AI 中文总结
本文证明非交换群 $H_{27}$ 与循环群 $C_3^r$ 的直积的小 Davenport 常数为 $2r+6$，方法结合群代数仿射系数恒等式与非正交图分解，统一且无需枚举。
AI 中文摘要
设 $H_{27}=\mathrm{UT}_3(\mathbb{F}_3)$ 为阶为 $27$、指数为 $3$ 的非交换群。我们证明对每个整数 $r\geq0$，有 $\mathsf{d}(H_{27}\times C_3^r)=2r+6$。证明将初等阿贝尔群的群代数中的一个仿射系数恒等式与 $\mathbb{F}_3^2$ 的非正交图分解为八个边不相交的零和三角形相结合。该证明对 $r$ 是一致的，不使用较小非交换群的小 Davenport 常数值，也无需计算枚举。
英文摘要
Let $H_{27}=\mathrm{UT}_3(\mathbb{F}_3)$ be the nonabelian group of order $27$ and exponent $3$. We prove that $\mathsf{d}(H_{27}\times C_3^r)=2r+6$ for every integer $r\geq0$. The proof combines an affine coefficient identity in the group algebra of an elementary abelian group with a decomposition of the nonorthogonality graph of $\mathbb{F}_3^2$ into eight edge-disjoint zero-sum triangles. It is uniform in $r$, does not use the value of the small Davenport constant for a smaller nonabelian group, and requires no computational enumeration.
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