$m\in f(I)$和$$\sum_{i\in I}w_{i}x_{f({i})}=(\sum_{i\in I}w_{i})x_{m}.$$
2007-11-26 math.CO math.NT
The fourth generalized Davenport constant of $C_5^3$
Stockholm University（斯德哥尔摩大学）
本文证明$C_5^3$的第四类广义达文波特常数$D_4(C_5^3)=30$，得出$k \geq 2$时$D_k(C_5^3)=5k+10$，该结论通过计算机辅助穷举搜索完成，补充了两个相关验证值。
2026-09-07 cs.DM math.CO
Peter-Weyl, Howe and Schur-Weyl theorems for current groups
经典的Peter-Weyl定理描述了半单代数群上函数空间的结构。在特征标的水平上（在类型A中），这归结为舒尔多项式的乘积的柯西恒等式。我们制定和证明模拟的Peter-Weyl定理的电流组。特别地，在类型A中，相应的特征恒等式由q-惠特克函数的乘积的柯西恒等式决定。我们还制定和证明了一个版本的舒尔-外尔定理的电流组。Peter-Weyl定理和Schur-Weyl定理之间的联系由Howe对偶（当前版本）提供。
2019-06-07 math.AG math.CO math.RT
