线性映射的Cauchy-Davenport定理
A Cauchy-Davenport theorem for linear maps
摘要：
我们证明了一般线性映射的Cauchy-Davenport定理的一个版本。对于有限域$\mathbb{F}_p$的子集$A,B$，经典的柯西-达文波特定理给出了和集$A+B$的大小的一个下界，该下界是由集合$A$和$B$的大小决定的.我们的定理考虑了一般线性映射$L: \mathbb{F}_p^n \to \mathbb{F}_p^m$和子集$A_1, \ldots, A_n \subseteq \mathbb{F}_p$，并给出了$L(A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n)$的大小的一个下界，它是由集合$A_1, \ldots, A_n$的大小表示的.我们的证明使用阿隆的组合零点和变化的多项式方法。
英文摘要：
We prove a version of the Cauchy-Davenport theorem for general linear maps. For subsets $A,B$ of the finite field $\mathbb{F}_p$, the classical Cauchy-Davenport theorem gives a lower bound for the size of the sumset $A+B$ in terms of the sizes of the sets $A$ and $B$. Our theorem considers a general linear map $L: \mathbb{F}_p^n \to \mathbb{F}_p^m$, and subsets $A_1, \ldots, A_n \subseteq \mathbb{F}_p$, and gives a lower bound on the size of $L(A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n)$ in terms of the sizes of the sets $A_1, \ldots, A_n$. Our proof uses Alon's Combinatorial Nullstellensatz and a variation of the polynomial method.
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